Übungsblatt 1

MAT121 – Analysis I
Universität Zürich, FS 2016
Prof. Benjamin Schlein
Übungsblatt 1
MAT122 – Analysis II
Abgabe am Freitag, 4. März 2015
Bitte Lösungen bis spätestens 15 Uhr im Briefkasten des jeweiligen Übungsleiters
am K-Geschloss von Bau Y27 einreichen.
Aufgabe 1: Riemann’sche Summen (10 Punkte)
a. Seien a < b reelle Zahlen. Zeigen Sie, dass
b
Z
a
1
x dx = (b2 − a2 )
2
indem Sie das Integral explizit als Grenzwert geeigneter Riemann-Summen berechnen.
b. Sei f : [0, ∞) → R integrierbar auf [0; T ] für alle T > 0 und sei limx→∞ f (x) = λ. Zeigen
Sie:
Z
1 T
f (x) dx = λ.
lim
T →∞ T 0
Aufgabe 2: Integrierbarkeit (4+6 Punkte)
Sei f : R → R definiert durch
f (x) :=
1
x
− int( x1 ) falls x 6= 0,
0
für x = 0,
wobei int(y) der ganzzahlige Teil von y ∈ R ist (die grösste ganze Zahl kleinergleich y).
a. Zeigen Sie, dass f integrierbar ist auf dem Intervall [0, 1].
b. Zeigen Sie, dass
Z

1
f (x) dx = lim log(n) −
0
n→∞
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n
X
1
j=2
j

.
MAT121 – Analysis I
Universität Zürich, FS 2016
Prof. Benjamin Schlein
Aufgabe 3: Integrierbarkeit 2 (5+5 Punkte)
a. Seien a, b ∈ R mit a ≤ b und sei f : [a; b] → R Riemann integrierbar. Es gebe δ > 0 mit
f (x) ≥ δ für alle x ∈ [a; b]. Beweise: Die Funktion 1/f ist Riemann integrierbar.
b. Die Funktion f : [0; 1] → R sei für alle x ∈ [0; 1] definiert durch
0
falls x ∈ R\Q
f (x) =
1/q,
falls x = p/q, mit teilerfremden p, q ∈ N, q ≥ 1
Man zeige, dass f Riemann integrierbar ist und, dass
Z 1
f dx = 0
0
Hinweis: benutzen Sie die Tatsache, dass eine beschränkte Funktion f : [0; 1] → R Riemann
integrierbar ist g.d.w. die Menge der Unstetigkeitstellen von f eine Lebesgue Nullmenge ist.
Aufgabe 4: Integrale (10 Punkte)
Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale, i. e. finden Sie die Stammfunktionen.
R sin x
a. √5+cos
dx
x
b.
R
1
x log(x) log(log(x)) dx
c.
R
xe−x dx
d.
R
x sin(x)dx
e.
R
ex sin(x)dx
f.
R
xn ex dx für alle n ∈ N.
2
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