1. ¨Ubungsblatt zur Vorlesung ” Logik in der Informatik“

TU Ilmenau, Fakultät IA
Institut TI, FG Theoretische Informatik
Prof. Dr. D. Kuske, M.Sc. M. Huschenbett
http://www.tu-ilmenau.de/iti/lehre/lehre-ss-2011/lidi/
1. Übungsblatt zur Vorlesung Logik in der Informatik“
”
Die Lösungen der folgenden Aufgaben werden in der Übung am 12. April 2011 besprochen.
Bearbeiten Sie die Aufgaben daher bitte vor diesem Übungstermin zu Hause.
Aufgabe 1
Geben Sie die Definitionen und Beziehungen der folgenden Begriffe für aussagenlogische Formeln ϕ und ψ an (vgl. Vorlesung Logische Strukturen“ bzw. Literatur).
”
(a) ϕ ist erfüllbar.
(b) ϕ ist eine Tautologie.
(c) ϕ ist ein Widerspruch bzw. ϕ ist unerfüllbar.
(d) ψ ist eine Folgerung aus ϕ bzw. ϕ impliziert ψ.
Aufgabe 2
Es seien τ eine Signatur, ϕ eine τ -Formel, x ∈ f V (ϕ) ∩ V0 eine Variable 1. Stufe, die in ϕ frei
vorkommt, und n ∈ N eine natürliche Zahl.
(a) Konstruieren Sie eine Formel χ, so dass für jede τ -Struktur A und jede Belegung α in A
gilt:
A |=α χ gdw. es gibt genau ein a ∈ kAk mit A |=α[ xa ] ϕ .
Diese Formel χ werden wir in Zukunft mit ∃=1 x : ϕ abkürzen.
(b) Konstruieren Sie eine Formel ψ, so dass für jede τ -Struktur A und jede Belegung α in A
gilt:
A |=α ψ
gdw.
es gibt mindestens n paarweise verschiedene a ∈ kAk mit A |=α[ xa ] ϕ .
Diese Formel ψ werden wir in Zukunft mit ∃≥n x : ϕ abkürzen.
(c) Finden Sie mithilfe von (b) diejenigen Formeln, für die ∃≤n x : ϕ und ∃=n x : ϕ sinnvolle
Abkürzungen sind.
Bitte wenden!
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1. Übungsblatt zur Vorlesung Logik in der Informatik“
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Aufgabe 3
Betrachten Sie die Signatur τ = {R}, {m}, ar mit ar(R) = 2. Geben Sie τ -Sätze ϕ1 bis ϕ9
an, so dass jede τ -Struktur A die Bedingung A |= ϕi genau dann erfüllt, wenn gilt: RA ist. . .
(ϕ1 ) . . . die Gleichheitsrelation auf kAk.
(ϕ2 ) . . . eine Äquivalenzrelation auf kAk.
(ϕ3 ) . . . eine lineare Ordnung auf kAk.
(ϕ4 ) . . . eine lineare Ordnung auf kAk mit größtem Element mA .
(ϕ5 ) . . . der Graph einer Funktion f : kAk → kAk.
(ϕ6 ) . . . der Graph einer Funktion f : kAk → kAk mit Fixpunkt mA , d.h. f (mA ) = mA .
(ϕ7 ) . . . der Graph einer injektiven Funktion f : kAk → kAk.
(ϕ8 ) . . . der Graph einer surjektiven Funktion f : kAk → kAk.
(ϕ9 ) . . . der Graph einer Bijektion f : kAk → kAk.
Aufgabe 4
Betrachten Sie die Graph-Signatur τGraph = {E}, ∅, ar mit ar(E) = 2. Beschreiben Sie
verbal, welche Graph-Eigenschaften die nachstehenden τGraph -Formeln ϕ1 bis ϕ6 ausdrücken:
ϕ1 = ∀x ∃y : E(x, y) ∧ E(y, x)
ϕ2 = ∀x : ∃y : E(x, y) ∧ ∃y : E(y, x)
ϕ3 = ∀x ∀y : E(x, y) → E(y, x)
ϕ4 = ∀x ∀y : E(x, y) ∨ ∃z : E(x, z) ∧ E(z, y)
In den folgenden beiden Formeln sei E 0 (x, y) eine Abkürzung für E(x, y) ∧ ¬(x = y):
ϕ5 = ∃x ∃y ∃z : E 0 (x, y) ∧ E 0 (y, z) ∧ E 0 (z, x)
ϕ6 = ∃=3 x ∃y ∃z : E 0 (x, y) ∧ E 0 (y, z) ∧ E 0 (z, x)
Geben Sie weiterhin für jede Formel jeweils ein Modell und einen Graphen, der kein Modell
ist, an.