Geometrische Beweise

Geometrische Beweise
1)
Gegeben ist ein Dreieck ABC; Ma ist der Mittelpunkt von BC; M b ist der Mittelpunkt von
AC.
Zeige: Ma Mb ist parallel zu AB und halb so lang wie AB.
2)
In einem Dreieck ABC ist M c der Mittelpunkt der Seite AB.
Der Punkt N liegt auf der Seite AC.
1
Es gilt: AN  AC . T ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden M c C und der
3
Strecke NB. In welchem Verhältnis teilt T die Strecken MCC und NB?
3)
Zeige: Die Diagonalen eines Parallelogramms halbieren sich.
4)
Zeige: Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden des Dreiecks ABC (d.h. der
Schwerpunkt S) teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2 : 1
5)
Zeige: Wird der Punkt B eines Parallelogramms ABCD mit dem Mittelpunkt der beiden
Seiten AD und DC verbunden, so teilen die Verbindungsstrecken die Diagonale AC in drei
gleiche Teile.
6)
Zeige: In einer Raute stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander.
7)
Zeige: Für ein Dreieck ABC mit AB  c ; BC  a ; AC  b gilt: a  b  a  b  c
8)
Zeige: In einem rechtwinkligen Dreieck gilt
a) Der Höhensatz
b) Der Kathetensatz
2
2
2
Lösungen Geometrische Beweise
1)
Seite 1
(1) Zeichnung
(2) Voraussetzung a , b linear unabhängig, AM c 
1
AB;
2
AN 
1
AC
3
1
1
AB   a (Minus wegen Richtung, siehe Zeichnung!)
2
2
(4) Beweis Geschlossener Vektorzug: M bC  CM a  M a M b  0
1
1
1
M bC  b ; CB  b  a  CM a  (b  a )  (a  b)
2
2
2
1
1
 M bC  CM a  M a M b  b  (a  b)  M a M b  0
2
2
1
1
  a  M a M b  0  M a M b   a q.e.d.
2
2
(3) Behauptung M a M b  
2)
(1) Zeichnung
1
1
AB; AN  AC
2
3
(3) „Behauptung“ Gesucht sind x und y mit: M cT  x  M cC ; TN  y  BN
(4) „Beweis“ Bestimmung von x und y
Geschlossener Vektorzug: AM c  M cT  TN  NA  0
(2) Voraussetzung a , b linear unabhängig, AM c 
1
1
1 
 1


a; M cT  x  M cC  x    a  b  ; NA   b; TN  y  BN  y   a  b 
2
3
3 
 2


1
1  1
 1


Damit: a  x    a  b   y   a  b   b  0
2
3  3
 2


1
1
1 1


  x  y  a   x  y  b  0
3
3
2 2


1 1
1
1
Da a , b , linear unabhängig:  x  y  0; x  y   0
2 2
3
3
1
2
 x  ; y   T teilt M c C im Verhältnis 1 : 4, T teilt NB im Verhältnis 2 : 3
5
5
AM c 
Lösungen Geometrische Beweise
3)
Seite 2
(1) Zeichnung
(2) Voraussetzung a , b linear unabhängig
1
1
(3) Behauptung AS  AC und BS  BD
2
2
(4) Beweis Geschlossener Vektorzug: SB  BA  AS  0
SB  r  DB  r  b  a ; BA  a; AS  s  AC  s  a  b








Damit: SB  BA  AS  r  b  a  a  s  a  b  0
  r  1  s  a   r  s  b  0
Da a , b , linear unabhängig:  r  1  s  0;
1
 r  s  q.e.d.
2
4)
rs 0
(1) Zeichnung
1
1
(2) Voraussetzung a , b linear unabhängig, CM a  CB; AM b  AC
2
2
2
2
(3) Behauptung AS  AM a und BS  BM b
3
3
(4) Beweis Geschlossener Vektorzug: SB  BA  AS  0
 1

1

SB  r  M b B  r    b  a  ; BA  a; AS  s  AM a  s   (a  b) 
 2

2

 1

1

 SB  BA  AS  r    b  a   a  s   (a  b)   0
 2

2

1 
1 

 1
  r 1 s  a    r  s  b  0
2 
2 

 2
1
1
1
Da a , b , linear unabhängig:  r  1  s  0;  r  s  0
2
2
2
2
 r  s  q.e.d.
3
Lösungen Geometrische Beweise
5)
Seite 3
(1) Zeichnung
(2) Voraussetzung a , b linear unabhängig, AM b 
(3) Behauptung AT1  T1T2  T2C 
1
1
AD; DM a  DC
2
2
1
1
AC  (a  b)
3
3
(4) Beweis
1. Geschlossener Vektorzug: T1B  BA  AT1  0

 1

T1 B    M b B      b  a  ; BA  a; AT1  r  AC  r  a  b
 2

 1

 T1 B  BA  AT1      b  a   a  r  a  b  0
 2

 1

   1  r  a      r  b  0
 2

1
Da a , b linear unabhängig:    1  r  0;    r  0
2
1
2
1
 r  ;    AT1   AC
3
3
3
2. Geschlossener Vektorzug: T2C  CB  BT2  0




1 

T2C  s  AC  s  a  b ; CB  b; BT2    BM a     b  a 
2 

1 

 T2C  CB  BT2  s  a  b  b     b  a   0
2 

1 

  s    a   s 1   b  0
2 

1
Da a , b linear unabhängig:  s    0; s  1    0
2
1
2
1
 s  ;    T2C   AC
3
3
3
1
Aus 1. und 2. folgt auch T1T2  AC und somit q.e.d.
3



Lösungen Geometrische Beweise
6)
Seite 4
(1) Zeichnung
2
(2) Voraussetzung a , b linear unabhängig, a  b  a  b
2
(3) Behauptung BD  AC  BD  AC  0
(4) Beweis
BD  a  b; AC  a  b



2
2
2
2
Damit: BD  AC  a  b  a  b  a  ab  ab  b  a  b  0 q.e.d.
7)
(1) Zeichnung
(2) Voraussetzung a , b linear unabhängig
2
2
(3) Behauptung a  b  a  b  c
(4) Beweis
 Es gelte: a  b  a  b  0
2

c  b  a  c  b  a
2
2
 Es gelte: a  b  c
2
2
2

a  b  c  b  a

2

2
2
2
2
2
2
2
2
2
 b  2ab  a  b  2  0  a  b  a
2
 b  2ab  a  ab  0 q.e.d.
2
Lösungen Geometrische Beweise
8)a)
Seite 5
Höhensatz: h 2  p  q
(1) Zeichnung
a , b linear unabhängig , rechtwinkliges Dreieck: a  b  a  b  0 ,
(2) Voraussetzung
q  h  qh  0, p  h  ph  0
2
(3) Behauptung h  p  q
(4) Beweis
a  h  p; b  h  q



2
2
 0  a  b  h  p  h  q  h  ph  qh  pq  h  0  0  pq
2
2
 h  pq  0  h  pq q.e.d.
8)b)
Kathetensatz: a 2  p  c ; b 2  q  c
(1) Zeichnung siehe oben
(2) Voraussetzung a , b linear unabhängig , rechtwinkliges Dreieck: a  b  a  b  0 ,
q  h  qh  0, p  h  ph  0
(3) Behauptung a  p  c ; b 2  q  c
(4) Beweis
Mit Höhensatz von oben und Satz des Pythagoras und c  p  q
2
2
2
2

2

a  h  p  pq  p  p q  p  p  c
analog:
2
2
2
2


b  h  q  pq  q  q p  q  q  c q.e.d.