ein mathematisches modell für die am schwachen netz arbeitende

EIN MATHEMATISCHES MODELL FÜR DIE
AM SCHWACHEN NETZ ARBEITENDE GESTEUERTE
DREHSTROMBRÜCKE
A.
KARPATI,
1.
IpSITs,
1.
HERMANN
und P.
MAGYAR
Lehrstuhl für Automatisierung.
Technische Universität. H-1521 Budapesl
Summary
The paper deals with the mathematical modelling of three-phase bridge-controlled
converters operated on weak nets. A procedure is given to set up thc equations of state. After
determining the periodical steady state, the state transmission matrix ofthe system linearized for
small changes is sct up, and thereby a method is established to analyse the dynamic prapcrties of
the system. The serviceableness of the method is demonstrated on same numerical examples.
Einführung
Die Regel zur Einstellung des Stromregelkreises der netzkommutierten
Stromrichter sind seit langem bekannt, aber sie berücksichtigen nicht die
Größe der frequenzabhängigen Netzimpedanz. Bei Einrichtungen von
verhältnismäßig kleiner Leistung ist es auch nicht notwendig. Die Lage ändert
sich, wenn die Leistung Pd des Stromrichters gemessen an die
Kurzschlußleistung Sz des Netzes groß ist, die sich an das Speisenetz
anschließenden Kondensatoren (Siebkreise) die Netzimpedanz ungünstig
beeinflussen, und für die SichersteBung der guten Regeleigcnschaften im
Regelkreis eine hohe Schnittfrequenz, wc' einzustellen ist. Im folgenden wird
ein mathematisches Modell gezeigt, was für die Untersuchung von solchen
Fällen geeignet ist. Die ausführlichen Ableitungen werden im Anhang
angegeben.
Die Beschreibung des untersuchten Systems
Das Schaltbild des Hauptstromkreises des untersuchten Systems ist in
der Abb. 1.a zu sehen. An das Speisenetz, das aus Spannungsgenerator und in
Reihe geschaltenen Widerstand und Induktivität besteht, schließen sich n
Siebkreise und eine Drehstrombrücke an. Der Synchronsignalfilter des
Stromrichters wird durch den Stromkreis Rsz - C sz ersetzt.
7*
268
A. J\,4RPATI el a/.
L
h Rh
L
iS1
---:-Ih
i
sn
LS1
L
e Re
- iE
sn
Rsz
1,2,3
a,b,c
Th
Th
p
Rs1
uL fCs~cL lC~eLTCsz
.
S1······· Sn
al
.G": ".nc·"-Zustönde
Die OJsgewöhlten .
a
b
c
N
2
3
p
tl::: :
-Ug1
1
bl
In .. C"-Zustand Th1 ist stromführend und Thb-Thc Kommutatio
In .• nc·':.Zustand Th1 und The sind stomführend
Abb.l
In der Abb. l.b wurden die "c" und "ne" Zustände des ausgewählten
Taktes dargestellt. In der Abb. 2 sind die für die Arbeit des Stromrichters
kennzeichnenden Funktionen zu sehen. Abb. 2.a zeigt die Spannung Ud'
Abb. 2.b die aus dem Netz fließenden Ströme, Abb. 2.c die aus den Ausgangspannungen des Synchronsignalfilters gebildeten Komparationssignale
k(t) und das v(t) Ausgangssignal des Reglers.
In Abb. 3 ist der Aufbau des Regelkreises zu sehen. Das dem Strom id
proportionales Signal wird durch ein Verzögerungsglied I-ster Ordnung
gesiebt.
269
.WATHt:MATISCHES MODELL FÜR DIE DREHSTROMBRÜCKE
ol
-I d ""t
'------+--
bl
u csz 3
-U csz 2
U csz '
-U csz 3
U csz 2
-U csz'
v {t l
"'0
.cb
0(3
I
.c,
.cc
cl
cC2
k {tl
Abb. 2
Api
~
~
v
Zündg
Rd+sL d
Stromr.
ub
U,dv
1+TsS
id
Rs
Abb.3
270
A. K..jRPiTi cl 0/.
Kurze Besprechung der angewandten Theorie 11, 2, 3]
Im Laufe der Untersuchungen werden die folgenden Berechnungen
durchgeführt:
- Die Bestimmung des stationären Zustandes.
Die Bestimmung der Zustandsübergangsmatrix für kleine Änderungen.
- Stabilitätsuntersuchung.
Bes/immung des stationären Zustandes (2)
Der stationäre Zustand wird unter den folgenden Annahmen und in den
folgenden Schritten bestimmt:
Wegen der zyklischen Symmetrie der Schaltung ist es genügend nur
einen Takt zu untersuchen.
-- Der untersuchte Takt wird in zwei Teile geteilt. Diese sind: "c"Zustand, wo bei der negativen Brückenhälfte (N) Thb und Thc kommutieren,
bei der positiven Brückenhalfte (P) führt Thl den Strom. "nc"-Zustand, wo bei
der negativen Brückenhälfte Thc, bei der positiven aber Thl stromführend sind.
- Der x~ Anfangswert des x* Zustandsvektors und der Überlappungswinkel (tl = wT c ) im stationären Zustand des Systems nach Abb. 1.a ergänzt
durch den id Filter nach Abb. 3 wird aufgrund der Zustandsgleichung des
Systems (s. Anhang) bestimmt. Bei den Berechnungen werden die
T\
Periodizitätsbedingung x*,( t + "6) =
x*(t) und die Löschbedingung
kT'x*(p) =0 benutzt.
Das fehlende Element des x~* Anfangsvektors der vollständigen
Zustandsgleichung, in der auch der Regler berücksich:igt ist, wird mit Hilfe der
Komparationsbedingung bestimmt, d. h. mit Hilfe der folgenden Gleichung: k o
=Ucvo+(Uida+Uidvo)Ap, wobei Uida=IdRs geschrieben werden kann, weil
wegen des PI-Reglers der Mittelwert der stationären Regelabweichung null ist.
Bestimmung der sich auf kleine Änderungen beziehenden
Zustandsübergangsmatrix (1, 2, 3)
Zwischen den auf den gleichen Takt transformierten Änderungen xf*
und xf:1 kann der folgende Zusammenhang geschrieben werden:
MA TIfEMA TfSCIIl,'S MODELL FÜR DIE IJREllSTRO.\fBRCCI\E
271
wobei
ist.
Außerdem
xt*
- ist die Abweichung der Zustandsvariablen im Vergleich zum
stationären Zustand am Anfang des i-ten Taktes.
eA**T c
ist das Maß der Änderung während des dem "c"-Zustand
entsprechenden Zeitintervalls, Tc = f1/w.
V**
- ist die die Beständigkeit von Tc sichernde Transformation beim
Ende des Zustandes "c".
eV*'A"T nc - ist das Maß der Änderung während des "nc"-Zustandes
Fx
ist die die Beständigkeit der Taktzeit sichernde Transformationsmatrix beim Ende des "nc"-Zustandes, die folgenderweise
bestimmt werden kann:
T
CT
C
v k
F x = E +.(f'ncv - P"''''j')
.. co' • (T
,'1'
Ck -cJfncv
wobei
1,ncy = -x~>'::
ddt . - "I t = t nc ... (Ende des "nc"-Zustandes)
~
d x"". "'I
f'co = dt't=t
C ()
cJ = [0, 0, 0, 0, 0, 0,
-.,-
---
~
----.
10..-..,
~
cJ =[0,0,0,0,0,0,
(Anfang des "c"-Zustandes)
... , 0, 0, 0, 0, ... , 0, 0, 1, 0, 0, 0J
I
,
"""""-=====>
~
•
____
. .---..
... ,0,0,0,0, ... ,0,0,0,0, -Ap,lJ
sind, weil k(t) = u c5zl (t) das Komparationssignal, d. h. L1k(t) = L1u cszl (t) und L1v(t)
=L1ucv-~pL1UidV sind. Durch die Multiplikation mit p**-l wird gesichert,
daß die Anderungen des folgenden Taktes mit Hilfe der Formel des
ursprünglichen Taktes berechnet werden können.
Stabilitätsuntersuchung
Die Änderung der vom stationären Zustand ausgeschwenkten Zustandsvariablen kann nach dem n-ten Takt folgenderweise geschrieben werden:
272
A. !\.-{RP,.{n
cl
ai.
,
weil
zn =TzA~Tz-I,
ist, die Stabilitätsbedingung kann wie folgt geschrieben werden:
il< 1
wenn i = 1 ... mund m die Anzahl der Eigenwerte ist.
Besprechung einiger Rechenergebnisse
In der Abb. 4 wird die Änderung der Eigenwerte für einen solchen Fall
gezeigt, wo an das Netz keine Filterkreise angeschlossen sind. Die Grundwellenverschiebung des Synchronsignalfilters ist <Psz = 1[/3. Aus der Abb. 4 ist gut
feststellbar, daß die Erhöhung der Netzimpedanz, der Schittfrequenz und des
Laststromes das System labiler macht. Für den Aufbau des Zündgerätes ist
kennzeichnend, daß ein Teil der Eigenwerte auch vom Steuerwinkel abhängig
sind. Die ungünstigste Situation ergibt sich beim WechselrichterkippenGrenzwinkel.
Bei der Berechnung der Abb. 5.b wurde angenommen, daß an das
Speisenetz ein Kondensator von solcher Größe angeschlossen ist, daß die
Parallelresonanzfrequenz des durch die Netzinduktivität und Kondensator
gebildeten Schwingkreises gleich 450 Hz ist (Abb. 5.a). Die Berechnungen
wurden in zwei Fällen durchgeführt, bei grundwellen-ohmschen Widerstand
und bei einem Netzwiderstand, der dem Skin-Effekt entsprechend vergrößert
wurde.
Anhang. (Die ausführlicheren Berechnungen)
Die Zustandsgleichung des Systems nach der Abb. 1.a wird mit Hilfe des
in Abb. 6 angegebenen Graphes bestimmt. Die zweckmäßige Reihenordnung
der Zweige ist die folgende:
1 - n,,, = Zweige der induktiven Zustandsvariablen, (n,,,).
(n", + 1) - (n,,, + n'n" = n l ) = Die übrigen induktiven Zweige, (n'mJ
(n] + 1) - (n] + ne,,) = Die Zweige der kapazitiven Zustandsvariablen, (nei.).
(n, + neil + 1) - (n] + /n e" + nen )) = Die übrigen kapazitiven Zweige, (nentJ.
(n,+n c +1)-(n]+n c +n R_d=Die ohmschen Zweige, (nR-J
n - n = Der Zweig des sich löschenden Thyristors, (UTh).
Die Systemparametermatrizes:
La = Die Matrix der Zustandsvariablen-Induktivitäten.
273
lfA THEJfA TISCHES !>fODELL FÜR DIE DREHSTROlfBRUCKt:
1-Lh =Lc =0;
Rh=Rc=O
2 - L h =O,5529mH;R",=28,74 m.!l
L c = 0,9211. mH; R,,=1.5,48m!1; I dN
3.-Als 2.,aber 2·l dN
I.-L h =L c=O; Rh=R<=O;
5- Als 2., aber 1,38 I dN
]
IIJ =30°)
""SJr
6
/',= 0,973 - konstant
/,- 4= O,27!j O,1.7~ konstant
-----~--------- -
------------
- -
-
--
0+-~----~~~~~--------r---------------~-1-~~C~
1257
125,7
1500
311.1
00
2
-1
3
IdN
=913,1.
I.
A
-2
5
Abb.4
L na = Die Matrix der übrigen Induktivitäten.
J.
L- [La; 0
- 0; Lna '
Ca und Cna sind die Matrizes der Zustandsvariablen- und übrigen Kapazitäten.
C=
[~a; ~nJ ist die resultierende Kapazitätsmatrix
274
A. K.4.RP.4Tl
R=
[~nR
l'
Ci
"I.
~J ist die resultierende Widerstandsmatrix, wobei RnR - 1
die Widerstandsmatrix der ohmschen Zweige, ausgenommen den Zweig U Th ist.
d er Generatorspannungen.
uT =[u T _, UT
=, u ·
] 1st der Vektor
g
---
g
g
th
U;nR-I
B = [B hi , B1mi , Bca , Bena , RnR -
l'
RTh ] ist die Schleifenmatrix
t 35,811.50 Hz
25
Lh =0.5529mH;
5, = 225 MYA/5.3kY
Rh1 =28.71. mfl j
Cp =223.7 flr: j
Qc=2.789MYAr
1- Rh1
2 - 4.5x Rn1
20
15
5
OL-----~----------~----------~~----~--.
240
300
400
500
f. Hz
Ahh.5.a
275
MATIIE,IfATlSClI/:"S MODEI.L FÜR 011, DRElIS7ROMBRÜCKE
+j
5'
-..2'
f
-1
3'
..
,,'
f..~
---- -------
...5'
2
5'
5
'- berechnet mit L.,5 Rh1
<..Je
Abb.5,b
=
~
31L.1/sec-1
1257/seC-2
628.3/sec-3
31L.,1/sec- L.
125,7.sec-5
+
276
A. KiRP.-iTi
25'
24'
23'
el
01.
13'
--
4
---
-
3
--
11
L s1
6
5
L sn 12'
8'
7' Rsz
37' 36'
1L
2
28'
1
27' 39'U
Th
d
26'
35'
(
RS1
31' 30'
Cs1
20' 15'
S1
34' 33' 32'
14' Csn
Csz
21' 17' 16'
22' 19' 18'
0)
5Z
Sn
~
R
<0--
b)
Abb.6
K* = [Km,
matrix.
K~a,
Kta, Ktmi, K;R-I, KfhJ ist die modifizierte Knotenpunkt-
Der Vektor der Zweigspannungen ist:
T
[T
T
T
T
T
T
T
TJ
U = Uhi, Ulmi, Ucsi!, Ucsni, Ucsnil, Ucszmi, UnR - I , UTh
Der Vektor der Zweigströme ist der folgende:
Die Zustandsgleichung des Systems wird unter Anwendung der Schleifen- und Knotenpunktgleichungen folgenderweise bestimmt:
Die Knotenpunktgleichung ist:
K*i=O
Nach Umordnung der Knotenpunktgleichung erhält man den folgenden
Ausdruck:
.
K*-lK*'
ll,C,R, = I,C.R
I" lla
277
MATIII:".HAT/SC/I1;"S A!OIlEU, FÜR Illl;' f)REIlSTROMBRUCKE
Die Schleifengleichung ist:
Bu=ü
Nach Umordnung der Schleifengleichung, und bei Berücksichtigung der
folgenden Zusammenhänge:
[_1.] ..
dUca =
dt
Ca
lea
ergibt sich die Zustandsgleichung des Systems nach Abb. 1.a und 6 in der
folgenden Form:
l
ld;;' lB~*[zr -BL'O-'BC* l[~:J [BL'7
hi
\ di
+
-
'----v---'
x
A
dx
oR },"OR-. +
B
d!
+[
BL* lBTh]
0
U Th
wobei
*ER - B nR - 1 R nR
BC* =
B cü
1 [(K
*
* 1 vonderReihek* nR+1
1i,) J b'
K
R'h
I.C,R
IS zur
el e k'"
r._ 1
1
+ BcnüS
_1 ] = [_1]. [(K* 1 K>i:)
[ Cr
CÜ
1.C.R la
IJ von der Reihe nlmi + 1
bis zur Reihe nln,i + n cü
sind und k* = k - 1 ist, (k = Anzahl der Knotenpunkte).
Den Zustandsvektor ausführlicher geschrieben erhält man aufgrund von
x T = [i~, uJaJ die folgende Form:
i;~1
, u csn2 ,
U csz 1 , U csz2
J
278
A. K.4RP,4T/
c' "I.
°
Weil am Ende der Überlappung ic2 = ist, kann der Vektor kT in der folgenden
Form geschrieben werden:
kT = [0, 1, 0, 0, 0,0, ... , 0, 0, 0, 0, ... , 0, O,J
Die resultierende P Matrix kann aus den P 2 Matrixen diagonalweise
zusammengelegt werden, wobei
P2
[~- ~ ]
ist.
Außerdem unter Berücksichtigung von
U~,nR-l = [u g1 , u g2 , U g 3' 0, 0, 0, 0, 0,0, ... ,0,0,0,0,0,0, UbJ
und
kann
BUg. nR - 1= BUg 1.2 + CU b
geschrieben werden,
wobei
ist.
Weil u g1 und u g2 verschobene Sinusfunktionen sind, erhält man endlich
die folgende Form:
BUg, nR - 1 = B1g(t) + CU b
wobei gT(t)=(cos (wt), sin (wt) ist.
Die Berücksichtigung des id-Filters im Gleichstromkreis
Der Filter ist ein Verzögerungsglied erster Ordnung, dementsprechend
ist seine Zustandsgleichung die folgende:
1
du idv
Cit =
-
1 .
Ts Uidv + Ts 1dRs
Durch die Ergänzung der ursprünglichen Zustandsgleichung ergeben
sich die folgenden Ergebnisse:
X *T -
0'
-
[x T
0'
,
U idv
J
279
MATHEMATISCHES MODELL FCR DIE DREfiSTROMBRUCKE
1
B*= [B J.
1
0'
C*= [CJ.
0 '
k~T = [k~, OJ;
0J
P*= [P;
O', 1
kT* = [kr, 0J
SO ist die, auch den id-Filter berücksichtigende Zustandsgleichung die
folgende:
dx*
dt = A*x* + B*g(t) + C*U b + k*u
U
Th
Die Berücksichtigung des Pl-Stromreglers
Das Ausgangssignal des Reglers ist:
Die Zustandsgleichung des Reglers ist:
Die modifizierte Zustandsgleichung des Systems ergibt sich m der
folgenden Form:
dx**
-dt- =A**x**+k
U.Ida +B**g(t)+C**U
.
S
1
b +k**u
U
Th
wobei
A*;
A**=
[ 0;
0].
-1
T
B**= [BIJ.
0'
'1
C**
[
C*J .
°'
I
k**T
= [k*T
0J'
u
U"
e**
= [e*
OJ'
1
I"
T
1
ks =0, ... , O'T
I
sind.
Und endlich
k**e**
U
1
V** -- E - e**k**
1
U
•
t
1S.
.~
P"'~=
0J
[p**;
0 ; 1
280
A. K.4RP,in
cl
111.
Zusammenfassung
Der Artikel beschäftigt sich mit der mathematischen ModelIierung der am schwachen
Netz arbeitenden Drehstrombrückenschaltung. Eine Methode wird zur Bestimmung der
Zustandsgleichungen angegeben. Nach der Bestimmung des stationären Zustandes wird die auf
kleine Änderungen linearisierte Zustandsübergangsmatrix des untersuchten Systems aufgeschrieben und so eine Methode zur Untersuchung der dynamischen Eigenschaften des Systems
angegeben. Die Anwendbarkeit der Methode wird mit Hilfe einiger Berechnungsbeispiele
gezeigt.
Literatur
I. R.kz 1.: Tirisztoros villamosgep-kapcsohisok szamitasa miltrixokkal. I. Erösaramü
elektronika konferencia, Budapest, 1970.
2. KARP,\T1 A.: Gyenge halozaton müködö hilromfilzisü ilramirilnyitok illlandosult üzeme.
Elektrotechnika 72, 345, /979.
3. MAGYAR P., LAKATOS L.: Aramiranyitos rendszerek szabillyozasa, Tankönyvkiado, Budapest, 1978.
Dr. Attila KARPATI
Imre IpSITS
Dr. lmre HERMANN
Dr. Peter MAGYAR
1
1521 Budapest