Zeitschrift für Naturforschung / A / 12 (1957) - ZfN - Max

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Abschließend sei noch e r w ä h n t , d a ß m a n die hier
wenn nicht besondere Kristallanisotropien vorliegen,
durchgeführte R e c h n u n g natürlich ebensogut für Lö-
h a b e n die Energieniveaus des Systems w i e d e r u m die
cher i n einem fast besetzten B a n d wie f ü r Elektro-
Form
nen i n einem fast leeren B a n d
chen bleiben. Unübersichtlich w i r d die S i t u a t i o n n u r ,
k ö n n e n . M a n hat d a n n i n
(1)
1 — n 2 k u n d n-2h durch 1 —
hätte
durchführen
lediglich
durch
wenn ein U n t e r b a n d fast leer, das andere fast besetzt ist. Dieser Fall w u r d e jedoch nicht betrachtet.
zu ersetzen.
= — a h 2 bis auf eine
D a a m oberen B a n d r a n d
( 1 ) , woraus folgt, d a ß die Resultate die glei-
belanglose K o n s t a n t e gesetzt werden k a n n
(a>0),
Herrn Prof. Dr. G. HEBER danke ich herzlich
wertvolle Anregungen.
für
Zur Theorie des Ferromagnetismus
II. Das Heisenberg-Modell
Von
KLAUS M E Y E R
Aus dem Theoretisch-Physikalischen Institut der Universität Jena
(Z. Naturforschg. 12 a, 797—804 [1957] ; eingegangen am 13. Mai 1957)
Es wird gezeigt, daß man die Energieniveaus des HEisENBERG-Modells für ein Ferromagnetikum
(Spin 1/2 pro Atom) durch Quasiteilchen darstellen kann, die der FERMi-Statistik gehorchen. Die
thermodynamischen Zustandsgrößen des Systems werden unter Berücksichtigung der Wechselwirkung
dieser Quasiteilchen beredinet. Die Resultate werden mit denen verglichen, die man erhält, wenn
man das System für den Fall positiven Austauschintegrals durch wechselwirkungsfreie Quasiteilchen
darstellt. Darüber hinaus wird angedeutet, was für Quasiteilchen zu erwarten sind, wenn mehr als
ein „ferromagnetisches" Elektron pro Atom vorhanden ist und gegebenenfalls Bahnmomente zu
berücksichtigen sind.
F ü r die folgenden Untersuchungen w ä h l e n wir das
D a b e i zeigt sich, d a ß auch die LANGEViNsche Theo-
HEITLER—LoNDON-Modell f ü r einen ferromagnetischen
rie des P a r a m a g n e t i s m u s in ihrer an die Quanten-
Kristall m i t n u r
einem
Valenzelektron
pro
Atom
a u ß e r h a l b abgeschlossener Schalen, das wir außer-
theorie angepaßten F o r m als eine A r t
Spinwellen-
theorie interpretiert werden k a n n . Andererseits soll
dem noch i n der N ä h e r u n g der Energieschwerpunkt-
ü b e r p r ü f t werden, welche Resultate m a n erhält u n d
methode b e h a n d e l n werden. Dieses M o d e l l w i r d ge-
wie weit diese brauchbar sind, wenn m a n das System
wöhnlich als HEisENBERG-Modell bezeichnet. Natür-
genähert
lich bedeutet es eine starke I d e a l i s i e r u n g der Wirk-
darstellt (vgl. A n m .
durch wechselwirkungsfreie
3
Quasiteilchen
).
lichkeit, ist aber andererseits g e n ü g e n d einfach gebaut, u m
den verschiedensten
Näherungsmethoden
1. Das
Modell
leicht zugänglich zu sein.
Insbesondere soll hier die üblicherweise benutzte
M o l e k u l a r f e l d m e t h o d e einer A n a l y s e unterzogen werden, u n d
zwar unter besonderer
D a s hier benutzte M o d e l l w i r d beschrieben durch
den DiRACschen Austauschoperator
§ =
Berücksichtigung
B
der Tatsache, d a ß m a n die angeregten Zustände des
betrachteten M o d e l l s durch gewisse FERMi-Quasiteil-
H
chen darstellen k a n n , wie dies i n allgemeinerer F o r m
Magneton, 3
schon f r ü h e r
2
gezeigt w o r d e n ist. D e r Beweis da-
für w i r d i n diesem gegenüber der früheren Arbeit
2
ist
das
Z ® n n
äußere
n
2 A«[email protected]©m.
n, m
Magnetfeld,
BOHRsche
der Spinoperator des an dem Gitter-
platz Tt sitzenden Elektrons. D a s
7nnt = /
JUQ das
(D
zwischen
den Elektronen
Austauschintegral
auf
den
Gitter-
vereinfachten Fall nochmals i n anderer Weise durch-
plätzen n u n d nt soll n u r f ü r nächste N a c h b a r n v o n
geführt werden.
N u l l verschieden sein u n d f ü r alle ü b r i g e n Konfigu-
1
D.
2
K.MEYER,
FRANK,
Z.
Z.
Phys. 146, 6 1 5 [ 1 9 5 6 ] ,
Naturforsdig. I I A , 8 6 5
3
W. L.
BONTSCH-BRUJEWITSCH,
Fortschr. Phys. 3, 408 [1955].
[1956].
Dieses Werk wurde im Jahr 2013 vom Verlag Zeitschrift für Naturforschung
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rationen verschwinden. Insgesamt habe der betrachtete Kristall 2 N A t o m e .
I n der N ä h e r u n g der Energieschwerpunktmethode
mit
v
= 2 H juB V (n\r - n2r )
/•= l
E (njr )
4
erhält m a n f ü r die Energiezustände des betrachteten
k fc>
Systems aus (1)
N
2
V
y (n\r-n2r)
r= 1
(5)
schreiben k a n n .
/
D a b e i wird summiert über alle m ö g l i c h e n Konfigu(p bedeutet die Z a h l der nächsten Nachbarn
eines
A t o m s ) . D a s bedeutet, daß alle Energiezustände, die
zu einem bestimmten Eigenwert der z-Komponente
des Gesamtspins gehören, auch die gleiche Energie
haben. Setzt m a n f ü r die Eigenwerte der z-Komponente des Gesamtspins
rationen, in denen die Z a h l e n nXr u n d n2r
unabhän-
gig die Werte 0 u n d 1 a n n e h m e n k ö n n e n . M i t anderen Worten wird behauptet, d a ß m a n das betrachtete
System auffassen k a n n als aus Quasiteilchen variabler A n z a h l zusammengesetzt, die der FERMi-Statistik
gehorchen. I n engem Z u s a m m e n h a n g d a m i t steht die
schon f r ü h e r 1 ' 2 festgestellte Tatsache, d a ß m a n
ii
so k a n n m a n
die zugehörigen
Energiezustände
in
tenden
„Spinwellen"
als
Quasiteilchen
weis
= -2H
uh (N-n)
-
k
®(N-n) 2
(2)
für
den
hier
behaupteten
D a z u wird ein Zustand m i t bestimmter z-Kompo-
k& =
pl/2
V {nlr — n2r ) = N — n . M a n k a n n einen derart
r
gekennzeichneten Z u s t a n d dadurch realisieren, d a ß
tem
Jeder Z u s t a n d , der zu einem bestimmten n gehört,
ist
(2 N) -fach entartet, denn zu 5 = — (N — n ) gibt
m a n aus den N Zahlen nir
es
(2 AO
Zahlen herausgreift, die 1 sind
des
HAMiLTON-Operators
( 1 ) , wenn m a n die B e d i n g u n g beachtet, daß diese
Eigenzustände
der
Operatoren
Eigenwert 1/4 sein müssen
(®2)2
zum
(pro Gitterplatz ist ge-
n a u ein unkompensierter S p i n v o r h a n d e n ) . I n an-
Null)
den N Zahlen n2r
gibt
N
es
\ _ [
+ n/
\2
ten. Insgesamt gibt es also
K p-l\'
verschiedene Arten die Spins an n Gitterplätzen umW i r sehen n u n das betrachtete System als Mitkanonischen
Gesamtheit
sehr
vieler
gleichartiger Systeme an. D a n n lautet die Zustandssumme
2N
z= y
etwa p
,N)
p-N
+ n Zah-
N
N-n-p
—
Möglichkei-
2N
<«
Realisierungsmöglichkeiten. g(N — n) ist aber genau
das in
(3)
Zustands6
vorkommende
statistische Gewicht
des
E(n).
Es ist klar, daß die hier angestellten Überlegun-
2N
2 flH un (N-n)+ß(k6IN)(N-ny
(3)
gen automatisch auch f ü r die der Q u a n t e n t h e o r i e angepaßten F o r m der LANGEViNschen Theorie des Paramagnetismus gelten, S p i n 1 / 2 p r o A t o m u n d
2. Einführung
von
FERMi-Quasiteilchen
5
Es w i r d n u n behauptet, d a ß m a n die Zustandss u m m e ( 3 ) in der F o r m
V
Man vergleiche dazu Anm. 2 . Dort ergab sich
Energiezustände der linearen Kette
E= —2H
e -ßE(n j r )
(4)
n i r = 0,1
4
sind
— , aus
I f ö U ' J - i v j
kehren k a n n .
einer
, N)
Möglichkeiten
( r = 1, 2, ...
ausgehend v o n dem Z u s t a n d S = —N
j
...
(die anderen
len, die 1 sind (die restlichen sind wieder N u l l )
dafür
auf
{r =\,2,
— d a f ü r gibt es
schaulicher F o r m u l i e r u n g k a n n m a n sagen, d a ß m a n ,
glied
kann
nente des Gesamtspins betrachtet, d. h. m i t bestimm-
setzt.
Eigenzustände
Sachverhalt
durch eine einfache A b z ä h l u n g geführt werden.
schreiben, wenn m a n noch
auch
auffassen
k a n n , die der FERMi-Statistik g e h o r c h e n 5 . D e r Be-
der F o r m
E(n)
die
bei der strengeren B e h a n d l u n g des M o d e l l s auftre-
S. W. W O N S O W S K I , Die moderne Lehre vom Magnetismus,
Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1956.
6
uB (N - |>fc )
- i
komfür die
{N-£»*)*,
wobei die nk Besetzungszahlen für die dort eingeführten
Spinwellenzustände sind. Ersetzt man die Hälfte der nk
durch 1 —nk', so erhält man formal das gleiche Resultat
wie in Gl. (5).
Vgl. Anmerkung S. 799.
3. Mittelwerte
pensierte B a h n m o m e n t e vorausgesetzt. D e r F a l l , daß
die A t o m e
höhere
Spinmomente
haben,
wird
für die Besetzungszahlen
im
und
deren
Produkte
A n h a n g behandelt, dabei zeigt sich, d a ß die d a n n
auftretenden Quasiteilchen intermediären Statistiken
Berechnet
man
die
thermodynamischen
Mittel-
gehorchen. D i e Verallgemeinerung dieser Resultate
werte der M a g n e t i s i e r u n g , des Quadrats der Magne-
f ü r den F a l l des Ferromagnetismus soll hier jedoch
tisierung u n d der Energie aus
nicht durchgeführt werden.
einfach
(M)
= /-iB ZT,
(nlr - n2r )
U=
(E{njr ))
\ ,
[M2) = UB2
(7)
= -2///cb
Y
(.nlr -n2r )
A
. r
G a n z allgemein w i r d dabei die Bezeichnung (A(n\r ,
n2r ))
< [2
l r
( 4 ) , so erhält
man
(8)
(nlr -n2r )
[Y
(»ir-«2r)
2\
(9)
f ü r den Mittelwert von A (n\r , n2r )
wie auch i m
folgenden i m m e r benutzt:
(A{nlr ,n,r ))
=
Zur
Berechnung
Kenntnis
der
der
interessierenden
Mittelwerte
(njr)
und
e~ ßE( nir,
y A(nlr ,n0r )
njr
'
nf / )
w i r i n den Bezeichnungen
liT)
<»*>- 1 / 1 + ^ - .
/
im
Man
und
erhält
ist
also
in
ausreichend.
für
(10)
i njr nj'r'
)
zUr)(i'r')
•^nn
>z(jr)U'r')
i in
. £(;>)(;'r')
t oi
e
~ß<ir)
5 Z(ir) =
£</r)
,0»
~
( 1 2 )
folgen
(n;
. «r(ir)tf'r') '
• 11
gleichberechtigt sind, erhält m a n
=
?
<>,0 = 0 , 1 . ( 1 3 )
bedeutet E(nlr ,n.2r )
E(nlr ,n2r )
m i t njr = 0 , E[''
j m
(14)
Z ij»)+Zi iN)
u n a b h ä n g i g v o n r . Ferner ist natürlich
Z-Zjp +Z p ,
r=l,2,...,A.
(15)
bedeutet
Z u r Berechnung v o n Z{(liV) überlegt m a n sich folgen-
m i t n j r = 1 , der Index (/>) a n den ent-
des: I n Z £ N ) w i r d über alle Zustände s u m m i e r t , bei
sprechenden
Summenzeichen
besagt,
daß
über
n ; > = 0 , l aussummiert worden ist. Entsprechend bedeutet E (Ja r)U' r,)
i n ( 1 3 ) E(nir ,n2r )
ny/ = o , der Index
(jr) ( f r )
m i t njr = Q u n d
am
Summenzeichen
ist. E i n e n Z u s t a n d E(nlr ,
denen
( n l r — n~2r ) =N
festem ^
r
nlr
a u s s u m m i e r t worden ist.
die ü b r i g e n
Es sei noch ausdrücklich auf folgendes hingewiesen: Das
hier benutzte Verfahren, durch das die Natur der Quasiteilchen bestimmt wurde, die das betrachtete System darzustellen gestatten, beruht im Grunde genommen auf einer
Abzahlung der Zustände des Systems. Wenn audi das Resultat, das man dabei erhält, nicht eindeutig zu sein
braucht (man vergleiche dazu Anm. 5 ), so kann man sicher
in vielen Fällen durch ein Abzählverfahren wertvolle Hinweise auf die Natur der betreffenden Quasiteilchen be-
n.2r ), der zu
— n gehört, k a n n m a n da-
durch realisieren, d a ß m a n aus den N — 1 Zahlen
besagt, d a ß über die betreffenden Besetzungszahlen
6
für
setzungszahlen. D a alle Z a h l e n /, r f ü r r = 1 , 2 , . . . , N
und
E\j
(dabei
die
ist
7<i r)U'r')
z
( njr ) =
r)
Falle
letzteren
W i r berechnen zunächst die Mittelwerte der Be-
Y<ir)
ur)wn
diesem
diese Mittelwerte
7
z
Bei
wesentlichen KASCIILUHN 7 )
D a b e i ist
ZUr) =
n2r).
njr
Mittelwerte
erforderlich
wegen n j r 2 = n ; > i m folgenden r=/=r' zu n e h m e n .
j —f
e~ ßE( Hir,
/£
/
thermodynamischen
( ,
n2r)
"
7
(r=
1, 2 , . . . , N — 1) p herausgreift, die 1 sind,
sollen verschwinden, u n d
aus den N
kommen. Wesentlich an dem hier behandelten Modell ist,
daß es dieselbe Struktur wie das kompliziertere, durch
den DiRAcschen Austauschoperator beschriebene hat, nicht
bezüglich des Energiespektrums, sondern bezüglich der
Basisvektoren, die den HiLBERT-Raum aufspannen. Das erklärt, daß man in beiden Fällen Quasiteilchen, die der
FERMi-Statistik gehorchen, zur Beschreibung des Systems
verwenden kann.
F . K A S C H L U H N , Ann. Phys., Lpz. 16, 2 5 7
[1955].
Zahlen n2r
chen sind wieder Null. D a f ü r
bzw. (
z (jN)(j,N-l)
(r = 1, 2, . . . , N) p — N + n , die restli-
N
JN
) = I
'
hat m a n
) Möglichkeiten.
(njr Tij/) =
^
Ins-
r) ; (njr njr ) =
(r
z
(njr )
Z flA)(2A)
(nlr nlr -)
gesamt kann m a n den betrachteten Zustand also auf
y.C-
N
2 N - l
J\2N-p-n
71-1
v
,=0 \ p
Mit Hilfe der zur Berechnung von Z[/ A l angewandten Methode weist m a n nun nach, daß
2/V—2 /
_ 7 (1A)(2A) _ V l' 2 ! V —2
^/ ,
.
—^10
~
7(1A)(1,A-1)
verschiedene Arten realisieren. Daher ist
9JV ,
,
2 A'-l
e -ßE{n) ?
z r } = Y
n-l
n=1
2A ,
Z(2A)(2,A-1) = Z (1A)(2A) =
z tmJY(
~ \e«=o '
_ 7 (1A)(2A) —
_ V
—^00
ZJ
ßE{n)
n
.
Die Berechnung von ZQ2A
7i = l
>
und
gestaltet sich
zf
+
=
zf
N )
=
ZQ
N)
nir ')
+
r, r'
r) + (n2r ))=N,
(19)
J](n2r n2r ')
r r'
= N 2-2N{N-l){nlN n2N )
so daß wegen
(8)
Kenntnis von (nlN
ständen durchaus nicht fixiert ist.
von
Führt m a n noch ein
"
G(Z,V)
e 2 nN-h-n)+(r,IN)(N-l-n)*
=
(9)
(20)
zur Berechnung
der
"
n2N )
genügt. Unter
2N—2\
£
2i(AT-l-w)+
Einführung
' (Ar-l-w)2
71 = o
_
n=o
und
,
uns interessierenden thermodynamischen Größen die
ist, obwohl ihre Gesamtzahl in den einzelnen Zu-
2 iV-1
w
(«2A'^2,iV-l) +2{n1tf7l2jv) = 1 .
(16)
d. h., daß die mittlere Anzahl der Quasiteilchen fest
2A-1
2 TV — 1 \
n-l / 6
Wegen ( 1 6 ) , (18) u n d (19) ist n u n ferner
Daraus folgt sofort
2(("i
e-ßE{n)
ist. Daraus folgt sofort
analog. M a n erhält
N)
/2 TV — 2 j
2A-1
7(1A)(2A)
l
J
n = 2 \ n~ 2
u n d wegen (15) erhält m a n sofort
2N
-
M= 0
kann m a n schreiben
so kann m a n
iA
f +
m i t x = ßE
Fx
<n l r ) = 1 /
2 AT'
l+e-2®
F[x
F\X
(n2 r) = 1 /
+
+
1
F
schreiben mit x = ß H
Z«r<- m=e-** +VxG(x-- yN ,y)
/v' y
9
x
(17)
2N'
2 ~N'
n2 y)
- i / L+
/
r
6
G(x,y)
)
2 N*
, y = ß k 0 .
lich. M a n erhält zunächst wegen der Gleichberechti-
{r = \,2,...,
(nlN
(21)
Die Berechnung von (11) gestaltet sich ganz ähngung aller Zahlen jr
«B u n d y = ßk & wie oben. D a m i t er-
hält m a n letzten Endes
N)
4. Thermodynamische
rung,
spontane
Mittelwerte
Magnetisierung
für
und
MagnetisieEnergie
D i e uns interessierenden thermodynamischen Zustandsgrößen des Systems sind n u n leicht zu erhal-
<M4>
<M2>2
ten. A u s ( 7 ) u n d ( 1 7 ) ergibt sich f ü r den Mittelwert
der M a g n e t i s i e r u n g
M=
u n d der Bequemlichkeit halber direkt berechnet aus
(M)
< XFhiN>y)-*~ XF{*-2N>y)
= 2N,uB~TAr
—
V
"
-
f ,
4 N 2/u 2B T
3
(M 2) 2
36
(22)
[AI 2
(25)
w i r d sich f ü r den Fall, daß ( M 2 ) merklich von N u l l
F ü r den Mittelwert des Q u a d r a t s der M a g n e t i s i e r u n g
verschieden ist, als sehr klein erweisen. W i r werden
erhält m a n aus ( 8 ) , ( 2 0 ) u n d ( 2 1 ) unter Vernachlässigung v o n Größen von der O r d n u n g V
m&v=VWT
als spontane Magnetisierung bezeichnen. E i n e vern ü n f t i g e Bedeutung hat dies zwar zunächst n u r f ü r
während sich d a n n die mittlere E n e r g i e aus
(9),
(M 2)
den Fall H = 0 , da
ein Mittelwert über alle
Einzelsysteme ist, die m i t beliebiger M a g n e t i s i e r u n g
( 2 2 ) u n d ( 2 3 ) berechnen l ä ß t :
auftreten k ö n n e n , wenn auch m i t verschiedener zugehöriger Wahrscheinlichkeit.
k
U=-H(M)-
J2
(M-) .
4 N2/ib
zeigen,
daß
schon
Es w i r d sich jedoch
unverhältnismäßig
kleine
Fel-
der H die Wahrscheinlichkeit f ü r das Auftreten von
M a n erkennt sofort — m a n hätte das natürlich auch
Systemen, bezogen a u f die kanonische
unmittelbar
kön-
m i t einer Magnetisierung antiparallel zu H so stark
— in Zu-
herabdrücken, d a ß Af sp praktisch als spontane Ma-
aus der Z u s t a n d s s u m m e
ablesen
nen — , d a ß die mittlere M a g n e t i s i e r u n g
k u n f t einfach als M a g n e t i s i e r u n g bezeichnet
— für
H = 0 verschwindet.
Gesamtheit,
gnetisierung des Einzelsystems auch bei allen Werten des äußeren Feldes H angesehen werden, k a n n .
I h r relatives mittleres S c h w a n k u n g s q u a d r a t ,
ge-
geben durch
M a n m a g dieses Verhalten, das auch v o n EPSTEIN
8
in der Spinwellentheorie festgestellt worden ist, viel-
M2
(24)
-1
leicht folgendermaßen interpretieren. D i e kanonische
Gesamtheit m i t ihren vielen Einzelsystemen ist nichts
anderes als ein A b b i l d eines Festkörpers, der aus
wird daher
— von der Feldstärke H a b h ä n g i g —
f ü r H = 0 sogar unendlich g r o ß . D a s bedeutet aber,
d a ß M keine f ü r das Einzelsystem
charakteristische
Größe sein k a n n , wenigstens i n der hier dargestellten B e h a n d l u n g . E i n e B e d e u t u n g k a n n M n u r h a b e n
f ü r die Beschreibung des mittleren Verhaltens einer
Gesamtheit
der
sehr
vieler
kanonischen
Systeme
Gesamtheit
entsprechend
zugrunde
der
liegenden
Idee, wobei aber das Einzelverhalten v o n System zu
System großen Schwankungen unterworfen sein m a g .
Sicher aber k a n n m a n M nicht dazu benutzen, u m
den F e r n o r d n u n g s g r a d
— die f ü r die Ferromagne-
vielen magnetischen Elementarbereichen v o n fester
G r ö ß e besteht. D i e Mittelwerte über die kanonische
Gesamtheit sind gerade die G r ö ß e n , die m a n an diesem makroskopischen
(natürlich sind auch die Ein-
zelsysteme auch i m m e r noch makroskopisch zu nenn e n ) System messen k a n n . I n diesem S i n n e ist d a n n
die Magnetisierung
H = 0,
da j a
des großen
Systems N u l l
alle Zustände gleich
sind, die eine Magnetisierung
für
wahrscheinlich
verschiedener
Rich-
t u n g , aber von gleichem Betrag h a b e n . M =
M(H)
wäre d a n n m i t der Hysterese des realen Festkörpers
zu vergleichen.
tika so charakteristische G r ö ß e — zu kennzeichnen.
Es darf natürlich
Andererseits ist M i m S i n n e v o n
nicht behauptet
diese eben dargestellte Interpretation
M=
-
3F
3H
mit
F
werden,
daß
des hier be-
nutzten Rechenverfahrens ein A b b i l d der physikali-
k T log Z
schen Wirklichkeit wäre, vielmehr k a n n sie n u r den
konjugierte Zustandsgröße zu dem äußeren Magnet-
W e r t einer Plausibilitätsbetrachtung h a b e n , die die
feld H, was die oben eingeführte Bezeichnung recht-
auftretenden Eigentümlichkeiten verständlich macht.
Man
fertigt.
Z u r Kennzeichnung des F e r n o r d n u n g s g r a d s
tet sich dagegen
(M 2)
bie-
weiß j a , daß die D i n g e
heblich komplizierter
in W i r k l i c h k e i t
liegen. So haben
an. D a s zugehörige mittlere
Schwankungsquadrat, gegeben durch
8
P. S.
EPSTEIN,
Phys. Rev.
41,
91 [1932].
die
er-
realen
magnetischen
Elementarbezirke
keine feste
len eine erhebliche R o l l e , ebenso die äußere Oberfläche
u n d Abweichungen
v o m realen
Kristallbau.
I m Gegenteil dürfte die A n a l o g i e , die hier besteht,
9
rein zufälliger N a t u r s e i n . Es sei hier noch
einen U m s t a n d ausdrücklich
o = %$oy.
Größe,
BLOCH-Wände u n d die magnetische Anisotropie spie-
auf
hingewiesen:
Da nun
die in
Zustandsgrößen, dagegen w o h l M, m a n möchte sahat.
Das
ändert
einem Schlag, wenn m a n , wie auch in
standssumme
nur
etwa
unter
n
sich
,
Benutzung
mit
die Zuder
Zu-
stände konstruiert, f ü r die die Magnetisierung größer oder gleich N u l l ist, H = 0 vorausgesetzt. D a n n
ist M zu H konjugierte Zustandsgröße u n d gleichzeitig charakteristisch
für
das Einzelsystem.
Dann
Man
erhält
Vernachlässigung der
Aus-
für
F<@
(0>O)
unter
MSP = 2 A j u B Z § o ®
(27)
M = MspZqM^tH-
(28)
und
unter Vernachlässigung der A b h ä n g i g k e i t der spontanen M a g n e t i s i e r u n g von H .
dabei, d a ß h(n)
Fall 0 < 0
[Man
berücksichtigt
zwei M a x i m a hat.] F ü r F > ( 9
ist d a r i n enthalten)
(der
erhält m a n in der
gleichen N ä h e r u n g wie in der WEISS sehen Theorie
für die paramagnetische Suszeptibilität
ist auch A/ = A/g p , es stehen j a n u r Systeme m i t
renz. D a r a u f soll jedoch nicht weiter
eingehenden
eine ähnliche S t r u k t u r
//-Abhängigkeit
2
gleicher R i c h t u n g der Magnetisierung zur
(23)
h a b e n wie Z , k a n n m a n sie nach derselben M e t h o d e
behandeln.
gen, etwas unberechtigt, da M für das Einzelsystem
direkt keine B e d e u t u n g
und
drücke F ( £ , Yj) u n d G{£,r))
I n der hier gebotenen B e h a n d l u n g ist M s p keine
der üblicherweise i n der T h e r m o d y n a m i k benutzten
(22)
(26)
2
N [Tb
1
Konkur-
k(t-e)'
eingegangen
werden, es versteht sich von selbst, wie m a n vor-
Damit
erweist
sich
die M o l e k u l a r f e l d m e t h o d e
zu-
nächst als konsistentes V e r f a h r e n . Andererseits zeigt
zugehen hat.
( 2 7 ) , d a ß schon sehr kleine Magnetfelder genügen,
5. Genäherte
Auswertung
mit Hilfe
der
Molekular-
feldmethode
u m das ganze große System praktisch h o m o g e n zu
magnetisieren.
quadrate
H i e r soll n u r skizziert werden, was bei der Aus-
die
man
mittleren
aus
(24),
Schwankungs-
(25),
(27)
und
( 2 8 ) i m Falle des F e r r o m a g n e t i s m u s
wertung nach der Molekularfeldmethode zu tun ist.
Bekanntlich geht m a n dabei so vor, d a ß m a n
Für
erhält
_
1
Sl
das
_ ^
MSP H
'
l
N
do\*oy-y
kT
(oder die) größte ( n ) Glied (er) der Zustandssumme
womit
die
im
vorigen
Abschnitt
ausgesprochenen
B e h a u p t u n g e n belegt sind.
3h(n)/dn
nach
= 0
6. Darstellung
durch
aufsucht. W i e m a n m i t H i l f e einer A r t Sattelpunktsmethode
(vgl. auch A n m .
10
)
beweisen k a n n ,
sind
I n dem hier behandelten Falle erschwert die Wech-
diese M a x i m a i m allgemeinen sehr steil, so daß dieses Vorgehen
berechtigt
ist.
Explizit
erhält
wechselwirkungsfreie
Quasiteilchen
man
selwirkung die Berechnung der
thermodynamischen
Zustandsgrößen nicht wesentlich. Gerade das fordert
diese E x t r e m a aus
d a z u heraus, zu untersuchen, welche Resultate m a n
erhält,
Für T < 0
hat diese Gleichung drei W u r z e l n , von
denen zwei zu M a x i m a von h(n)
gehören. Sei o die-
wenn
man
wechselwirkungsfreie
Quasiteil-
chen zur genäherten D a r s t e l l u n g der Energieniveaus
benutzt, u n d
in
welchem Temperaturbereich
diese
jenige, die für H = 0 positiv ist, d a n n bestimmt sie
Resultate b r a u c h b a r sind. D a z u wird die Zustands-
gleichzeitig die spontane Magnetisierung nach
s u m m e ( 3 ) in folgender W e i s e u m g e f o r m t :
9
Der Grund dafür dürfte darin zu suchen sein, daß in der
kanonischen Gesamtheit eine schwache, nicht näher definnierte Wechselwirkung zwischen den in der Gesamtheit
enthaltenen Systemen besteht, die ein sehr stark verzerr-
10
tes Abbild der Wechselwirkung zwischen den realen ferromagnetischen Elementarbereichen darstellt.
W. H E I S E N B E R G , Z. Phys. 4 9 , 6 1 9 [ 1 9 2 8 ] ,
Y
(es sei @ > 0 ) , unerheblich, wenn n
2ßHuB(N-n) + ß k ® (N-n)-
/2
N ist. S o d a n n
w i r d in beiden Anteilen von Z die S u m m a t i o n v o n
,
n
y
(2N\
-2ßHfiB(N-n)
«=o ^
+ ßk ®
(N-n)*
/
n = 0 bis n = 2 N erstreckt. D a s läuft bei genügend
kleinem H a u f die E i n f ü h r u n g hoch gelegener fiktiver Niveaus hinaus, die das System i n Wirklichkeit
U m die Wechselwirkung zu beseitigen, w i r d i n den
(N — n)2/V
nicht besitzt; bei genügend tiefer Temperatur spielen
er-
diese jedoch keine wesentliche R o l l e . Diese beiden
setzt. D a s ist für die ( f ü r H = 0 ) tiefsten Niveaus,
N ä h e r u n g e n bedingen also die Beschränkung a u f tiefe
die in den beiden Anteilen von Z zu n = 0 gehören
Temperaturen. D a m i t erhält m a n an Stelle v o n Z
Exponenten zunächst
durch N — 2n
2N ,
Z
e-NßkQ
=
s
/ 2 N \^e2ß{ke+H^){N-n)
y
« = (K
11
e~2ß(kQ~H
+
flB)
(A'-n) j
?
'
wenn m a n in dem zweiten Term v o n Z nach D u r c h f ü h r u n g der N ä h e r u n g e n n durch 2 A ' - n ersetzt. Nach
den in Abschnitt 2 durchgeführten Überlegungen k a n n m a n n u n d a f ü r schreiben
z_e-Nßk0
V
f 2A(^+H«B)f(nlf-»i2r)
+
-2ß{kQ-H^jt^-n.^)
1
n„--=0,l l
1
Es sei bemerkt, daß sich diese D a r s t e l l u n g nicht ein-
Verhalten
deutig aus Z ergibt; die hier getroffene W a h l be-
Kollektivelektronenmodells ab (vgl. dazu
deutet,
daß
für
H = 0
die
tiefsten
Zustände
des
nlr = 1 u n d rur = 0
n
l r
erhalten
Verhalten
=
0
u n d
werden.
dem
des
STONERschen
Anm.11).
Es m a g dies d a m i t z u s a m m e n h ä n g e n , daß das hier
betrachtete System bei T = 0 W magnetisch
Systems gerade durch
b z w .
des Systems von
TU,•=
1
Das
ist, das Kollektivelektronenmodell
(r = 1, 2, . . . , V )
(r =
1, 2,
. . . ,
aber entspricht
der in Abschnitt 2
all-
gemeinen nicht.
N )
genau
eingeführten
gesättigt
dagegen i m
Für
dem
Quasi-
T> 0
bietet
die
Methode
der
Elementar-
anregungen nicht das erwünschte Resultat, als m a n
zwar das CuRiEsche Gesetz für die Suszeptibilität er-
teilchen.
D i e Mittelwerte der Besetzungszahlen u n d
ihrer
Produkte werden wie in Abschnitt 3 berechnet. M a n
hält, nicht jedoch
das CuRiE-WEisssche. D a s
mag
d a r a u f zurückzuführen sein, daß hier die Gesamtteilchenzahl nicht fixiert u n d infolgedessen das i n
erhält für H = 0
( « 1 r) = ( « 2 r ) = 1 ,
(nlr n2
11
verwendete Verfahren nicht a n w e n d b a r ist.
1
/) =
4CoP
Z u m Schluß sei noch ein P u n k t erwähnt, der bisu n d d a m i t f ü r die spontane M a g n e t i s i e r u n g
Msp = 2 A >
B
Schlußbemerkungen
7.
t
2g
her noch nicht zur Sprache g e k o m m e n ist. Bei der
nach VAN VLECK 12 gegebenen B e g r ü n d u n g der WEISS-
® .
schen Theorie wird so verfahren, d a ß m a n in dem
Man
überzeugt
sich
davon,
brauchbar ist f ü r etwa 0 ^ 7
daß
1
diese
Näherung
< 0 , 2 (9. Die
Mühe,
die m a n f ü r die G e w i n n u n g dieser Resultate auf-
HAMiLTON-Operator
©n
quadratisch
(1) einen der i n dem von den
abhängigen
Teil
operatoren direkt durch einen
stehenden
Spin-
thermodynamischen
wenden m u ß , ist schon bei diesem einfachen Schul-
Mittelwert ersetzt u n d d a n n d a m i t i n die statistische
beispiel verhältnismäßig gering. Andererseits stimmt
Rechnung
dieses Ergebnis m i t dem nach der
einen Schönheitsfehler, als es den eigentlichen phy-
Molekularfeld-
methode erhaltenen überein, wenn m a n
(26)
mit-
eingeht.
Dieses Verfahren
hat
insofern
sikalischen U n t e r g r u n d der Theorie verschleiert —
tels eines Iterationsverfahrens löst u n d sich m i t dem
mindestens in statistischer Hinsicht. U m es z u m rich-
ersten Schritt begnügt. I n diesem P u n k t weicht das
tigen Resultat zu führen, müssen Zusatzvorschriften
11
12
K. M E Y E R , Zur Theorie des Ferromagnetismus I, Z. Naturforschg. 12 a, 786 [1957], voranstehende Arbeit.
J. H.
VAN V L E C K ,
Rev. Mod. Phys. 17,
27
[1945],
eingeführt werden, die nicht unmittelbar verständ-
Führt m a n nun ein
lich sind und nur durch den Erfolg bzw. durch die
Kenntnis
eines anderen
Verfahrens
HU
£
gerechtfertigt
I =
-
J
rj
=
~
HU
werden.
£2 -
Andererseits ist natürlich nichts dagegen einzuwenden, wenn eine Theorie des Ferromagnetismus
/ 2j
z
Magnetfeld vorgegeben werden. Eine solche Theorie
wird zwar thermodynamisch konsequent durchführbar sein, aber immer phänomenologischen Charakter haben — nahegelegt durch gewisse Kenntnisse
über die mikroskopische Beschaffenheit des Systems.
=
P B
G ,
TJ
H PB
g,
so erhält man die Zustandssumme in der Form
dadurch begründet wird, daß Magnetisierung und
Energie als Funktion von Temperatur und äußerem
.
H
e
=[X ~
VjP'O
\N / 2j
ß E i n
)
/
—0
\N
/
•
Dies kann man so deuten, daß sich das System so
verhält, als bestünde es aus Teilchen, die einer intermediären Statistik gehorchen, derart, daß jedes der
Energieniveaus
und e2 , die A-fach entartet sind,
höchstens durch 2 j Teilchen besetzt werden kann.
I m übrigen ist die Gesamtzahl dieser Teilchen nicht
Anhang
fixiert. I m Falle ] = \ reduziert sich die intermediäre
Über eine Interpretation der Langevinschen
des Paramagnetismus
Theorie
Statistik auf FERMi-Statistik.
Die mittleren Besetzungszahlen sind gegeben durch
W i r betrachten einen Kristall mit 2 N Atomen mit
dem magnetischen Moment ju, das bezüglich einer
ausgezeichneten Achse, die durch die Richtung eines
M a n rechnet leicht nach, daß
äußeren Magnetfeldes H vorgegeben ist, 2 j + 1 Einstellungsmöglichkeiten
hat
quantenzahl, /.i = juB g j , juB BoHRsches Magneton,
g LANDE-Faktor). Die Projektionen des magnetischen
Moments auf diese ausgezeichnete Achse sind dann
p
Damit
(n1 ) +
(n2 )=2jN,
(/' = Gesamtdrehimpulsd. h. die mittlere Teilchenzahl ist konstant.
Das bedeutet, daß man die LANGEViNsche Theorie
des Paramagnetismus (in ihrer der Quantentheorie
angepaßten Form) ganz allgemein als eine sehr ein-
j-n
71 = 0 , 1 , . . . , 2 / .
i
fache „Spinwellentheorie"
interpretieren kann
für
Spinwellen, die einer intermediären Statistik gehor-
sind die Energiezustände
eines Atoms
in
einem äußeren Magnetfeld
E=-Hp(l
chen. Die maximale Besetzungszahl ist dabei durch
die Drehimpulsquantenzahl pro Atom vorgeschrieben. Der Betrag des magnetischen
- f j
Moments
pro
Spinwelle ist g //g , der Anregung einer Spinwelle
und die Zustandssumme für das System der 2 N
im Zustand
Atome
gnetischen Moments g/cB der einer Spinwelle im
entspricht dem Auftreten eines ma-
Zustand e2 dem Auftreten eines magnetischen Moments — g /Cß •
\n=0
/
Z wird etwas umgeformt:
/ 2j
R
„ , n \ N / 2 j
z - i j S " '
\« = U
2 >
/
\w = 0
R „n\N
0
•
/
Herrn Professor Dr. G. HEBER, Jena, sei an dieser
Stelle für wertvolle Anregungen herzlich gedankt, ebenfalls zu danken habe ich Herrn WERNER am Institut für
theoretische Physik der Universität München für eine
Diskussion über die hier behandelten Fragen.
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