Mathcad - A6_9.mcd

Aufgabe A 6.9 Magdeburger Halbkugeln
Der Inhalt der skizzierten Kugel, die aus den beiden
dicht aneinandergelegten Magdeburger Halbkugen
besteht, soll mit einer Handpumpe auf ein Drittel
des Anfangsdruckes von 1 bar reduziert werden.
(Der schädliche Raum der Pumpe zwischen Kolben und Ventil bei
F
Beendigung des Pumpenhubes und der Inhalt des Ventils sei
vernachlässigbar).
a) Welche Arbeit muss über die Handpumpe
aufgebracht werden ?
b) Kann der Prozess reversibel geführt werden?
c) Wieviel Kolbenhübe sind erforderlich?
d) Welche Kraft F wäre erforderlich, um die
beiden Halbkugeln auseinanderzuziehen?
pa = 1 bar
ta = 20 °C
D = 15 cm
dP = 25 mm
lP = 40 cm
Tipp zur Lösung: Stellen Sie sich zunächst vor, die Pumpe ist so groß, dass Sie die geforderte Evakuierung in einem
Zuge erreichen können und dann den Inhalt der Pumpe nach außen drücken! Skizzieren Sie für diesen Fall qualitativ das
p-v-Diagramm und kennzeichnen Sie die der Arbeit entsprechende Fläche!
gegeben:
DK := 15cm
p a := 1bar
p 1 := p a
1
p 2 := bar
3
d P := 2.5cm
lP := 40cm
Volumina:
 DK 
VK := ⋅ π ⋅ 
3  2 
4
3
ta := 20°C
2
dP
3
VP := π ⋅
⋅l
4 P
VK = 0.00177 m
a)
K
VK
2*V K
pa
gesamte
aufzubringende
Arbeit
3 VK
p*dV
VK
2/3 *V K
p*dV
2 VK
p2
2/3 * p a* VK
V
VK
V2
3
VP = 0.000196 m
Die innerlich reversible Arbeit kann wie folgt beschrieben werden: Man stellt sich vor, dass außen Vakuum herrscht.
Diese Annahme ändert nichts am Ergebnis, da der Kolben zum Ausgangspunkt zurückgeführt wird und sich die Arbeiten
zur Verschiebung der Atmosphäre hin und zurück aufheben. Die Volumenänderungsarbeit bei der Ausdehnung von V k auf
das dreifache Volumen wird nach außen abgegeben (rot umrandete Fläche). Auf dem Rückweg schliest das Ventil und
das Volumen V2 - Vk wird auf 1 bar verdichtet, anschließend bei 1 bar ausgeschoben. Die Arbeit des Kolbenrückhubes,
die in das Sytem hineingesteckt wird, entspricht der gesamten schraffierten Fläche. Die von außen aufzubringende
Gesamtarbeit ist die gelbe Differenzfläche.
Der außen anstehende Atmosphärendruck lässt allerdings einen reversiblen Handbetrieb nicht zu. Die Expansion ist wegen
des geringeren Innendruckes mit Kraftaufwand des Pumpenden verbunden, während bei der Kompression der Kolben
sich "von allein" zurückbewegt. Die von der Atmosphäre zurückgegebene Energie wird dabei dissipiert. Der Pumpende
muss eventuell noch Bremsarbeit leisten. Die Verschiebearbeit der Atmosphäre könnte nur dann zurückgewonnen
werden, wenn die Pumpe über eine Kurbelwelle mit Schwungrad betrieben wird. Dann ist allerdings eine isotherme
Zustandsänderung kaum zu realisieren.
Im Folgenden wird erst die reversible Arbeit berechnet (gelbe Fläche) und dann die Mindestarbeit für den Handbetrieb.
V1 := VK
V1
p ( V) := p 1 ⋅
V
V2 := 3VK
V
Volumenänderungsarbeit Expansion
⌠ 2
W1_2 := −
( p ( V) ) dV
⌡V
W1_2 = −194.141 J
1
V
1
2 ⌠
W2_3 := − ⋅ 
( p ( V) ) dV
3 ⌡V
W2_3 = 129.427 J
Ausschiebearbeit
2
W3_1 := ⋅ VK⋅ p a
3
W3_1 = 117.81 J
Reversible Gesamtarbeit
Wges := W1_2 + W2_3 + W3_1
Wges = 53.096 J
Handarbeit für Expansion:
⌠ 2
WHand := −
p ( V) − p a dV

⌡V
Volumenänderungsarbeit
Kompression
2
V
(
)
WHand = 159.288 J
1
Diese Arbeit ist genau das Dreifache der reversiblen Gesamtarbeit. Dies lässt sich damit
erklären, dass eigentlich auch nur ein Drittel des Ausgangsvolumens ausgereicht hätte,
um - bei der gewünschten Expansion auf das Dreifache - gerade das Volumen V K zu
erreichen. Bei oben skizzierten Ersatzsystem müsste dann das Ausgangsvolumen 1/3 VK
betragen, und der gewünschte Zustand wäre mit einem Expansionshub erreicht.
c) Anzahl N der Hübe bei gegebener Pumpe:
N :=
V2 − V1
VP
N = 18
Jeder Hub vergrößert das Volumen um das Volumen Pumpe
d) Die Kraft, die zum Lösen aufzubringen wäre, ist:
2
2
DK
FLö := ⋅ p a⋅ π ⋅
4
3
FLö = 1178.1 N