¨Ubungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stochastik für

Universität Duisburg–Essen
Fachbereich Mathematik/Campus Duisburg
WS 2008/2009
Prof. Dr. H.–B. Knoop
Übungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stochastik
für Studierende der Informatik
Blatt 6
Aufgabe 14
Es seien X, Y, X1 , . . . , Xm , Y1 , . . . , Yn Zufallsvariable und a1 , . . . , am , b1 , . . . , bn reelle Zahlen.
Zeigen Sie:
a)
Cov(
m
X
ai X i ,
i=1
n
X
bj Y j ) =
j=1
m X
n
X
ai bj Cov(Xi , Yj ).
i=1 j=1
b)
V ar(X1 + . . . + Xm ) =
m
X
V ar(Xi ) + 2
i=1
X
Cov(Xi , Xj ).
1≤i<j≤m
Aufgabe 15
Wir übernehmen die Bezeichnungen aus Aufgabe 10: Es seien also Ω ein endlicher Grundraum, A, B, A1 , . . . , An ⊂ Ω Ereignisse mit p(Ai ) = p(A1 ) für alle 1 ≤ i ≤ n sowie
p(Ai ∩ Aj ) = p(A1 ∩ A2 ) für alle 1 ≤ i < j ≤ n, 1C die Indikatorfunktion eines Ereignisses
C und X die Zählvariable zu A1 , . . . , An . Weisen Sie nach, dass folgende Beziehungen
gelten:
a) V ar(1A ) = p(A)(1 − p(A)),
b) Cov(1A , 1B ) = p(A ∩ B) − p(A) · p(B),
c) V ar(X) = np(A1 )(1 − p(A1 )) + n(n − 1)(p(A1 ∩ A2 ) − p(A1 )2 ).
Aufgabe 16
Sei nun X die Zählvariable aus Aufgabe 10, die die Fixpunkte einer rein zufällig ausgewählten Permutation zählt. Berechnen Sie V ar(X).
Abgabe: Bis Donnerstag, 04.12.2008, vor den Übungen im Kasten auf der 4. Etage im
LE-Gebäude