Fragen zur Algebra und Zahlentheorie

Fragen zur Algebra und Zahlentheorie
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19. Juni 2012
1. Grundlagen
Womit befassen wir uns in Algebra hauptsächlich? Womit befasst sich die moderne
Algebra? Womit befasst sich die klassische Algebra? Wie ist der Kern einer Abbildung
definiert? Was ist der Kern einer injektiven Abbildung? Was ist eine Verknüpfung?
Wie ist das Bild einer Abbildung definiert? Wie ist das Urbild einer Abbildung
definiert? Wie ist die Komposition von Funktionen definiert? Was versteht man unter
Isometrie? Was ist eine algebraische Struktur? Was ist eine Äquivalenzrelation? Was
ist eine Äquivalenzklasse? Was sind die Eigenschaften der Äquivalenzklassen? Was ist
die Menge der Äquivalenzklassen? Was sind Gruppentafeln bzw. Verknüpfungstafel?
Was bedeutet es für die Struktur, wenn eine Gruppentafel symmetrisch ist? Was
versteht man unter einer Partition? Was ist der Zusammenhang zwischen
Äquivalenzrelationen und Partitionen? Wie ist eine Abbildung bzw. Funktion
definiert? Was versteht man unter Identität? Was sind Morphismen
(Homomorphismen) und Isomorphismen? Was sind Monomorphismus? Was ist ein
Epimorphismus? Was ist ein Automorphismus? Was ist ein Endomorphismus? Was
heisst assoziativ, kommutativ?
2. Zahlentheorie
Was ist eine Primzahl? Was ist die Menge der Primzahlen? Wie lautet der Hauptsatz
der elementaren Zahlentheorie? Was besagt der Satz über Unendlichkeit der
Primzahlen? Was sind zwei befreundete Zahlen? Was sind zwei vollkommene
Zahlen? Wie ist die Sigmaabbildung definiert? Wie ist die Eulersche Phi-Funktion
definiert? Was sind die Eigenschaften der Eulerschen Phi-Funktion? Wie lautet der
Kleine Satz von Fermat? Wie lautet der Große Satz von Fermat? Wie lautet der
Chinesische Restsatz/ Simultane Kongruenzen? Was ist eine diophantische
Gleichung? Wieviele Lösungen hat eine diophantische Gleichung? Wie lautet der
Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie? Was ist eine Fermatsche Primzahl?
Was sind die Peanoaxiome? Wie lauten die Peanoaxiome? Wie lautet das Prinzip der
vollständigen Induktion? Wie ist die Restklasse modulo m definiert? Wie lautet das
Lemma von Euklid bzw. Divison mit Rest? Was ist das gemeinsame Vielfache? Wie
lautet der euklidische Algorithmus? Was heisst kongruent? Was heisst inkongruent?
Wie lautet die Goldbachsche Vermutung? Wie lauten die Teilbarkeitsregeln? Was ist
der größte gemeinsame Teiler ? Was heisst teilerfremd? Was heisst relativ prim? Was
ist die Menge aller Vielfachen bzw. Vielfachmenge? Was heisst teilbar? Was heisst
nicht teilbar? Was ist ein Teiler oder ein Faktor? Was ist das kleinste gemeinsame
Vielfache? Wie lautet das Lemma von Euklid? Wie lautet der Satz von Lagrange der
Zahlentheorie? Wie lautet der Wilsonsche Kongruenzsatz?
3. Gruppen
Was ist eine Gruppe? Was ist eine Untergruppe? Ist das neutrale Element eindeutig
bestimmt? Ist das Inverse Element eindeutig bestimmt? Was versteht man unter
einem Monoid? Was ist eine Halbgruppe? Was ist eine einfache Gruppe? Was
versteht man unter einem Gruppenhomomorphismus? Was ist ein
Gruppenisomorphismus? Wann sind zwei Gruppen isomorph? Was ist ein
Monomorphismus? Was ist eine symmetrische Gruppe? Was ist die Diedergruppe?
Wie lauten die Rechenregeln für Diedergruppen? Wann ist eine zyklische Gruppe?
Was sind Links- bzw. Rechtsnebenklassen? Was ist ein Normalteiler ? Was kann man
mit den Normalteilern machen? Was versteht man unter der Ordnung einer Gruppe?
Was versteht man unter der Ordnung eines Elements? Wie lautet der Kleine Satz von
Fermat ? Wann ist die Ordnung einer Gruppe unendlich? Was ist der Index von H in G
(sei G Gruppe und H Untergruppe)? Wie lautet der Satz von Lagrange? Was ist das
Zentrum einer Gruppe? Wie lautet der Homomorphiesatz für Gruppen? Was ist das
direkte Produkt von Gruppen?
4. Ringe
Was ist ein Ring? Was ist ein Unterring? Was ist ein einfacher Ring? Was ist ein
Ringhomomorphismus? Was versteht man unter Ringisomorphismus? Was versteht
man unter Charakteristik eines Ringes? Was ist ein Ideal? Was ist ein Hauptideal?
Was ist ein Primideal ? Was ist das direkte Produkt von Ringen? Was versteht man
unter einem linken bzw. rechten Nullteiler? Was sind Nullteiler? Was heisst
nullteilerfrei? Was heisst nilpotent? Besitzen Körper Nullteiler? Was ist ein
Integritätsring bzw. Integritätsbereich? Was ist eine Faktorgruppe ? Was ist ein
Faktorring bzw. Restklassenring ? Was ist eine Einheit? Was ist die Einheitengruppe?
Wie ist die Charakteristik eines Ringes definiert? Was ist ein
Frobeniusmonomorphismus? Was versteht man unter einem euklidischen Ring? Was
ist ein Polynomring?
5. Körper
Was ist ein Körper? Was ist ein Schiefkörper bzw. Divisionsbereich? Was ist ein
Unterkörper? Was ist ein Primkörper? Was heißt Körperhomomorphismus (oder
Körpermorphismus)? Was ist ein Unterkörper? Was ist der Körper der rationalen
Zahlen? Was sind Quotientenkörper? Haben Körper Nullteiler?