εµ εµ εµ εµ µε εµ εµ

Elektromagnetische Wellen
Die vier Maxwell Gleichungen im quellenfreien Raum
r
r r
∂E
1. ∇ × B = µ 0ε 0
∂t
r r
2. ∇ ⋅ B = 0
r r
r r r
∂ (∇ × E )
⇒ ∇ × (∇ × B ) = µ 0ε 0
∂t
r r r
r r r
r
mit ∇ × (∇ × a ) = ∇(∇ ⋅ a ) − ∆a
r
∂B
=−
∂t
r r
r r r
r r r
r
∂ (∇ × E )
⇒ ∇ × (∇ × B ) = ∇(∇ ⋅ B ) − ∆B = µ 0ε 0
∂t
=0
r
r
r
r
1
∂ 2 B ( x , t ) 1 ∂ 2 B ( x, t )
∂2B
mit
c
=
⇒ ∆B = µ 0ε 0 2 ⇒
= 2
ε 0 µ0
∂x 2
c
∂t 2
∂t
Wellengleichung
r
r r
∂B
3. ∇ × E = −
∂t
r r
4. ∇ ⋅ E = 0
eindimensionale Wellengleichung
r r
r r r
∂ (∇ × B )
⇒ ∇ × (∇ × E ) = −
∂t
r r
r
r r r
r r r
r
∂ (∇ × B )
∂
∂E
⇒ ∇ × (∇ × E ) = ∇(∇ ⋅ E ) − ∆E = −
= − µ 0ε 0
∂t
∂t
∂t
r
r
r
2
2
2
r
∂ E
∂ E ( x , t ) 1 ∂ E ( x, t )
⇒ ∆E = µ 0ε 0 2 ⇒
= 2
2
∂t
∂x
c
∂t 2
r
r
2
∂ E ( x , t ) 1 ∂ E ( x, t )
Lösung der eindimensionalen Wellengleichung
?
= 2
2
2
∂x
c
∂t
2
Ein Ansatz: E y = E y 0 sin( kx − ωt )
Testen durch Einsetzen:
∂E y
∂x
∂2Ey
∂x 2
⇒
∂E y
= kE y 0 cos(kx − ωt )
und
= −k 2 E y 0 sin(kx − ωt )
r
r
2
∂ E ( x , t ) 1 ∂ E ( x, t )
= 2
2
∂x
c
∂t 2
∂t
∂2Ey
∂t 2
2
mit c =
Wie sieht das magnetische Feld aus?
= −ωE y 0 cos(kx − ωt )
ω
k
= −ω 2 E y 0 sin(kx − ωt )
= λυ
r
r r
∂B
aus ∇ × E = −
folgt mit E y = E y 0 sin( kx − ωt ) :
∂t
 ∂E z ∂E y  

  0 − 0   − ∂B x 
−
∂z  
 ∂y
  ∂t 
 ∂E ∂E  
  ∂B y 
r r ∂ ∂ ∂
x
z
 =  0 − 0  = −
∇× E =
=
−

∂x ∂y ∂z
∂y  
∂
t
 ∂z
 

 ∂E ∂E   ∂E
  ∂B z 
Ex E y Ez  y
y
x 
−
 ∂x − ∂y   ∂x − 0   ∂t 


r r r
ex e y ez
∂E y
∂Bz
=−
= − kE y 0 cos(,kx − ωt )
⇒
∂t
∂x
⇒ Bz =
k
ω
E y 0 sin( kx − ωt ) = B z 0 sin( kx − ωt ) mit B z 0 =
k
ω
E y0 =
E y0
c
E
B
elektrisches Feld
x
magnetisches Feld
Ausbreitungsrichtung der linear polarisierten Welle
• Das elektrische Feld und das magnetische Feld stehen senkrecht aufeinander.
• Sie besitzen dieselbe Phase.
• Für den Betrag der Felder gilt: E = cB mit c =
1
ε 0 µ0
• Das elektrische Feld und das magnetische Feld stehen senkrecht zur
Ausbreitungsrichtung transversale Welle.
Übungen
Eine elektromagnetische Welle habe eine Frequenz von 100 Mhz und breite
sich im Vakuum aus. Das magnetische Feld sei gegeben als:
r
B( z , t ) = (10 −8 T) cos(ωt − kz )e x
• In welcher Raumrichtung breitet sich die Welle aus?
x-Richtung
y-Richtung
z-Richtung
• Welche Richtung hat der magnetische Feldvektor?
x-Richtung
y-Richtung
z-Richtung
• Welche Richtung hat der elektrische Feldvektor?
x-Richtung
y-Richtung
z-Richtung
• Wie groß ist die Wellenlänge der em-Welle?
6m
30 cm
3m
Die Informationen reichen nicht aus.
Experimenteller Nachweis: H. Hertz (1857 – 1894) gelang es im Jahr 1886
elektromagnetische Wellen zu erzeugen und zu empfangen.
Übergang von einem Schwingkreis zu einem schwingenden elektrischen Dipol
(Antenne)
L
L
C
C
E(t)
B(t)
Eigenschaften der Dipolstrahlung
• Die Felder sind rotationssymmetrisch um den Dipol angeordnet.
• In jedem Punkt des Feldes stehen der elektrische und der magnetische
Feldvektor senkrecht aufeinander.
• Das elektromagnetische Wechselfeld eines strahlenden Dipols ist eine
transversale Welle.
• Die Strahlung ist polarisiert.
• Die Strahlungsintensität I = P/A um den Dipol ist in der Mittelebene
senkrecht zum Dipol am größten. In der Richtung der Dipolachse strahlt der
Dipol keine Energie ab.
ϑ
sin 2 ϑ
I~
r2
Nahzone: Der elektrische und der magnetische Feldvektor schwingen mit einer
Phasendifferenz von π / 2 .
Fernzone: Der elektrische und der magnetische Feldvektor schwingen in Phase.
Empfänger
Sender
Empfänger
Sender
• Durch elektromagnetische Strahlung ist ein drahtloser Transport von
elektrischer Energie möglich.
• Die Strahlungsintensität nimmt mit wachsender Entfernung vom strahlenden
Dipol ab.
• Ein senkrecht zum Sendedipol ausgerichteter Empfangsdipol nimmt keine
Strahlungsenergie auf.
Übungen
1. Radiowellen kann man mit einer Dipolantenne oder einer Ringantenne empfangen.
• Die Ringantenne reagiert auf das magnetische Feld der elektromagnetischen Welle.
• Die Ringantenne reagiert auf das elektrische Feld der elektromagnetischen Welle.
• Die Ringantenne reagiert auf beide Felder der elektromagnetischen Welle.
2. Eine elektromagnetische Welle breitet sich entlang der x-Achse aus. Mit
welcher Antenne kann ein Signal empfangen werden?
E
B
Ausbreitungsrichtung
a)
b)
c)
d)
e)
Energiedichte und Intensität einer elektromagnetischen Welle
Energiedichte des elektrischen Feldes: wE =
1
ε0E2
2
B2
Energiedichte des magnetischen Feldes: wM =
2µ 0
B 2 ( E / c) 2
E2
1
2
Im Vakuum: wM =
=
=
=
ε
E
0
2µ 0
2µ 0
2µ 0 c 2 2
2
2
Die Gesamtenergiedichte ist somit w = ε 0 E bzw.: w = ε 0 E = ε 0 EcB =
EB
cµ 0
P
W
w ⋅V
=
=
= wc
A A ⋅ ∆t A ⋅ ∆t
r r
r E×B r r
= E×H
Poynting Vektor: S =
Momentane Intensität: I =
µ0
Der Betrag des Poynting-Vektors für eine ebene elektromagnetische Welle
gibt die momentane Intensität und die Richtung des Poynting-Vektors gibt
die Ausbreitungsrichtung der Welle an.
Beispiel: Linear polarisierte ebene elektromagnetische Welle
E y = E y 0 sin( kx − ωt )
und
Bz = Bz 0 sin(kx − ωt )
EB E0 B0 sin 2 (kx − ωt )
Energiedichte: w =
=
cµ 0
cµ 0
1 T E0 B0 sin 2 (kx − ωt )
Mittlere Energiedichte: w = ∫
dt
T0
cµ 0
E0 B0 Eeff Beff
⇒ w=
=
2cµ 0
cµ 0
⇒ I = cw =
Eeff Beff
µ0
r
=S
Impuls einer elektromagnetischen Welle
Energie- und Impulsübertrag einer elektromagnetischen Welle auf ein
geladenes Teilchen.
z
E
y
Ausbreitungsrichtung
x
q
B
Vereinfachung: Zeitabhängigkeit der Felder vernachlässigen.
Das Teilchen wird durch das elektrische Feld beschleunigt.
Geschwindigkeit in y - Richtung: v y = a y t =
Kinetische Energie nach der Zeit t1: Wkin
Fy
m
t=
qE
t
m
1 2 q2E 2 2
= mv y =
t1
2
2m
Auf das geladene Teilchen wirkt die Lorentzkraft in positiver x - Richtung:
q 2 EB
F = q ⋅ vy ⋅ B =
t
m
q 2 EB
1 q 2 EB 2
tdt =
t1
Übertragener Impuls: p x = ∫ Fdt = ∫
m
2 m
0
0
t1
t1
1 q 2 E 2 2 1 1 q 2 E 2 2 Wkin
Mit B = E/c folgt: p x =
t1 = ⋅
t1 =
2 cm
c 2 m
c
Allgemein gilt: W = pc
Intensität der Welle: I =
Strahlungsdruck:
P
W
p⋅c F ⋅c
=
=
=
= pS ⋅ c
A A ⋅ ∆t ∆t ⋅ A
A
E02
B02
I E0 B0
pS = =
=
=
2
c 2µ 0 c 2µ 0 c
2µ 0
Beispiel:
Eine 50 W Glühbirne emittiert mit einem Wirkungsgrad von 100 %
kugelförmige, elektromagnetische Wellen gleichmäßig in alle
Raumrichtungen. Wie groß ist der Strahlungsdruck in einer Entfernung von
3m von der Glühbirne?
Intensität im Abstand von 3 m: I =
Strahlungsdruck: p S =
P
50W
W
=
=
0
,
442
A 4π (3m) 2
m2
I
50W
−9
=
=
1
,
47
⋅
10
Pa
2
8
−1
c 4π (3m) ⋅ 3 ⋅10 ms
Übung:
Ein Laser habe eine mittlere Ausgangsleistung von 0,9 mW und einen
Strahldurchmesser von 1,2 mm. Auf eine vollständig absorbierende
schwarze Fläche übt er die Kraft
P
W
p⋅c F ⋅c
P 0,9 ⋅10 −3 W
-12
I= =
⇒ F= =
=
3
⋅
10
N aus.
=
=
8
−1
A A ⋅ ∆t ∆t ⋅ A
A
c 3 ⋅10 ms
Wie groß ist die Kraft, wenn die Oberfläche den Strahl vollständig reflektiert?
a) Null
b) halb so groß
c) doppelt so groß
d) vierfach so groß