Statistische Mechanik (WS 14/15) – Blatt 14

UNIVERSITÄT STUTTGART – II. INSTITUT FÜR THEORETISCHE PHYSIK
Prof. Dr. Udo Seifert
Dr. Andre Cardoso Barato,
Dipl.-Phys. Eckhard Dieterich, Dipl.-Phys. Eva Zimmermann,
David Hartich M.Sc., Sebastian Goldt M.Sc.
Statistische Mechanik (WS 14/15) – Blatt 14
Aufgabe 31: Überdämpftes Teilchen im harmonischen Potential
(6 Punkte)
Die Langevin-Gleichung eines eindimensionalen gedämpften harmonischen Oszillators im Potential V (x) = K2 x2 mit stochastischer Kraft ξ(t) und Reibungskonstanten γ lautet
γ ẋ(t) + Kx(t) = ξ(t) ,
wobei der Trägheitsterm mẍ(t) vernachlässigt ist. Die Statistik der stochastischen Kraft ist
durch hξ(t)i = 0 und hξ(t)ξ(t′ )i = 2Bδ(t − t′ ) mit konstantem B gegeben.
a) Zeigen Sie, dass im Gleichgewicht (GW) die Beziehungen
kT
hxiGW = 0 und x2 GW =
K
gelten, indem Sie die Mittelung h. . .iGW mit Hilfe des Boltzmann-Faktors exp (−V (x)/kT )
ausführen.
(2 Punkte)
b) Lösen Sie die Langevin-Gleichung mit Anfangsbedingung x(0) = x0 in Abhängigkeit von
ξ(t) und x0 .
(2 Punkte)
c) Zeigen Sie, dass für große Zeiten t ≫ γ/K und beliebiger Anfangsposition x0 der Oszillator
genau dann dann ins GW strebt, d.h.
2 2
x = x GW
gilt, wenn das Rauschen über B und die Reibungskonstante γ das Fluktuations-DissipationsTheorem (Einsteinrelation)
B = γkT
erfüllen.
(2 Punkte)
Aufgabe 32: Unterdämpftes Teilchen (schriftlich)
(6 Punkte)
Ein Teilchen mit Masse m, Ort x(t) und Geschwindigkeit v(t) = ẋ(t) bewege sich in einer Dimension im konstanten Potential V (x) = 0 mit stochastischer Kraft ξ(t) und Reibungskonstanten γ
gemäß der Langevin-Gleichung
mv̇(t) + γv(t) = ξ(t) .
Die Statistik der stochastischen Kraft ist durch hξ(t)i = 0 und hξ(t)ξ(t′ )i = 2Bδ(t − t′ ) mit
konstantem B gegeben.
In der Vorlesung wurde ohne den Trägheitsterm mv̇(t) das Diffusionsgesetz
(x(t) − x(0))2 = (2kT /γ)t
hergeleitet. Im Folgenden sollen Sie zeigen, dass für große Zeiten die gleiche Beziehung auch
mit Einbeziehung des Trägheitstermes folgt.
a) Lösen Sie die Langevin-Gleichung und berechnen Sie damit zunächst einen Ausdruck für
die Geschwindigkeitskorrelationen hv(t)v(t′ )i. Beachten Sie dabei die beiden Fälle t ≤ t′
und t > t′ .
(3 Punkte)
b) Berechnen Sie die mittlere quadratische Abweichung vom Ursprungsort h(x(t) − x(0))2 i
für eine fest vorgegebene Anfangsgeschwindigkeit v(0) = v0 , indem Sie diese Größe durch
Integrale über Geschwindigkeitskorrelationen ausdrücken und a) verwenden. (2 Punkte)
c) Zeigen Sie, dass Sie durch Mittelung des Ergebnisses aus b) über die Anfangsgeschwindigkeit v0 mit Hilfe der Gleichgewichtsverteilung hv02 iGW = kT /m für große Zeiten t ≫ m/γ
erneut das Diffusionsgesetz
(x(t) − x(0))2 = (2kT /γ)t
erhalten.
(1 Punkt)