7 Hypothesentests

1
7
Hypothesentests
2
• Neben der Parameterschätzung von ϑ∗ sind wir oft daran interessiert, ob die Daten mit einem bestimmten Wert von ϑ∗
kompatibel sind.
• Insbesondere sollen die Ergebnisse des Kapitels über Parameterschätzung zu asymptotischen Testverfahren und Konfidenzintervallen verwendet werden.
• Ferner gibt es nicht parametrische Verfahren, bei denen die
zugrunde liegenden Verteilungen nicht parametrisiert sind.
• Wir beginnen mit eher praktischen Aspekten der klassischen
Tests unter der Normalverteilungsannahme (Gauß-Test, tTest, etc.).
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
3
7.1
Grundbegriffe der Testtheorie
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
4
• Die Stichprobe yT = (y1, . . . , yn) wird als Realisation einer
iid
Zufallsvariablen YT = (Y1, . . . , Yn) angesehen, Yi ∼ Y1.
• Liegt für ein statistisches Modell wie in Kapitel 6, (6.2) eine
Vermutung für den wahren Wert ϑ∗ von ϑ vor, wird dies als
Nullhypothese formuliert:
H0 : ϑ∗ ∈ Θ0, Θ0 ⊂ Θ.
• Die Alternativhypothese lautet
H1 : ϑ∗ ∈ Θ1 mit Θ1 := Θ \ Θ0.
• T : Rn −→ R sei eine Prüfgröße zur Prüfung von H0.
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
5
• Es gibt zwei Vorgehensweisen um über die Ablehnung von H0
zu entscheiden.
1. Vorgehensweise:
• Wähle das (Signifikanz)Niveau α ∈ (0, 1) und einen Verwerfungsbereich B ⊂ R.
• H0 wird verworfen, wenn T (y) ∈ B.
• Für die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art (Ablehnung
von H0 obwohl H0 wahr ist) soll gelten
∀ϑ ∈ Θ0 : Pϑ(T (Y) 6∈ B) ≤ α.
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
6
2. Vorgehensweise: p-Werte
• Statistische Software teilt keine Testentscheidung, sondern
einen p-Wert mit.
• Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter H0 die Testgröße
T (Y) extremer als T (y) ausfällt.
• Der p-Wert ist der kleinste Wert des Niveaus, auf dem H0
gerade noch verworfen wird.
• Falls α < p-Wert gilt, so wird H0 nicht verworfen.
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
7
Beispiel 7.1.1 In einer Studie wurde das Gewicht von Neugeborenen untersucht.
• Bei 121 Säuglingen in Mecklenburg Vorpommern ergab sich
ein mittleres Gewicht von x = 3450. Wir gehen davon aus,
dass das Gewicht bei Neugeborenen N (µ, 5332) verteilt ist.
• Bisher ging man von einem mittleren Gewicht von 3400 aus.
Wird diese Beobachtung bei einem Niveau von α widerlegt?
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
8
Wir wenden den Gaußtest an.
• Testgröße ist für Y1 ∼ N (µ∗, σ∗2) und H0 : µ∗ = µ0
n
1 X
Y =
Yi.
n i=1
Y − µ0 √
T (Y) =
n,
σ∗
• In unserem Beispiel ist
3450 − 3400 √
T (y) =
121 = 1.03
533
• Der Verwerfungsbereich ist
B = (−∞, −u1−α/2) ∪ (u1−α/2, ∞),
Φ(u1−α/2) = 1 − α/2.
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
9
2.5
2.0
1.5
1.0
Die Nullhypothese wird zu
einem Niveau von α = 40 %
abgelehnt, zu den Niveaus
α = 20 %, 10 %, . . . wird sie
nicht abgelehnt.
3.0
B
[−0.84, 0.84]
[−1.28, 1.28]
[−1.64, 1.64]
[−1.96, 1.96]
u_(1 − α 2)
α
0.4
0.2
0.1
0.05
p−Wert
T(y)
p−Wert
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
α
p − Wert = PH0 (|T (Y)| > 1.03) = 0.303.
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
10
• Die Wahrscheinlichkeit
eines Fehlers 2. Art
(H0 wird nicht verworfen
obwohl H0 nicht zutrifft)
hängt von ϑ ab:
0.6
0.8
β(3450)
0.4
α = 0.05
0.2
α = 0.1
0.0
Fehler 2. Art: β(µ)
Pϑ(T (Y) 6∈ B) =: β(ϑ).
(7.1)
• β(ϑ) wird umso kleiner,
je weiter ϑ von Θ0 entfernt ist.
• Im Normalverteilungsfall
Y1 ∼ N (µ∗, σ∗2) gilt:
Fehler 2. Art in Beispiel 7.1.1
3200
3300
3400
3500
3600
3700
µ
√
β(µ) = Φ(u1−α/2 − λ(µ)) − Φ(−u1−α/2 − λ(µ)) mit λ(µ) := y−µ
n
σ∗
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
11
Fehler 2. Art in Beispiel 7.1.1, Niveau 5 %
0.6
0.8
β(3450)
0.4
n = 121
0.2
n = 250
0.0
Fehler 2. Art: β(µ)
• Der Fehler 2. Art β(ϑ∗)
für ϑ∗ 6= ϑ0 hängt auch
von der Stichprobengröße ab.
• Je größer n desto kleiner
β(ϑ∗).
3200
3300
3400
3500
3600
3700
µ
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
12
• Bei vorgegebenem Signifikanzniveau α ist der Fehler 1. Art
durch α begrenzt.
Der Fehler 2. Art ist schwerer zu berechnen und zu kontrollieren und hängt vom unbekannten ϑ∗ ab.
• Im Fall der Ablehnung von H0 kann man sich viel sicherer
sein, keinen Fehler begangen zu haben als im Fall, dass der
Test nicht verwirft.
• Die Nullhypothese und die Alternativhypothese kann man also
nicht beliebig vertauschen.
• Man sollte die Nullhypothese so wählen, dass der resultierende
Fehler 1. Art der gravierendere Fehler ist, den man vermeiden
möchte.
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
13
7.2
Der Likelihood Quotienten Test
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
14
Beispiel 7.2.1 Sei Y ∼ B(50, ϑ∗), ϑ∗ ∈ (0, 1), Eine Realisierung
von Y sei y = 4.
• Eine Likelihood ist gegeben durch L : (0, 1) −→ (0, 1)
L(ϑ) = ϑ4(1 − ϑ)46.
4
• Der ML Schätzer ist ϑ̂ =
,
50
µ
¶ µ
¶
4 4 46 46
.
L(ϑ̂) =
50
50
• Die relative Likelihood L̃ : (0, 1) −→ (0, 1],
µ ¶4 µ
¶46
ϑ
1
−
ϑ
L(ϑ)
= 5050
,
L̃(ϑ) =
L(ϑ̂)
4
46
L̃(ϑ̂) = 1.
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
15
0.6
0.8
1.0
Relative Log−Likelihood, c=0.2
0.0
0.2
0.4
~
L
• Plausibelster Wert für ϑ∗
ist ϑ̂.
• Auch ϑ∗ = 0, 1 ist mit
L̃(0, 1) = 0, 88 plausibel.
• Eine Hypothese
H0 : ϑ∗ = ϑ0
würde im Fall L̃(ϑ0) ≥ c angenommen, wobei c geeignet zu wählen ist.
• Daraus lässt sich ein Konfidenzintervall
gewinnen,
wenn Verteilungsaussagen
zu L̃(Y ) vorliegen.
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
ϑ
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
0.30
16
Generelle Voraussetzungen
• Die Dichte f von YT := (Y1, . . . , Yn) erfülle in diesem Abschnitt die Regularitätsbedingungen (A) - (D) (Kapitel 6,
Seite 14) und (E) (Kapitel 6, Seite 28).
• Mit Ln oder auch L bezeichnen wir eine Likelihood, `n oder
auch ` sei die entsprechende Loglikelihood.
iid
• Zusätzlich gelte Y1, . . . , Yn ∼ Y1 mit Dichte g(y1, ϑ∗), ScoreFunktion u(ϑ∗) und die Informationsmatrix i(ϑ∗).
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
17
• Gegeben seien Θ0, Θ1 ⊂ Θ disjunkt, Θ0 ∪ Θ1 = Θ. Zu testen
ist die
Nullhypothese H0 : ϑ∗ ∈ Θ0 und die
Alternative
H1 : ϑ∗ ∈ Θ1
zum Niveau α.
• Als Testgröße verwenden wir den Likelihood Quotienten
λ : Y −→ [0, 1], mit einem ML-Schätzer ϑ̂ für ϑ∗:
λ(y) =
supϑ∈Θ0 L(ϑ, y)
supϑ∈Θ L(ϑ)
=
supϑ∈Θ0 L(ϑ, y)
L(ϑ̂, y)
,
• Falls Θ0 = {ϑ0}, dann gilt
λ(y) =
L(ϑ0, y)
.
L(ϑ̂, y)
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
18
• Der Verwerfungsbereich sei
B := {y ∈ Y : λ(y) ≤ λα},
(7.2)
wobei λα so gewählt ist, dass
∀ϑ ∈ Θ0 :
Pϑ(λ(Y ) ≤ λα) ≤ α.
(7.3)
• Sei W (y) := −2 ln λ(y) für y ∈ Y mit λ(y) ∈ (0, 1). W ist f.s.
definiert und
B = {y ∈ Y : W (y) ≥ −2 ln λα}.
(7.4)
• Um λα bestimmen zu können, muss man die Verteilung von
W (Y) unter H0 kennen.
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
19
Satz 7.2.2 Es mögen die Regularitätsbedingungen (A)-(E) gelten. Sei ϕ : Θ −→ Rm, m ≤ k mit Rang (Dϕ) = m und Θ0 sei
gegeben durch
Θ0 = ϕ−1(0).
Es sei (ϑ̂n)n∈N eine Folge von Schätzern wie in Satz 6.2.8 und
6.2.9 (insbesondere konsistent und asymptotisch normalverteilt).
Dann gilt unter H0
d
−2 ln λ(Y) −→ χ2
m.
Beweis Lehmann, Romano, S. 515, Theorem 12.4.2
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
20
Folgerung: Likelihood Quotienten Test (LQT)
Mit (7.2), (7.4)
• Zu einem Signifikanzniveau α wird H0 verworfen, wenn
W (y) ≥ χ2
m,1−α bzw. äquivalent

λ(y) ≤ exp −

2
χm,1−α

2
= λα.
(7.5)
(7.6)
• Der p-Wert ergibt sich zu
p − Wert = χ2
m (W (y)).
(7.7)
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
21
Beweisidee für k = 1 und H0 : ϑ∗ = ϑ0. Es gilt
Ln(ϑ0, Y)
λ(Y) =
⇒ Wn(Y) = −2(`n(ϑ0, Y) − `n(ϑ̂n, Y)).
Ln(ϑ̂n, Y)
Mit der Taylorentwicklung 2. Ordnung von `n in ϑ̂n ergibt sich

Wn(Y ) =
=
00 (ϑ̃ )
`
n
0
−2 `n(ϑ̂n)(ϑ̂n − ϑ0) + n
(ϑ̂n
| {z }
2
=0
(
)
o `00 (ϑ̃n)
n
n
,
− n(ϑ̂n − ϑ0)2

− ϑ0)2
n
wobei ϑ̃n zwischen ϑ̂n und ϑ0 liegt.
Für den ersten Faktor gilt laut Voraussetzung
N (0, 1/i(ϑ0)).
√
d
n(ϑ̂n − ϑ0) −→
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
22
p
Da ϑ̂n konsistent ist, folgt auch ϑ̃n −→ ϑ0. Wie im Beweis von
Satz 6.2.9 schließt man
`00n(ϑ̂n) f.s.
−→ −i(ϑ0)
n
und mit (e)
`00n(ϑ̃n) p
−→ −i(ϑ0).
n
Dies ergibt zusammen
s
√
`00(ϑ̃n) d
n(ϑ̂n − ϑ0)
−→ N (0, 1)
n
und folglich mit dem Continuous Mapping Theorem (Anhang)
n(ϑ̂n − ϑ0
`
)2
00 (ϑ̃ )
n
n
d
−→ N (0, 1)2 = χ2
1.
2
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
23
Beispiel 7.2.3 (Fortsetzung Bsp. 7.1.1, S. 7) Man verwende
den LQT zum Überprüfen von H0 : µ∗ = 3.400 zum Niveau 5%.
iid
Bei bekannter Varianz ergibt sich für Y1, . . . , Yn ∼ N (µ∗, σ∗2) (siehe
Kapitel 6, Beispiel 6.1.2 (b), Seite 8)
W (y) = −2(`(µ
) − `(y))
 0

n
n
X
X
1
1
2
2
= −2 − 2
(yi − µ0) +
(y
−
y)
i
2σ∗ i=1
2σ∗2 i=1
n
2
=
−
µ
)
(7.8)
(y
0
2
σ∗
121
2 = 1.06 < χ2
⇒ W (y) =
50
1,0.95 = 3.84.
2
533
Zu einem Niveau von α = 5 % wird H0 nicht verworfen.
Der p-Wert beträgt χ2
1 (1.06) = 0.303.
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
24
Bemerkung 7.2.4
• Im Normalverteilungsfall erhält man über den LQT (asymptotisch) die klassischen Hypothesentests.
• Man beachte, dass in (7.8) das Quadrat der Testgröße beim
Gaußtest gleich W (y) ist, es gilt also W (Y ) ∼ χ2
1, nicht nur
asymptotisch.
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
25
Beispiel 7.2.5 (Fortsetzung von Bsp. 7.2.1, S. 14) Man verwende den LQT zum Überprüfen von H0 : ϑ∗ = 0.1 zum Niveau
10%.
Die Nullhypothese wird nicht verworfen, denn
W (y) = −2 ln(L̃(0.1)) = 0.24 < χ2
1,0.9 = 2.71
p-Wert = 1 − χ2
1 (0.24) = 0.63.
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
26
iid
Beispiel 7.2.6 Seien Y1, . . . , Yn ∼ Y1 mit Dichte
g(t) =

e−(t−ϑ∗)
t > ϑ∗
sonst .
0
Dann gilt unter H0: ϑ∗ = ϑ0
W (Y ) ∼ χ2
2
und nicht W (Y ) ∼ χ2
1 wie die Anzahl der Parameter k = 1 erwarten ließe. Θ0 erfüllt nicht die Voraussetzungen von Satz 7.2.2.
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
27
Beweis

L(ϑ, y) = 1(−∞,y
(ϑ) exp
(1) )
nϑ −
n
X
i=1

yi , y(1) := min{y1, . . . , yn}.
Damit ist ϑ̂ = min{Y1, . . . , Yn} =: Y(1) ML-Schätzer. Es gilt
λ(y) = en(ϑ∗−ϑ̂)
und somit
W (Y ) = 2n(ϑ̂ − ϑ∗) = 2n(Y(1) − ϑ∗).
Unter H0 folgt schließlich W (Y ) ∼ E(1/2) = χ2
2.
2
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
28
7.2.1
Konfidenzbereiche
• Erfüllt das statistische Modell die Voraussetzungen des vorigen Abschnitts, dann ist 2(`(ϑ̂, Y ) − `(ϑ∗, Y )) für große n
näherungsweise χ2
m verteilt.
• Sei fY (ϑ) = 2(`(ϑ̂, Y ) − `(ϑ, Y )).
• Dann ist
−1
2
}
=
f
(0,
χ
K(Y ) := {ϑ : 2(`(ϑ̂, Y ) − `(ϑ, Y )) ≤ χ2
m,1−α )
m,1−α
Y
ein Konfidenzbereich von ϑ∗ zum Niveau α wegen
Pϑ∗ (ϑ∗ ∈ K(Y )) = Pϑ∗ (fY (ϑ∗) ∈ (0, χ2m,1−α)) ≈ 1 − α.
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
29
Konfidenzintervalle mit LQT
0.4
~
L
0.6
10
5
^ ))
− 2(l (ϑ) − l (ϑ
0.8
15
1.0
Konfidenzintervalle mit LQT
α = 0.95
α = 0.9
α = 0.9
0.0
0
0.2
α = 0.95
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.00
0.30
ϑ
Es gilt auch mit (7.4)) K(Y ) =


ϑ:

0.05
0.10
0.20
0.25
ϑ

2
χm,1−α 
 .
exp −

2

L(ϑ)
≥
L(ϑ̂)
0.15
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
0.30
30
7.3
Verteilungsunabhängige Tests
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
31
• Im Folgenden werden Testverfahren vorgestellt, die ohne Verteilungsannahmen auskommen. Diese Verfahren heißen verteilungsunabhängig (auch nichtparametrisch).
• Sie finden insbesondere dann Anwendung, wenn die Beobachtungsergebnisse in Form von Qualitätsstufen angegeben
werden.
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
32
7.3.1
Der Vorzeichentest
Beispiel 7.3.1
• Ein Arzt gibt 20 Patienten, je 2 Medikamente A und B. Sie
sollen berichten, ob A oder B besser wirkt.
• Zu entscheiden ist, ob A und B gleich wirken.
• Die Antworten der Patienten interpretieren wir als Realisierungen von unabhängigen Zufallsvariablen D1 . . . , D20, die die
Werte 1 bzw. 0 (Medikament A bzw. B zeigt stärkere Wirkung) annehmen können.
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
33
• Zu prüfen ist nun, ob für alle i = 1, . . . , 20 gilt:
1
P(Di = 0) = P(Di = 1) = .
2
• Es seien D1, . . . , Dn : Ω −→ {0, 1} unabhängige ZufallsvariaPn
blen, V := i=1 Di. (im Beispiel: V ist die Gesamtzahl der
Patienten, die für Medikament A sprechen.)
• Unter der Nullhypothese
1 , i = 1, . . . , n
H0: P(Di = 1) = P(Di = 0) = 2
ist V ∼ B
³
n, 1
2
´
-verteilt.
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
34
• Bestimmt man nun zu vorgegebenem α (α ∈ (0, 1)) die größte
Zahl k ∈ N mit
n−k
X ³n´
1
P(V < k oder V > n − k) = 2P(V < k) = 2
≤ α,
n
i=0 i 2
ergibt sich der Verwerfungsbereich zum Niveau α
B = {0, 1, 2, . . . , k − 1} ∪ {n − k + 1, n − k + 2, . . . , n}.
(7.9)
• k ist das α/2-Quantil der B(n, 1/2)-Verteilung.
• Für große Stichprobenumfänge n können wir die „Normalapproximation“ zur Bestimmung des kritischen Wertes k verwenden:

V −
n
2
k−

n
2
P(V < k) = P  1 √ < 1 √
2 n
2 n
Ã
2k − n
≈Φ
√
n
!
√
1
⇒ k = (n+uα/2 n).
2
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
35
Beispiel 7.3.2 (Fortsetzung Beispiel 7.3.1) Mit n = 20 ergibt sich für α = 0, 05 die Schranke k = 6, wegen
5 ³
X
20´
i=0
i
= 0, 021
6 ³
X
20´
i=0
i
= 0, 058.
Der Arzt betrachtet die Medikamente nicht als gleichwertig, wenn
sich mehr als 14 oder weniger als 6 Patienten für Medikament A
aussprechen.
Mit der Normalapproximation ergibt sich
√
1
k = (20 + 1, 96 20) = 5, 61,
2
also k = 5.
Dieses Testverfahren kann auch angewendet werden, wenn die zu
analysierenden Daten nicht als Ja-Nein-Antworten (bzw. A besser
als B oder B besser als A), sondern als reelle Zahlen vorliegen.
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
36
Beispiel 7.3.3
• Eine Reifenfirma hat für einen neuen Winterreifen zwei Profile
entwickelt, die bezüglich ihrer Griffigkeit im Schnee und ihrer
Rutschfestigkeit auf Eis nahezu gleichwertig sind.
• Es soll nun untersucht werden, ob sie sich im Hinblick auf
ihre Bremswirkung bei trockener Fahrbahn unterscheiden.
• 20 Testfahrzeuge werden einmal mit den Reifen der Profilsorte A bestückt, das andere Mal mit solchen der Profilsorte
B und jeweils bei der gleichen Geschwindigkeit abgebremst.
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
37
• Die bei den verschiedenen Fahrzeugen für beide Profilsorten
ermittelten 20 Bremswege x1, . . . , x20 und y1, . . . , y20 sind in
der folgenden Tabelle gegeben:
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
44.6
55.0
52.5
50.2
45.2
46.0
52.0
50.2
50.7
49.2
yi
44.7
54.8
55.6
55.2
45.6
47.7
53.0
49.9
52.2
50.6
xi − yi
-0.1
0.2
-3.1
-5.0
-0.4
-1.7
-1.0
0.3
-1.5
-1.4
+/+
+
-
i
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
xi
47.3
50.1
51.6
48.7
54.2
46.1
49.9
52.3
48.7
56.9
yi
46.1
52.3
53.9
47.1
57.2
52.7
49.0
54.9
51.4
56.1
xi − yi
1.2
-2.2
-2.3
1.6
-3.0
-6.6
0.9
-2.6
-2.7
0.8
+/+
+
+
+
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
38
• Die Daten x1, . . . , x20 und y1, . . . , y20 interpretieren wir als
Realisierungen von Zufallsvariablen X1, . . . , Xn und Y1, . . . , Yn.
• Die Paare (X1, Y1), . . . , (Xn, Yn) können als unabhängig angenommen werden, nicht aber, Xi und Yi bei gleichem i.
• Die Zufallsvariablen Di = Xi − Yi, i = 1, . . . , 20 sind unabhängig.
• Der Einfachheit halber setzen wir noch voraus, dass die Di ,
i = 1, . . . , 20, iid. sind, mit einer stetigen Verteilungsfunktion.
Dann gilt P(Xi = Yi) = 0 für jedes i = 1, . . . , 20.
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
39
• Unter der Annahme gleicher Bremswirkung können wir die
Verteilungsannahme
H0 :
P(Di > 0) = P(Di < 0) für alle i = 1, . . . , 20
als Nullhypothese testen.
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
40
• Seien (Xi, Yi), i = 1, . . . , n, unabhängige Zufallsvariablen, iid.
und

1 falls X > Y
i
i
Zi =
, i = 1, . . . , n.
0 falls X < Y
i
i
• Die Di = Xi − Yi, i = 1, . . . , n seien stetig verteilt und iid.
• Sei V =
Pn
i=1 Zi (Anzahl der positiven Differenzen)
• V ∼ B(n, 1/2) unter der Nullhypothese
H0 : P (Zi = 1) = P(Zi = 0) = 1
2 , i = 1, . . . , n.
Somit kann man (7.9) auf S. 35 verwenden.
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
41
• Da bei dieser Entscheidungsregel lediglich die Vorzeichen der
beobachteten Differenzen berücksichtigt werden, heißt sie Vorzeichentest.
• Wegen der paarweisen Zusammenfassung der Beobachtungsdaten spricht man vom Vorzeichentest bei verbundenen Stichproben.
Beispiel 7.3.4 (Fortsetzung 7.3.3) Auch hier ist der Stichprobenumfang n = 20. Also ist für α = 0.05 die kritische Schranke
k = 6. Da genau v = 6 positive Vorzeichen beobachtet werden,
ist das Ergebnis nicht signifikant auf dem 5 %-Niveau.
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
42
7.3.2
Der Vorzeichen-Rang-Test
• In Beispiel 7.3.3 ist das Testergebnis, die Nullhypothese nicht
zu verwerfen, nicht überzeugend.
• Die verwendete Testgröße benutzt das Vorzeichen, nicht aber
die Unterschiede in den Größenordnungen der Differenzen.
• Man muss eine Testgröße verwenden, bei der die Differenzen
D1, . . . , Dn berücksichtigt werden. Die Nullhypothese lautet:
H0: D1 . . . , Dn sind symmetrisch um 0 verteilt
bzw.
H0: ∀x > 0 ∀i = 1, . . . , n : P(Di < −x) = P(Di > x).
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
43
• Wir ordnen |D1|, . . . , |Dn| der Größe nach und nummerieren
sie bei der kleinsten Differenz beginnend durch.
• Jetzt ordnen wir jeder positiven Differenz diese Nummer und
jeder negativen Differenz das Negative dieser Nummer zu und
nennen die zugeordnete Zahl den signierten Rang Ri der Differenz Di.
• Aus der Tabelle des Beispiels 7.3.3 ergeben sich die folgenden
signierten Rangzahlen:
i
ri
i
ri
1
-1
11
+8
2
+2
12
-13
3
-18
13
-14
4
-19
14
+11
5
-4
15
-17
6
-12
16
-20
7
-7
17
+6
8
+3
18
-15
9
-10
19
-16
10
-9
20
+5
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
44
• Als Testgröße verwenden wir die Summe U aller positiven
signierten Ränge:
U =
X
Ri .
i,Ri >0
• Es ergibt sich die Realisierung u = 2 + 3 + 8 + 11 + 6 + 5 = 35.
• Die Summe aller negativen Rangzahlen im Beispiel

X
i,ri <0
ri = − 
20
X

ri − u = −(210 − 35) = −175
i=1
ist dem Betrag nach wesentlich größer als 35. Bei einer einigermaßen symmetrischen Anordnung der Daten würde man
für u Werte in der Nähe von 210/2 = 105 erwarten.
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
45
Verteilung von U unter H0:
• |R1|, . . . , |Rn| sind die Zahlen 1, . . . , n in anderer (zufälliger)
Reihenfolge und mit positiven oder negativen Vorzeichen.
• Es gibt 2n mögliche Vorzeichenkombinationen, die alle die
1
gleiche Wahrscheinlichkeit n besitzen. Somit gilt
2
N (u)
n(n + 1)
,
,
0
≤
u
≤
n
2
2
mit N (u), der Anzahl der Darstellungen von u der Form
P(U = u) =
u=
k
X
ri mit 1 ≤ r1 < r2 < · · · < rk ≤ n, 0 ≤ k ≤ n.
i=1
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
46
Im Fall n = 4 erhalten wir:
u
0
1
2
3
4
5
Darstellungen
r1, . . . , r4 < 0
1
2
3, 1+2
1+3, 2+2
1+4, 2+3
P(U = u)
1/16
1/16
1/16
2/16
2/16
2/16
u
6
7
8
9
10
Darstellungen
1+2+3, 2+4
1+2+4, 3+4
l+3+4
2+3+4
l+2+3+4
P(U = u)
2/16
2/16
1/16
1/16
1/16
Man kann zeigen:
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
47
• Die Zufallsvariable U ist für große n, näherungsweise normalverteilt (siehe Pruscha, S. 170 ff. Abschnitt 3.5) und es gilt
(siehe Pruscha, S. 146, Korollar)
n(n + 1)
E(U ) =
,
4
also näherungsweise
Ã
n(n + 1)(2n + 1)
Var(U ) =
.
24
U − E(U )
P(U < k) ≈ Φ √
VarU

!

 k − n(n+1) 


4
= Φ r

 n(n+1)(2n+1) 
24
α
• Aus P (U < k) =
ergibt sich für die kritische Schranke der
2
Näherungswert
s
k<
n(n + 1)
n(n + 1)(2n + 1)
− u1−α/2
.
4
24
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
48
• Der Verwerfungsbereichs zum Niveau-α ist
(
)
n(n + 1)
n(n + 1)
− k + 1, . . . ,
.
B = {0, 1, . . . , k − 1} ∪
2
2
• Im Bsp. 7.3.3: n = 20, E(U ) = 105,
Var(U ) = 26.792.
• Damit erhält man bei einem Niveau α = 0.05 die kritische
Schranke k = 52. Der beobachtete Wert u = 35 führt demnach zur Ablehnung der Nullhypothese.
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden
49
Bemerkung 7.3.5
• Wir haben bisher vorausgesetzt, dass die Beträge |Di| =
|Xi − Yi|, i = 1, . . . , n, alle verschieden und ungleich 0 sind.
(In diesem Fall lässt sich jedem Paar (Xi, Yi) eindeutig ein
signierter Rang Ri zuordnen.)
• Diese Annahme ist jedoch bei der praktischen Anwendung des
Vorzeichen–Rang–Tests häufig unrealistisch (Wegen Messungenauigkeiten kann gelten: xi = yi oder |xi − yi| = |xj − yj |. In
diesen Fällen spricht man von Bindungen).
• Der Vorzeichen-Rang-Test lässt sich in modifizierter Form
auch auf Messreihen mit Bindungen anwenden (siehe Lehn,
Wegmann, S. 169).
Stochastische Risikomodellierung
und statistische Methoden