Physik I und Physik II

M. Musso: Physik II
Teil 36 Atome
Seite 1
Moderne Physik
Tipler-Mosca
Physik
36. Atome (Atoms)
36.1 Das Atom und die Atomspektren (The nuclear atom)
36.2 Das Bohr'sche Modell des Wasserstoffatoms (The Bohr model of the hydrogen atom)
36.3 Quantentheorie der Atome (Quantum theory of atoms)
36.4 Quantentheorie des Wasserstoffatoms (Quantum theory of the hydrogen atom)
36.5 Spin-Bahn-Kopplung und Feinstruktur (The spin-orbit effect and fine structure)
36.6 Das Periodensystem der Elemente (The periodic table)
36.7 Spektren im sichtbaren und im Röntgengebiet (Optical spectra and X-ray spectra)
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Teil 36 Atome
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36.1 Das Atom und die Atomspektren (The nuclear atom)
Teil 36 Atome
Seite 3
Atome eines Gases emittieren Strahlung wenn sie durch eine elektrische Entladung angeregt werden
⇒ diskrete Linien mit unterschiedlichen Farben bzw. Wellenlängen.
Linienspektrum von H
Linienspektrum von Hg
Rydberg-Ritz-Gleichung
⎛ 1
1 ⎞
= R ⎜ 2 − 2 ⎟ wobei n1 und n2 ganze Zahlen und n1 > n2
λ
⎝ n2 n1 ⎠
R Rydberg-Konstante: für sämtliche Spektralserien ein und desselben chemischen Elements
1
hat R denselben Wert, z.B. für Wasserstoff H RH = 1.097776 × 107 m-1;
R ändert sich von Element zu Element nur geringfügig und in systematischer Weise
Plumpudding- oder Rosinenkuchenmodells des Atoms: Elektronen sind in einer Art
Flüssigkeit mit positiver Ladung eingebettet ⇒ Berechnung der Resonanzfrequenzen
der Elektronenschwingungen, allerding keine Übereinstimmung mit den gemessenen
Spektrallinien.
Modell widerlegt durch Experimente zur Streuung von Alphateilchen an Atomen ⇒
die Ladung des Atoms und der größte Teil seiner Masse ist im Kern des Atoms
konzentriert (Durchmesser ca 1 fm = 10 -15 m)
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Teil 36 Atome
36.2 Das Bohr'sche Modell des Wasserstoffatoms (The Bohr model of the hydrogen atom)
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Im Boh'schen Modell des Wasserstoffatoms umrundet das Elektron den positiv geladenen Kern.
Zwischen Elektron und Kern wirk die Coulomb'sche Anziehungskraft.
Der Kern ist Mittelpunkt einer kreisförmigen Bahn bzw. in Brennpunkt einer elliptischen Bahn.
Die Energie in einer kreisförmigen Umlaufbahn
Die Gesamtenergie des Elektrons mit dem Radius seiner Umlaufbahn zusammen ⇒
potentielle Energie Epot
q1q2
1 Ze ( −e )
1 Ze 2 1
=
=
=−
∼ ,
4πε 0 r
4πε 0
4πε 0 r
r
r
1
kinetische Energie aus dem 2. Newton'schen Axiom:
Coulomb'sche Anziehungskraft = Zentripetalkraft
−
Ze 2
v2
m
=
−
4πε 0 r 2
r
1
⇒ mit
1 1 Ze 2 1
r
1
multipliziert ⇒ Ekin = mv 2 =
∼
r
2
2
2 4πε 0 r
Epot = −2Ekin (gilt allgemein für Felder mit
E = Ekin + Epot
⇒
1
der Kraft) ⇒
r2
1 1 Ze2
=−
2 4πε 0 r
Bohr'sches Modell des Wasserstoffatoms
Mechanische Stabilität liegt vor, aber nach der klassischen Elektrodynamik wäre das Atom instabil ⇔
durch die ständige Beschleunigung müßte elektromagnetische Strahlung emittieren ⇒ Atom
müßte kollabieren.
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Die Bohr'schen Postulate
Teil 36 Atome
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Bohr postulierte , daß nur bestimmte Umlaufbahnen erlaubt sind.
Das zweite Bohr'sche Postulat verknüpft die Frequenz der Strahlung mit der Energie der beteiligten
stationären Zustände (Anfangszustand Ei und Endzustand Ef ).
aus Gl. (36.6) mit Gl. (36.7) ⇒ ν =
E1 − E2 1 1 Ze 2 ⎛ 1 1 ⎞
=
⎜ − ⎟
2 4πε 0 h ⎝ r2 r1 ⎠
h
⇔ vergleiche (36.2)
⎛ 1
1 ⎞
= R⎜ 2 − 2 ⎟
λ
⎝ n2 n1 ⎠
1
Bohr postulierte, daß der Drehimpuls eines Elektrons in einer stabilen Umlaufbahn gleich ein ganzzahliges
h
Vielfaches von =
= 1.055 × 10−34 J s = 6.582 × 10−16 eV s ist.
2π
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Teil 36 Atome
aus Coulomb'sche Anziehungskraft = Zentripetalkraft −
aus Gl. (36.9) mvr = n
⇒ v =n
2
aus Gl. (36.11) r = n 4πε 0
2
ν =Z
2
1
( 4πε 0 )
2
me 4
4π 3
2
2
m2 r 2
2
mZe 2
⎛ 1
1 ⎞
⎜ 2 − 2⎟
⎝ n2 n1 ⎠
⇒ n
2
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Ze 2
v2
=
−
m
4πε 0 r 2
r
2
m2 r 2
1
Ze2
=
4πε 0 mr
1
Ze 2
,
4πε 0 mr
1
⇒ v2 =
⇒ r = n 4πε 0
2
2
mZe 2
E1 − E2 1 1 Ze 2 ⎛ 1 1 ⎞
=
und Gl. (36.8) ν =
⎜ − ⎟
h
2 4πε 0 h ⎝ r2 r1 ⎠
⇒ aus Gl. (36.2) für Z = 1 und ν =
c
λ
⇒ R=
⇒
1
( 4πε 0 )
2
me 4
4π c 3
Beispiel 36.1: Bedingung für stehende Wellen und Quantisierung des Drehimpulses
Wellen, die sich in einem Kreis bewegen ⇒ Bedingung für stehende Wellen: nλ = 2π r wobei n = 1, 2, 3...
Zu zeigen: Quantisierung des Drehimpulses:
⇒ Aus nλ = 2π r und aus der De Broglie-Beziehung Gl. (34.7) p =
h
λ
⇒ p=
nh
=n
2π r
r
⇒
L = mvr = pr = n
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Die Energieniveaus des Wasserstoffatoms
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Die gesamte mechanische Energie des Elektrons im Wasserstoffatom hängt gemäß Gl. (36.6)
E = Ekin + Epot = −
1 1 Ze 2
vom Radius r seiner kreisförmigen Umlaufbahn ab ⇒
2 4πε 0 r
2
a0
2
= n 4πε 0
mit Gl. (36.11) rn = n
Z
mZe 2
2
1 1 Ze 2
1 1 Z 2e2
1
1
mZ 2 e 4
⇒ En = −
=−
=−
2 4πε 0 r
2 4πε 0 n 2 a0
2 ( 4πε 0 )2 n 2 2
1
1
me 4 1 1 e 2
Z2
⇒ mit E0 =
=
≈ 13.6 eV ⇒ En = −E0 2
2 ( 4πε 0 )2 2
2 4πε 0 a0
n
Termschema:
Energieniveaus des Wasserstoffatoms Z = 1
Übergänge zwischen den erlaubten Energieniveaus sind mit Emission oder
Absorption eines Photons verknüpft:
c
hc
wobei hc = 1240 eV nm ⇒
λ= =
ν
E f − Ei
Energie quantisiert ⇔ Linienspektren = diskrete Wellenlängen bzw. Frequenzen.
Ionisierung ⇔ ein Elektron wird aus dem Atom entfernt,
Ionisierungsenergie = Bindungsenergie des Elektrons im Atom ⇒
beim Wasserstoffatom Ionisierungsenergie = En =∞ − E n =1 = 13.6 eV
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Beispiel 36.2: Die größte Wellenlänge in der Lyman-Serie
Teil 36 Atome
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Gesucht: a) Energie, b) Wellenlänge der Linie mit der größten Wellenlänge in der Lyman-Serie:
Größte Wellenlänge
a) E2 − E1 = −
kleinste Energie ⇒ Übergang ni = 2 → nf = 1 ⇒
13.6 eV ⎛ 13.6 eV ⎞
−⎜−
⎟ = −3.4 eV + 13.6 eV = 10.2 eV,
22
12
⎝
⎠
b) λ =
hc
1240 eV nm
=
= 121.6 nm
E2 − E1
10.2 eV
36.3 Quantentheorie der Atome (Quantum theory of atoms)
Die Schrödinger-Gleichung in Polarkoordinaten
Einzelnes Elektron der Masse m ⇒
⎛ ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ ⎞
aus Gl. (35.30) −
+
+
⎜
⎟ + Epotψ = Eψ
2m ⎝ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ⎠
im isolierten Atom hängt die potentielle Energie Epot nur vom
2
radialen Abstand r =
x 2 + y 2 + z 2 des Elektrons vom Kern ab ⇒
zweckmäßig Verwendung von Polarkkordinaten r , θ , und φ :
z = r cosθ
Zusammenhang zwischen Polarkoordinaten und
x = r sinθ cos φ
kartesischen Koordinaten
y = r sinθ sin φ.
∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ
1 ∂ ⎛ 2 ∂ψ ⎞ 1
+
+
=
ohne Beweis: mit
⎜ r ∂r ⎟ + 2
∂x 2
∂y 2
∂z 2
r 2 ∂r ⎝
⎠ r
−
⎡ 1 ∂ ⎛
∂ψ ⎞
1 ∂ 2ψ ⎤
⎢
⎜ sinθ ∂θ ⎟ +
2
2 ⎥
⎠ sin θ ∂φ ⎦
⎣ sinθ ∂θ ⎝
⇒
2
∂ψ ⎞
1 ∂ ⎛ 2 ∂ψ ⎞
1 ⎡ 1 ∂ ⎛
1 ∂ 2ψ ⎤
−
+
+ Epotψ = Eψ
r
sin
θ
∂r ⎟⎠ 2m r 2 ⎢⎣ sinθ ∂θ ⎜⎝
∂θ ⎟⎠ sin2 θ ∂φ 2 ⎥⎦
2m r 2 ∂r ⎜⎝
2
Lösen der Differenzialgleichung durch Trennen der Variablen: ψ ( r ,θ ,φ ) = R( r )f (θ )g (φ ) ⇒
partielle Differenzialgleichung umgeformt in drei gewöhnliche Differentialgleichungen,
Gleichung für R ( r ) : Radialgleichung
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Quantenzahlen in Polarkoordinaten
Teil 36 Atome
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Bei drei Raumkoordinaten führt die Forderung, daß ψ stetig und normierbar sein muß, zu drei Quantenzahlen,
die mit je einer Raumrichtung verknüpft sind ⇒
Quantisierungsrichtung
bei Polarkoordinaten: r ⇔ n, θ ⇔ , φ ⇔ m
Hauptquantenzahl
Betrag L des Bahndrehimpulses L:
Drehimpulsquantenzahl L =
( + 1)
magnetische Quantenzahl
Lz = m
Die Richtungen des Bahndrehimpulses sind quantisiert
Vektordiagramm mit den möglichen Werten der z-Komponente des Drehimpulsvektors L für den Fall
Betrag des Drehimpulses L =
2(2 + 1) =
= 2.
6
Beispiel 36.3: Die Richtungen des Drehimpulses des Elektrons
Annahme: Drehimpuls des Elektrons durch Quantenzahl =2 charakterisiert ⇒ gesucht: Werte für Lz ,
minimaler Winkel zwischen L und z-Achse ⇒
für =2 ⇒ m = −2, -1, 0, +1, +2;
mit cos θ =
Lz
=
L
⇒ cosθmin =
m
(
2
2 ( 2 + 1)
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+ 1)
=
=
2
6
m
(
+ 1)
⇒ kleinster Winkel für zwischen L und z-Achse bei m = 2
= 0.816 ⇒ θmin = 35.3°
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36.4 Quantentheorie des Wasserstoffatoms (Quantum theory of the hydrogen atom)
Wasserstoffähnliche Atome = Ein-Elektron-Atome:
Kinetische Energie Ekin
Seite 10
Bahndrehimpuls
1 Ze 2
p2
, potentielle Energie Epot ( r ) = −
,
=
2m
4πε 0 r
Schrödinger-Gleichung exakt lösbar,
Grundzustand mit n = 1 ⇒ = 0, m = 0
Energieniveaus
wobei E0 = −
1
( 4πε 0 )
2
me 4
≈ 13.6 eV
2 2
Termschema oder Grotian-Diagramm des Wasserstoffatoms.
Schräge Linien: Übergänge bei der Emission oder Absorption von Strahlung.
Auswahlregel Δ = ±1 und Δm = 0, ± 1 wegen Erhaltung des Bahndrehimpulses beim Übergang ⇒
Photon hat einen Eigendrehimpuls von ± 1 bezogen auf Quantisierungsachse.
Energiewerte sind negativ ⇒ Elektron an Kern gebunden ⇒ gebundene Zustände.
1
1
Wenn Kraft ∼ 2 bzw Epot ∼
⇒ E = f ( n ),
r
r
bei Atomen mit mehreren Elektronen E = f ( n, ), wobei je kleiner , umso kleiner E.
Solange keine bevorzugte Raumrichtung gibt, hängt E nicht von m ab ⇒
bei Anwesenheit eines Magnetfeldes ⇒ Zeeman-Effekt ⇒ Energie des Atoms hängt dann von m ab.
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Wellenfunktionen und Wahrscheinlichkeitsdichten
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http://winter.group.shef.ac.uk/orbitron/index.html
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Lösungen der Schrödinger-Gleichung in Polarkoordinaten charakterisiert durch Quantenzahlen n, , und m : ψ n, ,m
Für jeden Wert von n gibt es n mögliche Werte von
( = 0, 1,...n - 1), und für jeden Wert von
gibt es 2 +1
mögliche Werte von m .
Beim Wasserstoffatom hängt die Energie nur von n ab, wobei mehrere unterschiedliche ψ n, ,m der gleichen
Energie entsprechen (Entartung), außer für n = 1 ⇔
= 0, m = 0.
Entartung aufgehoben durch Spin, relativistische Effekte, Kernspin, quantenelektrodynamische Effekte.
http://winter.group.shef.ac.uk/orbitron/AOs/1s/index.html
Der Grundzustand
Grundzustand n = 1 ⇔
ψ 1,0,0 = C1,0,0 e − Zr
a0
= 0, m = 0, E1 = −13.6 eV, L = 0,
wobei a0 = (4πε 0 )
C1,0,0 aus Normierungsbedingung
∫ψ
2
me 2
2
dV = ( r sinθ d φ )( r θ ) dr = r 2 sinθ dθ dφ dr
= 0.0529 nm Bohr'sches Radius
dV = 1 wobei
⇒
∞ π 2π
⎡ π ⎡ 2π 2 2
⎤
⎡ ⎡
⎤
⎤ ⎤
−2 Zr a0 2
2
ψ
d
V
=
ψ
r
sin
θ
d
φ
d
θ
d
r
=
C
e
r
sin
θ
d
φ
dθ ⎥dr = 1 ⇒
⎢
⎥
⎢
⎢
⎥
⎢
⎥
∫
∫0 ⎢ ∫0 ⎣ ∫0
∫0 ⎢ ∫0 ⎣ ∫0 1,0,0
⎥
⎥⎦
⎦
⎦
⎣
⎦
⎣
⎛ 2π
⎞⎛ π
⎞ ⎛ ∞ −2Zr a0 2 ⎞
⎛ ∞ −2Zr a0 2 ⎞
2
2
2
r dr ⎟ = C1,0,0 2π 2 ⎜ ∫ e
r dr ⎟ = 1
∫ ψ dV = C1,0,0 ⎜⎝ ∫0 dφ ⎠⎟ ⎜⎝ ∫0 sinθ dθ ⎟⎠ ⎜⎝ ∫0 e
⎠
⎝0
⎠
aus Tabellenwerk http://www.sosmath.com/tables/integral/integ38/integ38.html
2
∞
∞
n − ax
∫ x e dx =
0
Γ( n + 1)
und
a n +1
aus Tabellenwerk http://www.sosmath.com/calculus/improper/gamma/gamma.html
Γ( n + 1) = n !
http://www.sosmath.com/tables/integral/integ38/integ38.html
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http://www.sosmath.com/calculus/improper/gamma/gamma.html
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∞
⇒
∫e
−2 Zr a0
r dr =
2
0
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2!
( 2Z
a0 )
3
a03
=
4Z 3
⇒ C
2
1,0,0
a03
2π 2
=1
4Z 3
⇒ C1,0,0
Seite 12
1 ⎛Z ⎞
=
⎜ ⎟
π ⎝ a0 ⎠
3 2
⇒ ψ 1,0,0
1 ⎛Z ⎞
=
⎜ ⎟
π ⎝ a0 ⎠
32
e − Zr
a0
Wahrscheinlichkeit, das Elektron in einem Volumenelement dV zu finden: ψ 2 dV
⇒ wegen Gl. (36.33) Wahrschenlichkeitsdichte kugelsymmetrisch ⇒
dV = r
π
2
2π
∫ sinθ dθ ∫ dφ dr = 4π r
0
2
dr
0
Wahrscheinlichkeit, das Elektron zwischen r und r + dr anzutreffen:
3
P ( r )dr = ψ
Wahrscheinlichkeitsdichte ψ
2
2
4π r dr = 4π C
2
2
1,0,0
2
r e
−2 Zr a0
⎛Z ⎞
= 4 ⎜ ⎟ r 2 e−2Zr
⎝ a0 ⎠
a0
⇒
für den
Grundzustand des Wasserstoffatoms
⇒ Elektronenladungsdichte: -e ψ
2
Maximum von P ( r ) liegt beim wahrschenilichsten Abstand r = a0
Beispiel 36.4: Die Wahrscheinlichkeit, das Elektron in einer dünnen Kugelschale anzutreffen.
Grundzustand des Wasserstoffatoms ⇒ gesucht: Wahrscheinlichkeit, das Elektron in einer dünnen
Kugelschale mit dem Radius r und der Dicke Δr = 0.06a0 zu finden a) bei r = a0 , b) bei r = 2a0 :
⎡ ⎛ 1 ⎞3
⎤
2 −2
Da Δr
r ⇒ a) für Z = 1 und r = a0 ⇒ P (r )Δr = ⎢ 4 ⎜ ⎟ a0 e ⎥ 0.06a0 = 0.0325,
⎢⎣ ⎝ a0 ⎠
⎥⎦
⎡ ⎛ 1 ⎞3
⎤
2 −4
b) für Z = 1 und r = 2a0 ⇒ P ( r )Δr = ⎢ 4 ⎜ ⎟ 4a0 e ⎥ 0.06a0 = 0.0176,
⎢⎣ ⎝ a0 ⎠
⎥⎦
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Der erste angeregte Zustand
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Seite 13
Erster angeregter Zustand ⇔ n = 2
für
für
für
= 0 und m = 0 ⇒ ψ 2,0,0
⎛
Zr
= C2,0,0 ⎜ 2 −
a0
⎝
= 1 und m = 0 ⇒ ψ 2,1,0 = C2,1,0
= 1 und m = ±1 ⇒ ψ 2,1,±1
Zr − Zr
e
a0
⎞ − Zr
⎟e
⎠
2
2 a0
⇒
ψ 2,0,0
2
=C
2
2,0,0
⎛
Zr ⎞ − Zr
⎜2 −
⎟ e
a
0 ⎠
⎝
a0
2
2a0
Zr − Zr
e
= C2,1,1
a0
cosθ
⇒
ψ 2,1,0
2
⎛ Zr ⎞ − Zr
2
= C2,1,0
⎜
⎟ e
a
⎝ 0 ⎠
a0
cos2θ
2
2 a0
sinθ e
± iφ
⇒
2
ψ 2,1,±1 = C
2
2,1,1
⎛ Zr ⎞ − Zr
⎜
⎟ e
⎝ a0 ⎠
a0
sin2θ
http://winter.group.shef.ac.uk/orbitron/AOs/2s/index.html
http://winter.group.shef.ac.uk/orbitron/AOs/2p/index.html
2
Für
= 0 ist ψ
für
= 1 und m = 0 ist ψ
für
= 1 und m = ±1 ist ψ
kugelsymmetrisch,
2
∼ cos 2θ ,
2
∼ sin2θ ⇒
entscheidend für die Struktur von Molekülen.
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Radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit P ( r ) des Elektrons im
Wasserstoffatom für Zustände mit n = 2.
Für = 1 ist P (r ) maximal bei r = 4a0 = zweiter Bohr'scher Radius.
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36.5 Spin-Bahn-Kopplung und Feinstruktur (The spin-orbit effect and fine structure)
Seite 14
Von der Bahnbewegung herrührende magnetische Moment eines Elektrons im Atom:
halbklassich Teilchen mit Masse m auf Kreisbahn mit Radius r ⇒
Drehimpuls L = mvr , magnetisches Moment μ = IA = Iπ r 2 ⇒ mit I =
μ = IA =
q
tUmlauf
=
qv
2π r
⇒
qv
1
q
q
L bzw. μ =
L
π r 2 = qvr =
2π r
2
2m
2m
Das Quantum des Drehimpulses ist
⇒ μ=
q L
2m
⇒
Von der Bahnbewegung des Elektrons herrührende magnetische Moment für das Elektron μ = −
wobei μB =
e L
L
= − μB
2m
e
= 5.79 × 10−5 eV T -1 Bohr'sches Magneton.
2m
Vom Spindrehimpuls S des Elektrons herrührende magnetische Moment für das Elektron μS = −2
e S
S
= −2μB
2m
wobei Faktor 2 aus quantenmechanischen Gegebenheiten + Relativitätstheorie.
Gesamtdrehimpuls J = L + S ⇒ in der Quantenmechanik sind die Richtungen
von L und S beschränkt, und die Beträge L und S quantisiert (L =
(
+ 1)
bzw. S = s ( s + 1) .
Außerdem sind die Richtungen von J beschränkt, und der Betrag J quantisiert
⇒ für ein Elektron mit Bahndrehimpuls mit Quantenzahl
Quantenzahl s = 1 2:
J=
j ( j + 1)
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wobei für
=0 ⇒ j =
1
und für
2
und Spin mit
>0 ⇒ j = +
Seite 14
1
1
oder j = − .
2
2
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Teil 36 Atome
Seite 15
Atomzustände mit gleichem n und , aber verschiedenem j haben geringfügig verschiedene Energien ⇔
Feinstrukturaufspaltung der Energieniveaus durch die Spin-Bahn-Kopplung ⇒ Feinstruktur von Spektrallinien.
Spin-Bahn-Kopplung: Elektron mit Bahndrehimpuls L ⇒
vom Elektron aus gesehen erzeugt das sich bewegende
Proton am Ort des Elektrons ein Magnetfeld B L.
Mit dem Spin S des Elektrons ist das magnetische Moment
μS verknüpft ⇒ Energie des Elektrons ELS = − μS ⋅ Bp ⇒
Energie am geringsten wenn μS
Energie am höchsten wenn μS
Bp
−Bp
L ⇒ S antiparallel zu L,
−L ⇒ S parallel zu L,
Beispiel 36.5: Bestimmung von B aus der Feinstrukturaufspaltung
Wasserstoffatom: Feinstruktur-Aufspaltung ΔE = 4.5 × 10−5 eV ⇒ gesucht: Magnetfeld Bp ⇒
aus Epot = − μS ⋅ Bp = 2μB
S
⋅ Bp = 2μB
ms
Bp = 2μB ms Bp = ± μB Bp ⇒ ΔE = + μB Bp − ( − μB Bp ) = 2μB Bp
ΔE
4.5 × 10−5 eV
⇒ B=
=
= 0.389 T
2μB 2 5.79 × 10−5 eV T -1
(
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)
Seite 15
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36.6 Das Periodensystem der Elemente (The periodic table)
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http://www.webelements.com/
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Für Atome mit mehreren Elektronen kann die Schrödinger-Gleichung nicht exakt gelöst werden ⇒
Anwendung von Näherungsverfahren.
Der Zustand jedes Elektrons wird durch vier Quantenzahlen n, , m , und ms gekennzeichnet.
Energie des Elektrons vor allem durch Hauptquantenzahl n (hängt mit Radialteil der Wellenfunktion zusammen) und
durch Bahndrehimpulsquantenzahl bestimmt (Elektronenkonfiguration) ⇒ allgemein gilt: je niedriger n, desto
geringer die Energie, und bei gegebenem n ist die Energie umso geringer, je niedriger
Bezeichung der Elektronenschale
Wert von n
K
1
L
2
...siehe Tabelle 36.1
...
ist.
Bezeichung
s
p
d
f
g
h
Wert von
0
1
2
3
4
5
Die Elektronenkonfiguration der Atome unterliegen dem Pauli'schen Ausschließungsprinzip: zwei Elektronen in einem
Atom können sich niemals gleichzeitig im gleichen Quantenzustand befinden ⇒ Erklärung f ür den Aufbau des
Periodensystems ⇒ jedes Elektron besetzt den Zustand mit der geringstmöglichen Energie, der nach dem
Pauli'schen Ausschließungsprinzip erlaubt ist.
Helium (Z=2)
http://www.webelements.com/webelements/elements/text/He/key.html
Z = 2 ⇒ zwei Elektronen im Grundzustand in der K-Schale mit n = 1,
= 0, m = 0; ein Elektron hat ms = +1/ 2,
das andere ms = −1/ 2 ⇒ resultierendes Spin S = 0 ⇒ weil L = 0 ⇒ Gesamtdrehimplus J = 0.
Elektronenkonfiguration 1s2 , vollständig gefüllt.
Ionisierungsenergie: Energie, die aufzubringen ist, um aus dem Grundzustand ein gebundenes Elektron zu
entfernen = Bindungsenergie des zuletzt hinzugefügten (energiereichsten) Elektrons.
Beispiel 36.6: Die Wechselwirkungsenergie der Elektronen im Heliumatom
mögliches Prüfungsbeispiel
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M. Musso: Physik II
Teil 36 Atome
Lithium (Z=3)
http://www.webelements.com/webelements/elements/text/Li/key.html
Seite 17
Z=3 ⇒ K-Schale (n = 1) vollständig gefüllt, drittes Elektron in der L-Schale (n = 2).
Kernladung durch die beiden inneren Elektronen teilweise abgeschirmt ⇒ äußeres Elektron spürt eine
effektive Kernladung Z ' e, die etwas größer als + 1e ist ⇒ E = −
1 1 Z ' e2
2 4πε 0 r
⇒ je stärker die
Durchdringung der inneren Elektronenwolke, umso höher die effektive Kernladung, und desto geringer die
Energie, wobei Elektronen mit sehr kleinem die größere Durchdringung haben ⇒ im Lithiumatom äußeres
Elektron mit = 0 (s-Zustand) hat niedrigere Energie als mit = 1 (p-Zustand) ⇒
Elektronenkonfiguration 1s2 2s bzw. [He] 2s.
Beispiel 36.7: Die effektive Kernladung für ein äußeres Elektron
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Berillium (Z=4)
Teil 36 Atome
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Z=4 ⇒ Energie minimal wenn beide aüßeren Elektronen in 2s-Zuständen ⇒ n = 2,
ms = −
1
2
= 0, m = 0, ms = +
1
und
2
⇒ Elektronenkonfiguration 1s2 2s2 oder [He]2s2
Bor bis Neon (Z=5 bis 10)
2s-Unterschale vollständig besetzt ⇒ nächste Unterschale n = 2 und
= 1 ⇒ m = +1, 0, und -1 wobei für jedes m
1
1
und ms = − möglich ⇒ 6 Elektronen können in der 2p-Unterschale aufgenommen werde n ⇒
2
2
Elektronenkonfiguration von Bor [He]2s2 2p, von Kohlenstoff [He]2s2 2p 2 , ..., von Neon [He]2s2 2p 6 ⇒
Ionisierungenergie steigt mit Z, maximal bei Neon
http://www.webelements.com/webelements/elements/text/Ne/ionz.html,
ist ms = +
Elektronenkonfiguration von Fluor [He]2s2 2p5 ⇔ fehlt nur ein Elektron zum vollständigen Ausfüllen der
2p-Unterschale ⇒ reagiert heftig mit Elementen, deren Atome nur ein äußeres Elektron haben,
z.B. LiF = Ionenpaar Li+ und F−
Natrium bis Argon (Z=11 bis Z=18)
Elftes Elektron in der Schale n = 3 ⇒
= 0 (s), 1 (p), oder 2 (d) ⇒ wegen der Durchdringung ⇒
Energie der 3s-Unterschale < Energie der 3p-Unterschale < Energie der 3d-Unterschale.
Elektronenkonfiguration von Na: [Ne]3s1 ⇒ für höhere Z wird zuerst die 3s-Unterschale (maximal 2 Elektronen), und
dann die 3p-Unterschale gefüllt (maximal 6 Elektronen) ⇒ 2+6=8 Elektronen ⇒
Elektronenkonfiguration von Ar: [Ne]3s1 3p6
http://winter.group.shef.ac.uk/orbitron/AOs/3s/index.html http://winter.group.shef.ac.uk/orbitron/AOs/3p/index.html
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Elemente mit Z>18
Teil 36 Atome
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Z > 18 ⇒ durch die Durchdringung der inneren Schalen hat das nächste Elektron in der 4s-Unterschale eine
geringere Energie als in der 3d-Unterschale ⇒ Elektronenkonfiguration in K und Ca: [Ar]4s1 bzw. [Ar]4s2 ⇒
Elektronenkonfiguration von Sc bis Zn: [Ar]3d1 4s2 bis [Ar]3d10 4s2 (Ausnahmen Cr, Cu) ⇔
Nebengruppenelemente bzw. Übergangsmetalle
http://winter.group.shef.ac.uk/orbitron/AOs/4s/index.html
http://winter.group.shef.ac.uk/orbitron/AOs/3d/index.html
Ionisierungsenergie in Abhängigkeit von der Ordnungszahl Z.
Sie steigt jeweils mit Z an, bis eine Schale oder Unterschale gefüllt ist.
Schematische Darstellung von Elektronenkonfigurationen
siehe auch
http://winter.group.shef.ac.uk/orbitron/index.html
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Teil 36 Atome
36.7 Spektren im sichtbaren und im Röntgengebiet (Optical spectra and X-ray spectra)
Seite 26
Atome im angeregten Zustand ⇒ Übergang in einem Zustand geringerer Energie durch Emission von
hc
elektromagnetischer Strahlung: λ =
⇒ Emissionsspektrum des betreffenden Elements
E f − Ei
Spektren im sichtbaren Gebiet
Zustansbezeichung
Die Anregungsenergie der äußeren Elektronen
2S +1
LJ
(Valenzelektronen) liegt bei einigen eV ⇒ Übergänge,
die diese Elektronen erfahren, führen zur Emission oder
Absorption von Photonen im sichtbaren Bereich ⇒
optisches Spektrum.
Natriumatom: Elektronenkonfiguration [Ne]3s1 ⇒
gefüllte innere Elektronenschalen haben Bahndrehimpuls
und Spindrehimpuls null ⇒ resultierender Spin aufgrund
des Valenzelektrons S = 1 2 ⇒
wegen Spin-Bahn-Kopplung haben Zustände mit
J = L − 1 2 eine etwas kleinere Energie als Zustände
mit J = L + 1 2 (abgesehen von S-Zuständen
⇔ Dublett
für L = 1 ⇒
2
P3 2 und 2 P1 2 , für L = 0 ⇒
2
L = 0)
Leuchtreklame
mit Neonröhren
S1 2 ⇒
Übergänge vom ersten angeregten Zustand 3p zum
Grundzustand 3s ⇒ Natrium D-Linien:
(
3p (
3p
)
(
) → 3s (
2
P3 2 → 3s
2
2
P1 2
2
S1 2
S1 2
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)
)
Termschema des Natriumatoms
⇔ λ = 589.0 nm
⇔ λ = 589.6 nm
http://physics.nist.gov/PhysRefData/ASD/index.html
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Röntgenspektren
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Röntgenstrahlen erzeugt man durch Beschuß einer Metallanode mit energiereichen Elektronen ⇒
die Anode emittiert ein kontinuierliches Spektrum, abhängig von der Energie der auftreffenden Elektronen
(Bremsstrahlung), und Linien, die für das Anodenmaterial charakteristisch sind ⇔ Anregung innerer Elektronen.
Energie zur Anregung eines inneren Elektrons wesentlich höher als die Energie zur Anregung eines
Valenzelektrons, da ein inneres Elektron wegen des Pauli'schen Ausschließungsprinzip bei der Anregung
keine bereits gefüllte Schale oder Unterschale erreichen kann.
Elektron aus der K-Schale (n = 1) angeregt ⇒ Lücke wird hinterlassen ⇒
gefüllt durch Übergang aus der L-Schale oder aus höheren Schalen in die
K-Schale ⇒ Emission von Energie im keV-Bereich:
K α -Linie erzeugt durch Übergänge von n = 2 (L-Schale) zu n = 1 (K-Schale),
K β -Linie erzeugt durch Übergänge von n = 3 (M-Schale) zu n = 1 (K-Schale),
die Serie bezeichnet die Schale, die Elektronen bei Übergängen erreichen,
und der Index gibt an aus welcher Schale der Elektronen übergehen
(α nächsthöhere, β übernächste, usw).
Moseley-Kurve :
1
λKα
= a ( Z − 1)
Röntgenspektrum von Molybdän
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/xrayc.html
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Gleichung, die die Wellenlänge der emittierten Photonen und die Ordnungszahl miteinander verküpft:
Elektron von n = 2 nach n = 1 ⇒ aus Gl. (36.13) ν = Z 2
1
λK
α
E ⎛1
1 ⎞
=Z 0 ⎜ 2 − 2⎟
hc ⎝ 1
2 ⎠
2
⇒
1
λK
α
⎡E
=⎢ 0
⎣ h
1
⎛
1
−
⎜
22
⎝
⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
E0
h
c
1 ⎞
⎛1
⎜ 2 − 2⎟=λ
2 ⎠
⎝1
Kα
⇒
12
Z
Berücksichtigung der Abschirmung der Kernladung durch die inneren Elektronen ⇒ statt Z ⇒ Z - 1
⇒ Übergang eines Elektrons von der Schale mit Hauptquantenzahl n in die K-Schale
hc
λK =
1
2
( Z-1) E0 ⎛⎜ 1 − 2 ⎞⎟
n ⎠
⎝
Beispiel 36.8: Indentifizieren eines Elements aus der Kα-Röntgenlinie
K α -Linie bestimmt zu λ = 0.0721 nm ⇒ gesucht: welches Element ?
K α -Linie
von n = 2 nach n = 1
hc
1
2
( Z-1) E0 ⎛⎜1 − 2 ⎞⎟
2 ⎠
⎝
Z = 42 ⇒ Molybdän
⇒ λKα =
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⇒
hc
1
2
( Z-1) E0 ⎛⎜ 1 − 2 ⎞⎟
n ⎠
⎝
4 (1240 eV nm )
4hc
hc
=
=
=
= 1686 ⇒
1 ⎞ 3λKα E0 3 ( 0.0721 nm )(13.6 eV )
⎛
λKα E0 ⎜ 1 − 2 ⎟
2 ⎠
⎝
⇒ aus Gl. (36.47) λK =
( Z-1)
2
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Teil 36 Atome
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38. Atome, Moleküle und Festkörper
38.1 Einführung
38.2 Angulare Wellenfunktion unter Einfluß einer Zentralkraft
38.3 Atome mit einem Elektron
38.4 Atome mit zwei Elektronen
38.5 Atome mit vielen Elektronen
38.6 Zweiatomare Moleküle
38.7 Lineare Moleküle
38.8 Die Geometrie von Molekülen
38.9 Struktur von Festkörpern
38.10 Elektronen in Metallen
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