Einführung in die Statistik SS2009

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Studiengang:
Abschluss:
Einführung in die Statistik SS2009
Klausur
Die Gesamtpunktzahl ist 28. Die Klausur gilt ab 10 Punkten als bestanden.
Aufgabe 1 (4+3+1 Punkte)
(a) Die folgende Tabelle gebe die Einkommensverteilung in einer Gemeinde wieder:
Einkommensklasse
(0,10000)
(10000, 35000)
(35000, 55000)
(55000, 100000)
Anzahl der Personen
440
280
260
40
Konstruieren Sie ein Histogramm.
(b) Die folgende Tabelle gebe die Messungen zweier Zufallsvariablen wieder.
X
Y
2
6
5
2
4
9
6
3
6
5
Berechnen Sie die Rangkorrelation von X und Y sowie dir Korrelation nach BravaisPearson.
(c) Man habe jeweils 100 Beobachtungen zweier numerischer Merkmale X und Y vorliegen.
Mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate erhalte man die Regressionsgerade
y = 4.6485613 + 0.8693448x
Das Bestimmtheitsmaß der Regressionsgerade betrage 0.819084. Die empirische Varianz
von Y sei 907.8082. Wie groß ist die empirische Varianz von X?
Aufgabe 2 (4 Punkte) Seien X und Y Zufallsvariablen mit der gemeinsamen Dichte f (x, y).
Zeigen Sie, dass X − Y die Dichte
Z
fX−Y (z) =
f (y + z, y)dy
R
besitzt. Wie sieht die Dichte im Fall von zwei unabhängigen Exponential Verteilungen mit den
Dichten
1
1
fY (y) = 1(0,∞) (y)
exp(−y/λY ) bzw. fX (x) = 1(0,∞) (x)
exp(−x/λX )
λY
λX
für λX > 0 und λY > 0 aus?
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Aufgabe 3 (2+2 Punkte) Sei X eine geometrisch verteilte Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion
P(X = k) = p(1 − p)k
für k = 0, 1, 2, . . . .
Für N ∈ N definiere man die Zufallsvariable Y := min(X, N ).
(a) Bestimmen Sie P(Y = k).
(b) Berechnen Sie den Erwartungswert E(Y ).
Aufgabe 4 (4 Punkte) X1 , . . . , Xn seien unabhängige, gammaverteilte Zufallsvariablen mit
der Dichte
xp−1
fXj (x) = 1(0,∞) (x)
exp(−x/λ).
Γ(p)λp
Der Parameter p sei bekannt. Berechnen Sie den Maximum Likelihood Schätzer für λ.
Aufgabe 5 (2+2 Punkte) Eine Experiment mit einer unbekannten Erfolgswahrscheinlichkeit
p werde 20 mal hintereinander durchgeführt. Die Ausgänge der einzelnen Experimente werden
als voneinander unabhänig angenommen. Insgesamt werden 5 Erfolge verzeichnet.
(a) Testen Sie die Nullhypothese H0 : p = 0, 4 gegen die Alternative H1 : p 6= 0, 4 zu einem
Signifikanzniveau von α = 0, 05.
(b) Testen Sie die Nullhypothese H0 : p ≥ 0, 4 gegen die Alternative H1 : p < 0, 4 zu einem
Signifikanzniveau von α = 0, 05.
Aufgabe 6 (1+3 Punkte) Es liegen zwei Stichproben A = {X1 , . . . , X20 } und B = {Y1 , . . . , Y25 }
vor. Die Zufallsvariablen Xi und Yj werden als unabhängig und normalverteilt angenommen.
Weiter nimmt man man, dass die Erwartungswerte und Varianzen innerhalb einer Stichprobe
gleich seien, d.h. es gilt
2
2
Xi ∼ N (µA , σA
) i = 1, . . . , 20 bzw. Yj ∼ N (µB , σB
) i = 1, . . . , 25
Die Parameter µA und µB seien bekannt. Die Parameter σA und σB seien unbekannt.
(a) Bestimmen Sie die Verteilung von
1
2
20σA
P20
i=1 (Xi
− µA )2 bzw.
1
2
25σB
P25
i=1 (Yi
− µB )2
P20
2 = 1
2
(b) Als Stichprobenvarianz erhalte man SX
i=1 (xi − µx ) = 23, 24 und
20
P
25
1
2
SY2 = 25
i=1 (yi − µx ) = 36, 67. Konstruieren Sie ein 0, 95-Konfidenzintervall (α = 0, 05)
für den Quotienten
2
σA
.
2
σB