Zeitreihenanalyse - Technische Universität Braunschweig

Institut für Mathematische Stochastik
Technische Universität Braunschweig
Prof. Dr. Alexander Lindner
Martin Drapatz, M. Sc.
Zeitreihenanalyse
Übungsblatt 2
Wintersemester 2012 / 2013
Abgabe bis Montag, den 29.10.12 10:00 in den Schrank hinter PK 4.3
Stichworte: Schwache Stationarität, Autokovarianzfunktion, Gaußsche Zeitreihe
Aufgabe 4 (1+1+1 Punkte)
Überprüfen Sie, ob die folgenden Funktionen fi : Z → R, i = 1, 2, 3, Autokovarianzfunktionen
eines schwach stationären Prozesses sind.
1 , h=0
a) f1 (h) =
1/h , h 6= 0
) − cos( πh
).
b) f2 (h) = 1 + cos( πh
2
4

 1 , h=0
c) f3 (h) = 0.4 , |h| = 1

0 , sonst
Aufgabe 5 (3 Punkte)
Im Beispiel 2.7 der Vorlesung wurde gezeigt, dass eine Irrfahrt im Allgemeinen nicht schwach
stationär ist. Sei eine Irrfahrt
St = µ + St−1 + Xt ,
t = 1, 2, . . . ,
gegeben, wobei µ ∈ R und (Xt )t∈Z ∼ IID(0, σ 2 ). Zeigen Sie, dass {∇St }t∈Z schwach stationär
ist.
Aufgabe 6 (6 Punkte)
Sei X = (Xt )t∈Z eine reelle, stationäre, zentrierte Gaußsche Zeitreihe mit Autokorrelationsfunktion ρX . Zeigen Sie, dass die Autokorrelationsfunktion ρY von Y = (Yt )t∈Z , wobei dieser
Prozess für t ∈ Z durch Yt = 1{Xt >0} definiert ist, durch
ρY (h) =
2
arcsin(ρX (h)),
π
h ∈ Z,
gegeben ist.
Tipp: Gehen Sie folgendermaßen vor:
Zeigen
Sie,dass für einen bivariat normalverteilten Vektor (X, Y ) ∼ N ((0, 0), Σ), wobei
1 ρ
Σ=
und |ρ| < 1, folgende Gleichung gilt:
ρ 1
P (X > 0, Y > 0) =
1
1
+
arcsin ρ.
4 2π
Y −ρX
unabhängige, standardUm diese Gleichung zu beweisen, zeigen Sie, dass X und Z = √
2
1−ρ
normalverteilte Zufallsvariablen sind und versuchen sie die Wahrscheinlichkeit P (X > 0, Y >
0) über die Zufallsvariablen X und Z auszudrücken. Schlußendlich könnte eine Substitution
zu Polarkoordinaten hilfreich sein.