Elementare Zahlentheorie - sigma

Elementare Zahlentheorie
Vorlesung 08
13.11.2006
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§5
Zur Primzahlverteilung
Schreibweise. Für k ∈ N sei pk die k-te positive Primzahl, d.h. P = {p1 , p2 , p3 , . . . } mit p1 < p2 < p3 < . . ..
Fundamentales Problem (Primzahltest).
Gegeben: n ∈ N. Frage: n ∈ P?
(1.47) Bemerkung. Sei n ∈ N, n > 1.
(a) Ist n zusammengesetzt, dann existiert ein p ∈ P mit p ≤
√
n und p | n.
(b) Algorithmus (Primzahltest durch Probedivision):
Eingabe: n ∈ N, n > 1.
Ausgabe: „n ∈ P“ oder „n ∈
/ P“.
Begin
k := 1;
√
While pk ≤ n do
If n mod pk = 0
Return("n ∈
/ P");
Fi;
k := k + 1;
End While;
Return("n ∈ P");
End.
(1.48) Bemerkung.
√
zahlen ≤ n.
(a) Um den Algorithmus in (1.47)(b) durchzuführen, benötigen wie die Liste der Prim-
(b) √
Falls n ∈ P, muss der Algorithmus für alle p ∈ P, p ≤
n}?
√
n testen, ob p | n gilt. Wie groß ist {p ∈ P | p ≤
Die erste Aufgabe aus (1.48) kann mit Hilfe des Siebes von Eratosthenes erledigt werden, die zweite Aufgabe
mit dem Primzahlsatz.
(1.49) Algorithmus (Sieb des Erotosthenes). Eingabe: S ∈ N, S ≥ 2.
Ausgabe: p1 , . . . , pk ∈ P mit pk = max{p ∈ P | p ≤ S}.
Begin
Initialisiere Liste L mit {1, 2, . . . , S}, streiche 1;
Setze p0 := 1;
Führe für i = 1, 2, 3, . . . folgende Schritte durch:
i-ter Schritt: pi := kleinste noch nicht gestrichene Zahl > pi−1 aus L;
1
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2
Ist p2i > S, beende den Algorithmus;
sonst streiche alle (noch nicht gestrichenen) Vielfachen von pi aus L;
End.
(1.50) Bemerkung. Algorithmus (1.49) terminiert (klar). Die nicht gestrichenen Zahlen sind genau die Primzahlen ≤ S.
Beweis. Die im i-ten Schritt (i ≥ 1) definierte Zahl pi ist die i-te Primzahl (Induktion über i). Ist 2 ≤ q ≤ S
nicht gestrichen, dann ist q ∈ P (sonst existierte ein pj ∈ P mit p2j ≤ q ≤ S und pj | q, vgl. (1.47)(a) und
q wäre im j-ten Schritt gestrichen worden). Ist q ∈ P, 2 ≤ q ≤ S, dann ist q nicht gestrichen, denn nur
zusammengesetzte Zahlen werden gestrichen.
Beispielhafte GAP-Implementation (einer Variante) von Algorithmus (1.49);
Begin
P := [0, 1, . . . 1]; Liste der Länge S, 0: gestrichen, 1: ungestrichen
i := 1;
while i2 ≤ S do
while p[i] = 0 do
i = i + 1; Hier wird die nächste noch nicht gestrichene Zahl gesucht: i.
od;
j := 2i; Hier werden die Vielfachen 2i, 3i, . . . vor i gestrichen.
while j ≤ S do
P [j] := 0;
j := j + 1;
od;
od; Die i-te 1 in P steht an Position pi .
End.