Theoretische Physik 2 SS 2010

Theoretische Physik 2
SS 2010
Philipp Reichert
[email protected]
.
Inhaltsverzeichnis
1 Elektrostatik
1.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Die Grundgleichungen der Elektrostatik . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 1. Grundgleichung der Elektrostatik . . . . . . . . . . .
1.2.2 2. Grundgleichung der Elektrostatik . . . . . . . . . . .
1.3 Die Multipolentwicklung: Der Dipol . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Elektrostatik der Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Die Grundgleichungen der Elektrostatik für Dielektrika
1.5 Die Energie des elektrostatischen Feldes . . . . . . . . . . . . .
2 Megnetfeld stationärer Ströme und Magnetostatik
2.1 Kontinuitätsgleichung und Stationaritätsbedingung . . . .
2.2 Grundgleichungen des Magnetfeldes stationärer Ströme . .
2.2.1 Differentielle Form der Grundgleichungen . . . . . .
2.3 Magnetfeld eines Stromfadens . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Kräfte zwischen zwei Leiterschleifen (Amperesches Gesetz)
2.5 Das magnetische Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Magnetostatik der Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
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1
1
2
2
3
3
4
5
6
7
. 7
. 7
. 8
. 9
. 9
. 9
. 10
3 Zeitabhängige elektromagnetische Erscheinungen - Elektrodynamik
3.1 Die Maxwell-Gleichungen (1865) . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Das Faradaysche Induktionsgesetz (1831) . . . . . . . .
3.1.2 Der Maxwellsche Verschiebungsstrom . . . . . . . . . .
3.1.3 System der Maxwellschen Gleichungen . . . . . . . . .
3.2 Die Potentiale des zeitabhängigen elektromagnetischen Feldes
3.3 Lösungen der inhomogenen Wellengleichung . . . . . . . . . .
3.4 Elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Elektromagnetische Wellen in Medien . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Elektromagnetische Wellen an Grenzflächen . . . . . .
12
12
12
12
13
13
14
15
17
18
Theoretische Physik 2
1
1.1
Elektrostatik
Grundbegriffe
Masse, Länge und Zeit
! wie in der Mechanik, hinzu kommt die Ladung qk ,
Gesamtladung Q = k qk .
Gesetz der Ladungserhaltung
In einem abgeschlossenen System (ohne Stromfluss) bleibt die Summe aus
positiver und negativer Ladung konstant:
"
Q=
qk = const.
k
Coulombsches Gesetz
r!1 − r!2
F!12 = kq1 q2
|r!1 − r!2 |3
elektrische Feldstärke
! r ) = Q · !r − r!0
E(!
4π#0 |!r − r!0 |3
! r) ist ein konservatives Kraftfeld, das es aus
Das elektrostatische Feld E(!
einem Potential
ϕ(!r ) =
1
q
·
4π#0 |!r − r!0 |
nach der Formel
! r ) = −grad ϕ(!r)
E(!
abgeleitet werden kann.
! r) ist wirbelfrei, es existieren also keine geschlosDas elektrostatische Feld E(!
senen Feldlinien. Es besitzt nur Quellen und Senken.
! r) = 0
rot E(!
Kontinuierliche Darstellung des Potentials
!
#
!!
q
1
! %(r )
, %(!r ) =
dV
ϕ(!r ) =
4π#0
V
|!r − r!! |
1
Theoretische Physik 2
1.2
Die Grundgleichungen der Elektrostatik
Definition des Flussintegrals des Vektorfeldes $
! , wobei df
! das
! durch eine Fläche S:
! df
Das Flussintegral des Feldes A
A
S
gerichtete Flächenelement ist.
1.2.1
1. Grundgleichung der Elektrostatik
Gaußscher Satz
#
#
1
!
!
E df =
dV %(!r ) , integrale Form
#0 V
S
Herleitung:
q
!r
q
·
· R2 · sin θdθdϕ e!r =
· sin θdθdϕ
3
%&'(
4π#0 ( |!r | )
4π#0
%&'(
= |!!rr |
=R
#
# π
# 2π
q
q
!
!
⇒
E df =
·
sin θdθ
dϕ =
4π#0 0
#0
S
0
! =
! · df
E
Mathematischer Gaußscher Satz
#
#
! =
! df
!
!=E
!
A
div AdV
, mit A
S
V
#
#
#
1
!
!
!
div EdV =
%dV
E df =
#0 V
S
V
Damit folgt für die 1. Grundgleichung in differentieller Form:
! = 1%
div E
#0
2
Theoretische Physik 2
1.2.2
2. Grundgleichung der Elektrostatik
Der Stoksche Satz
#
#
!
!
!
! df
Adl =
rot A
L
S
2. Grundgleichung in differentieller Form:
! =0
rot E
2. Grundgleichung in integraler Form:
)
! =0
! dl
E
L
Anwendung 1: homogen geladene Platte
#
! = 2EF
! df
! k = σFk ⇔ E
! = σ e!z
E
#0
2#0
Kasten
Anwendung 1: Kapazität des Kondensators
! innen = σ e!z ⇒ C = Q = σ · F = #0 · F
E
#0
U
E·d
d
Poissongleichung
! = −grad ϕ ⇒ div grad ϕ = − % = $ϕ
E
#0
1.3
Die Multipolentwicklung: Der Dipol
Potential einer Ladungswolke
#
%(r!! )
1
dV !
ϕ(!r ) =
!
!
4π#0
|!r − r |
Multipolentwicklung
f (!r − r!! ) = f (!r ) + (−r!! · !) · f (!r)
1
1
⇒ (−r!! · !!r" ) ·
= 3 (r!! · !r ) in ϕ einsetzen
|!r|
r
Dipolmoment $
Der Vektor p! = dV ! %(r!! ) ·!
r!! wird als Dipolmoment der Ladungsverteilung
bezeichnet. Hierbei ist !p = j qj r!j die diskrete Darstellung.
3
Theoretische Physik 2
Satz 1.1
!
Wenn die Gesamtladung Q = j qj = 0 (elektrisch neutrales System), so ist
p! von der Wahl des Koordinatensystems unabhängig, das heißt p! charakterisiert das System.
Beweis 1.1
Die Koordinatentransformation ergibt: r!j = r!j! + !a in diskrete Darstellung
von !p:
"
"
p! =
qj r!j! +
qj!a = p!! + !a · Q , mit Q = 0
j
j
⇒ p! = p!!
einfachster Dipol: q1 =, q2 = −q ⇒ p! = q · %&'(
d
r"1 −r"2
!
Potentielle Energie U =
rj ) eines Dipols im äußeren Feld
j qj · ϕext (!
! = −grad ϕext :
E
! ϕ(0).
ϕ ändert sich nur schwach ϕ(!
rj ) ∼
= ϕ(0) + r!j · !
% &' (
⇒ U=
"
j
qj · ϕext (0) +
"
j
"
=−E
! ext )
qj · r!j (−E
! ext = p! · E
! ext
= ϕext (0) · Q − !p · E
! ⇒ U = Umin
p! & E
! ⇒ U = Umax
p! nicht parallel E
1.4
Elektrostatik der Dielektrika
Polarisationsmechanismen: Entstehung eines Polarisationsfeldes
1. Deformations-Polarisation: ohne anliegendes E-Feld ⇒ pos. und
neg. Ladungsschwerpunkte fallen zusammen; mit E-Feld ⇒ induzierte
Dipole entstehen und richten sich in Feldrichtung aus.
2. Orientierungspolarisation: ohne äußeres Feld → Dipolmomente in
Untereinheiten vorhanden; e-Feld anlegen ⇒ richten sich in Feldrichtung aus
Quellbedingungen des Polarisationsfeldes
Sei P! die Dielektrische Polarisation und %pol die Dichte der Polarisationsladungen. Dann gilt
div P! = −%pol
4
Theoretische Physik 2
Die Dielektrische Verschiebung
Aus den Quellbedingungen des Polarisations- und elektrischen Feldes folgt
mit % = %ext + %pol :
! + P! )
%ext = div (#0 · E
! + P!
! = #0 · E
D
! = %ext
⇒ div D
! sind die externen Ladungen.
Die Quellen von D
Zusammenhang von Polarisation
und Oberfl
ächendichte
$
$
!
aus Quellbedingung folgt V div P dV = − V %pol dV = −Qpol . Mit dem
$
$
$
! ⇔
! = −Qpol . Damit gilt
Gaußschen Satz folgt V div P! dV = S P! df
P! df
S
$
$
! =
! , da außerhalb von Dielektrikum P! = 0. Damit folgt:
P! df
P! df
S
Finnen
! = −!n · df
df
#
#
!
P! df = −
⇒
!n · P! · df = − PN df , gerichtete Polarisation
S
Finnen
#
#
PN df = −Qpol = − σpol df ⇔ PN = σpol
⇒
#
S
Satz 1.2
Die Polarisation P! ist gleich dem Dipolmoment pro Volumeneinheit.
Beweis 1.2
! folgt:
Aus dem Gesamtdipol D
! =Q·L
! = σpol · S · L ·e!x
D
% &' (
V
!
D
= σpol · e!x = P!
V
1 "
⇒ P! =
qi r!i
V
1.4.1
Die Grundgleichungen der Elektrostatik für Dielektrika
! = % = %ext
div D
! =0
rot E
#r = (1 + χ) ≥ 1 , Dielektrizitätskonstante
Hierbei bezeichnet χ die elektrische Suszeptibilität
5
Theoretische Physik 2
1.5
Die Energie des elektrostatischen Feldes
Ladungen werdn als unbeweglich angenommen. Dadurch gibt es keine kinetische Energie, sonder nur Energie aus der Wechselwirkung zwischen Teilchen
und Feld.
Potentielle Energie
von Ladungen im Potenzial ϕ : W = q·ϕ ist vollständig durch das elektrische
! bzw. sein Potential darstellbar.
Feld E
N
1 " qi · qj
4π#0 · W =
, diskrete Darstellung
2 i#=j |!
ri − r!j |
#
#
%(!r ) · %(r!! )
1
dV
dV !
, kontinuierliche Dastellung
4π#0 · W =
2
|!r − r!! |
#
W = dV %W (!r) , mit der Energiedichte
%W (!r) =
#0 ! 2
|E|
2
! trägt demnach potentielle Energie - Feldenergie.
Das Feld E
Plattenkondensator
Für die Energiedichte zwischen den Platten gilt: %W =
1
1
#0 ! 2
· F ·U
· %&'(
V = #0 · E · E
· d( ·F = σ
W = |E|
&'
%
%
&'
(
2
2
2 % &' (
=F ·d
=D=σ
=U
1
1
W = Q · U = C · U2
2
2
6
=Q
#0 ! 2
E .
2
Damit folgt:
Theoretische Physik 2
2
2.1
Megnetfeld stationärer Ströme und Magnetostatik
Kontinuitätsgleichung und Stationaritätsbedingung
$
$
!
Im Volumen V : Gesamtladung Q = %dV , Gesamtfluss I = S !j df
#
dQ
! = 0 , mit Gaußschem Satz folgt
+ !j df
dt
S
#
δ%
dV (div !j + ) = 0 , V beliebig
δt
V
δ%
+ div !j = 0 , Kontinuitätsgleichung
δt
Für den stationären Fluss gilt:
gung:
δ&
δt
= 0, damit folgt die Stationäritätsbedin-
div !j = 0
2.2
Grundgleichungen des Magnetfeldes stationärer Ströme
Fließt ein stationärer Strom, so gibt es ein zeitlich konstantes Magnetfeld.
! r ) im Vakuum:
Magnetische Induktion B(!
! = µ0 · H
! mit Magnetfeld H(!
! r)
B
1. Grundgleichung (Amperesches Durchflutungsgesetz)
)
! = µ0 · I , integrale Form
! dl
B
L
Beispiel: unendlich langer Draht:
⇒
#
0
! = %dϕe!ϕ
dl
! = B(%)e!&
B
2π
dϕB(%)% = µ0 · I
⇔ B(%) =
µ0 · I
2π%
2. Grundgleichung
Es gibt keine magnetischen Ladungen.
#
! = 0 , integrale Form
! df
B
S
7
Theoretische Physik 2
2.2.1
Differentielle Form der Grundgleichungen
1. Gleichung
#
)
!
! , mit Stokes, S beliebig
!
B dl = µ0 !j df
L
S
! = µ0 · !j
⇒ rot B
2. Gleichung
#
! = 0 , mit Gauß, S beliebig
! df
B
S
! =0
⇒ div B
Stationaritätsbedingung
!
!
div
% &'rot( B = µ0 div j
≡0
⇔ div !j = 0
Fasst man beide Gleichungen 1. Ordnung zu einer Gleichung 2. Ordnung
!
zusammen, so erhält man das Vektorpotential A:
! = rot A
!
B
Für die 2. Gleichung folgt:
!=0
div rot A
Für die 1. Gleichung folgt:
! − $A
! , mit der Coulombeichung: div A
! = 0 folgt
! = µ0!j = grad div A
rot rot A
! = −µ0!j
$A
Vektorpotenzial der räumlich begrenzten Stromdichteverteilung !j(!r):
! r ) = µ0
A(!
4π
#
dV !
!j(!r)
|!r − r!! |
8
Theoretische Physik 2
2.3
Magnetfeld eines Stromfadens
Querschnitt vernachlässigbar
Biot-Sarvatsches Gesetz
*
+
#
!
!j(!r ) × R
! r ) = µ0
B(!
dV !
4π
R3
Übergang zum Stromfaden (falls Gesamtstrom I und geometrische Form bekannt sind, jedoch nicht !j)
*
+
# dl
! ×R
!
! r ) = µ0 · I
⇒ B(!
4π
R3
L
2.4
Kräfte zwischen zwei Leiterschleifen (Amperesches
Gesetz)
Lorentz-Kraft
*
+
!
F! = q · !v × B
Aus der Lorentz-Kraft und dem Biot-Sarvatschem Gesetz folgt das Amperesche Gesetz der Magnetostatik:
*
++
*
) )
! 2 × dl
! 1 × R!21
dl
µ0
I1 I2
F!21 =
3
4π
R21
L2 L1
Spezialfälle
! 2 ) > 0 ⇒ Anziehung
! 1 · dl
1. parallele Ströme (dl
! 2 ) < 0 ⇒ Abstoßung
! 1 · dl
2. antiparallele Ströme (dl
2.5
Das magnetische Moment
Magnetisches Moment
#
1 *!! ! !! + !
r × j(r ) dV
m
! =
2
! × !r ]
! r ) = µ 0 [m
A(!
r3
9
Theoretische Physik 2
Spezialfall: geschlossener ebener Stromkreis
!
m
! =I ·S
1"
m
! =
qi [Ri × v!i ] , diskrete Darstellung
2 i
m
l
, Verhältnis der Beträge
=
L
2me
Definition 2.1
Das Verhältnis der Beträge von m zu L bezeichnet man als gyromagnetisches Verhältnis
m
g=
L
2.6
Magnetostatik der Materie
Einteilung der stationären Ströme in extern beeinflussbare und mikroskopische Ströme, die Elementarmagneten tragen:
!j = jext
! + !jmagn
! ist eine gemittelte Stromdichte und lässt sich durch den Vektor der
jmagn
! darstellen.
Magnetisierung M
!
!jmagn = rot M
⇒ 1. div !jmagn = 0
,
1
1
! −M
! = rot H
!
! − rot M
! = rot
B
⇒ 2. !jext = rot B
µ0
µ0
! = µ 0 (H
! + M)
!
⇒B
Grundgleichungen
! = !jext
1) rot H
! =0
2) div B
Materialgleichungen
... beschreiben den Zusammenhang zwischen der Magnetisierung und dem
Magnetfeld. Für ein isotropes lineares Medium gilt:
! = χM · H
!
M
!
! = µ0 · µ · H
B
µ = 1 + χM
10
Theoretische Physik 2
Magnetische Poisson-Gleichung
! =0
! gilt: H
! = −grad ϕm . Mit der Quellfreiheit div B
Für ein Magnetfeld H
folgt:
! =B
! − µ0 · M
!
µ0 · H
! = −div M
! = 1 %m
⇔ div H
µ0
! = − 1 %m
⇒ $ϕm = div M
µ0
Definition 2.2
magnetische Ladungsdichte %m :
! = 1 %m
−div M
µ0
11
Theoretische Physik 2
3
Zeitabhängige elektromagnetische Erscheinungen - Elektrodynamik
3.1
Die Maxwell-Gleichungen (1865)
...beruhen auf folgenden experimentell gefundenen Zusammenhängen:
3.1.1
Das Faradaysche Induktionsgesetz (1831)
Die integrale Form des Faradayschen Induktionsgesetzes beschreibt den Zusammenhang zwischen einem Wirbel des elektrischen Feldes und der Änderung des magnetischen Feldflusses.
)
#
d
!
! , integrale Form
! · dl = −
! · df
E
B
∗
dt
S
#
#L
d
! +
! =0
! · df
! · df
⇔
rot E
B
dt
S


#
!

! =0
! + δB 
⇔
rot E
 df
δt
S
%
&'
(
=0
!
!˙ , differentielle Form
! = − δ B = −B
∗ rot E
δt
3.1.2
Der Maxwellsche Verschiebungsstrom
)
L
! =
! · dl
H
#
! + Maxwellscher Verschiebungsstrom
!j df
S
Beispiel: Kondensator
I = Q̇ = σ̇ · F , σ = Dn , σ̇ = Ḋn
⇒ I = Ḋn · F
#
#
δ
!
! , integrale Form
!
!
! df
!
H · dl =
D
j df +
⇒
δt S
L
S
!
! = !j + δ D , differentielle Form
⇒ rot H
δt
)
12
Theoretische Physik 2
3.1.3
System der Maxwellschen Gleichungen
homogene Gleichungen
! =0
div B
!
! + δB = 0
rot E
δt
inhomogene Gleichungen
! =%
div D
!
! − δ D = !j
rot H
δt
Lineare Materialgleichungen
! = µ · µ0 · H
!
B
! = # · #0 · E
!
D
3.2
Die Potentiale des zeitabhängigen elektromagnetischen Feldes
! = 0 liefert:
Das Lösen der homogenen Gleichung div B
! = rot A
! , A(!
! r , t) Vektorpotential
B
!+
mit rot E
"
δB
δt
= 0 folgt, dass
!
! + δA ) = 0
rot (E
δt
Damit gilt:
!
! + δ A = −grad ϕ , ϕ(!r , t) skalares Potential
E
δt
!
! = −grad ϕ − δ A
E
δt
1
! H
! = ·B
!
! = #0 · E,
Vakuum: D
⇒ div
µ0
1
·
#0
! =%
%, div D
5
!
1
δA
= ·%
−grad ϕ −
δt
#0
! =
Quellbedingung: div E
4
⇒ −$ϕ − div
!
1
δA
= ·%
δt
#0
13
Theoretische Physik 2
Weiter ergibt sich:
!
1
! − #0 δ E = !j
rot B
µ
δt
4 0
5
!
δ
A
δ
! − #0 µ0
−grad ϕ −
= µ · !j
⇒ rot rot A
δt
δt
2!
! − $A
! + #0 µ0 grad δϕ + #0 µ0 · δ A = µ0!j
⇒ grad div A
δt
δt2
Mit dem d’Alembertschen Wellenoperator " = $ −
,
δϕ
1
! − grad div A
!+
"A
= −µ0!j .
c2 δt
1 δ
c2 δt2
folgt:
Lorentz-Eichung:
! + 1 δϕ = 0
div A
c2 δt
Damit ergibt sich für das Vektorpotential:
! = −µ0!j
"A
und für das skalare Potential:
!
δA
1
= %
δt
#0
2
δ
!=−1 δ ϕ
div A
δt
c2 δt2
2
1
1δ ϕ
⇒ −$ϕ + 2 2 = ϕ
c δt
#0
,
2
1 δ
1
$− 2 2 ϕ= − %
c δt
#0
1
⇒ "ϕ = − %
#0
−$ϕ − div
3.3
Lösungen der inhomogenen Wellengleichung
Forderungen
1. Die Grenzfälle der Elektro- und Magnetostatik sind enthalten.
2. Elektromagnetische Felder breiten sich mit endlicher Geschwindigkeit,
welche im Vakuum die Lichtgeschwindigkeit c ist, aus.
14
Theoretische Physik 2
Retardierungszeit
... ist eine zeitliche Verzögerung der Ankunft des Signals durch endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von der Quelle aus: Bei der Quelle des Feldes mit
dem Ortsvektor !r wird zur Zeit t! durch % oder !j ein Feld erzeugt, welches den
Punkt !r zur Zeit t erreicht. Es ist also t! = t − tR mit der Retardierungszeit
"!
tR = |"r−cr | .
Für die retardierenden Potentiale folgt:
#
|"
r−r"! |
!!
)
1
! %(r , t −
c
·
dV ·
ϕ(!r , t) =
4π#0 V
|!r − r!! |
#
!j(r!! , t − |"r−r"! | )
µ
0
!
c
! r , t) =
A(!
·
dV ·
!
!
4π V
|!r − r |
Für c → ∞ ergeben sich die Gleichungen der Elektro- bzw. Magnetostatik.
3.4
Elektromagnetische Wellen
Eine einfache Welle kann durch y = y0 · cos ϕ dargestellt werden, wobei y
eine physikalische Größe ist und y60 die Amplitude
der Welle dieser Größe.
7
x
t
Die Phase ϕ ist ϕ = ϕ(x, t) = 2π λ − T mit λ als Wellenlänge und T als
Periode. Die Phasengeschwindigkeit ergibt sich durch differenzieren von
,
x
t
ϕ = const = 2π
−
λ T
,
1
ẋ
−
, zu
0 = 2π
λ T
λ
ẋ =
T
Im Vakuum ist ẋ = c, andernfalls wird sie mit u bezeichnet. Mit der Wellenzahl k = 2π
und der Kreisfrequenz ω = 2π
folgt für die Phase
λ
T
ϕ(x, t) = k · x − ω · t .
Verallgemeinert ergibt sich im dreidimensionalen Raum mit dem Wellenvektor !k = (kx , ky , kz ) und !r = (x, y, z)
ϕ(!r , t) = !k · !r − ω · t .
Für ky = kz = 0 ergibt sich die Ausbreitungsrichtung in x-Richtung. Der
Vektor !k zeigt in Ausbreitungsrichtung der Welle, in der geometrischen Optik bestimmt er die Richtung des Lichtstrahls.
15
Theoretische Physik 2
Bei einer ebenen Welle liegen alle Punkte gleicher Phase auf einer Ebene.
Bei einer Kugelwelle liegen alle Punkte gleicher Phase auf Kugeloberflächen,
also !r · !k = k · R. In großer Entfernung kann diese als ebene Welle approximiert werden.
Eine Gruppe von Wellen kann zu einem Wellenpaket superpositioniert werden. Die Geschwindigkeit der Bewegung des Zentrums wird als Gruppengeschwindigkeit uG bezeichnet. Es gilt: uG = dω
mit ω = ω(k). Dieser
dk
Zusammenhang zwischen ω und k wird als Dispersionsgesetz bezeichnet.
Zum Rechnen mit Wellen wird die komplexe Darstellung verwendet.
z = y1 + i · y2 , wobei y1 = y0 · cos ϕ
z = y0 · ei·ϕ
Satz 3.1
! und B
! stehen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.
E
Beweis 3.1
! Feld ist quellenfrei, div B
! = 0, folglich ist !k · B!0 = 0. Falls keine exDas B
ternen Ladungen vorhanden sind, wie im Falle der Ausbreitung von Wellen
! = 0 und damit !k · E!0 = 0 , elektrische und maim Vakuum so ist auch div E
gnetische Feldvektoren stehen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle.
Aus der Quellenfreiheit folgt damit die Transversalität der Welle.
!0
Beziehung zwischen E!0 und B
! = −B,
!˙ B
! =B
!0 · ei·("k·"r−ω·t) , E
! = E!0 · ei·("k·"r−ω·t)
rot E
! = i · [!k × E!0 ] · ei·("k·"r−ω·t)
rot E
!˙ = −i · ω · B!0 · ei·("k·"r−ω·t)
B
⇒ [!k × E!0 ] = ω · B!0
1
⇒ B!0 = · [!k × E!0 ]
ω
Aufstellen der Wellengleichungen
!˙ liefert:
!˙ = 12 · E.
!˙ Einsetzen in rot E
! = −B
! = #0 · µ0 · E
Im Vakuum gilt: rot B
c
! = 1 · rot E
!˙ = − 1 · B
!¨
rot rot B
c2
c2
!˙ = − 1 · E
! = −rot B
!¨
rot rot E
c2
! = grad div B
!
!
Weiter gilt: rot rot B
% &' ( −$B, damit folgt für die homogenen
=0
16
Theoretische Physik 2
Wellengleichungen:
1 !¨
! =0
· B = "B
c2
! − 1 ·E
!¨ = "E
! =0
$E
2
c
!−
$B
Die Wellengleichungen sind kovariant, das heißt, dass sie ihre Form bei der
Lorentztransformation nicht ändern.
Mit dem komplexen Ansatz für die Felder folgen die Beziehungen:
!¨ = −ω 2 · E
! , E
!
! = −!k 2 · E
$E
2
! + ω ·E
! =0 ⇒ k= ω
−k!2 · E
2
c
c
Damit gilt für das Dispersionsgesetz für elektromagnetische Wellen
ω = ω(k) = k · c. Es beschreibt die Abhängigkeit der Frequenz von dem
Wellenvektor.
3.5
Elektromagnetische Wellen in Medien
Die Art der Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen in Medien wird in
entscheidender Weise von den Eigenschaften der Medien bestimmt, die in der
Elektrodynamik durch die Materialgleichungen festgelegt werden. Ausgehend
von
!
! = !j + δ D
rot H
δt
!
! = µ·µ0 · H
folgt mit !j = 0, den linearen und isotropen Materialgleichungen B
!
!
und D = # · #0 · E die Form:
! = µ · #0 · # · µ · E
!˙ = 1 · # · µE
!˙ .
rot B
2
c
Ersetzen der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c durch die Lichtgeschwindigkeit im Medium:
u=
c
n
Dabei ist n =
√
# · µ der Brechungsindex. Damit folgt:
! = 1 ·E
!˙ .
rot B
2
u
17
Theoretische Physik 2
! = −B
!˙ liefert die homogene WellengleiVereinigung der Gleichung mit rot E
! mit u als der Ausbreitungsgeschwindigkeit der
chung für den Feldvektor E
Welle im Medium:
!¨ = 0
! − 1 ·E
$E
u2
Lösen der Wellengleichung mit komplexem Ansatz liefert das Dispersionsgesetz für das Dielektrikum in der Form ω = k · u.
ω
k = ·n
c
Zwischen E!0 und B!0 besteht weiter der Zusammenhang:
1
B!0 = · [!k × E!0 ]
ω
3.5.1
Elektromagnetische Wellen an Grenzflächen
Betrachtet wird die Brechung und Reflexion elektromagnetischer Wellen an
der Grenzfläche zweier Dielektrika mit den Dielektrizitätskonstanten #1 und
#2 . Da in typischen optischen Experimenten an Grenzflächen keine freien oder
äusseren Ladungen und Ströme vorhanden sind, gilt:
E1,t = E2,t , D1,n = D2,n
H1,t = H2,t , B1,n = B2,n
Einfallende Welle (Medium 1):
! 1,0 · ei·(k"1 ·"r−ω1 ·t)
E!1 = E
1 !
B!1 =
· [k1 × E!1 ]
ω1
Einfallsebene: ... Ebene, die durch den Wellenvektor der einfallenden Welle
k!1 und der Normalen zur Grenzfläche !n aufgespannt wird.
Reflektierte Welle (Medium 2):
! 1,r = E
! 1,0,r · ei·("k1,r ·"r−ω1,r ·t)
E
! 1,r ]
! 1,r = 1 · [!k1,r × E
B
ω1
Gebrochene Welle (Medium 2):
! 2,0 · ei·(k"2 ·"r−ω2 ·t)
E!2 = E
1 !
· [k2 × E!2 ]
B!2 =
ω2
18
Theoretische Physik 2
Um den Bedingungen an der Grenzfläche zu genügen müssen zwei Arten von
Bedingungen erfüllt sein :
A Gleichheit der Phasen: Auf der linken und rechten Seite der Gleichungen müssen in gleicher Weise oszillierende Phasenfaktoren in den komplexen
Wellen stehen ( Phasenbedingung).
(k!1 · !r − ω1 · t)|G = !k1,r · !r − ω1,r · t)|G = (k!2 · !r − ω2 · t)|G
B Gleichheit der summarischen Amplituden: Ist Bedingung A erfüllt,
so heben sich die oszillierenden Phasenfaktoren auf beiden Seiten der Randbedingungen heraus und es verbleiben die Gleichungen, die die Zusammenhänge
zwischen den Amplituden herstellen. Diese Zusammenhänge stellen die Feldvektoren der reflektierten und gebrochenen Welle als Funktionen der Feldvektoren der einfallenden Welle dar. ⇒ Fresnel-Formeln.
Folgerungen aus A:
A1: fixieren eines Raumpunktes auf der Grenzfläche, nur Betrachtung der
Zeitabhängigkeiten, liefert:
ω1 = ω1,r = ω2 = ω
Die Frequenz der Welle (Farbe) ändert sich nicht, wir können überall die
gleiche Frequenz ω einsetzen, insbesondere ist die Frequenz der gebrochenen
Welle gleich der der einfallenden.
A2: Wegen A1 heben sich die zeitabhängigen Teile ω ·t aus der Phasenbedingung heraus. Verändert wir nun die Koordinaten des Raumpunktes auf der
Grenzfläche, so kommt man zu der Aussage, dass die Wellenvektoren !k1,r und
k!2 ebenfalls in der Einfallsebene liegen müssen, die von dem Wellenvektor der
einfallenden Welle k!1 und der Normalen zur Grenzfläche !n aufgespannt wird.
A3: Aus der Phasenbedingung folgt letztlich, dass die Phasenfaktoren der
einfallenden, reflektierten und gebrochenen Wellen auch paarweise gleich sein
müssen. Aus paarweisen Verglichen folgen
Reflexionsgesetz
θ1 = θ1,r .
Brechungsgesetz
n1 · sin θ1 = n2 · sin θ2
19