2 = ( 1) . Als quadratische Irrationalität genügt einer quadratischen Gleichung 2 + + = 0; der Vektor 1 wird also von der quadratischen 2 2 + annulliert. Da mit + auch alle Vielfachen Form dieses Vektors dieselbe Gleichung erfüllen, gilt dasselbe für den dazu proportionalen Vektor 1 . proportional zueinander. 1 und 1 1 2 1 2 $ ( # + =0 genügen. Diese Gleichung können wir uns explizit verschaffen, indem wir 2+ 1 = 2+ 1 + 2 + 2 2 + 2 2 2 0 0 2 1 = = 2 2 0 + 1 2 1 ) + 0 1 0 ) * ) 1 2 2 1 . 1 -) ) , ) 1 ) " " 6 -- 3 ././. 1 21 0 ././. 6 6 ! 6 ) 6 -) 6 ( ) . -6 5 * 6 6 6 6 -) 6 . ( ) + ( ) . Somit beschränkt durch eine ) 5 " " und 1. Somit ist 5 ( ) + 4 2 1 Genauso zeigt man die Ungleichung sind die Beträge der Koeffizienten von unabhängige Konstante. 1 1 1 ( ) 2 1 , + , Hierbei ist ( ) = 0, und 1 + 1 + ) ( ) -- = ( )+ + 1 2 eine quadratische Funktion ist, führt die TAYLOR-Entwicklung auf die Formel = + ) 1 Da um und 2 0 = in die Gleichung ( ) = 0 2 + 0 + 0 = 0 einsetzen und mit dem Nenner multiplizieren. Zumindest für die Koeffizienten und ergeben sich einigermaßen erträgliche Formeln: + , Daraus folgt die Gleichheit von ( 2 + 1 )( + 2 + + 1) und ( 2 + 1 )( + 2 + + 1 ), und ausmultipliziert wird dies zu einer quadratischen Gleichung für . Der Koeffizient von 2 ist 2 + 2 + 2 + 2 , was als Summe positiver Zahlen nicht null sein kann; wir haben also eine echte quadratische Gleichung. Somit läßt sich in der Form = + schreiben, und damit auch + 2 1 . = 2+ 1 Beweis: Angenommen, hat eine periodische Kettenbruchentwicklung. Dann gibt es ein und ein 0, so daß + = ist. Nach der Formel am Ende von 2 von Kapitel III ist daher 2+ 1 + + 2+ + 1 + 2+ + 1 = = . = + + + 2 1 + + 2 + 1 + 2 + 1 , Satz (LAGRANGE 1766): Die Kettenbruchentwicklung einer irrationalen Zahl ist genau dann periodisch, wenn eine quadratische Irrationalzahl ist. * Dies ist ein wesentlicher Schritt für den Beweis des folgenden Satzes: Die Matrix zu dieser quadratischen Form sei . Wie wir aus dem vorigen Paragraphen wissen, erfüllen die Komponenten von dann die 1 quadratische Gleichung zur Form mit Matrix , die zu der mit äquivalent ist und somit dieselbe Diskriminante hat. Also haben alle dieselbe Diskriminante wie , denn da Multiplikation mit einen 2 definiert, sind die Einträge von genau dann Isomorphismus 2 ganzzahlig und teilerfremd, wenn es die von sind. & eine quadratische Umgekehrt sei = + mit quadratfreiem Irrationalität, die der Gleichung 0 2 + 0 + 0 = 0 genüge. Dann zeigt die Konstruktionsvorschrift für die , daß auch diese Zahlen sowie ihre Inversen in entsprechender Form geschrieben werden können und damit Gleichungen der Form Somit sind die Vektoren = 1 Kap. 5: Quadratische Formen %& det und wie wir ebenfalls aus Kapitel III wissen, ist Zahlentheorie SS 2007 ' ( * Wie wir oben gesehen haben, hat dieselbe Diskriminante wie ; die Diskriminante = 2 4 hängt also nicht ab von . Daher folgen aus der obigen Schranken für und auch Schranken für 2 = +4 , so daß auch der Betrag von beschränkt ist. ( 7 * %& $ # 7 " Zahlentheorie SS 2007 8 9 9 ( Somit gibt es nur endlich viele Tripel ( ), also auch nur endmit lich viele verschiedene Werte für . Es muß daher zwei Zahlen 1 geben derart, daß = + ist, und die Kettenbruchentwicklung wird spätestens ab der -ten Stelle periodisch. 9 : % ; ; ; % ; ; ; A "B 4 3 = <= 3 <= = 1 + und 1 ]= 1 = 1 1 + 1+ = 1 ist, im Widerspruch zur = 0, die Kettenbruchentwicklung von + < Umgekehrt habe eine rein periodische Kettenbruchentwicklung der Periode mit Koeffizienten 0 1 . Wegen = 0 ist dabei auch mit 0 müssen ja positiv sein. Somit ist positiv, denn alle 0 insbesondere 1. 9 < < < Um zu sehen, daß zwischen 1 und 0 liegt, beachten wir, daß dieselbe quadratische Gleichung erfüllt wie . Da diese Gleichung genau 9C < 1] . C =[ A < < < 0 < B C 1 und 1 + "B folgt dann aber, daß auch Minimalität von . Somit ist also rein periodisch. + = ]=[ "B < 0 A B < 1 A < B 1 B "B < 0 :A ist. Aus den Gleichungen + B wird, da 0 eine rationale Zahl ist, durch . nach Voraussetzung zwischen 1 1 Da : < B 1 :A =[ 1 A + B < B + 0 + 0 B B 0 1 0. Die Gleichung = Konjugation zu = und 0 liegt, ist somit 1 +1 1 0 gilt < B Beweis: Sei zunächst 1 und 1 0. Der Trick zum Beweis der reinen Periodizität der Folge der besteht darin, die = [1 ] durch die konjugierten Elemente auszudrücken. und 0. < B Satz: Die Kettenbruchentwicklung von ist genau dann rein periodisch, wenn 1 ist und sein konjugiertes Element zwischen 1 und 0 liegt. 1+ 1 1 1 2+ bei denen das nicht der Fall ist. Für eine rein periodische Kettenbruchentwicklung brauchen wir also noch zusätzliche Bedingungen: 2+ <= , @ Daraus folgt nun leicht die Periodizität der Kettenbruchentwicklung von : Wir wissen bereits, daß sie periodisch wird; es gibt also irgendeinen Index 0 und eine Periode , so daß für alle + = . Wir betrachten das minimale mit dieser Eigenschaft. Die Kettenbruchentwicklung von ist genau dann rein periodisch, wenn = 0 ist. Für 1 können wir aber aus und + = + = folgern, daß auch @ 1 +1 <= 1+ = = 1 <= 4 3=1+ + = folgt wie im Fall = 0, daß = [ +1 ] ist, und da die Koeffizienten für 0 bei jeder Kettenbruchentwicklung mindestens gleich eins sind, folgt auch die Ungleichung für 1 +1 genau wie dort. = = oder 1 1 2+ 1 1. Aus 1 2+ <= 1 und @ 3 2+ +1 ] = Dazu nehmen wir an, dies gelte für =[ 1 : 3 = 2+ = 1 3 3 2+ 1 @ 3 1 1 folgt außerdem > 2=1+ =[ ] 3 Der gerade bewiesene Satz charakterisiert Zahlen, deren Kettenbruchentwicklung periodisch wird; er besagt nicht, daß die Kettenbruchentwicklung einer quadratischen Irrationalität von Anfang an periodisch ist, und in der Tat kennen wir ja Beispiele wie 0 < Wir wollen induktiv zeigen, daß auch für alle Wegen Kap. 5: Quadratische Formen ? 3 3 > = 9 < E < D 1 = 0. < < : 4 ! 1) . Dieser ist positiv, da sowohl die Folge der Zähler als auch die der Nenner der Konvergenten von monoton steigt. 2 +( 3 2) % %& 9 3 1 2 . 1 . 2 2 13 32 = 4 13 332 = 4 . 112 ; I & Zumindest a priori ist nicht klar, ob es überhaupt eine Konvergente gibt, die auf eine Lösung der PELLschen Gleichung führt. 1 und 1192 ; 13 52 = 13 22 = 9 182 72 9 13 = 3 9 42 9 ; =1 9 2 sein. ; Umgekehrt liefert aber nicht jede Konvergente der Kettenbruchentwickeine Lösung der PELLschen Gleichung: Beispielsweise lung von hat 1 13 = 3 + , 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 1+ 6+ die Brüche 7 11 18 119 4 1 2 3 5 33 als seine ersten Konvergenten, aber Kettenbruchentwicklung von ; ; 2 nicht somit eine Konvergente der 2 1 + , also folgt ; FHG %& Im letzten Kapitel hatten wir gesehen, daß eine Einheit + von 2 die Gleichung 2 = 1 erfüllen muß. Hauptziel dieses Paragraphen ist die Lösung der PELLschen Gleichung §6: Die Pellsche Gleichung Damit ist der Satz vollständig bewiesen. . ././ 1 =( ././. %& 1 2 + %& %& 2 ! 1 0 an, Nach dem Satz aus Kapitel III, 3 muß 2 %& Hier nimmt die quadratische Funktion bei 0 den Wert und an der Stelle -1 den Wert = 0. %& 1 2 3 2 %& %& +( 1 + 2 %& = 2 %& 2 %& = = 3 1 = ) = 1, Überkreuzmultiplikation macht daraus die quadratische Gleichung und %& Für 2 verwenden wir die bereits im vorigen Satz benutzte Formel aus Kapitel III, 2, und beachten, daß = 1 ist. Dies führt auf die Gleichung 2+ 1 2+ 1 = = . + + 2 1 2 1 + 1 Wegen der Positivität der rechten Seite ist = E 1 nimmt an der Stelle 0 den 0; somit gibt es eine Nullstelle 0 2 + 0 )( Die quadratische Funktion 0 Wert 1 an, und bei = 1 den Wert 0 zwischen diesen beiden Punkten. = und damit ist ( + 1 + %& 0 9 = 9 2 J 1 K Faktorisierung der linken Seite der PELLschen Gleichung führt auf = 1 ist J oder –da es auf das Vorzeichen von 2 . Für ) 2 für ( ) ankommt– ( Kap. 5: Quadratische Formen > zwei Nullstellen hat und größer als eins ist, genügt es, wenn wir zeigen, daß diese Gleichung im Intervall ( 1 0) eine Nullstelle hat. Das wiederum folgt aus dem Zwischenwertsatz, wenn wir zeigen können, daß die quadratische Funktion auf der linken Seite an den Stellen 0 und 1 Werte mit entgegengesetzten Vorzeichen annimmt. Zahlentheorie SS 2007 > & > L %& Um hier mehr zu erfahren, müssen wir uns die Kettenbruchentwickim folgenden stets eine lung von genauer ansehen. Dabei sei quadratfreie natürliche Zahl. Zahlentheorie SS 2007 & %& %& %& %& N %& M N %& M C C %& < < 9C 9 N %& M N %& M N %& M N %& M %& < %& < @: <= & C C < < 9C 9 < %& N %& M < < 4 " < 4 %& < 9C # <"O 9 <"O 9 < O " N %& M %& < O C C < O O O O O O O O + < 2 O =( 1 0) + 1 9C & %& 1 %& + %& 1 0) . 1 = ( 1) 2 1 2 + = ( 1) 1 2 . 1 1 1 0 1 0 . 421 200 = 1 . Allgemein haben wir gezeigt, daß die PELLsche Gleichung für jedes quadratfreie eine Lösung hat; zusammen mit dem Satz aus Kapitel IV, 6 folgt, daß die Einheitengruppe eines jeden reellquadratischen ; + = 13 32 400 = 421 201 2 1 1 0 ; ( %& oder C 9 + % 0 & 1 C < 9 + 9 13 1802 = 421 201 2 # 9 1 J 6492 + K Im Eingangsbeispiel = 13 zeigt eine genauere Rechnung, daß sich die Koeffizienten 1 1 1 1 6 periodisch wiederholen, wir haben also die ungerade Periode fünf. Damit liefern die vierte, vierzehnte, vierundzwanzigste Konvergente der Kettenbruchentwicklung Lösungen der 2 = 1, was wir für die vierte bereits nachgerechnet Gleichung 2 haben. Lösungen der PELLschen Gleichung liefern die neunte, neunzehnte usw. Konvergente. Die neunte Konvergente ist 649 1 13 = 3 + = , 1 180 1+ 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 6+ 1 1+ 1 1+ 1 und in der Tat ist 9 0 A & 1 O Im Falle einer geraden Periode ist somit ( 1 1 ) für jedes eine Lösung der PELLschen Gleichung ; für ungerade Perioden liefern nur die geradzahligen Vielfachen von Lösungen, während die 2 = 1 führen. ungeradzahligen zu Lösungen der Gleichung 2 = 2 1 O 9 + # & 2 1 O = O O 1 1 1, erhalten wir die Gleichung B 2 B < & + + 2 = B O O 2 mit 1 B & O 9 = O Einsetzen in die obige Formel führt auf O B O Ist speziell = ein Vielfaches einer Periode, hat 1 eine Kettenbruchentwicklung mit Koeffizienten ; nach dem +1 +2 gerade bewiesenen Satz stimmt das überein mit der Folge 2 0 1 2 , d.h. 1 = 0+ = + . O ! O O Bezeichnet wieder die -te Konvergente dieser Kettenbruchentwicklung, so ist nach der schon oft benutzten Formel 2+ 1 . = 2+ 1 O < Satz: Ist eine quadratfreie natürliche Zahl, so ist die Folge 0 1 der Koeffizienten der Kettenbruchentwicklung von ab 1 periodisch. Bezeichnet die Periode, so ist = 2 0 = 2 . 2 O Setzen wir dies ein in die aus Kapitel III, 2, bekannte Formel und O Die Kettenbruchentwicklung von = unterscheidet sich von der von nur im ganzzahligen Anteil. Dieser ist im Falle von gleich 2 , im Falle von nur . Danach folgen in beiden 1. Wegen = 0 = 2 gilt daher Fällen die mit & 1 0 < 1 < Das konjugierte Element zu ist und somit kleiner als 1; die Kettenbruchentwicklung von ist also nicht rein periodisch. = + , so ist natürlich 1. und Betrachten wir aber = liegt zwischen 1 und 0. Somit hat eine rein periodische Kettenbruchentwicklung. Die Periode sei und die Koeffi. zienten seien 0 1 = > 2 Durch Koeffizientenvergleich folgt: Kap. 5: Quadratische Formen P & ! %& O < O O O O %& < O O > Q FRG J J # O I %& 4 %& + geschrieben werden, Natürlich kann auch in der Form eine Konvergente der Kettenbruchentwicklung von wobei ist. Da Zähler und Nenner der Konvergenten strikt monoton ansteigen , für die mit , handelt es sich hier um die erste Konvergente 2 2 = 1 ist. 4 %& % & 4 ` \ & & I B & A B TVU T S W YU XU SU O I %& %& Z ^ F G & 4 []\ I & # %& %& J # gerade bzw. ungerade ist. a die Periode HELMUT HASSE: Vorlesungen über Zahlentheorie, Springer, 2 1964. ! Bleibt die Frage, für welche & Wie eine genauere Untersuchung zeigt, ist dies genau dann möglich, wenn 5 mod 8, jedoch nicht für alle solche . Wenn es eine , Grundeinheit dieser Form gibt, liegt ihre dritte Potenz in der Kettenbruchalgorithmus gibt dann also nur die dritte Potenz der Grundeinheit. Einzelheiten findet man beispielsweise in 16, 5D des Buchs ^ Wenn wir dieses Ergebnis akzeptieren, können wir die Einheitengruppe eines jeden reellquadratischen Zahlkörpers [ ] explizit berech1 mod 4: Dann ist = , so daß nen, zumindest für die Einheiten genau den ganzzahligen Lösungen der beiden Gleichun2 = 1 entsprechen. Ist die Periode der Kettenbrugen 2 und die ( 1)-te Konvergente, so ist chentwicklung von = + die Grundeinheit, und jede andere Einheit läßt als mit einem schreiben. Für gerades sind dies alles Einseinheiten, für ungerades bekommen wir für gerade Einseinheiten und sonst Einheiten der Norm 1. %& im Kapitel über LAGRANGE im (nur im Inhaltsverzeichnis benannten) Paragraphen Lösung der Fermatschen (Pellschen) Gleichung ab Seite 64. Es gibt zwar Rückverweise, aber wer den obigen Beweis verstanden hat, muß nur einem wirklich folgen. Zu beachten sind die ist unterschiedlichen Bezeichnungen: Was hier heißt, ist dort , aber das dortige . Die hießigen werden dort mit bezeichnet. hier 1 ; + 3 13 = 1 . WINFRIED SCHARLAU, HANS OPOLKA: Von Fermat bis Minkowski – Eine Vorlesung über Zahlentheorie und ihre Entwicklung, Springer, 1980 & 1 2 (11 9 Wer sich für diese Rechnungen interessiert, findet sie zum Beispiel in N \ Mit Rechnungen, die sehr ähnlich zu den obigen sind, kann man zeigen, 2 daß die oben gefundenen Indizes mit 2 = 1 tatsächlich die einzigen sind mit dieser Eigenschaft. Da wir schon viel mit Kettenbrüchen gerechnet haben und es noch viele andere interessante Teilgebiete der Zahlentheorie zu entdecken gilt, möchte ich auf diese Rechnungen verzichten. Die zweite Frage ist: Was passiert für 1 mod 4? Wie wir wissen, sind dann auch die Zahlen 12 ( + ) für ungerade ganze Zahlen ganz, es kann also auch Einheiten dieser Form geben. In der Tat haben wir beim Eingangsbeispiel = 13 bereits solche Fälle kennengelernt: Für die dritte Konvergente 11 4 ist 112 13 32 = 4, d.h. Diese Frage muß nicht nur in dieser Vorlesung unbeantwortet bleiben: Es handelt sich hier um eines der vielen zahlentheoretischen Probleme, die trotz jahrhundertelanger Bemühungen auch heute noch offen sind. Kap. 5: Quadratische Formen > Zahlkörpers unendlich ist und daß es speziell für die Gruppe der Einheiten mit Norm eins (der sogenannten Einseinheiten) ein Element gibt, so daß jede Einseinheit in der Form mit einem geschrieben werden kann. ist die kleinste Einseinheit größer eins. Zahlentheorie SS 2007 _ & r D p o + , b \ K D 2 hat den Kern +1 1 , also besteht das Bild aus quadratischen Resten. q 2 Elementen, den s< d D J c d d d D D 0 d e < d D < f 0 g 0 f J D D 9 c 0 0 0 c 0 < g 0 f D s < ; , + = 1 t . 1 2 # D D g 0 f J D g 0 f . Dann ist offensichtlich Beweis: sei ein erzeugendes Element von jede Potenz mit geradem ein quadratischer Rest, und da es genau 1 2 verschiedene solcher Potenzen gibt, sind das auch alle quadratigenau dann ein quadratischer Rest, wenn schen Reste. Somit ist gerade ist. ist d Lemma(EULER): Für ungerades D ist und Trivialerweise ist das Produkt zweier quadratischer Reste wieder ein quadratischer Rest. Ist = 2 ein quadratischer Rest und ein Nichtrest, so ist auch ein quadratischer Nichtrest, denn wäre = 2 , wäre 1 2 =( ) ein quadratischer Rest. Da Multiplikation mit injektiv ist, folgt, daß sich jeder quadratische Nichtrest in der Form darstellen läßt, wobei ein quadratischer Rest ist. Damit folgt, daß das Produkt zweier quadratischer Nichtreste ein quadratischer Rest ist, denn = 2 , wobei und Quadrate in sind. 9 d ds ADRIEN-MARIE LEGENDRE (1752–1833) wurde in Toulouse oder Paris geboren; jedenfalls ging er in Paris zur Schule und studierte Mathematik und Physik am dortigen Collège Mazarin. Ab 1775 lehrte er an der Ecole Militaire und gewann einen Preis der Berliner Akademie für eine Arbeit über die Bahn von Kanonenkugeln. Andere Arbeiten befaßten sich mit der Anziehung von Ellipsoiden und der Himmelsmechanik. Ab etwa 1785 publizierte er auch Arbeiten über Zahlentheorie, in denen er z.B. das quadratische Reziprozitätsgesetz bewies sowie die Irratinalität von und 2 . 1 = 1 , und 1 = 12 ist ein quadratischer Rest. o d Sind zwei modulo kongruente natürliche Zahlen, so ist offensichtlich = . Wir haben daher auch für ein wohldefiniertes LEGENDRE-Symbol , das durch die Vorschrift 0 = 0 auf ganz fortgesetzt wird. 2 p ungerade. Der Homomorphismus = 2 ist f Sei nun Beweis: Für g 0 Im ersten Fall bezeichnen wir als quadratischen Rest modulo , andernfalls als quadratischen Nichtrest. Für eine durch teilbare Zahl setzen wir = 0. jmn g 0 f mod ; Dq g 0 f 2 g 0 f i jml k gibt mit falls es ein sonst + , D +1 1 + = 9 0 Definition: Für eine Primzahl und eine nicht durch teilbare natürliche Zahl ist das LEGENDRE-Symbol o , §1: Das Legendre-Symbol Für = 2 ist dies der triviale Homomorphismus, für ungerade ist er surjektiv. Insbesondere gibt es dann jeweils 2 1 quadratische Reste und Nichtreste. p Kapitel 6 Quadratische Reste > Lemma: Das LEGENDRE-Symbol definiert einen Gruppenhomomorphismus +1 1 : . Kap. 6: Quadratische Reste ' # Ou Ou u 0 h h 0 v > 8 v 0 u 0 u u u O Oa t Ou t D t 1 1 ` u 1 Ou D D \ b + \ t 1 , t w t , + 9 + , 1 , + 1 1 N 0 g 0 f = =1 ; dann ist 0 und #= = #= d ~ \ o p y y x { { = @ C 9 C 9C 9 p C 9 y C y 9C o z C 9 C 9C 9 y y = = z [ 1 2 ; = 1 { + , 2 = + +1 2 = ; ; @ B = A z x ist, d.h. D 9 D B " 9 C C 9C o D DB 9 C C 9C z + d 9 C C 9C y y d ( + 1) = 2 9C { B =1 = = 2 2 + , ist also C =1 = = ( 1) . Falls C =1 d + = 1 p 1 o 1 2 = ist ( 1) 8 1 8 1 =1 8 2 1 mod . . + = + modulo = 2 zugelassen. Für und Außerdem wissen wir aus dem ersten Schritt, daß ( + 1) 2 =1 = =1 @ = D= + )+ ( =1 Andererseits ist + B =1 =1 d= ; 9 x { y d 9 C C 9C {}| =1 = O d ~ kongruent ist zu einem negativen Element falls 0 ist dagegen = . Somit ist sei = 02 D~ y mod . M = p @ ( )= ! 2 A d D 1 + 5 1 Im Beweis sei zunächst auch noch der Fall mit #= J = Beweis: 1 seien die negativen Elemente von , die zu Elementen aus kongruent sind, 1 die positiven. Dann ist , = x kongruent sind zu einem negativen = ( 1) {} 3 D= von bezeichnet, die modulo Element von . !. 2. Schritt (GAUSS): Für zwei ungerade Primzahlen @ = B die Anzahl jener Elemente D= O N 0 #= =1 = = ( 1) , wobei D= Vergleich mit der obigen Konguenz zeigt, daß dann ist, also nach dem vorigen Lemma = ( 1) . \ 0 20 Primzahl. Dann ist d = M = 1. Schritt (GAUSS): sei eine beliebige Primzahl und = eine ungerade D= d ~ 2 2 ; D~ 2 Weiter sei = verschiedene Elemente von d ; ; ; + . 2 . Da und teilerfremd sind, haben zwei verschiedene Restklassen modulo . \ D"B ; ; ; D B , @ 1 d ~ d [ @ = \ . mit d ~ { 5 1 1 d ~ y = Zum Beweis betrachten wir ein zum Nullpunkt symmetrisches Vertrein , nämlich tersystem von B t 1 Quadratisches Reziprozitätsgesetz: Für zwei verschiedene ungerade ist Primzahlen 2 1 ( 1)( 1) 2 = ( 1) 4 = ( 1) 8 . und D= §2: Das quadratische Reziprozitätsgesetz @ 5 = ( 1) y 1 mod 4 . 3 mod 4 5 + 1 falls 1 falls B 1 y y 1 Korollar: Für ungerades ist 1 1 = ( 1) 2 = D= genau dann gleich eins, wenn ein quadratischer Rest ist, und 1 sonst. = ( 1) D~ 1 2 [ = 6 1 6 9 5 2 ./. d ~ ./. =( ) y Natürlich sind und für = zwei verschiedene Zahlen, genauso = sein, denn sonst wäre auch und . Außerdem kann auch nie , einerseits + = 0, andererseits gäbe es aber Zahlen 1 so daß und mod . Also wäre ( + ) durch teilbar, was nicht möglich ist, denn + 2 = 1. Damit sind die Beträge der und der genau die Zahlen von 1 bis , d.h. 2 Kap. 6: Quadratische Reste L 1 Da ein erzeugendes Element ist, kann ( 1) 2 nicht gleich eins sein; 1 = 1 ist, da nach dem kleinen Satz von FERMAT aber sein Quadrat ( 1) 2 folgt = 1. Für = ist somit Zahlentheorie SS 2007 ? d= ; @ = d = = D= = \ = d ; ; ; D"B ; ; ;