Mathematische und statistische Methoden II
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Methodenlehre & Statistik Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung Mathematische und statistische Methoden II Wallstr. 3, 6. Stock, Raum 06-206 Dr. Malte Persike [email protected] lordsofthebortz.de lordsofthebortz.de/g+ facebook.com/methodenlehre twitter.com/methodenlehre youtube.com/methodenlehre SoSe 2012 Folie 1 Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz Methodenlehre & Statistik Inhalte dieser Sitzung Von Merkmalen zu Variablen Von Variablen zu Zufallsvariablen – das Experiment Das Sichere am Zufall: Ergebnisse und Ereignisse Laplaces Antwort auf die Frage „Was ist eigentlich Wahrscheinlichkeit?“ Folie 2 Methodenlehre & Statistik Variablen Variablen Zufallsvariablen Merkmale & Variablen Grundlagen Zufallsexperimente Eigenschaften, deren Werte bei den statistischen Einheiten beobachtet werden, heißen Merkmale Die „Werte“, die ein Merkmal annehmen kann, heißen Ausprägungen Stichprobenraum Die Ausprägungen eines Merkmals können beliebiger Art sein (z.B. Worte, Formen, Farben etc.) Eine Variable wird definiert, indem den Ausprägungen des Merkmals Zahlen zugeordnet werden. Diese Zahlen heißen Realisationen oder Werte. Zufallsvariablen „2“ „13“ Merkmal Punkte auf Fläche Folie 3 „5“ „36“ Variable Zahlen Methodenlehre & Statistik Variablen Variablen Zufallsvariablen Merkmale & Variablen Notation Zufallsexperimente Stichprobenraum Zufallsvariablen Folie 4 Variablen werden mit Großbuchstaben symbolisiert, häufig verwendet man X und Y Die Realisationen einer Variablen werden dann mit den entsprechenden Kleinbuchstaben gekennzeichnet, also x und y Die Menge aller möglichen Realisationen ist der Wertebereich einer Variablen Methodenlehre & Statistik Variablen Variablen Zufallsvariablen Variablen Definition Zufallsexperimente Variablen werden immer über eine mathematische Formulierung definiert, z.B. Merkmal Stichprobenraum Zufallsvariablen Variable 0, wenn x1: 1, x : 2, 2 1, wenn X x 6 : 6, 5, wenn Die extensionale Definition zählt alle Realisationen der Variablen auf und weist ihnen Symbole zu (x1, x2, …). Folie 5 Methodenlehre & Statistik Variablen Variablen Zufallsvariablen Variablen Definition Zufallsexperimente Variablen werden immer über eine mathematische Formulierung definiert, z.B. Merkmal Stichprobenraum Variable X 0 Zufallsvariablen Die intensionale Definition gibt eine Vorschrift an, die die Variable und ihre Realisationen eindeutig spezifiziert. Folie 6 Methodenlehre & Statistik Variablen Variablen & Skalen Nominaldaten Exkurs: Notation Indizierung von Realisationen und Merkmalsträgern Zufallsexperimente Frage: Wie werden Realisationen symbolisiert? Stichprobenraum Hat eine Variable X genau k mögliche Realisationen, so werden diese fortlaufend mit x1, x2, …, xk indiziert Zufallsvariablen Folie 7 Ziel: Eine formale Schreibweise für „Der Wert der vierten Ausprägung von X“ zu finden Die Laufindizes dienen dazu, die einzelnen Realisationen eindeutig zu adressieren (Beginn bei 1). x1: 1, wenn <18 Alter X x2 : 2, wenn <68 x : 3, wenn 68 3 y1: 0, wenn <18 Alter Y y2 : 18, wenn <68 y3 : 68, wenn 68 Methodenlehre & Statistik Variablen Variablen & Skalen Nominaldaten Exkurs: Notation Indizierung von Realisationen und Merkmalsträgern Zufallsexperimente Stichprobenraum Zufallsvariablen Folie 8 Frage: Wie werden Realisationen symbolisiert? Ziel: Eine formale Schreibweise für „Der Wert der vierten Ausprägung von X“ zu finden Hat eine Variable X genau k mögliche Realisationen, so werden diese fortlaufend mit x1, x2, …, xk indiziert Die Laufindizes dienen dazu, die einzelnen Realisationen eindeutig zu adressieren (Beginn bei 1) Das Symbol xj mit j = 1…k bezeichnet dann die j-te Realisation der Zufallsvariablen X. Diese Indizierung ist nur für diskrete Variablen sinnvoll, da stetige Variablen unendlich viele Realisationen haben Methodenlehre & Statistik Variablen Variablen & Skalen Nominaldaten Exkurs: Notation Indizierung von Realisationen und Merkmalsträgern Zufallsexperimente Stichprobenraum Zufallsvariablen Frage: Wie werden Merkmalsträger symbolisiert? Ziel: Eine formale Schreibweise für „Der Wert der vierten Person in der Stichprobe“ zu finden Konvention: Für die Gesamtzahl von Personen wird nahezu immer das Zeichen n (oder N) benutzt. Für die Gesamtzahl von Realisationen werden andere Kleinbuchstaben verwendet (z.B. k) Dann dient wieder ein Laufindex dazu, die einzelnen Personen zu adressieren Folie 9 Das Symbol xi mit i = 1…n bezeichnet dann die i-te Messung der Zufallsvariablen X. Methodenlehre & Statistik Variablen Variablen & Skalen Nominaldaten Exkurs: Notation Indizierung von Realisationen und Merkmalsträgern Zufallsexperimente Problem: Das Symbol x3 Stichprobenraum Zufallsvariablen Folie 10 kann „die dritte Realisation der Zufallsvariablen X“ sein oder auch „der Wert der 3. Person in der Stichprobe“ Also: Es muss vorher definiert sein, was der Laufindex bedeutet, z.B. „Die Variable X habe k Realisationen und sei an n Personen gemessen worden“. xi xj mit i = 1…n mit j = 1…k Methodenlehre & Statistik Variablen Variablen & Skalen Nominaldaten Exkurs: Notation Indizierung von Realisationen und Merkmalsträgern Skalen Nominalskala Notation In psychologischen Experimenten gibt es oft viele Variablen, die als UV oder AV erhoben werden. Beispiel: An einer Stichprobe von Personen verschiedenen Geschlechts wird der durchschnittliche Alkoholkonsum über einen Monat hinweg gemessen. Man hat hier offenbar 3 Variablen sowie mehrere Messungen verschiedener Merkmalsträger • • • IQ als AV: (X) Geschlecht als UV (Y) Alkoholabhängigkeit als UV (Z) Frage: Wie indiziert man z.B. „Die IQ-Messung des 4. Mannes in der Gruppe der Alkoholiker?“ Folie 11 Methodenlehre & Statistik Variablen Variablen & Skalen Nominaldaten Exkurs: Notation Indizierung von Realisationen und Merkmalsträgern Skalen Die Variable Geschlecht (Y) wird in k=2 Ausprägungen gemessen: y1: 0 = männlich y2: 1 = weiblich Nominalskala Notation Die Variable Alkoholkonsum (Z) wird diskretisiert in m=5 Ausprägungen (Jelinek, 1951) gemessen: Z= Folie 12 z1: z2: z3: z4: z5: 0 1 2 3 4 = = = = = Kein Alkoholkonsum Konflikt-/Erleichterungstrinker Gelegenheitstrinken Rauschtrinken (Alkoholiker) Periodisches Trinken (Alkoholiker) Es nehmen insgesamt n=220 Personen teil Methodenlehre & Statistik Variablen Variablen & Skalen Nominaldaten Exkurs: Notation Indizierung von Realisationen und Merkmalsträgern Skalen Nominalskala Notation Die AV ist der IQ. Dies ist die Variable, deren Realisation im Experiment bei den Merkmalsträgern gemessen wird. Die beiden anderen Variablen sind UVen, deren Realisationen vor dem Experiment bereits feststehen, bzw. erhoben werden. Zur eindeutigen Indizierung des IQ eines Merkmalsträgers werden nun mehrere Laufindizes benötigt Folie 13 Methodenlehre & Statistik Variablen Variablen & Skalen Nominaldaten Exkurs: Notation Indizierung von Realisationen und Merkmalsträgern Skalen Nominalskala Notation Eine Person fällt immer in eine der km = 25 = 10 Gruppen von Geschlecht und Alkoholkonsum Der Laufindex für Geschlecht sei r = 1…k und für Alkoholkonsum s = 1…m Jede der 10 Gruppen hat also nrs Mitglieder Jede Person kann eindeutig identifiziert werden über xirs Folie 14 mit i=1…nrs r=1…k, s=1…m So ist z.B. x4,1,3 der IQ des vierten Mannes unter den Gelegenheitstrinkern Methodenlehre & Statistik Variablen Variablen Zufallsvariablen Variablen Typisierung von Merkmalen und Variablen Zufallsexperimente Stichprobenraum Die wichtigste Typisierung unterscheidet diskrete von stetigen (kontinuierlichen) Daten Hierbei sind Typen von Merkmalen und Typen von Variablen streng zu unterscheiden. ● x1: 0, wenn <18 Alter X x 2 : 1, wenn <68 x : 2, wenn 68 3 Zufallsvariablen ● Folie 15 Alter ist ein stetiges Merkmal. Eine Variable „Alter“ kann aber diskret definiert werden als Gleiches gilt z.B. für Intelligenz, Schulleistung, Sehvermögen, Fahreignung Methodenlehre & Statistik Variablen Variablen Zufallsvariablen Variablen & Messungen Unterscheidung Zufallsexperimente Die empirische Feststellung der Realisation einer Variablen wird als Messung bezeichnet Stichprobenraum Dabei ist zu unterscheiden zwischen der Beobachtung der Ausprägung des Merkmals und der Messung der Realisation der Variablen Zufallsvariablen Denn: Die Beobachtung kann eine Information in beliebiger Form erheben (z.B. verbal, bildlich), die Messung liefert immer eine Zahl. Die gemessenen Zahlenwerte einer Variablen heißen Messwerte Folie 16 Methodenlehre & Statistik Variablen Variablen Zufallsvariablen Das Zufallsexperiment Von Variablen zu Zufallsvariablen Zufallsexperimente Eine Variable wird zur Zufallsvariablen, wenn ihre Realisation in einem Zufallsexperiment festgestellt wird. Stichprobenraum (Zufalls-)Experiment = Ein Satz von Regeln, unter denen eine bestimmte Handlung ausgeführt wird (Bedingungskomplex Ξ, „Xi“) Trial = Eine Durchführung des Experimentes Zufallsvariablen Ergebnis = Beobachtung am Ende des Trials (in beliebiger Form, z.B. als Zahl, Bild, Symbol, Farbe etc.) Ereignis = Jede beliebige Menge von Ergebnissen Achtung: Ergebnisse & Ereignisse sind noch nicht zwangsläufig Realisationen einer Zufallsvariablen Folie 17 Methodenlehre & Statistik Variablen Zufallsexperimente Stichprobenraum Zufallsvariablen Folie 18 Variablen Zufallsvariablen Das Zufallsexperiment Von Variablen zu Zufallsvariablen Beispiel I: Einmaliger Würfelwurf Zufallsexperiment (Ξ): Ein 6-seitiger Würfel ist einmal zu werfen. Er kann nicht auf einer Kante liegen bleiben. Ergebnis ist die Augenzahl der oben liegenden Seite. Ergebnisse: Jede mögliche Augenzahl (1, 2, 3, 4, 5, 6) Ereignisse: „1“, „1 oder 6“, „Augenzahl ≤ 3“, „ungerade Zahl“, „irgendeine Zahl“ Trial: Der einmalige Wurf des Würfels Methodenlehre & Statistik Variablen Zufallsexperimente Stichprobenraum Zufallsvariablen Folie 19 Variablen Zufallsvariablen Das Zufallsexperiment Von Variablen zu Zufallsvariablen Beispiel II: Zweimaliger Münzwurf Zufallsexperiment (Ξ): Eine Münze ist zweimal zu werfen. Sie kann nicht auf einer Kante liegen bleiben. Ergebnis ist die oben liegende Seite. Ergebnisse: Jede mögliche Kombination der zwei Münzen (K+K, K+Z, Z+K, Z+Z) Ereignisse: „zweimal dieselbe Seite“, „Kein Kopf“ Trial: Der zweimalige Wurf der Münze Achtung: Die Durchführung von 2 Trials des Zufallsexperimentes „Eine Münze wird einmal geworfen“ ist ein anderes Experiment. Methodenlehre & Statistik Variablen Zufallsexperimente Stichprobenraum Zufallsvariablen Folie 20 Variablen Zufallsvariablen Das Zufallsexperiment Von Variablen zu Zufallsvariablen Beispiel III: Zulassung zum Psychologiestudium Zufallsexperiment (Ξ): Aus 782 Bewerbern werden 44 verschiedene Personen zufällig ausgewählt. Ergebnis ist die Menge der 44 Personen. Ergebnisse: Jede Menge von 44 Personen Ereignisse: „die 44 Besten“, „die 44 Besten oder die 44 Schlechtesten“, „jede Auswahl von 44 Personen aus den besten 391“ Trial: Die einmalige Auswahl von 44 Personen Achtung: Die Durchführung von 44 Trials des Zufallsexperimentes „Aus 742 Bewerbern wird 1 Person ausgewählt“ ist ein anderes Experiment. Methodenlehre & Statistik Variablen Zufallsexperimente Stichprobenraum Zufallsvariablen Variablen Zufallsvariablen Das Zufallsexperiment Von Variablen zu Zufallsvariablen Das Zufallsexperiment ist in weiten Teilen ein sehr deterministisches Konzept, denn der Ablauf eines Trials ist a-priori vollständig bestimmt die möglichen Ergebnisse sind a-priori vollständig bestimmt nur das konkrete Ergebnis (die Beobachtung) ist a-priori unbestimmt Daher kann sich die Statistik dem Verständnis des Zufallsexperimentes über mathematische Hilfsmittel nähern, nämlich der Mengenlehre Folie 21 Methodenlehre & Statistik Variablen Variablen Zufallsvariablen Ereignisse & Elementarereignisse Verbindung zur Mengenlehre Zufallsexperimente Definition: Ergebnisse eines Zufallsexperimentes sind immer Mengen. Diese Mengen können auch nur aus einem Element bestehen. Stichprobenraum Beispiel I: Einmaliger Würfelwurf Zufallsvariablen {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} Beispiel II: Zweimaliger Münzwurf {K, K}, {K, Z}, {Z, K}, {Z, Z} Beispiel III: IQ-Test {0}, {1}, {2}, …, {100}, {101}, … Folie 22 Methodenlehre & Statistik Variablen Variablen Zufallsvariablen Ereignisse & Elementarereignisse Verbindung zur Mengenlehre Zufallsexperimente Es galt: Ereignis = Jede beliebige Menge (Kombination) möglicher Ergebnisse eines Trials Stichprobenraum Elementarereignisse = die kleinste Menge disjunkter Ereignisse, in die sich die möglichen Ergebnisse eines Trials zerlegen lassen Zufallsvariablen Zwei Ereignisse E1 und E2 heißen disjunkt (paarweise unvereinbar), wenn gilt E1 E2 Schnittmenge Folie 23 Unmögliches Ereignis Methodenlehre & Statistik Variablen Zufallsexperimente Variablen Zufallsvariablen Ereignisse & Elementarereignisse Verbindung zur Mengenlehre Beispiel I: Beim Wurf eines Würfels lauten die Elementarereignisse {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, Stichprobenraum nicht aber {{2}, {4}, {6}} oder {{1},{ 5}} Zufallsvariablen Beispiel II: Beim Wurf zweier Würfel sind die Elementarereignisse (obwohl diese disjunkt sind) {1,1} , {1,2} , {1,3},…, {6,5}, {6,6}, nicht aber {{1, 6}, {6, 1}} oder {{1, 1}, {3, 3}, {6, 6}} (und vor allem nicht das Ereignis {1}, das überhaupt nicht vorkommen kann) Folie 24 Methodenlehre & Statistik Variablen Variablen Zufallsvariablen Ereignisse & Elementarereignisse Verbindung zur Mengenlehre Zufallsexperimente Die vollständige Menge der Elementarereignisse eines Zufallsexperimentes heißt Stichprobenraum Ω. Stichprobenraum Der Stichprobenraum umfasst alle Elementarereignisse (also alle möglichen Ergebnisse) eines Zufallsexperimentes Zufallsvariablen Der Stichprobenraum ist eine Menge Beispiel: Der Stichprobenraum beim einmaligen Würfelwurf ist Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Hinweis: Eigentlich müsste man schreiben: Ω = {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}} Folie 25 Methodenlehre & Statistik Variablen Zufallsexperimente Stichprobenraum Zufallsvariablen Variablen Zufallsvariablen Ereignisse & Elementarereignisse Partitionierung Jedes Ereignis E teilt den gesamten Stichprobenraum immer in zwei Untermengen Ein Teil der Elementarereignisse gehört zum Ereignis E, der andere Teil gehört nicht dazu Diese Aufteilung nennt man Partitionierung des Stichprobenraums „Alle geraden Augenzahlen“ E = {2, 4, 6} Folie 26 Methodenlehre & Statistik Variablen Zufallsexperimente Stichprobenraum Zufallsvariablen Variablen Zufallsvariablen Ereignisse & Elementarereignisse Partitionierung Jedes Ereignis E teilt den gesamten Stichprobenraum immer in zwei Untermengen Ein Teil der Elementarereignisse gehört zum Ereignis E, der andere Teil gehört nicht dazu Diese Aufteilung nennt man Partitionierung des Stichprobenraums „Eins oder Sechs“ E = {1, 6} Folie 27 Methodenlehre & Statistik Variablen Zufallsexperimente Stichprobenraum Zufallsvariablen Variablen Zufallsvariablen Ereignisse & Elementarereignisse Partitionierung Jedes Ereignis E teilt den gesamten Stichprobenraum immer in zwei Untermengen Ein Teil der Elementarereignisse gehört zum Ereignis E, der andere Teil gehört nicht dazu Diese Aufteilung nennt man Partitionierung des Stichprobenraums „Drei“ E = {3} Folie 28 Methodenlehre & Statistik Variablen Zufallsexperimente Stichprobenraum Zufallsvariablen Variablen Zufallsvariablen Ereignisse & Elementarereignisse Partitionierung Jedes Ereignis E teilt den gesamten Stichprobenraum immer in zwei Untermengen Ein Teil der Elementarereignisse gehört zum Ereignis E, der andere Teil gehört nicht dazu Diese Aufteilung nennt man Partitionierung des Stichprobenraums „Irgend eine Zahl“ E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Folie 29 Methodenlehre & Statistik Variablen Zufallsexperimente Stichprobenraum Zufallsvariablen Variablen Zufallsvariablen Ereignisse & Elementarereignisse Partitionierung Jedes Ereignis E teilt den gesamten Stichprobenraum immer in zwei Untermengen Ein Teil der Elementarereignisse gehört zum Ereignis E, der andere Teil gehört nicht dazu Diese Aufteilung nennt man Partitionierung des Stichprobenraums „Keine Zahl“ E = {} Folie 30 Methodenlehre & Statistik Variablen Variablen Zufallsvariablen Ereignisse & Elementarereignisse Verbindung zur Mengenlehre Zufallsexperimente Die Menge aller Kombinationen von Ereignissen aus dem Stichprobenraum heißt SigmaAlgebra σ Stichprobenraum Zusätzlich enthält σ noch das unmögliche Ereignis Zufallsvariablen Folie 31 σ umfasst also alle möglichen Kombinationen aus den Elementarereignissen plus Merksatz: σ enthält alle Kombinationen von Ergebnissen eines Zufallsexperimentes, auf die man wetten könnte Methodenlehre & Statistik Variablen Zufallsexperimente Variablen Ereignisse & Elementarereignisse Verbindung zur Mengenlehre Beispiel: Einmaliger Münzwurf Elementarereignisse: K, Z, S Stichprobenraum: Stichprobenraum Zufallsvariablen Zufallsvariablen Ω = {K, Z, S} , K ,Z ,S ,K , Z ,K , S ,Z , S , K , Z , S Ω Die Anzahl der Elemente in der Sigma-Algebra heißt Mächtigkeit Achtung: Für die Mächtigkeit spielt die Reihenfolge der Elementarereignisse keine Rolle. Frage: Was ist hier die Zufallsvariable? Folie 32 Methodenlehre & Statistik Variablen Variablen Zufallsvariablen Zufallsvariablen Definition Zufallsexperimente Eine Zufallsvariable ist eine 1:1 Abbildung („bijektiv“) der Elemente des Stichprobenraums auf eine Menge von Zahlen. Stichprobenraum Es gelten alle Regeln, die bereits für Variablen eingeführt wurden. Zufallsvariablen Beispiel: KK,,ZZ,,SS Folie 33 0, wenn wenn "K" "K" xx11:: -1, XX xx22:: 1, wenn "Z" x : 0, 3 2, wenn "S" Methodenlehre & Statistik Variablen Variablen Zufallsvariablen Zufallsvariablen Prinzip Zufallsexperimente Stichprobenraum Zufallsvariablen Beispiel: Experiment = Eimaliger Münzwurf Definition eines Zufallsexperimentes: Mögliche Ergebnisse eines Trials: Kopf, Zahl, Seite Durchführung eines Trials und Feststellung des Ergebnisses: Zahl Definition des Stichprobenraums und damit auch von Definition einer Zufallsvariablen X() Messung: X = 1 Frage: Was bedeutet „zufällig“? Folie 34 Methodenlehre & Statistik Laplace Kolmogoroff Geschichte Geschichte der WT Definition Anfänge Mitte des 17. Jh. (Cardano, Bernoulli, Huygens, Pascal, Fermat). Aufgaben des Glücksspiels. Nur Arithmetik und Kombinatorik. Vererbung Weiterentwicklungen im 18.-19. Jh. durch Laplace, Gauss, Poisson: Fehlertheorie, Ballistik, Populationsstatistik. Beispiele Durchbruch zu Beginn des 20. Jh: Entwicklung der WTheorie, Fundament im axiomatischen Aufbau (Kolmogoroff). Theorie der stochastischen Prozesse (Wiener, Markov, Khintchin). Heute zentraler Bestandteil empirischer Forschung: Informationstheorie, Physik, Bevölkerungsstatistik, Epidemiologie, Materialprüfung, Statik, Personalauswahl, psychologische Testung, Versuchsplanung und Stichprobentheorie. Folie 35 Methodenlehre & Statistik Geschichte Definition Vererbung Beispiele Laplace Kolmogoroff Die Wahrscheinlichkeitsdefinition von Laplace Wahrscheinlichkeiten im Stichprobenraum Grundannahme: Alle Elementarereignisse („kleinomega“) im Stichprobenraum Ω sind gleichmöglich Wenn der Stichprobenraum die k Elementarereignisse 1 bis k enthält, so ist die Wahrscheinlichkeit für jedes von diesen einfach 1 p i k mit i 1 k p() ist demnach eine auf dem Stichprobenraum definierte mathematische Funktion (i.e. eine Konstante), die so genannte Wahrscheinlichkeitsfunktion. Folie 36 Methodenlehre & Statistik Geschichte Definition Vererbung Beispiele Laplace Kolmogoroff Die Wahrscheinlichkeitsdefinition von Laplace Wahrscheinlichkeiten in der -Algebra Jedem Ereignis E, welches der σ-Algebra angehört, kann nun ebenfalls eine Wahrscheinlichkeit zugewiesen werden. m = Mächtigkeit der Menge an gleichmöglichen Elementarereignissen aus Ω, die Teilereignis von E sind. m p( E ) k „Günstige durch Mögliche“ k = Mächtigkeit des Stichprobenraumes (also Anzahl aller Elementarereignisse aus Ω) p(E) ist wieder eine Wahrscheinlichkeitsfunktion, diesmal definiert auf der -Algebra. Folie 37 Methodenlehre & Statistik Geschichte Definition Vererbung Laplace Kolmogoroff Die Wahrscheinlichkeitsdefinition von Laplace Wahrscheinlichkeiten in der -Algebra Laplaces Definition der Wahrscheinlichkeitsfunktion p(E) beruht auf dem Prinzip der Partitionierung Das Ereignis E partitioniert den Stichprobenraum in Beispiele ● m Elementarereignisse, die Teil von E sind. ● k–m Elementarereignisse, die nicht Teil von E sind Die Wahrscheinlichkeit p(E) ist also einfach die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner m Elementarereignisse 1 1 1 m p( E ) k k k k Folie 38 m-mal Methodenlehre & Statistik Geschichte Definition Vererbung Beispiele Laplace Die Wahrscheinlichkeitsdefinition von Laplace Vererbung Frage: Der Stichprobenraum ist noch nicht die Zufallsvariable X – wie erhält man deren Wahrscheinlichkeiten? Definition: Die Zufallsvariable „erbt“ die Wahrscheinlichkeitsfunktion des Stichprobenraums, auf dem sie beruht. Stichprobenraum: Zufallsvariable: Folie 39 Kolmogoroff Bube, Dame, König , As p 1 , 4 1 , 4 1 , 4 1 4 X x1: 0, x2 : 1, x3: 2, x3 : 4 p x 1 , 4 1 , 4 1 , 4 1 4 Methodenlehre & Statistik Geschichte Definition Vererbung Laplace Kolmogoroff Die Wahrscheinlichkeitsdefinition von Laplace Vererbung Vollständige Schreibweise für Zufallsvariable und deren Wahrscheinlichkeitsfunktion: x1: 0, wenn Bube x : 1, wenn Dame X 2 x3 : 2, wenn König x3 : 4, wenn As Beispiele p X p X p x p X p X Folie 40 x1 : 1 4 x2 : 1 4 x3 : 1 4 x4 : 1 4 Methodenlehre & Statistik Geschichte Laplace Kolmogoroff Die Wahrscheinlichkeitsdefinition von Laplace Definition Beispiele Vererbung Summe von 2 Würfelwürfen Beispiele Anzahl von „Zahl“ bei 3 Münzwürfen Frage des Landsknechts an Huygens Folie 41 Methodenlehre & Statistik Relevante Excel Funktionen Wahrscheinlichkeitsrechnung • Grundrechenarten +, –, ×, / • SUMME(), PRODUKT() Folie 42
