Elektrodynamik (T3p)
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Zentralübung zur Vorlesung Elektrodynamik (T3p) SoSe 2015 Blatt 2 Aufgabe 1: Bildladungen (Staatsexamen Frühjahr 2005) Gegeben sei eine geerdete metallische Kugel (Radius R) mit dem Mittelpunkt am Ort ~r = ~0. Am Punkt ~r0 (mit r0 > R) befinde sich eine Ladung q. Es sollen die elektrostatischen Eigenschaften dieser Anordnung mit der Methode der Bildladungen untersucht werden. Dabei werden bekanntlich anstelle der Felder, die von einer influenzierten Ladungsdichte verursacht werden, die (identischen) Felder betrachtet, welche durch eine oder mehrere punktförmige Bildladungen verursacht werden. a) Man setze eine Bildladung q 0 am Ort ~r00 an. Was folgt allein aus Symmetriegründen für die Richtung des Vektors ~r00 ? Geben Sie das aus diesem Ansatz folgende Potential Φ(~r) für den Bereich r > R an als Funktion von ~r0 , ~r00 , q und q 0 . (5 Punkte) b) Welche Randbedingun muss das Potential erfüllen? Bestimmen Sie daraus die Ladung q 0 und den Vektor ~r00 . Geben Sie das Potential als Funktion von ~r0 und q an. (25 Punkte) Zur Kontrolle: s 0 q = −q r00 , r0 r00 = R2 r0 ~ r) für r > R als Funktion von ~r0 und q, und bestimmen c) Bestimmen Sie das elektrische Feld E(~ Sie den Anteil des Feldes, der von der Ladung q herrührt, und den Anteil, der von der Influenzladung σ 0 herrührt. (10 Punkte) d) Zeigen Sie, dass die Kraft F~ auf die Ladung q gegeben ist durch q2 R ~r0 F~ = − . 4π0 (r02 − R2 )2 (10 Punkte) e) Bestimmen Sie das elektrische Feld and der Oberfläche der Kugel als Funktion von ~r0 und q. (10 Punkte) f) Bestimmen Sie die influenzierte Ladungsdichte σ 0 (~r) auf der Kugel als Funktion des Ortes, und skizzieren Sie die Winkelabhängigkeit. (10 Punkte) g) Zeigen Sie, dass die auf der Kugel influenzierte Gesamtladung Q0 gleich der Ladung q 0 ist. (15 Punkte) 1 Aufgabe 2: Kugel im homogenem Feld (Staatsexamen Herbst 2006) ~ a = Ea~ez werde eine Metallkugel gebracht (Radius R; MittelIn ein homogenes elektrisches Feld E punkt bei ~r = 0). ~ und das zugehörige elektrostatische a) Geben Sie die Bedingungen an, die das elektrische Feld E Potential Φ innerhalb und außerhalb der Kugel an der Oberfläche erfüllen müssen. Skizzieren Sie den Verlauf der Feldlinien und Äquipotentialflächen. (12 Punkte) b) Geben Sie für das Potential Φ einen außerhalb der Kugel gültigen geschlossenen Ausdruck ~ a das Potential eines an, indem Sie zusätzlich zum Potential des außen angelegten Feldes E Dipolfeldes addieren: Wählen Sie Ort, Richtung und Betrag des fiktiven Dipolmomentes p~ so, dass die Randbedingungen für das Gesamtpotential erfüllt sind. (14 Punkte) Hinweis: Das Feld eines Dipols mit Dipolmoment p~ hat das Potential V (~r) = p~ · ~r . 4π0 r3 ~ r) für r ≥ R wie folgt lautet: c) Zeigen Sie, dass das Gesamtfeld E(~ R3 3z 2 R3 R3 R3 Ez = Ea 1 − 3 + , E = 3E zx , E = 3E zy . x a y a r r5 r5 r5 Berechnen Sie ferner die Feldkomponenten an der Außenseite der Oberfläche, und geben Sie die Flächenladungsdichte σ(θ, φ) der an der Oberfläche der Kugel induzierten Ladungen an. Benutzen Sie Kugelkoordinaten (θ, φ), wobei die Achsenrichtung geeignet zu wählen ist. (20 Punkte) d) Mit welcher Gesamtkraft wirkt das äußere Feld auf die Kugel? (6 Punkte) Nehmen Sie jetzt an, dass sich in großer Entfernung r >> R von der ersten Kugel eine zweite, gleichartige befinde. Die beiden Kugeln üben dann Kräfte aufeinander aus, die in Dipolnäherung berechnet werden können. Es soll keine Rückwirkung der jeweils anderen Kugel auf die jeweiligen Dipolmomente auftreten, die Diplmomente sind also weiterhin nur durch äußere Felder induziert. e) Mit welcher Potenz von r nimmt die Kraft bei fester Richtung des Verbindungsvektors der beiden Kugeln ab? (6 Punkte) f) Geben Sie die Kraft, welche die erste Kugel auf die zweite ausübt, explizit an für den Fall, dass der Verbindungsvektor ~r der Kugelmittelpunkte (i) in z-Richtung oder (ii) in x-Richtung zeigt, ~ a ist. Achten Sie auf die Richtung der Kraft. (20 Punkte) also parallel bzw. senkrecht zu E Hinweis: Die Kraft auf einen Dipol im äußeren Feld ist ~ E. ~ F~ = (~ p · ∇) Bei Fragen E-Mail an: [email protected] 2
