Aufgaben - E

Aufgaben
Objekttyp:
Group
Zeitschrift:
Elemente der Mathematik
Band (Jahr): 30 (1975)
Heft 3
PDF erstellt am:
27.10.2017
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58
Aufgab
We finally remark that the above theore
by the following example.
Example. Let
«M
f 0
\
e S be defined as foll
if »=
[ß(n)
then clearly a o ß
Pv '.Pr.
ol, ß
if
n
1
>
1
(n Möbiusfunc
0 so that a is a zero-divi
*(fil---pr)=P<Pl---pr)=(-lY
+ 0
REFERENCE
[1] M. V. Subbarao, On some arithmetic convolut
Springer-Verlag, p. 247-271 (1972).
Aufgab
Aufgabe 717. Gegeben
sei ein Kreis k
m
Aufgaben
Aus (4) folgt noch
0 < r2
-
a2
X2
—
- - 2 x2,
r2
a2
d.h., nur die dem Bereich x < \/(r2 — a2)\
werden von der Ellipse (4) eingehüllt. Die Kr
< x < j/r2 — a2 liegen jeweilen ganz innerhalb
|
|
|
|
Anmerkung: Die Aufgabenthese lässt s
„-dimensionalen Raum übertragen, indem m
Kugeln ersetzt. Die Umhüllende ist dann ein
verläuft völlig analog.
Weitere Lösungen sandten G. Bach (Braun
reich), C. Bindschedler (Kusnacht, ZH), K.
(Rodersdorf, SO), I. Paasche (München, BRD;
Ungarn), Hj. Stocker (Wädenswil, ZH), M. Vo
Aufgabe 718. Gegeben ist ein ebenes Drei
Inkreisradius r und Umkreisradius R. Man zeig
punkte oder die drei inneren Ankreisberührpu
von
AB C,
so
gilt beide Male
60
Aufgabe
Hier führen wir folgendes ein: a2 + b2 + c2
r (A R + r) + s2, cosa + cos/S + cosy (R
AX2 +
2)
BY2+CZ2=(R±^--{2R
R
X, Y, Z
seien nun die drei inneren
ersten Teil erhält man
AX2
62
AX2
b2
+ c2-s2+b2 cosy + c2 cos/S.
Hier führen wir b cosy a — c cos/?, c cos/5
+
c2
-
s2
+
und nach Addition von 0
AX2
3
—
b2
+
3
—
a (b
+ c)
(1/2)
1
c2 — — a2
-
(b2
-
+
s2
bc (cos
c2)
+
-
ab
+
Hierzu addieren wir analoge Formeln und be
AX2+BY2+CZ2
Wir
5
-(a2 + b2 + c2)-3s2+(
setzen die oben angegebenen Ausdrücke
AX2
BY2
CZ2
(3 R
-
r)
s2
-r
(4
Aufgaben
Weitere Lösungen sandten R. Acampora
mark), C. Bindschedler (Kusnacht, ZH), O. B
schuh (Köln, BRD), J. Feher (Pecs, Ungarn)
H. Kappus (Rodersdorf, SO), H. Knoll (Dise
Niederlande), A. Marshall (Madison, Wiscons
BRD), J. Schopp (Budapest, Ungarn), E. Teuf
BL), H. Warncke (Porto Alegre, Brasilien) un
Anmerkungen: Verschiedene Einsender lei
Tschebyscheff (n (2 n)
n („) > 1 für n > 1)
eine» ersetzt werden kann durch «mindestens
hin, dass für r > 2 gilt: pr + x ist das zweitkleinst
¦ pr, (m, px ¦
Zahlen m mit m <px¦ p
(1972) 1103, Zeilen 6 bis 10).
Man kann in der Aufgabe pxp2...pr
1 d
Ausdruck grösser als pr+x ist (vgl. E. Trost, P
stehende Aussage ist bestmöglich, da für r
3
-
-
Aufgabe 720. Es
n(x) <
n
sei
/(„) die kleinste Zah
(x + /(„))
Man zeige, dass für alle natürlichen Zahlen
„g
62
Neue Aufg
für jedes „
>
1
> „„(„).
gilt, wenn n
Es sei
e"
x
<—.
n2
(*) gilt wegen n(x)
< „. Für
en2
folgt aus
7l(„)
(1)
<
„
„
ln„-
'
(ln„)*+3
1
Es genügt daher zu zeigen, dass für
x
e"
x > —
n2
Setzt man x
en
n
—
-t
t
— 1
<
In*—1 + -—-p(ln„)*+3
gut
.""',
+
x
t
2
ln „,
e"-'
(n-t)^3
erhält die
so
1
/ n_t
<n\e
oder
n
n
1
n*
+
Bericht
Aufgabe 742. Ein Ring R mit Einselem
\
I
besitzt derart, dass R
die Einheitengrupp
Quotientenring Rjl ein Körper. Man beweise
eine von 2 verschiedene Charakteristik, so gi
1.
a 4= 1 und a2
H. Lüneburg, Kaiser
Aufgabe 743. Am ebenen Dreieck mit
Umfang 2 s gibt es beliebig viele richtige Auss
0
<
Rr-2r2
1
<
~
s2
-A27
r2
<
2s2-2
B
mit positiven reellen Zahlen A bis E. Man be
derartigen A, B, C, D, E.
Aufgabe 744. Es sei
2
jedes natürliche n bezeichne
ist. Man zeige, dass
T
—
<
oo
gilt.
px
qn
< p2 <
die kleinste Pr