Quasikristalle, Bremen 2012 - Institut für Theoretische Physik

Quasikristalle: Theoretische Physik für
Studierende des Lehramts
Peter H. Richter
Inauguration der Wilhelm und Else Heraeus-Seniorprofessur für die
Weiterentwicklung der Lehrerausbildung im Fachbereich Physik
12. Januar 2012
Peter H. Richter
1
Laue-Beugungsbilder
Kristall
Quasikristall
- beobachten und beschreiben
- fragen, diskutieren, weiterfragen, Interesse wecken
- elementare Erklärungen versuchen, Analogien und Verallgemeinerungen
- verstehen: gewöhnen und einordnen
- tieferes Verständnis: Methoden erarbeiten und üben
Peter H. Richter
2
Bausteine 1
g
1
72o
2D
1
36
g
1
1
G
o

g 
1
1 g
5 1
:
1
G
 0 . 618 03 ...
2
3D
je 10 dicke und 10 flache Rhomboeder
Diagonalenverhältnis g = 1/G
Peter H. Richter
Keplers Triakontaeder (ein
Catalanischer Körper)
3
Goldener Schnitt, Kunst
Zahlentheorie
Wellen, Beugung
Fourier-Transformation
Bausteine
Platonische u.a. Körper
Gitterstrukturen
Vektoren, Projektoren
Symmetrie, Symmetriebrechung
Gruppentheorie
Peter H. Richter
4
Der goldene Schnitt g
Kettenbruchdarstellung einer Zahl W
1
W  w0 
1
w1 
w2 
g 
1
1 g
 : w 0 , w1 , w 2 , ... 
 [ 0 , 1, 1, 1, ...]
1
1
qn
1
5
2
n 1
 Fn   0 1 1 2 3 5

   , , , , , , ... 

 Fn 1   1 1 2 3 5 8
g n   
1
1
F
pn
w 3  ...
1
1/
W n  w 0 , w1 , ..., w n  
1
0
g  gn 
Kettenbruchapproximationen
1
Fibonacci-Reihe, Farey-Summe
1  ...
g und G sind die irrationalsten Zahlen!!!
Peter H. Richter
5
Der goldene Schnitt in Natur und Kunst
Peter H. Richter
6
Bausteine 2
Catalanische
Archimedische
Körper
Platonische Körper
Mysterium Cosmographicum
Peter H. Richter
Geodesic Dome
7
Diskrete Symmetriegruppen
• Allgemeine Eigenschaften
– Erzeugung, Zerlegung, Faktorgruppe, Äquivalenzklassen
– Permutationsgruppen
– Gruppentafeln
• Gitter-Translationen: abelsche Gruppe
• Drehungen: 2-, 3-, 4-, 5-, 6-zählige Achsen und Spiegelungen
• Beispiele:
–
–
–
–
S3 gleichseitiges Dreieck (mit Spiegelungen)
A4 Tetraeder (ohne Spiegelungen)
Würfel: 24 Drehungen
7 Punktgruppen der Bravaisgitter
Peter H. Richter
8
Symmetrien von Kristallen und Quasikristallen
• Bravais-Gitter
• Quasikristall-Gitter
– 3D-Pflasterung mit zwei
Bausteinen
– auch 5-zählige Achsen
– aperiodische Anordnung der
Elementarzellen
– keine Translationssymmetrie
– Orientierungsordnung
– 3D-Pflasterung mit nur
einem Baustein
– 2-, 3-, 4-, 6-zählige Achsen
– 3fach-periodische
Anordnung der
Elementarzelle
– Gittertranslationssymmetrie
– Orientierungsordnung
Peter H. Richter
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Gittervektoren und Operatoren
• Vektoren und ihre Darstellung in einer Basis
– Dirac-Notation, bra- und ket-Vektoren a bzw. b
– Skalarprodukt und Operatorprodukt a b bzw. a b
• Operatoren und ihre Darstellung als Matrix
– Projektoren
– Drehungen
Pˆ 

ei ei
P  P
e i e i
D
2
i
Dˆ 

1
D
T
i
– symmetrische Operatoren
Sˆ 
– Eigenwerte, Eigenvektoren

e i S ij e j
S  S
T
i, j
Peter H. Richter
10
Projektion aus höheren Dimensionen 1
2D →1D
aperiodisch
periodisch
3D →2D
aperiodisch
periodisch in x,
aperiodisch in y
Peter H. Richter
periodisch in
beiden Richtungen
11
Projektion aus höheren Dimensionen 2
4D
1

1 1
P4 
4 1

1

1 1
1 1
1 1
1 1
1

1
1

1 
1D
3D
 3

1 1
Q 4  1  P4  
4 1

1

2D
5 x 2 Rhomben
1
3
1
1
3
1
1
 1

 1
 1

3 
rhombisches Dodekaeder
aus 4 gleichen Rhomboedern
5D
g
G G
 2

2
g
G
 g
1 
P5 
G
g
2
g

5
g
2
G G

Penrose-Zelle
G G
gaus
 g
1
3D
g 

G
G

g 

2 
 3

 g
1
Q5   G
5 
 G

 g
g
G
G
3
g
G
g
3
g
G
g
3
G
G
g
g

G 
G 

g

3 
rhombisches Triakontaeder
aus 10 x 2 Rhomboedern
Peter H. Richter
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Goldener Schnitt, Kunst
Zahlentheorie
Wellen, Beugung
Fourier-Transformation
Bausteine
Platonische u.a. Körper
Gitterstrukturen
Vektoren, Projektoren
Symmetrie, Symmetriebrechung
Gruppentheorie
Peter H. Richter
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Zusammenfassung
•
•
•
•
•
•
Wir gehen aus von einfachen Fragen, hier: was hat es mit den
Quasikristallen auf sich? wieso ein Nobelpreis dafür?
Wir ordnen sie ein in einen größeren Kontext, der durch das Thema seine
Kohärenz erhält.
Wir folgen nicht einer Fachsystematik, sondern erlauben uns, vom geraden
Weg abzuweichen und hier und da ein Blümchen zu pflücken. Nach
Möglichkeit arbeiten wir mit allen Sinnen.
Wir lernen Methoden nach Bedarf und gehen in die Tiefe, wo es sich auch
für andere Zwecke lohnt. Hier setzt der Wille zu engagierter Mitarbeit ein
Vertrauen in die Kompetenz des Lehrers voraus.
Wir gehen bis an Grenzen unserer individuellen Fähigkeiten, gelegentlich
vielleicht auch des verfügbaren Wissens (denn die Fragen der Schüler und
Studenten gehen gerne darüber hinaus).
Ich glaube, dass man analog auch in der Schule vorgehen kann, wenn auch
mit anderem Tempo und auf anderem Niveau.
Peter H. Richter
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