1 Mathematik für wirtschaftswissenschaftliche Studiengänge

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Übungsserie 2 – WS 06/07
Mathematik für wirtschaftswissenschaftliche Studiengänge
Übungsaufgaben Serie 2
Wintersemester 2006/07
6. Semesterwoche (46. Kalenderwoche)
Aufgaben für die Hörsaalübung:
Aufgabe 1
a) Die folgenden Summen sind auszurechnen bzw. zu vereinfachen:
a)
8
P
2(i + 2)
b)
i=1
5
Q
(3k − 4)
c)
n
P
i=1
k=1
a2i +
n
P
b2j −
j=1
n
P
(ak − bk )2
k=1
b) Untersuchen
Sie, ob folgende Aussage wahr ist:
n
n
Q bi
P
log
ai =
bi log ai , ai > 0
i=1
i=1
Aufgabe 2
Entscheiden Sie, ob die folgenden verknüpften Aussagen wahr oder falsch sind:
(a) (2 < 5) ∨ (2 = 5)
(b) (2 < 5) ∧ (2 = 5)
Aufgabe 3
Untersuchen Sie, ob die Aussagen
V
x∈R
A1 (x) und
V
A2 (x) mit den Aussageformen
x∈R
A1 (x) = (x2 − 5x + 10 > 0)
A2 (x) = (x2 − 2x > 0)
wahr sind. Bilden Sie die Negation der gegebenen Aussagen und geben Sie den
Wahrheitswert an.
Aufgabe 4
Zeigen Sie mit einer Wahrheitstafel, dass die Aussagenverbindung
(B ∧ (Ā ⇒ B̄)) ⇒ A stets wahr ist.
Aufgabe 5
Untersuchen Sie, ob in den folgenden Fällen zwischen den gegebenen Aussagen
eine Implikation oder eine Äquivalenz besteht:
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Übungsserie 2 – WS 06/07
a)
b)
c)
d)
e)
A:
A:
A:
A:
A:
x ∈ N ist eine gerade Zahl.
x ∈ N.
4
x∈R∧x< 1
x und y sind positive Zahlen.
x2 = 1
B:
B:
B:
B:
B:
x ∈ N.
2
x ist eine ganze Zahl.
x2 < 1
xy ist eine positive Zahl.
x = 1 ∨ x = −1
Aufgabe 6
Gegeben sind die Mengen
A = {0, 1, 2}, B = {x ∈ N : x ≤ 4}, C = {y ∈ Z : |y| ≤ 3}.
1. Man bestimme A ∪ B, A ∪ C, A ∩ C, A\B, B\A, C Z , A ∪ B ∪ C, A ∩ B ∩ C.
2. Man gebe alle Teilmengen von A und die Mächtigkeit der Potenzmenge
P(A) an.
3. Man bestimme A×B, B ×A, (A×B)∩(B ×A). Wie viele Elemente enthält
A × B × C?
Aufgaben für die Gruppenübungen:
2 Aufgaben Ihrer Wahl sind als Bonusaufgaben zur Abgabe bereitzuhalten.
Aufgabe 1
Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
n
n
n
n
P
Q
P
P
2
3
a)
n =n
b) log
ai bi =
log ai +
log bi
i=1
i=1
i=1
i=1
n
2
n
n
4
3
P
P
P
Q
P
c)
ai bi =
a2i
b2i d)
(2k − 1) =
(−1)k+1 5k
i=1
i=1
i=1
k=1
, ai , bi > 0
k=1
Aufgabe 2
1. Für die Aussagen
Ai : Ein Produkt wird auf der Maschine Mi ,
i = 1, 2, 3, 4, bearbeitet.
sind folgende Verknüpfungen formelmäßig mittels Konjunktion, Disjunktion
bzw. Negation anzugeben:
(a) Das Produkt wird auf allen 4 Maschinen bearbeitet.
(b) Das Produkt wird auf mindestens einer der Maschinen M1 , M2 , M3
bearbeitet jedoch nicht auf Maschine M4 .
(c) Das Produkt wird auf mindestens 3 der 4 Maschinen bearbeitet.
bitte umblättern =⇒
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Übungsserie 2 – WS 06/07
2. Untersuchen Sie mit einer Wahrheitstafel, ob die Aussagenverbindung
((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)) ⇒ (A ⇔ B)
stets wahr ist.
Aufgabe 3
Gegeben seien folgende All- bzw. Existenzaussagen für x ∈ R:
W 2
V 2
V 2
(a)
(x + 2x + 2 = 0) (c)
(x + 2x + 2 = 0)
(x + 2x + 2 = 0) (b)
x
x
x
W 2
W 2
(x + 2x + 2 = 0) (e)
(x + 2x + 2 = 0)
(d)
x
x
1.1 Welche der Aussagen sind wahr?
1.2 Formulieren Sie die Aussagen unter (c), (d) und (e) verbal.
Aufgabe 4
Es seien folgende Aussagen gegeben:
A: Student M hat alle Prüfungsaufgaben gelöst.
B: Student M besteht die Prüfung.
1. Beschreiben Sie die Implikation A ⇒ B verbal.
2. Welche der folgenden Aussagen sind äquivalent zur Implikation aus 1.?
(a) Wenn Student M die Prüfung besteht, dann hat er alle Prüfungsaufgaben gelöst.
(b) Student M kann die Prüfung nur bestehen, wenn er alle Prüfungsaufgaben gelöst hat.
(c) Wenn Student M die Prüfung nicht besteht, dann hat er nicht alle
Aufgaben gelöst.
(d) Es kann nicht sein, dass Student M alle Aufgaben gelöst hat und die
Prüfung nicht besteht.
Beschreiben Sie die Aussagen (a) bis (d) durch Verknüpfung von A und B
und weisen Sie gegebenenfalls die Äquivalenz mittels Wahrheitstafel nach.