Inhaltsverzeichnis
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1 / 40 Formelsammlung Technisches Gymnasium Profil Umwelttechnik Baden-Württemberg 08.06.13 Diese Formelsammlung wird ständig ergänzt und korrigiert. Bitte beachten Sie das aktuelle Datum. Fehler und Ergänzungswünsche schicken Sie bitte an: [email protected] oder [email protected] Inhaltsverzeichnis 1 Energietechnik und Thermodynamik ............................................................................................................3 Formelzeichen und Einheiten der Thermodynamik....................................................................................................3 Normbedingungen.................................................................................................................................................3 Übersicht über Energieeinheiten ............................................................................................................................3 Wirkungsgrade, Energieflussdiagramm....................................................................................................................3 Stoffwerte bei Normbedingungen ...........................................................................................................................4 Erster Hauptsatz der Wärmelehre...........................................................................................................................4 allgemeines Gasgesetz...........................................................................................................................................4 Zustandsänderungen idealer Gase...........................................................................................................................4 Erwärmung von Stoffen..........................................................................................................................................5 Schmelzen und Verdampfen ..................................................................................................................................5 Verbrennung von Brennstoffen (BS)........................................................................................................................5 Wasserdampftafel..................................................................................................................................................6 Wärmeerzeuger – Brennwerttechnik........................................................................................................................6 Wärmeerzeuger – Solarthermie...............................................................................................................................7 Wärmeerzeuger – Wärmepumpe ............................................................................................................................8 Wärmeerzeuger – Blockheizkraftwerke....................................................................................................................8 Brennstoffzelle.......................................................................................................................................................8 2 Bauphysik.......................................................................................................................................................9 Wärmeleitung........................................................................................................................................................9 Ermittlung von Temperaturen an den Bauteiloberfläche............................................................................................9 Wasserdampfteildruck, Wasserdampfdiffussion......................................................................................................10 Bedingungen Tau- und Verdunstungsperiode.........................................................................................................10 Tauwassermenge, Verdunstungswassermenge.......................................................................................................10 Tabelle: Wasserdampfsättigungsdruck ps .............................................................................................................11 Tabelle Sperrstoffe...............................................................................................................................................11 Tabelle: Rohdichte, Wärmeleitfähigkeit und Wasserdampfdiffusionswiderstandszahl.................................................12 h,x-Diagramm......................................................................................................................................................13 kontrollierte Wohnraumlüftung..............................................................................................................................14 3 Strömung, Wasserkraft, Windkraft ............................................................................................................15 Strömungen in Rohrleitungen - Volumen- und Massenstrom...................................................................................15 Strömungen in Rohrleitungen - Kontinuitätsgesetz.................................................................................................15 Wasserkraft.........................................................................................................................................................15 Turbinen Einsatzgebiete.......................................................................................................................................16 Turbinenwirkungsgrad..........................................................................................................................................16 Windkraft............................................................................................................................................................17 Windturbinenformen mit Leistungsbeiwert und Schnelllaufzahl................................................................................17 Widerstandsläufer und Widerstandsbeiwert............................................................................................................18 Auftrieb und Kräfte am Rotorblatt.........................................................................................................................18 4 Elektrotechnik..............................................................................................................................................19 Ladung Q, Strom I, Spannung U, Arbeit W, Leistung P, Widerstand R......................................................................19 Widerstand .........................................................................................................................................................20 Reihenschaltung...................................................................................................................................................20 Innenwiderstand Ri einer Spannungsquelle............................................................................................................21 Parallelschaltung..................................................................................................................................................21 Knoten- und Maschenregel...................................................................................................................................21 Spannungsteiler...................................................................................................................................................22 Brückenschaltung.................................................................................................................................................22 Dioden und LEDs.................................................................................................................................................23 Solarzelle.............................................................................................................................................................24 Kondensator........................................................................................................................................................25 Durchflutung........................................................................................................................................................26 Induktion ............................................................................................................................................................26 Spule...................................................................................................................................................................27 Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt 8. Jun 13 2 / 40 Motor: Ersatzschaltbild und Kennlinien...................................................................................................................28 Motor Leistungsbilanz...........................................................................................................................................28 Transistor und Transistorschaltungen....................................................................................................................29 PWM-Signal, Tastgrad..........................................................................................................................................29 Transistor-Brückenschaltung.................................................................................................................................30 Tiefsetzsteller......................................................................................................................................................30 Hochsetzsteller.....................................................................................................................................................30 Wechselstrom......................................................................................................................................................31 Dreiphasiger Wechselstrom, Drehstrom.................................................................................................................32 Digitaltechnik Symbole und Schaltalgebra..............................................................................................................33 Codes und Codierer..............................................................................................................................................34 Speicher RS-Flipflop............................................................................................................................................34 Symbole der Elektrotechnik...................................................................................................................................35 Symbole der RI-Fließtechnik.................................................................................................................................35 Regelkreis............................................................................................................................................................36 Grafische Darstellungen von Ablaufsteuerungen, Zustandsdiagramm, GRAFCET.......................................................37 Schrittkette mit RS-Flipflops..................................................................................................................................37 Zehnerpotenzen...................................................................................................................................................38 5 Umweltlabor................................................................................................................................................39 Teilchenzahl.........................................................................................................................................................39 molares Volumen.................................................................................................................................................39 Zusammensetzung von Lösungen und Stoffgemischen...........................................................................................39 Löslichkeit............................................................................................................................................................39 Dichte.................................................................................................................................................................39 pH-Wert..............................................................................................................................................................40 Leitfähigkeit.........................................................................................................................................................40 Extinktion............................................................................................................................................................40 Fehlerfortpflanzung..............................................................................................................................................40 Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt 8. Jun 13 3 / 40 1 Energietechnik und Thermodynamik Formelzeichen und Einheiten der Thermodynamik W Arbeit in J 1 J = 1 Nm w Spezifische Arbeit in J kg Arbeitsumsatz bei ZustandsänW12 derung von Zustand 1 nach Zustand 2 U innere Energie in J Q Wärmemenge in J bzw. Wh q Spez. Wärmemenge in J kg Wärmeumsatz bei ZustandsänQ12 derung von Zustand 1 nach Zustand 2 V Volumen in m³ Q̇ Leistung in W 1W=1 J s m Masse des Gases in kg T absolute Temperatur in K p absoluter Druck in bar 5 5 1 bar = 10 Pa = 10 N m2 Cp, cV, Ri, κ s. Tabelle Stoffwerte Normbedingungen Normtemperatur: 0 = 0° C , T 0 = 273 K p0 = 1013,25 hPa = 1013,25 mbar Normdruck: Übersicht über Energieeinheiten Einheit Bezeichnung, Erläuterung Umrechnung in kJ bzw. kWh J Joule 1.000 J = 1.000 Ws = 1 kJ cal Kalorie 1.000 cal = 1 kcal = 4,186 kJ Wh Wattstunde 1 Wh = 3,6 kJ (kg) SKE (Kilogramm) Steinkohleeinheit 1 kg SKE = 29.308 kJ (kg) RÖE (Kilogramm) Rohöleinheit 1 kg RÖE = 41.868 kJ m³ Erdgas Kubikmeter Erdgas 1 m³ Erdgas = 31.736 kJ Wirkungsgrade, Energieflussdiagramm Energieflussdiagramm Wab Wzu Wzu zugeführte Arbeit (Energie) Wab abgegebene Arbeit (Energie) WV Verluste Pzu,ab,V entsprechende Leistungen ges = 1 ⋅ 2 Wirkungsgrad Pab Pzu besitzt keine Einheit, wird häufig W V = W zu − W ab PV = Pzu − Pab WV Bei einem Sankey-Diagramm erfolgt eine mengenproportianale Darstellung Wirkungsgrad η= = Nutzen Aufwand W ab Wzu Carnot-Wirkungsgrad ηC = 1 − Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt = 1 , 2 Einzelwirkungsgrade in % angegeben. T min Tmax 8. Jun 13 4 / 40 Stoffwerte bei Normbedingungen Gas spezifische Wärmeka- spezifische Wärmekapazität bei konstantem pazität bei konstantem Druck Volumen cp in kJ kg ⋅K cV in Adiabatenkoeffizient kJ kg ⋅K = spezifische Gaskonstante für Gas i cp cV kJ kg ⋅K Ri in Kohlendioxid 0,844 0,655 1,29 0,189 Luft 1,005 0,718 1,40 0,287 Sauerstoff 0,917 0,658 1,39 0,260 Stickstoff 1,038 0,741 1,40 0,297 Erster Hauptsatz der Wärmelehre ΔQ + ΔW = ΔU Im Kreisprozess gilt: ΣQ + Σ W = 0 ΔQ zugeführte oder abgeführte Wärmemenge in J, Wh ΔW verrichtete Arbeit in J, Wh ΔU Änderung der inneren Energie in J, Wh p V m Ri T Druck in m Volumen in m Masse in kg allgemeine Gaskonstante Temperatur in K allgemeines Gasgesetz p⋅ V = m⋅R i ⋅ T p ⋅V = const T N 2 3 Zustandsänderungen idealer Gase isobar Q 12 = c p ⋅m⋅ T W 12 =−p ⋅ V p = const V1 V = 2 T1 T2 isochor Q 12 = c v ⋅m⋅ T W 12 = 0 V = const p1 p = 2 T 1 T2 V2 V1 p W12 = −m⋅Ri⋅T⋅ln 1 p2 T = const p 1 ⋅ V1 = p2 ⋅V 2 W 12 =−m ⋅R ⋅T⋅ln i isotherm Q 12 = −W 12 W12 = − adiabat Q 12 = 0 W 12 =− m ⋅Ri ⋅T 2 − T1 1− [[ ] ] [[ ] ] m⋅R i ⋅T 1 V1 ⋅ 1− V2 m⋅ R i ⋅ T1 p2 W12 = − ⋅ 1− p1 Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt −1 −1 −1 −1 p⋅V = const −1 −1 [ ] [ ] T1 p = 1 T2 p2 V2 = V1 8. Jun 13 5 / 40 Erwärmung von Stoffen spezifische Wärmekapazität bei Normbedingungen Wärmemenge Q=m⋅c⋅ T Wärmeleistung m⋅c⋅ T Q̇= = ṁ⋅c⋅ T t c wasser 4,18 kJ kg ⋅K 1,16 Wh kg ⋅K cEis 2,05 kJ kg ⋅K 0,57 Wh kg ⋅K cDampf 2,05 kJ kg ⋅K 0,57 Wh kg ⋅K Q1, Q2 Wärmemenge in der Stoffportion 1 bzw. 2 Mischungswärme QM = Q1 + Q2 Schmelzen und Verdampfen Spezifische Schmelzwärme von Wasser bei Normbedingungen Schmelzwärme in kJ = Schmelzenthalpie bei isobarer Zustandsänderung QS =m⋅q kJ kg 332 q 92,2 Wh kg Spezifische Verdampfungswärme von Wasser Verdampfungswärme in kJ = Verdampfungsenthalpie bei isobarer Zustandsänderung Q v=m⋅r kJ kg 2257 r 627,2 Wh kg Verbrennung von Brennstoffen (BS) Wärmebelastung Brennwert und Heizwert, Mindestluftbedarf, max. CO2-Gehalt von Brennstoffen nach dem Brennwert gasförmige BS nach dem Heizwert Brennwert Erdgas 11,1 10,7 Q̇ B ,s = V̇ B ⋅Hs Q̇ B,i = V̇ B ⋅Hi Heizöl EL flüssige / feste BS Q̇ B ,s = ṁ B ⋅ Hs Q̇ B,i = ṁ B ⋅Hi Holzpellets 5,21 Steinkohle 8,6 Wasserstoff 3,55 Wirkungsgrad nach dem Heizwert i = Q̇ L Q̇ B,i nach dem Brennwert s = (<1) Luftverhältniszahl Q̇L Q̇B,s < HH L tats = L min Abgaszusammensetzung: Volumenanteil Vi pi ni i = = = V ges p ges nges Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt s kWh m 3 kWh l kWh kg kWh kg kWh m 3 Heizwert 10 10 4,9 8 3 Lmin 3 kWh m 9,9 3 kWh l m m 3 12,0 3 11,2 m 15,4 kg 3 kWh 4 kg m 20 kg 3 kWh 8 kg m 20,5 kg 3 kWh m CO2,max in Vol.-% 2,4 3 m m 0 3 Q̇ L Wärmeleistung Q̇ B, i Wärmebelastung nach dem Heizwert Q̇ B, s Wärmebelastung nach dem Brennwert i m3 m3 kg Ltats tatsächliche Luftmenge in Lmin theoretischer Mindest-Luftbedarf in Vi Vges pi pges ni nges Volumen Komponente i Gesamt-Abgas-Volumen Partialdruck Komponente i Gesamtdruck im Abgas (i.d.R. vereinfacht pges=1 bar) Stoffmenge Komponente i Gesamt-Abgas-Stoffmenge m3 oder m3 m3 oder m3 kg 8. Jun 13 6 / 40 Wasserdampftafel Absoluter Druck SiedeTemperatur in bar in °C Dampfvolumen 3 m in kg 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 0,045 0,050 0,055 0,060 0,065 0,070 0,075 0,080 0,085 0,090 0,095 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 6,98 13,04 17,51 21,10 24,10 26,69 28,98 31,04 32,90 34,61 36,18 37,65 39,03 40,32 41,53 42,69 43,79 44,83 45,83 54,00 60,09 64,99 69,12 75,89 78,74 81,35 83,74 85,95 88,02 89,96 91,79 93,51 95,15 96,71 98,20 99,63 129,200 87,980 67,010 54,260 45,670 39,480 34,800 31,140 28,190 25,770 23,740 22,020 20,530 19,240 18,100 17,100 16,200 15,400 14,670 10,020 7,650 6,204 5,229 3,993 3,576 3,240 2,964 2,732 2,535 2,365 2,217 2,087 1,972 1,869 1,777 1,694 Dampfdichte kg in 3 m Enthalpie des Wassers kJ in kg 0,00774 0,01137 0,01492 0,01843 0,02190 0,02533 0,02873 0,03211 0,03547 0,03880 0,04212 0,04542 0,04871 0,05198 0,05523 0,05848 0,06171 0,06493 0,06814 0,09977 0,13070 0,16120 0,19120 0,25040 0,27960 0,30860 0,33740 0,36610 0,39450 0,42290 0,45110 0,47920 0,50710 0,53500 0,56270 0,59040 29,34 54,71 73,46 88,45 101,00 111,85 121,41 129,99 137,77 144,91 151,50 157,64 163,38 168,77 173,86 178,69 183,28 187,65 191,83 225,97 251,45 271,99 289,30 317,65 329,64 340,56 350,61 359,93 368,62 376,77 384,45 391,72 398,63 405,21 411,49 417,51 VerdampfungsEnthalpie des Dampfes wärme kJ kJ in in kg kg 2514,4 2525,5 2533,6 2540,2 2545,6 2550,4 2554,5 2558,2 2561,6 2564,7 2567,5 2570,2 2572,6 2574,9 2577,1 2579,2 2581,1 2583,0 2584,8 2599,2 2609,9 2618,3 2625,4 2636,9 2641,7 2646,0 2649,9 2653,6 2656,9 2660,1 2663,0 2665,8 2668,4 2670,9 2673,2 2675,4 2485,0 2470,7 2460,2 2451,7 2444,6 2438,5 2433,1 2428,2 2423,8 2419,8 2416,0 2412,5 2409,2 2406,2 2403,2 2400,5 2397,9 2395,3 2392,9 2373,2 2358,4 2346,4 2336,1 2319,2 2312,0 2305,4 2299,3 2293,6 2288,3 2283,3 2278,6 2274,0 2269,8 2265,6 2261,7 2257,9 Wärmeerzeuger – Brennwerttechnik Taupunkttemperatur in Abhängigkeit des CO2-Gehalts Kesselwirkungsgrad, Kondensatmenge in Abhängigkeit der Abgastemperatur bei λ = 1,1 60 1,8 45 115 Heizöl EL (C10H18) 40 35 30 25 1,5 λ = 1,1 110 1,2 105 0,9 100 0,6 95 0,3 90 20 20 1% 3% 5% 7% 9% CO -Gehaltinin Vol-% CO2-Gehalt Vol-% 2 Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt 11% 13% 40 60 80 100 120 140 160 180 Kondensatmenge in l/m² Gas Erdgas 50 (100% Methan CH4) Kesselwirkungsgrad ηKi Taupunkttemperatur Wasserdampf in °C 120 55 0 200 Abgastemperatur in °C 8. Jun 13 7 / 40 Wärmeerzeuger – Solarthermie Einfluss der Ausrichtung und Neigung von Solaranlagen Wirksame Globalstrahlung in Korrekturfaktor bei abweichender Kollektorausrichtung kWh (m2⋅d) Himmelsrichtung W WSW SW SSW S SSO SO OSO O Wirkungsgrad Kollektoren Koll = 0 − k 1 ⋅ x − k 2 ⋅ x 2 Betriebszustand x= 0 k 1 in k 2 in W m2 ⋅K W m2 ⋅K 2 Schwimmbadabsorber 0,95 3,80 1,2 Flachkollektor 0,75 3,40 0,012 Vakuum0,64 Röhrenkollektor 0,69 0,004 m2 ⋅K W x Betriebszustand in Tm Tu mittlere Kollektortemperatur in K Umgebungstemperatur in K EK Sonneneinstrahlung in W m2 1 Schwimmbadabsorber Flachkollektor Vakuum-Röhrenkollektor 0,8 Kollektorwirkungsgrad Bauart Tm − Tu EK 270° 247,5° 225° 202,5° 180° 157,5° 135° 112,5° 90° KorrekturFaktor 1,4 1,2 1,09 1,02 1 1,03 1,1 1,42 1,6 0,6 0,4 0,2 0 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 Betriebszustand x Ermittlung der Kollektorfläche Anlagenwirkungsgrad Q min ⋅ f AK = qd ,max ⋅ Anl Anl = Koll ⋅ Verteil ⋅ Speicher Wh d Qmin minimaler Wärmebedarf in f Korrekturfaktor Ausrichtung qd,max maximal wirksame Globalstrahlung bei vorgegebener Neigung (s.o.) in ηVerteil kWh m 2⋅ d Verteilungswirkungsgrad (0,8 … 0,95) ηSpeicher Speicherwirkungsgrad (0,7 … 0,85) Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt 8. Jun 13 8 / 40 Wärmeerzeuger – Wärmepumpe Q̇ WP Pel ,V Leistungsziffer Q̇ WP = Pel, V Coefficient of Performance COP = Jahresarbeitszahl JAZ = β = Carnot-Leistungszahl C = Gütegrad = Q̇ WP Pel ,VHilf Q WP W el, V+ Hilf T warm T warm − T kalt von der WP abgegebener Wärmestrom in kW vom Verdichter aufgenommene el. Leistung in kW Pel ,V+ Hilf vom Verdichter und Hilfsaggregaten aufgenommene el. Leistung in kW Q WP von der WP abgegebene Wärmemenge in kWh W el, V+ Hilf vom Verdichter und Hilfsaggregaten aufgenommene el. Arbeit in kWh Twarm Tkalt abs. Temperatur Wärmeträgermedium (VL) in K abs. Temperatur Wärmequelle in K Q̇ H Q̇ B,i Wärmeleistung in kW Wärmebelastung (bezogen auf Heizwert) in kW Pel elektrische Leistung in kW ΔWR Reaktionsenergie in C Wärmeerzeuger – Blockheizkraftwerke thermischer Wirkungsgrad Q̇H th = Q̇ B, i elektrischer Wirkungsgrad el = Gesamtwirkungsgrad ges = th el Pel Q̇B,i Brennstoffzelle theoretische Klemmenspannung WR Uth = z⋅ F z Anzahl der übertragenen Elektronen F Faraday-Konstante Reaktionsenthalpie WR = Hi ⋅V m kJ mol F = 96 487 kJ m3 Hi Heizwert in Vm molares Volumen C s (Erdgas: (bei Normbedingungen: Wel WR elektrischer Wirkungsgrad el = elektrische Energie W el = U⋅ I⋅ t Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt H i = 10,8 V m = 0,0224 MJ m3 ) m3 mol ) Wel elektrische Energie U Spannung in V I Strom in A t Zeit in s 8. Jun 13 9 / 40 2 Bauphysik Wärmeleitung Wärmestrom in W Q̇ = A⋅ ⋅ T d m 2⋅K W Wärmedurchlasswiderstand in mehrschichtige Bauteile Wärmedurchgangswiderstand A … Fläche des Bauteils in m² d … Bauteildicke in m W λ … Wärmeleitfähigkeit in m⋅K ∆T … Temperaturdifferenz in K R= RT = Rsi Rλ = d λ Richtung des Wärmestroms d1 d2 d3 .... 1 2 3 d1 d 2 d 3 .... R se 1 2 3 Wärmedurchgangskoeffizient in d1,2,3 usw.Baustoffdicke des Baustoffs 1,2,3 usw. in m W m2⋅K 1 U= RT innerer Wärmeübergangswiderstand Rsi 2 0,10 m ⋅K W Wärmeschutz 0,13 m ⋅K W Feuchteschutz 0,167 m ⋅K W aufwärts horizontal abwärts 0,17 2 2 2 m ⋅K W äußerer Wärmeübergangswiderstand Rse 2 0,04 m ⋅K W 0,043 m ⋅K W 0,043 m ⋅K W 0,04 m ⋅K W 2 2 2 Ermittlung von Temperaturen an den Bauteiloberfläche Trennschicht: Berührungsfläche zwischen zwei Baustoffschichten bei mehrschichtigem Aufbau eines Außenbauteils. Oberflächentemperatur innen si = i − T ⋅R si RT Temperatur in der ersten Grenzfläche (von innen betrachtet): T 1 = i − ⋅ R si R 1 RT Temperatur in der zweiten Grenzfläche (von innen betrachtet): 2 = i − T ⋅ Rsi R1 R 2 RT Si i e ΔT RT Rsi n Rn Temperatur Oberfläche innen in °C Temperatur Raumluft innen in °C Temperatur Außenluft in °C Temperaturdifferenz zwischen Innen- und Außenluft Wärmedurchgangswiderstand (gesamtes Bauteil) innerer Wärmeübergangswiderstand Temperatur in der n-ten Grenzfläche Wärmedurchlasswiderstand der n-ten Baustoffschicht (von innen betrachtet) Temperatur in der n-ten Grenzfläche (von innen betrachtet) n = i − T ⋅ R si R 1 ... R n RT Der Teilwiderstand eines Bauteils ist proportional zum Temperaturabfall in diesem Bauteil: RSchicht RT = T Schicht T ges Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt 8. Jun 13 10 / 40 Wasserdampfteildruck, Wasserdampfdiffussion Wasserdampfteildruck innen in Pa pi = psi Sättigungsdampfdruck Luft innen in Pa i Relative Luftfeuchte innen in % psi⋅i 100 % Wasserdampfteildruck außen in Pa pse Sättigungsdampfdruck Luft außen in Pa e Relative Luftfeuchte außen in % p se⋅ e pe = 100% Wasserdampfdiffussionsäquivalente Luftschichtdicke sD = ⋅d Wasserdampf-Diffusionsdurchlasswiderstand Z = sd⋅1,5⋅10 6 h⋅m⋅Pa kg = μ⋅d⋅1,5⋅10 6 h⋅m⋅Pa kg d Baustoffdicke in m μ Wasserdampfdiffusionswiderstandszahl (dimensionslos) siehe S. 12 Für die μ-Werte ist jeweils der für die Baukonstruktion ungünstigere Wert einzusetzen. Achtung: Bei Erstellung des Glaser-Diagramms der Verdunstungsperiode dürfen die gleichen μ-Werte angenommen werden wie in der Tauperiode (DIN 4108) 1,5⋅106 ... Kehrwert des Wasserdampf-Diffusionsleitkoeffi- zienten in Luft δa bei der Bezugstemperatur in h⋅m⋅Pa kg Bedingungen Tau- und Verdunstungsperiode Tauperiode: i = 20° C e =−10° C t T = 1440 h=60 Tage i = 50 % e = 80 % Verdunstungsperiode: i = 12°C e = 12° C t T = 2160 h = 90 Tage i = 70 % e = 70 % i e tT tV i e Innentemperatur in °C Außentemperatur in °C Dauer der Tauwasserperiode in h Dauer der Verdunstungsperiode in h relative Luftfeuchte innen relative Luftfeuchte außen tT tV Dauer der Tauwasserperiode in h Dauer der Verdunstungsperiode in h Tauwassermenge, Verdunstungswassermenge während der Tauperiode in der Wand angereicherte Taukg wassermenge in m 2 mW ,T = t T⋅ gi − ge = tT⋅ p i − p SW p SW − p e − Zi Ze während der Verdunstungsperiode nach innen und außen kg abwandernde Wassermenge [ m ] 2 mW ,V = tV⋅ gi g e = t V⋅ p SW − pi p SW − p e − Zi Ze pi Wasserdampfteildruck innen in Pa pe Wasserdampfteildruck außen in Pa pSW Wasserdampfsättigungsdruck mit Tauwasserausfall in Pa Zi Innerer Wasserdampf-Diffusionsdurchlasswiderstand bis zur wahrscheinlichsten Tauwasserebene von innen nach außen in kg Ze Äußerer Wasserdampf-Diffusionsdurchlasswiderstand von der wahrscheinlichsten Tauwasserebene nach außen in mit den Diffusionsstromdichten Tauperiode: gi = p i − pSW ; Zi ge = p SW − pe Ze Verdunstungsperiode: gi = p SW − p i ; Zi ge = p SW − pe Ze Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt h⋅m²⋅Pa h⋅m²⋅Pa kg 8. Jun 13 11 / 40 Tabelle: Wasserdampfsättigungsdruck ps Quelle: http://www.ing-buero-junge.homepage.t-online.de/energieausweis/Tabellen-Taup-Saett.pdf Wasserdampfsättigungsdruck Pa Temperatur in °C 30 28 26 24 22 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 4244 3781 3362 2985 2645 2340 2197 2065 1937 1818 1706 1599 1498 1403 1312 1228 1148 1073 1002 935 872 813 759 705 657 611 611 562 517 476 437 401 368 337 310 284 260 4269 3803 3382 3003 2661 2354 2212 2079 1950 1830 1717 1610 1508 1413 1321 1237 1156 1081 1008 942 878 819 765 710 662 616 605 557 514 472 433 398 365 336 306 281 258 4294 3826 3403 3021 2678 2369 2227 2091 1963 1841 1729 1621 1518 1422 1330 1245 1163 1088 1016 949 884 825 770 716 667 621 600 552 509 468 430 395 362 333 304 279 255 4319 3848 3423 3040 2695 2384 2241 2105 1976 1854 1739 1631 1528 1431 1340 1254 1171 1096 1023 955 890 831 776 721 672 626 595 547 505 464 426 391 359 330 301 276 253 4344 3871 3443 3059 2711 2399 2254 2119 1988 1866 1750 1642 1538 1441 1349 1262 1179 1103 1030 961 896 837 781 727 677 630 592 543 501 461 423 388 356 327 298 274 251 4369 3894 3463 3077 2727 2413 2268 2132 2001 1878 1762 1653 1548 1451 1358 1270 1187 1110 1038 968 902 843 787 732 682 635 587 538 496 456 419 385 353 324 296 272 249 4394 3916 3484 3095 2744 2428 2283 2145 2014 1889 1773 1663 1559 1460 1367 1279 1195 1117 1045 975 907 849 793 737 687 640 582 534 492 452 415 382 350 321 294 269 246 4419 3939 3504 3114 2761 2443 2297 2158 2027 1901 1784 1674 1569 1470 1375 1287 1203 1125 1052 982 913 854 798 743 691 645 577 531 489 448 412 379 347 314 291 267 244 4445 3961 3525 3132 2777 2457 2310 2172 2039 1914 1795 1684 1578 1479 1385 1296 1211 1133 1059 988 919 861 803 748 696 648 572 527 484 444 408 375 343 315 288 264 242 4469 3984 3544 3151 2794 2473 2324 2185 2052 1926 1806 1695 1588 1458 1394 1304 1218 1140 1066 995 925 866 808 753 700 653 567 522 480 440 405 372 340 312 286 262 239 Tabelle Sperrstoffe Sperrstoffe Polyethylenfolie 0,15 mm Polyethylenfolie 0,25 mm PVC Folie Aluminium Folie 0,05 mm Bitumiertes Papier 0,1 mm Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt Wasserdampfdiffusionsäquivalente Luftschichtdicke s D in m 50 100 30 1500 2 8. Jun 13 12 / 40 Tabelle: Rohdichte, Wärmeleitfähigkeit und Wasserdampfdiffusionswiderstandszahl Werkstoff Rohdichte ρ in [ ] kg m3 Wärmeleitfä- Wasserdampfdifhigkeit λ in fusionswiderW standszahl μ1 m⋅K [ ] Putze und Mörtel Werkstoff Rohdichte ρ in [ ] kg m3 Wärmeleitfä- Wasserdampfdiffuhigkeit λ in sionswiderstandsW zahl μ1 m⋅K [ ] Wärmedämmstoffe Kalkmörtel, Kalkzementmörtel 1800 1 15 - 35 Mineralwolle, WLG 030....050 15 - 200 0,030…0,050 1 Zementmörtel 2000 1,6 15 - 35 Polystyrol expandiert (EPS) WLG 030....050 15 - 30 0,030…0,050 20 - 100 Gipsputz 1200 0,51 10 Gipskartonplatten 800 0,25 4 - 10 Polystyrol extrudiert (XPS) WLG 026...040 25 - 45 0,026…0,040 80 - 250 Wärmedämmputz WLG 060 WLG 080 Polyurethan (PUR) 30 0,020…0,045 40 - 200 ≥ 200 0,060 0,080 5 - 20 Schaumglas WLG 038....055 100 - 160 0,038...0,050 dampfdicht Expandierter Kork WLG 040 ...055 55 - 130 0,040…0,055 5 - 10 Holzfaserdämmplatten WLG 032...060 120 - 280 0,032...0,060 3 - 10 Hanf 20 - 25 0,040 1-2 Dämmstoffe aus Zellulose 35 - 70 0,040 1-2 150 - 400 0,09 – 0,13 2-5 20 0,034...0,040 1-2 50 - 100 0,045…0,07 2-3 360 bis 480 0,07 0,08 2-5 Beton Normalbeton unbewehrt bewehrt (Stahlbeton) 2000 2200 2400 1,35 1,65 2 Leichtbeton (geschlossenes Gefüge) 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 0,39 0,49 0,62 0,79 1,0 1,3 1,6 60 – 100 70 - 120 80 - 130 70 - 150 Wolle Perlit (als Schüttung) Holzwolleleichtbauplatten Mauerwerk einschließlich Mörtelfugen 1200 1400 1600 1800 2000 2200 0,50 0,58 0,68 0,81 0,96 1,2 5 - 10 Vollklinker Hochlochklinker 1800 2000 2200 2400 0,81 0,96 1,2 1,4 50 - 100 Hochlochziegel (Hlz) Lochung AB in Leichtmörtel verlegt 600 800 1000 0,28 0,34 0,40 5-10 Leichthochlochziegel Typ W (HlzW), in Leichtmörtel verlegt 700 800 900 0,21 0,23 0,24 5 - 10 1000 1200 1400 0,50 0,56 0,70 5 - 10 1600 1800 2000 2200 0,79 0,99 1,1 1,3 Porenbetonplansteinen (PP) mit Dünnbettmörtel 400 500 600 800 0,13 0,16 0,19 0,25 Hohlblocksteine aus Leichtbeton (Hbl) mit Normalmörtel 600 800 1000 1200 0,29 0,35 0,45 0,53 Vollziegel, Hochlochziegel Kalksandstein (KS) Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt Stroh (Matten) Holz und Holzwerkstoffe Hartholz Weichholz 700 500 0,18 0,13 50 – 200 20 - 50 OSB Platten 650 0,13 30 - 50 300 500 700 1000 0,09 0,13 0,17 0,24 50 – 150 70 – 200 90 – 200 110 - 250 300 600 900 0,1 0,14 0,18 10 – 50 15 – 50 20 - 50 Keramikplatten, Fliesen 2300 1,3 dampfdicht Glas 2500 1 dampfdicht Stahl 7800 50 dampfdicht Kupfer 8900 380 dampfdicht Aluminium 2700 200 dampfdicht Zink 7200 110 dampfdicht Blei 11300 35 dampfdicht Sperrholz Spanplatten Sonstige Stoffe 15 - 25 5 - 10 Luft (ruhend) Wasser 5 - 10 1,293 1000 0,025 1 0,64 - Edelgas Argon 1,7 0,017 1 Edelgas Krypton 3,56 0,010 1 1 Es ist jeweils der für die Baukonstruktion ungünstigere Wert einzusetzen 8. Jun 13 13 / 40 Lufttemperatur in °C h,x-Diagramm Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt 8. Jun 13 14 / 40 kontrollierte Wohnraumlüftung Luftwechselrate V̇Au V̇ LW = Au VR VR Außenluftvolumenstrom in m³ s Raumvolumen in m³ Luftwechselraten und Mindestabluftmengen nach DIN 1946-6 Raumbezeichnung Wohn-, Aufenthalts- und Schlafräume Luftwechsel in h-1 MindestAbluftmenge m3 h 0,5 … 1,0 Fensterbelüftete Sanitärräume Bad WC Innenliegende Sanitärräume Bad WC in 60 30 behaglich 4…6 60 30 Küchen 0,5 … 25 60 Hausarbeitsräume 0,5 … 1 30 Außenluftrate pro Person 30 noch behaglich m3 h Rückwärmezahl bezogen auf die Außenlufttemperatur 2 = 22 − 21 11 − 21 Voraussetzung: V̇1 = V̇ 2 keine Berücksichtigung der latenten Wärme! Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt Behaglichkeit ϑ21 Temperatur der Außenluft in °C ϑ22 Temperatur der Zuluft in °C ϑ11 Temperatur der Abluft in °C V̇1 Volumenstrom Außenluft (und Zuluft) V̇2 Volumenstrom Abluft (und Fortluft) 8. Jun 13 15 / 40 3 Strömung, Wasserkraft, Windkraft Strömungen in Rohrleitungen - Volumen- und Massenstrom Volumenstrom V̇ = V V t V̇ Volumen in m³ Volumenstrom in m³ s V̇ = A⋅v t A Zeit in s durchströmte Fläche (Rohrquerschnitt) in m² Rohrvolumen V = A⋅l v Fließgeschwindigkeit in Massenstrom m ṁ = t l m Länge in m Masse in kg ṁ Massenstrom in ρ Dichte der Flüssigkeit in ṁ = ⋅V̇ m s kg s kg m3 Strömungen in Rohrleitungen - Kontinuitätsgesetz Massenstrom ist konstant: ṁ 1 = ṁ 2 = konstant Massenstrom an den Stellen 1 und 2 eines Rohrleitungsabschnitts bei konstanter Dichte: Volumenstrom ist konstant: V̇ 1 = V̇ 2 = konstant v 1⋅A1 = v2⋅A 2 = konstant Wasserkraft Hydraulische Wassers Phydro=ρ⋅g ⋅h⋅ V̇ Dichte m ρ= V Energieerhaltung mit Zustand1, Zustand 2: W pot1 + W kin1 + Wp1 = Wpot2 + W kin2 + W p2 = Konst potentielle Energie, W pot =m⋅g ⋅h kinetische Energie, W kin = Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt 1 2 ⋅m⋅ v 2 Druckenergie W p = p⋅ V Phydro Leistung in W ρ Dichte in g kg⋅m Erdbeschleunigung 9,81 s³ h Höhe in m V̇ Volumenstrom in V m Volumen m³ Masse in kg v Geschwindigkeit in p Druck in Pa = Wpot Wkin WP potentielle Energie in J kinetische Energie in J Druckenergie in J Kg m³ N m2 m³ s m s , 1bar = 10 5 Pa 8. Jun 13 16 / 40 Turbinen Einsatzgebiete Fallhöhe in m 10.000 1 2 50 MW MW 0k W 20 0k W 10 1.000 0k W 50 kW 20 kW 10 100 kW 5k W 5 M 10 10 20 2 50 50 1G MW 0 M 0M MW 0 M 0 M W W W W W W Pelton Francis Kaplan 10 Rohr 1 0,01 0,1 1 10 m3 Durchfluss in 100 1.000 s Turbinenwirkungsgrad Turbinenwirkungsgrad ηT 100% 90% Pelton 80% Kaplan 70% 60% 50% Francis Schnellläufer 40% 30% Propeller Francis Langsamläufer 20% 10% 0% 0 10% Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% normierter Abfluss 8. Jun 13 17 / 40 Windkraft PWind = Windleistung 1 3 ⋅ ρ⋅ A⋅ v 2 Leistungsbeiwert cP = PNutz PWind Schnellaufzahl λ= u π⋅d⋅n = v v Momentenbeiwert c c Moment= P λ Rotormoment 1 2 MRotor = c Moment ⋅ ⋅ρ⋅ A ⋅ v ⋅r 2 Wirkungsgrad η= PNutz PNutz cP = = Pideal P Wind ⋅c P ,Betz c P ,Betz PWind Windleistung in W ρ Dichte in vWind Windgeschwindigkeit in A cP PNutz λ durchströmte Fläche in m² Leistungsbeiwert nutzbare Leistung in W Schnelllaufzahl 1..3 Langsamläufer, 4..8 Schnellläufer u Umfangsgeschwindigkeit in d Rotordurchmesser in m n Drehzahl in cMoment r MRotor η Momentenbeiwert Radius in m Rotormoment in Nm Wirkungsgrad: genutzte Leistung gegenüber ideal nutzbarer Leistung maximal möglicher Leistungsbeiwert c P ,Betz =0,593 wenn Wind auf 1/3 der Windgeschwindigkeit abgebremst wird cP,Betz Kg m³ m s m s 1 s Windturbinenformen mit Leistungsbeiwert und Schnelllaufzahl cP Leistungsbeiwert 0,6 CP,Betz 0,5 3 2 0,4 1 4 0,3 6 5 1 1-Blatt-Rotor 2 2-Blatt-Rotor 3 3-Blatt-Rotor 4 Vertikal-Rotor 5 Holländische Windmühle 6 Amerikanische Windmühle 7 Savonius-Rotor 0,2 7 0,1 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 λ Schnelllaufzahl Güte des Rotorblatts bestimmt die Gleitzahl; gut: 60 Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt 8. Jun 13 18 / 40 Widerstandsläufer und Widerstandsbeiwert V VKörper FW A Welle Widerstandsbeiwerte verschiedener Körper Kraft durch Widerstand Nutzleistung 1 2 FW =c w ⋅ ⋅ρ⋅ A ⋅(v − v Körper ) 2 PNutz = FWind ⋅ v Körper FW cW Kraft in N Widerstandsbeiwert ρ Dichte in v Windgeschwindigkeit in vKörper A PNutz Geschwindigkeit des bewegten Körpers durchströmte Fläche in m² nutzbare Leistung in W Kg m³ m s Auftrieb und Kräfte am Rotorblatt Effektive Windrichtung und Kräfte am Rotorblatt Auftrieb und Widerstandskraft Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt 8. Jun 13 19 / 40 4 Elektrotechnik Ladung Q, Strom I, Spannung U, Arbeit W, Leistung P, Widerstand R • • • • - + 2 Arten von Ladungen (positiv und negativ) gleichartige Ladungen stoßen sich ab, ungleichartige ziehen sich an Ladung ist übertragbar im Raum zwischen Ladungen wirken Kräfte auf Ladungen, die durch ein „elektrisches Feld“ erklärt werden Ladung, Ladungsmenge e Elementarladung (kleinstmögliche Ladung) N Anzahl der Ladungsträger Q Ladung in As = C (Coulomb) I Q t Stromstärke in A (Ampere) Ladungsmenge in As Zeit in s U Q W Spannung in V (Volt) Ladungsmenge in As Arbeit in Ws P t Leistung in W (Watt) Zeit in s 1Ws = 1VAs = 1J R Widerstand in Ω R U I Widerstand in Ω Spannung in V Strom in A Q = N⋅ e 1 e entspricht −1,602 x 10−19 C Stromstärke Q I= t dQ I= dt bei Gleichspannung, bei Wechselspannung Spannung = Arbeit beim Transport der Ladung pro Ladungsmenge Elektrische Energie, Energiemenge, Arbeit (engl. Work) Elektrische Leistung (engl. Power) W U= Q W = P⋅ t P= W t W = U⋅ Q P = U⋅I Leistung am Widerstand P = I2 ⋅R U2 P= R Widerstand R U R= I I R U U = R ⋅I Für R1 und R2 gilt: R= Konstant R1 und R2 sind lineare Widerstände. U =Konst Ohm'sches Gesetz I Die Lampe besitzt einen nichtlinearen Widerstand. Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt 8. Jun 13 20 / 40 Widerstand Leitungswiderstand ϱ⋅ l R= A Temperaturabhängiger Widerstand l A Leiterlänge in m Leiterquerschnitt in mm2 ϱ spezifischer Widerstand in Ω⋅mm2 m Material Spezifischer Widerstand in Kupfer 0,0178 Stahl 0,13 Aluminium 0,028 Gold 0,0244 Kohle 40 R = ⋅ ⋅R K RW = RK R ∆R Widerstandsänderung in Ω α Temperaturbeiwert RK RW Kaltwiderstand in Ω Warmwiderstand in Ω ∆ϑ Ω⋅mm2 m 1 k Temperaturänderung in K Reihenschaltung I Iges = I1 = I2 = I3 R1 U1 Uges = U1 + U2 + U3 Uges R2 U2 R3 U3 U Gesamtspannung U1, U2, U3 Teilspannungen R Gesamtwiderstand R1, R2, R3 Einzelwiderstände Rges = R1 + R2 + R3 Pges = P1 + P2 + P3 Durch jeden Widerstand fließt der selbe Strom I Grafische Ermittlung der Größen I I R1 R2=12V/1,2A = 10Ω 1,2A 0,5A R1=12V/0,5A = 24Ω 0,5A R2=12V/1,2A = 10Ω U1 Uges R2 I 1,2A U2 U R1=12V/0,5A = 24Ω 0,35A U 12V 12V U1=8,47V U2=3,53V Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt 8. Jun 13 21 / 40 Innenwiderstand Ri einer Spannungsquelle Ri U0 U0 I= Ri + R 1 I U1 R1 I Ersatzschaltbild Akku Verbraucher U1 U0 LeerlaufSpannung ΔU I Laststrom Ri Innenwiderstand der Spannungsquelle R1 Widerstand des angeschlossenen Verbrauchers U1 Spannung an den Anschluss-Klemmen U0 Leerlauf-Spannung ΔI I Ik KurzsschlussStrom Leistungsanpassung: R1 erhält die maximale Leistung bei R1 = Ri R i=∣ Δ U (U2−U1) ∣=∣ ∣ ΔI (I2−I1 ) Parallelschaltung Iges Uges = U1 = U2 = U3 I1 I2 I3 Iges = I1 + I2 + I3 U R1 R2 R3 Iges Gesamtstrom I1, I2, I3 Teilströme Rges Gesamtwiderstand R1, R2, R3 Einzelwiderstände 1 1 1 1 = + + Rges R1 R2 R3 An jedem Widerstand liegt die selbe Spannung U Pges = P1 + P2 + P3 Knoten- und Maschenregel Knotenregel I1 Maschenregel I2 I3 R1 U1 Maschen umlauf Uges R2 U3 R3 U2 I1 + I2 + I3 = 0 U1 + U2 + U3 + U4 = 0 Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt 8. Jun 13 22 / 40 Spannungsteiler unbelastet (Reihenschaltung) belastet (Gruppenschaltung) Iges I R1 R1 U1 Uges IL I2 = Iq Uges R2 U2 = U1 R2 U2 R2 ⋅ Uges R1 + R 2 U2 = R2L ⋅Uges R 1 + R 2L U2 RL R 2L = Iq Querstrom RL Lastwiderstand R2L Ersatzwiderstand für R2 und RL R 2 ⋅ RL R 2 + RL Brückenschaltung I ges I 12 U1 A φA Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt U3 R1 U U2 I 34 R2 U AB R3 UAB = φA - φB wenn: UAB = 0 (Abgleich) B φB U4 UAB = U2 − U4 ⇒ R1 R 3 = R2 R4 R4 8. Jun 13 23 / 40 Dioden und LEDs Anode Stromfluss in Durchlassrichtun g Anode Diode Kathode Merkregel: Kathode = Kennzeichnung LED Kathode Kathode Merkregel: Kathode = Kurzes Bein = Kante Kennlinien Diode und LEDs I in mA 20 18 16 14 12 Silizium-Diode LED, grün LED, w eiß LED, rot LED, blau 10 8 6 4 2 0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 U in V Arbeitspunkt und Arbeitsgerade Arbeitspunkt und Arbeitsgerade I in mA IG 20 18 16 R G UR UG 14 12 AP 10 UD LED, rot Widerstandsgerade Lineare Regression für Widerstandsgerade 8 6 f(x) = -3,07x + 15,36 4 2 0 ΔU R =∣ ∣ ΔI 0,0 0,5 1,0 (Kehrwert des Betrags der Steigung der Arbeitsgeraden) Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 U in V vergl. Reihenschaltung 8. Jun 13 24 / 40 Solarzelle I E = konst. U R Kennlinie E Bestrahlungsstärke (Strahlungsstromdichte) U Spannung an der Solarzelle I Laststrom U0 Leerlaufspannung IK Kurzschlussstrom AP1 Arbeitspunkt 1 P1 Leistung im Arbeitspunkt 1 AP2 Arbeitspunkt 2 P1 Leistung im Arbeitspunkt 2 MPP Maximum Power Point Pmax Leistung im MPP R I I I AP1 P1 k E1 I(U) MPP E2 Pmax E3 E4 AP2 0 P2 0 U0 0 E5 = 0 0 U U E 5 < E 4 < E 3< E 2< E 1 Ersatzschaltbild ideale Solarzelle U Spannung an der Solarzelle I Laststrom Iph Photostrom ID Diodenstrom R R Lastwiderstand Ersatzschaltbild reale Solarzelle U Spannung an der Solarzelle I Laststrom Iph Photostrom ID Diodenstrom RP Parallelwiderstand RS Serienwiderstand R Lastwiderstand I I ph ID U RS I ph I ID RP Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt U R 8. Jun 13 25 / 40 Kondensator U = E⋅ d d E +Q -Q C= U = E⋅ d Q U A C = ϵ0 ⋅ϵr ⋅ d V E d C Q elektrische Feldstärke in m Plattenabstand in m Kapazität in F (Farad) Ladungsmenge in As (=Cb) ε0 Feldkonstante ϵ0=0,885⋅10 A Plattenfläche in m −11 As V ε r relative Dielektrizitätszahl ε r (Luft) ≈ 1 ε r (dest.Wasser) ≈ 80 ε r (Tantal) ≈ 27 Reihenschaltung von Kondensatoren C1 C2 Parallelschaltung von Kondensatoren C3 C1 1 1 1 1 = + + C C1 C2 C3 V1 + 1K 1µF U C1 Uc IC = C ⋅ Δ UC Δt 10V Formeln Aufladung: Aufladevorgang Kondensator uc(t) in V, i(t) in mA R=1kΩ , C=1µF, τ=R*C=1ms 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 uC(t) 1 2 t uC (t) = U ⋅ (1 − e τ ) t U i(t) = ⋅ e τ R − i(t) 0 t uR (t) = U ⋅ e τ − − uC(t) in V i(t) in mA 3 4 5 Zeit in ms Zeitkonstante in s Widerstand in Ω Kapazität in F τ R C τ = R ⋅C R1 G Entladevorgang Kondensator uc(t) in V, i(t) in mA 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 R=1kΩ , C=1µF, τ=R*C=1ms uC (t) uC(t) in V i(t) in mA i(t) 0 Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt C3 C = C1 + C2 + C3 Auf- und Entladung UR C2 1 2 3 4 5 Zeit in ms 8. Jun 13 26 / 40 Durchflutung Rechte Handregel: Ein elektrischer Strom erzeugt ein Magnetfeld dessen Feldlinien ringförmig um den Leiter verlaufen. ld etfe n g Ma Daumen zeigt in Stromrichtung Finger zeigen im Magnetfeldrichtung Kompass mI Stro Kreuz: Strom fließt nach hinten (Merkregel: Pfeilende) Punkt: Strom fließt nach vorne (Merkregel: Pfeilspitze) Leitung Kraft auf Ursache Strom (Daumen nach hinten) stromdurchflossenen Leiter Vermittlung Magnetfeld (Zeigefinger nach unten) im Magnetfeld Wirkung Kraft (Mittelfinger nach links) Kraft F Ursache Strom Wirkung Kraft N St ro m I S Vermittlung Magnetfeld Flussdichte B= Φ A B magnetische Flussdichte in Vs/m² = T Φ magentischer Fluss in Vs A Querschnittsfläche in m² B A=1m² Induktion U U Magnetfeld B ändert sich Uinduziert =N ΔΦ Δt mit t I klein Φ=B⋅A Magnetfeld B ändert sich U Drehung S N vom Magnetfeld durchströmte Fläche A ändert sich I gross t U S N durchstömte Fläche A ändert sich Uinduziert induzierte Spannung in V Selbstinduktion Uind=L ⋅ İ = Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt ΔI Δt N Windungszahl ΔΦ Flussänderung in Vs Δt Zeitdauer der Flussänderung in s ΔI Stromänderung in A Δt Zeitdauer der Stromänderung in s 8. Jun 13 27 / 40 Spule A L ≈ µ0 ⋅µr ⋅N ⋅ l + I V⋅s Induktivität in H = A L 2 A vom Feld durchsetzte Fläche (Spulenquerschnitt) μ0 Feldkonstante des magnetischen Feldes Vs µ 0 1,257 ⋅ 10 − 6 Am µ r Permeabilitätszahl _ µ r (Eisen) 200...6000 µ r (Elektroblech) 500...7000 µ r (Supermalloy)100 000... Reihenschaltung von Spulen L1 Parallelschaltung von Spulen L2 L3 L1 L2 L3 1 1 1 1 = + + L L1 L2 L3 L = L1 + L2 + L3 Spule an Rechtechspannung S1 I S1 geschlossen U1 = U2 = Uspule + UR USpule max L U 1 S2 R U2 UR I~UR 63%max 37%max G Zeitkonstante Selbstinduktion I~UR USpule τ L U2 S2 geschlossen 0 = Uspule + UR → Uspule = - UR R L τ= R ΔI UL = L⋅ = L⋅İ Δt τ USpule -37%max U in V 10 Impulszeit ti << t URecht UR τ eingeschwungener Zustand! UL t 0 1ms Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt +40µs +80µs +120µs 8. Jun 13 28 / 40 Motor: Ersatzschaltbild und Kennlinien IKlemme UKlemme Uklemme Spannung an den Motoranschlüssen RAnker Uinduziert = konst n UR Uinduziert ~ n UKlemme =UR +Uinduziert Drehzahl n Stromaufnahme des Motors in A RAnker Ankerwiderstand in Ω n Drehzahl des Motors in 1/s Uinduziert im Motor induzierte Spannung in V n in 1/s M = konst I Strom I n Iklemme 4 3 I 2 U3 < U1 U2 U1 1 0 0 Drehm om e nt M Drehmoment M = F⋅ r M Pmech = r ΔW = v⋅F Δt F 20 40 60 80 100 M in Nm M Drehmoment in Nm F Kraft in N r Radius in m Pmech Mechanische Leistung in W = Nm/s ω Winkelgeschwindigkeit in 1/s n Drehzahl in 1/s Pmech = ω⋅M = 2⋅π⋅n⋅M Mechanische Leistung Motor Leistungsbilanz Mechanische Verluste (Lager, Bürsten,...), hervorgerufen durch Reibungsmoment MReib Mmech = Mreib + Mab wenn Mreib<< Mmech dann: Mmech≈ Mab und Pmech≈ Pab Wärmeverluste Pverlust = UR * Iklemme Pverlust = I²Klemme * RAnker IKlemme Pelekt Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt vom Motor abgegebene Leistung Pab = ω * Mab Mechanische Leistung Pmech ω * Mmech zugeführte Leistung Pzu = Pelekt Uklemme * IKlemme UKlemme RAnker UR t P Verlus Uinduziert ~ n Pmech 8. Jun 13 29 / 40 Transistor und Transistorschaltungen Transistor-Art und -Bezeichnungen Schaltzeichen Bipolar-Transistor B Basis E Emitter C Kollektor +12V C IC IB M B E Feldeffekt-Transistor, hier MOSFET G Gate D Drain S Source UCE +12V ID M IMotor=ID G RG UGS S Gate-Source-Spannung UGS steuert Drainstrom ID wird gesteuert (insulated-gate bipolar transistor) UDS UBatt USteuer U GS +400V C IC M G IMotor=IC RG Gate-Emitter-Spannung UGE steuert Drainstrom ID wird gesteuert UBatt USteuer D Gate Emitter Kollektor IMotor=IC RB ISteuer Basisstrom IB steuert Kollektorstrom IC wird gesteuert IGBT G E C Schaltungsbeispiel UBatt UCE USteuer E Schaltzustände beim Transistor Transistor sperrt (wie Schalter offen) +12V M RB +12V Umotor 0V IMotor=0A UGS 12V Transistor leitet (wie Schalter geschlossen) M M 0V Umotor 11,8V IMotor=1A Ubatt 12V RB 12V 12V USteuer=0V UGS 0,2V M Ubatt 12V 12V 12V 0V USteuer=5V PWM-Signal, Tastgrad T ti tP f Periodendauer Impulszeit Pausenzeit Frequenz f= 1 T Tastgrad = ti U = Mittelwert T UMaximalwert Flächen gleich gross tp ( ti UEffektivwert Tastgrad = = T UMaximalwert Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt 2 ) Maximalwert Mittelwert 0V ti T T 8. Jun 13 30 / 40 Transistor-Brückenschaltung UVersorgung UVersorgung T3 T1 T1 M 1 M 1 1 T3 1 T4 T2 T2 T4 0V 0V Tiefsetzsteller USpule I T U2= U1 UR ~I UR U2 U1 UR ~I USpule U2=0 t USpule USpule I T U L Uein U2 PWM R UR C Uaus AusgangGleichspannung EingangsGleichspannung U2= Uein Uein Mittelwert UR = Uaus U2=0 ti t T Hochsetzsteller USpule I + R L Ue - C T PWM Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt UT Ua RL 8. Jun 13 31 / 40 Wechselstrom U Periodendauer T Amplitude = Spitzenwert USpitze Effektivwert Ueff t Periodendauer T T = 20ms bei f = 50Hz Frequenz Periodendauer Effektivwert bei sinusförmigen Wechselgrößen Wirkleistung Blindleistung Scheinleistung 1 f= T U U eff= Spitze √2 I Ieff = Spitze √2 P=UR⋅IR Q C=U C⋅IC Q L=UL⋅IL S=U ges⋅Iges S2 = P2 + Q2 cos(ϕ) = P = 0..1induktiv /kapazitiv S 1 s f Frequenz in Hz = T Periodendauer in s Ueff USpitze Ieff ISpitze Effektivwert der Wechselspannung in V Spitzenwert der Wechselspannung in V Effektivwert des Wechselstroms in A Spitzenwert des Wechselstroms in A P Wirkleistung in W UR, IR Spannung und Strom am Widerstand QC, QL Blindleistungen in var U C, I C Spannung und Strom am Kondensator U L, I L Spannung und Strom an der Spule S Scheinleistung in VA Uges, Iges Gesamtspannung und Gesamtstrom an einer Schaltung aus R,L,C cos(φ) Leistungsfaktor, Verschiebungsfaktor φ Phasenverschiebungswinkel zwischen Uges und Iges φ Winkel zwischen S und P S in VA Q in var φ P in W Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt 8. Jun 13 32 / 40 Dreiphasiger Wechselstrom, Drehstrom L1 L2 L3 S N N Transformator L1 L1 L1 L2 L2 L2 L3 L3 L1 L2 L3 Transformator L3 N N PE Synchron-Generator im Kraftwerk Dreieckschaltung 3x400V HochspannungsÜbertragung 3 Phasen mit 120° Phasenverschiebung Sternschaltung 3x230V Verbraucher (im Haus) Dreiphasen-Wechselstrom (Drehstrom) U in V 400 zu jedem Zeitpunkt gilt: u1(t) + U2(t) + U3(t) = 0 300 u1(t) u3(t) u2(t) 200 100 Uges(t) 0 0 5 10 15 20 25 t in ms -100 -200 -300 -400 30° 90° 120° 180° 240° 360° Sternschaltung Dreieckschaltung Verbraucher zwischen Phase und Nulleiter geschaltet Verbraucher zwischen zwei Phasen geschaltet Spannung am Verbraucher im Haushalt: 230V Spannung am Verbraucher im Haushalt: 400V L1 L1 L2 L3 R1 U12 R1 U1 R2 U2 L2 R3 U3 N R3 U31 R2 U23 L3 UStern = U Dreieck √3 PStern = Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt PDreieck 3 UStern UDreieck PStern PDreieck Spannung in Sternschaltung (zwischen Phase L und Nulleiter N) Spannung in Dreieckschaltung (zwischen 2 Phasen) Leistung in Sternschaltung in W Leistung in Dreieckschaltung in W 8. Jun 13 33 / 40 Digitaltechnik Symbole und Schaltalgebra NOT (Negation) 1 A Y AND (Konjunktion) A & B Y NAND A & B Y OR (Disjunktion) A 1 Y B NOR A 1 Y B XOR (Antivalenz) A =1 B Y XNOR (Äquivalenz) A = B Y Y Y Y Y = = = = !A Y Y Y Y = = = = Y Y Y Y auch zulässig: A 0 1 Y 1 0 A&B A AND B A●B A∧ B B 0 0 1 1 A 0 1 0 1 Y 0 0 0 1 = = = = !(A & B) NOT(A AND B) /(A ● B) A∧ B B 0 0 1 1 A 0 1 0 1 Y 1 1 1 0 Y Y Y Y = = = = A+B A OR B A+B A∨ B B 0 0 1 1 A 0 1 0 1 Y 0 1 1 1 Y Y Y Y = = = = !(A + B) NOT (A AND B) /(A + B) A∨ B B 0 0 1 1 A 0 1 0 1 Y 1 0 0 0 B 0 0 1 1 A 0 1 0 1 Y 0 1 1 0 B 0 0 1 1 A 0 1 0 1 Y 1 0 0 1 NOT A /A A Y=A$B Y = A XOR B Y = A/B + /AB Y = A !$ B Y = A XNOR B Y = AB + /A/B UND / ODER / NAND / NOR XOR und NXOR Negation / Complement Verknüpfungen können beliebig viele Eingänge haben. ... nur 2 Eingänge. wichtige Verknüfungsregeln: UND ≙ ● / ODER ≙ + A ⋅ B ⋅ C=A + B + C A + B + C=A ⋅ B ⋅ C ● A (B ● C) = (A ● C) ● B = C ● A ● B (A ● B) + (A ● C) = A ● (B + C) (A ● B) + (A ● C) = A●B + A●C Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt 8. Jun 13 34 / 40 Codes und Codierer Dual- Code (8-4-2-1-Code) Gray- Code Dezimal 23=8 22=4 21=2 20=1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 0 1 1 4 0 1 0 0 5 0 1 0 1 6 0 1 1 0 7 0 1 1 1 8 1 0 0 0 9 1 0 0 1 10 1 0 1 0 11 1 0 1 1 12 1 1 0 0 13 1 1 0 1 14 1 1 1 0 15 1 1 1 1 keine Gewichtung HEX D C B A 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 1 3 0 0 1 0 4 0 1 1 0 5 0 1 1 1 6 0 1 0 1 7 0 1 0 0 8 1 1 0 0 9 1 1 0 1 A 1 1 1 1 B 1 1 1 0 C 1 0 1 0 D 1 0 1 1 E 1 0 0 1 F 1 0 0 0 Spezielle Umcodierer G0 B G1 C G2 D G3 Dez. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BCD 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 Ziffern > 9 sind nicht definiert Umcodierer mit 7-Segmentanzeige BCD / dez. BCD / Gray A BCD- Codes / 4-Bit Codes A B C D BCD / 7-Seg. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D a b c d e f g DPY a f g b c e d dp Speicher RS-Flipflop Reset R Q Zeitablaufdiagramm (Impulsdiagramm) Set S R Zustandsfolgetabelle S 0 0 0 0 1 1 1 R 0 0 1 1 0 0 1 Q 0 1 0 1 0 1 ? n Q 0 1 0 0 1 1 ? S n+1 speichern Reset (R) Q t Set (S) irregulär Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt 8. Jun 13 35 / 40 Symbole der Elektrotechnik Taster Schalter Schließerkontakt Öffnerkontakt Umschalter Anzeigelampe Lampe LED Diode Schottky-Diode Widerstand Veränderbarer Widerstand Widerstand mit Schleifkontakt PTC Kaltleiter NTC Heißleiter ϑ ↑↑ ϑ ↑↓ Schalten Anzeigen Dioden Widerstände Spule Kondensator Kondensator mit Polung Batterieelement, Akku + + Sicherung Solarzelle Relais Relais mit Kontakt N-Kanal-IGFET ideale Spannungsquelle Ideale Stromquelle Signalgenerator Gleichspannung Signalgenerator Wechselspannung Umlaufender Generator G G G Leistungsmesser, Wattmeter LeistungsfaktorMessgerät Energiemesser, Wattstundenzähler cosφ Wh Quellen Spannungsmesser, Voltmeter Messgeräte Masse, Erde V U Strommesser, Amperemeter A I Analog/Digital-Umsetzer, n Bit A n Ո/# n W P Digital/Analog-Umsetzer, n Bit n D n #/Ո Umsetzer D A Komparator, Schwellwertschalter Schmitt-Trigger, Zweipunktregler comp Symbole der RI-Fließtechnik Behälter mit Flüssigkeit Motor Pumpe Kompressor Ventil Messstelle Rührer Druckluftantrieb Niveauangabe Hauptflussrichtung M Heizung Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt 8. Jun 13 36 / 40 Regelkreis Beispiel Temperaturregelung Temperatur-Fühler TemperaturVorgabe HeizungsRegelung Flüssigkeitsbehälter Heizung Zugehörige Regelkreis-Darstellung mit Regelkreisbezeichnungen und Bedeutungen im Beispiel Regelabweichung e Temperaturdifferenz (Sollwert – Istwert) e = w - xM Führungsgröße w Vorgewählte + Temperatur (Sollwert) e xM Bezeichnung, Kenngrößen P-Strecke Steuergröße y Spannung am Heizstab y Regler Heizungsregelung Messgröße xM Behältertemperatur (Istwert) Stellglied Heizstab Messglied Temperaturfühler Sprungantwort x x = Kps * y KPS=x / y t x T1-Strecke TS Zeitkonstante 100% 63% t TS T2-Strecke x TU Verzugszeit Tg Ausgleichszeit mit Tangente im Wendepunkt bestimmen t TU Tg Tt -Strecke Tt Totzeit x Δx I-Strecke Δt Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt Stellgröße uR Heizstabtemperatur t uRc x Störgrößen z Außentemperatur x Regelstrecke Behälterflüssigkeit Regelgröße x Behältertemperatur Beispiel Übertragungsverhalten Verstärker, Spannungsteiler, Hebel, Getriebe Die Ausgangsgröße x folgt proportional unverzögert der Eingangsgröße y Drehzahl n eines Motors, Strecken mit einem Energiespeicher Die Ausgangsgröße x folgt nach einer e-Funktion verzögert der Eingangsgröße y, eine Zeitkonstante Drehzahl n eines Motors mit Berücksichtigung der Induktivität, Strecken mit zwei Energiespeichern Die Ausgangsgröße x folgt mit zwei Zeitkonstanten verzögert der Eingangsgröße y Fließband Die Ausgangsgröße x folgt proportional um eine Totzeit Tt verzögert der Eingangsgröße y Die Ausgangsgröße x ist Schiebeschlitten an einer das Zeitintegral der Drehspindel Eingangsgröße y 8. Jun 13 37 / 40 Grafische Darstellungen von Ablaufsteuerungen, Zustandsdiagramm, GRAFCET Zustandsdiagramm Reset Starttaster betätigt Grundzustand Ventil oben zu Ventil unten zu Rührer aus Zulauf Ventil oben auf Ventil unten zu Rührer an Technologieschema Füllstand unten erreicht Füllstand oben erreicht M Rührer Ablauf Ventil oben zu Ventil unten auf Rührer an GRAFCET „Grundzustand“ Ventil oben Füllstand oben Füllstand unten 1 Starttaster „Befüllen“ 2 Ventil oben AUF Ventil unten Rührer bleibt EIN Füllstand_oben „Entleeren“ 3 Starttaster Rührer AUS Ventil unten AUF Füllstand_unten Bedeutung der Symbole: Ausführung zu Beginn des Zustands einschalten Einmalige Ausführung 2 Zustand, Schritt Ausführung am Ende des Zustands ausschalten Weiterschaltbedingung (Transition) Schrittkette mit RS-Flipflops Alternative zum Anlaufmerker Q1 Q2 ≥1 ∙∙∙ M8 (Anlaufmerker) M ≥1 M2 Weiterschaltbedingung zu Schritt 2 M1 M3 Bedingung zurück zum Grundzustand Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt ≥1 S R Grundzustand Schritt1 M1 M Schritt2 & ≥1 S R Q1 M M2 ∙ ∙ ∙ Logik Q2 zur Ansteuerung der Q3 Betriebsmittel Betriebsmittel 1 Betriebsmittel 2 Betriebsmittel 3 ∙ ∙ ∙ 8. Jun 13 38 / 40 Zehnerpotenzen Symbol Name Wert P Peta 1015 1.000.000.000.000.000 Billiarde T Tera 1012 1.000.000.000.000 Billion G Giga 109 1.000.000.000 Milliarde M Mega 106 1.000.000 Million k Kilo 103 1.000 Tausend h Hekto 102 100 Hundert da Deka 101 10 Zehn 100 1 Eins d Dezi 10−1 0,1 Zehntel c Zenti 10−2 0,01 Hundertstel m Milli 10−3 0,001 Tausendstel μ Mikro 10−6 0,000.001 Millionstel n Nano 10−9 0,000.000.001 Milliardstel p Piko 10−12 0,000.000.000.001 Billionstel f Femto 10−15 0,000.000.000.000.001 Billiardstel Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt 8. Jun 13 39 / 40 5 Umweltlabor Teilchenzahl n NA NX = n X⋅ NA Stoffmenge einer Stoffportion X in mol Avogadrokonstante in mol-1 N A = 6⋅10−23 mol−1 molare Masse m Masse einer Stoffportion X in g m X MX = n X molares Volumen Vm,n molares Volumen bei Normbedingungen Vm = L V m,n =22,41 mol V X n X Zusammensetzung von Lösungen und Stoffgemischen Massenkonzentration in g l X= mX V Lsg Stoffmengenkonzentration in mol l c X= n X VLsg V(Lsg) … Volumen Lösung Umrechnung: = c∗M Massenanteil w X= m X mXmLm m(X) … Masse gelöste Substanz m(Lm) … Masse Lösemittel Volumenanteil X= V X V XV Lm V(X) … Volumen gelöste Substanz V(Lm) …Volumen Lösemittel Löslichkeit mmax(X): max. Masse, die sich löst mmax X L X , = V Lm Dichte ϱ= m V Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt 8. Jun 13 40 / 40 pH-Wert c(H+) … Stoffmengenkonzentration in + mol l pH=- log c ( H ) + c (H ) = 10 −pH Leitfähigkeit l l = ⋅I = U ⋅A R⋅ A Spezifische Leitfähigkeit in 1 cm S = = ⋅cm ⋅cm2 cm l U I A R Abstand der Elektroden in cm gemessene Spannung in V gemessener Strom in A Elektrodenfläche in in cm² gemessener Widerstand in Ω E ε c d Extinktion (dimensionslos) molarer Extinktionskoeffizient in mol Stoffmengenkonzentration in L Schichtdicke in cm Extinktion E=⋅c⋅d L cm⋅mol Fehlerfortpflanzung Messwert x = x0± Δ x mit Δ x = Messunsicherheit x = Messwert Fehlerfortpflanzung bei Produkt- oder Quotientenbildung mehrerer Messwerte Regel: Addition der relativen Fehler berechnete Größe: y = x 1⋅ Resultierender relativer Fehler: Formelsammlung_TGU_08_06_13.odt x2 x3 x 1 x 2 x3 y = y x1 x2 x3 8. Jun 13