Die Poincarégruppe in der relativistischen Quantenmechanik

Die Poincarégruppe in der relativistischen
Quantenmechanik
Hauptseminar Gruppen in der Physik
Universität Stuttgart
Vortrag vom 11. Juli 2006
Harald Kissling
Inhaltsverzeichnis
1 Symmetrien
2
1.1
Das Theorem von Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Die Gruppe der Symmetrietransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Unitäre Operatoren und Symmetrietransformationen . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4
Projektive Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2 Die Poincarégruppe und ihre Lie-Algebra
5
2.1
Die Lorentzgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2
Die Poincarégruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3
Die Lie-Algebra der Poincarégruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.4
Projektive Darstellungen und die Poincarégruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3 Ein-Teilchen-Zustände
11
3.1
Die Lorentzgruppe und die SL(2, C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.2
Little groups und deren Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1
1
1.1
Symmetrien
Das Theorem von Wigner
In der Quantenmechanik werden physikalische Zustände durch Vektoren in einem Hilbert-Raum
H dargestellt. Dabei respräsentieren zwei normierte Vektoren Ψ ∈ H und Ψ0 ∈ H denselben
Zustand, wenn sie sich nur bis auf eine Phase unterscheiden, d. h. wenn es ein ζ ∈ C gibt mit
|ζ| = 1 und Ψ0 = ζΨ. Die Menge aller solcher Vektoren nennt man einen Strahl R.
Wir nehmen nun an, ein quantenmechanisches System sei so präperiert, dass es sich in einem
Zustand befindet, der durch den Strahl R repräsentiert wird. Wird nun ein Experiment durchgeführt, um herauszufinden ob sich das Systems in einem der paarweise orthogonalen Zustände,
repräsentiert durch die Strahlen R1 , R2 . . . , befindet, dann ist die Wahrscheinlichkeit das System
in dem durch Rn repräsentierten Zustand zu finden
P (R → Rn ) = |(Ψ, Ψn )|2 ,
wobei Ψ ∈ R und Ψn ∈ Rn .
Eine notwendige Bedingung dafür, dass eine Transformation eines quantenmechanischen Systems,
eine Symmetrietransformation darstellt ist die, dass die Übergangswahrscheinlichkeiten erhalten
bleiben, d. h. es muss gelten
P (R → Rn ) = P (R0 → R0n ).
(Dabei beziehen sich die ungestrichenen Rs auf Zustände, die ein Beobachter O sieht, und die
gestrichenen R0 s auf die ensprechenden Zustände, die ein Beobachter O0 sieht.)
Das Theorem von Wigner besagt nun, dass man zu jeder Symmetrietransformation T : R → R0
einen Operator U im Hilbertraum derart definieren kann, dass U einen Vektor Ψ ∈ R auf einen
Vektor U Ψ ∈ R0 abbildet. Außerdem gilt, dass U entweder
unitär und linear
oder
antiunitär und antilinear
ist.
Im Weiteren werden wir uns jedoch auf den ersten Typ beschränken, da dieser in der Physik eine
größere Bedeutung hat. (Anitunitäre antilineare Operatoren behinalten eine Zeitumkehr.)
Ein unitärer linearer Operator ist nach Definition ein Operator, der die beiden Eigenschaften
(U Φ, U Ψ) = (Φ, Ψ),
U (ζΦ + ηΨ) = ζU (Φ) + ηU (Ψ)
besitzt. Leicht kann man zeigen, dass die Forderung nach Unitarität äquivalent ist zu der Bedingung
U † = U −1 .
Dabei bezeichnet U † den zu U adjungierten Operator, der seinerseits allgemein definiert ist durch
(Φ, U † Ψ) ≡ (U Φ, Ψ).
Ein wichtiges Beispiel für einen linearen unitären Operator ist der Identitätsoperator U = 1, der
zu der trivialen Transformation R → R gehört. Ebenso ist der zu einer Symmetrietransformation,
2
die durch eine stetige Veränderung einiger Parameter (z. B. Winkel, Abstände, Geschwindigkeiten) aus der Identität hervorgeht, wieder ein linearer unitärer Operator. Infinitesimal kann man
diesen schreiben als
U = 1 + iεt.
Damit U in dieser Darstellung unitär und linear wird, muss t linear und hermitesch (d. h.
selbstadjungiert: t† = t) sein. Da in der Quantenmechanik Observable (z. B. Impuls, Drehimpuls,
Energie) durch hermitesche Operatoren dargestellt werden, ist t ein Kandidat für eine Observable
dafür.
1.2
Die Gruppe der Symmetrietransformationen
Die Menge aller Symmetrietransformationen bildet eine Gruppe. Diese Gruppe operiert auf der
Menge der oben definierten Strahlen des Hilbertraums. Es gibt die identische Transformation T =
1, die einen beliebigen Strahl auf sich selbst abbildet. Dann gibt es die zu T : Rn → R0n inverse
Transformation T −1 , die durch T −1 : R0n → Rn definiert ist. Außerdem gilt das Assoziativgesetz
in folgendem Sinne: Falls T1 den Strahl Rn in R0n und T2 den Strahl R0n in R00n überführt, dann
bildet die Hintereinanderausführung von T1 und T2 , geschrieben als T2 T1 , den Strahl Rn auf R00n
ab (also: T2 T1 : Rn → R00n ).
1.3
Unitäre Operatoren und Symmetrietransformationen
Die Menge der unitären Operatoren, die man nach dem Theorem von Wigner einer Gruppe von
Symmetrietransformationen zuordnen kann, hat Eigenschaften die die Gruppenstruktur zwar
widerspiegeln, diese im Allgemeinen aber komplizierter machen. Dies liegt daran, dass die unitären Operatoren nicht auf die Strahlen, sondern auf die Vektoren des Hilbertraums wirken.
Angenommen, es gelte für die Transformationen T1 und T2 , dass
T1 : Rn → R0n
und
T2 : R0n → R00n .
Dann gilt für Ψn ∈ Rn , dass U (T1 )Ψn ∈ R0n und U (T2 )U (T1 )Ψn ∈ R00n . Gleichzeitig gilt aber,
dass auch U (T2 T1 )Ψn ∈ R00n . Die beiden Vektoren U (T2 )U (T1 )Ψn und U (T2 T1 )Ψn können sich
also um eine Phase φn (T2 , T1 ) unterscheiden:
U (T2 )U (T1 )Ψn = exp (iφn (T2 , T1 )) U (T2 T1 )Ψn .
Man kann zeigen, dass (unter gewissen Einschränkungen) die Phase φn unabhängig vom Zustandsvektor Ψn ist. Deshalb kann man die obige Gleichung als Operatoridentität schreiben
U (T2 )U (T1 ) = exp (iφn (T2 , T1 )) U (T2 T1 ).
Dies bedeutet, dass für φ = 0 die U (T ) eine (gewöhnliche) Darstellung der Gruppe der Symmetrietransformationen bilden. Für allgemeine Phasen ist dies aber nicht der Fall. In dieser Situation spricht man von einer projektiven Darstellung. Es lässt sich jedoch zeigen, dass sich jede
Symmetriegruppe mit projektiven Darstellungen so erweitern lässt, dass alle ihre Darstellungen
nicht-projektiv definiert werden können (d. h. φ = 0) und sich die physikalischen Implikationen
dabei nicht ändern. Näheres dazu steht im folgenden Abschnitt über projektive Darstellungen.
3
1.4
Projektive Darstellungen
Wie bereits erwähnt, liegt dann eine projektive Darstellung einer Symmetriegruppe auf physikalischen Zuständen vor, wenn für die zu zwei Transformationen T und T̄ gehörenden unitären
Operatoren U (T ) und U (T̄ ) die Kompositionsregel
U (T )U (T̄ ) = exp iφ(T, T̄ ) U (T T̄ )
gilt. Dabei ist φ eine reelle Phase. Zunächst soll die Frage untersucht werden, wann man durch
eine einfache Umdefinition der unitären Operatoren U (T ) aus einer projektiven Darstellung (mit
φ 6≡ 0) eine gewöhnliche Darstellung erreichen kann.
Für jede Phase φ in obiger Gleichung muss die Assziativitätsbedingung gelten, d. h.
U (T3 )(U (T2 )U (T1 )) = (U (T3 )U (T2 ))U (T1 ).
Daraus ergibt sich für φ die entsprechende Bedingung
φ(T2 , T1 ) + φ(T3 , T2 T1 ) = φ(T3 , T2 ) + φ(T3 T2 , T1 ).
Wie man schnell nachprüft, erfüllt jede Phase der Form
φ(T, T̄ ) = α(T T̄ ) − α(T ) − α(T̄ )
diese Bedingung. Ist die Phase einer projektiven Darstellung von dieser Form, dann gelangt man
zu einer gewöhnlichen Darstellung, durch eine einfache Umdefinition der unitären Operatoren.
Indem man U (T ) durch
Ũ (T ) ≡ U (T ) exp (iα(T )) .
ersetzt, erhält man schließlich, dass
Ũ (T2 )Ũ (T1 ) = U (T2 )U (T1 ) exp (iα(T2 ) + α(T1 ))
= exp (iφ(T2 , T1 )) U (T2 T1 ) exp (iα(T2 T1 )) exp (−iφ(T2 , T1 ))
= U (T2 T1 ) exp (iα(T2 T1 ))
= Ũ (T2 T1 ).
Wie man erkennt, ist diese Darstellung mit den Ũ (t) nun nicht mehr projektiv.
Dieses Vorgehen ist jedoch nicht bei jeder projektiven Darstellung möglich. Es gibt auch Darstellungen von Symmetriegruppen im Hilbertraum, die „echt“ projektiv sind, d. h. solche Darstellungen, bei denen die Phase φ nicht wie oben eliminiert werden kann.
Der folgende Satz macht eine Aussage darüber, wann es bei einer gegebenen Symmetriegruppe
möglich ist, die Phase φ einer Darstellung U (T ) so zu wählen, dass sie verschwindet. Dies ist
dann möglich, wenn zwei Bedingungen zu treffen:
a) Die Generatoren der Gruppe in dieser Darstellung, können so umdefiniert werden, dass die
sog. „central charges“ in der Lie-Algebra verschwinden. [Zur Erläuterung: sind die ta die
Generatoren der Gruppe, dann ergibt sich in der Lie-Algebra einer projektiven Darstellung
für den Kommutator [tb , tc ] = iC abc ta + iCbc 1; der Term iCbc 1 heißt „central charge“]
b) Die Gruppe ist einfach zusammenhängend. [D. h.: Zwei beliebige Gruppenelemente sind
durch einen Pfad in der Gruppe verbunden, und zwei beliebige solche Pfade können stetig
ineinander überführt werden.]
Zusammenfassend lässt sich also sagen, dass es zwei Ursachen dafür geben kann, dass „echte“
projektive Darstellungen auftauchen. Die erste ist von algebraischer Art (nämlich, dass die Darstellung auch in der Nähe der Identität projektiv ist) und die zweite ist von topologischer Art
(nämlich, dass die Gruppe nicht einfach zusammenhängend ist).
4
2
Die Poincarégruppe und ihre Lie-Algebra
2.1
Die Lorentzgruppe
Wir bezeichnen mit M den vierdimensionalen reellen Vektorraum, in dem für x ∈ M und y ∈ M
durch
(x, y) = −x0 y0 + x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
ein Pseudo-Skalarprodukt definiert ist. M heißt Minkowski-Raum. Ein Element aus M ist ein
Vierervektor x = (x0 , x1 , x2 , x3 ), wobei die x1 , x2 , x3 die drei gewöhnlichen Raumkoordinaten
beschreiben und der Koordinate x0 die Bedeutung der Zeit zukommt.
Das obige Skalarprodukt kann man unter Verwendung der Diagonalmatrix η (mit η00 = −1, η11 =
η22 = η33 = +1) auch schreiben als
 

y0
−1 0 0 0




0
1
0
0
 y 1  .
(x, y) = xT ηy = (x0 , x1 , x2 , x2 ) 
 0 0 1 0 y2 
y3
0 0 0 1
Außerdem wird durch das Skalarprodukt die sogenannte Lorentz-Metrik induziert, die einem
Vektor x ∈ M sein Längenquadrat
(x, x) = ||x||2 = −x20 + x21 + x22 + x23
Eine Lorentztransformation ist definiert als eine lineare Abbildung von M in M, die das Skalarprodukt zweier Vierervektoren invariant lässt. (Mit anderen Worten: Lorentztransformationen
sind die Isometrien des Minkowski-Raums.) Wie man zeigen kann, bildet diese Menge der Isometrien eine Gruppe, die sog. Lorentzgruppe
O(3, 1) = {Λ ∈ R4×4 | (Λx, Λy) = (x, y) für alle x, y ∈ M}.
Lorentztransformationen haben zwei wichtige physikalische Eigenschaften:
a) Unmittelbar aus der Definition folgt, dass sie die Lorentz-Metrik eines Vektor erhalten, das
heißt
||Λx||2 = ||x||2 für alle x ∈ M und Λ ∈ O(3, 1).
b) Die Lichgeschwindigkeit ist in allen Inertialsystemen die gleiche (und zwar 1 im hier verwendeten Einheitensystem).
Die Forderung nach der Invarianz des Skalarprodukts kann mit Hilfe der bereits eingeführten
Matrix η auch folgendermaßen umformuliert werden. Aus
xT ηy = (Λx)T ηΛy = xT (ΛT ηΛ)y
folgt, dass für eine beliebige Lorentztransformationmatrix Λ gelten muss:
ΛT ηΛ = η.
Wir nennen diese Forderung im Weiteren auch „Lorentzbedingung“.
Die gesamte Lorentzgruppe O(3, 1) besteht aus insgesamt vier Zusammenhangskomponenten.
Dies sollen die nun folgenden Überlegungen deutlich machen. Zunächst folgt aus der Lorentzbedingung, dass
−1 = det(η) = det(ΛT ηΛ) = − det(ΛT ) det(Λ) = − det(Λ)2 .
5
Für eine Lorentztransformation Λ gilt also entweder det(Λ) = +1 oder det(Λ) = −1. Daneben
kommt der 00-Komponente in Λ eine besondere Bedeutung zu. Für diesen Matrixeintrag folgt
aus der Lorentzbedingung, dass
−1 = −Λ200 + Λ201 + Λ202 + Λ203
oder äquvalent dazu
Λ200 = 1 +
3
X
Λ20i .
i=1
Hier erkennt man wegen Λ200 ≥ 1, dass entweder Λ00 ≥ 1 oder Λ00 ≤ −1 gelten muss.
Eine wichtige Rolle spielt die Zusammenhangskomponente mit det(Λ) = 1 und Λ200 ≥ 1. Es
lässt sich zeigen, dass diese eine Untergruppe der gesamten Lorentzgruppe bildet. Diese kann
geschrieben werden als
a x
+
SO (3, 1) =
∈ SO(3, 1) | a ∈ R, a ≥ 1 ,
yT B
wobei mit SO(3, 1) die Untergruppe der O(3, 1) mit Determinate +1 bezeichnet ist. Die Gruppe
SO+ (3, 1) heißt auch eigentliche orthochrone Lorentzgruppe.
Da es nicht möglich ist, durch eine stetige Veränderung von Parametern von einer Matrix mit
Determinante +1 nach -1 oder von einer Matrix mit 00-Komponente größer oder gleich +1 nach
kleiner oder gleich -1 zu gelangen, gehören alle Lorentztransformationen die durch eine stetige
Veränderung von Parametern aus der Identität hervorgehen (genauso wie die Identiät selbst) zur
eigentlichen orthochronen Lorentzgruppe.
Abschließend soll noch erwähnt werden, dass jede Lorentztransformation entweder eigentlich und
orthochron ist oder dass sie als Produkt einer solchen mit einer der Matrizen P (Raumspiegelung),
T (Zeitumkehr) oder P T geschrieben werden kann. Dabei ist


1 0
0
0
0 −1 0
0

P =
0 0 −1 0 
0 0
0 −1
und

−1
0
T =
0
0
2.2
0
1
0
0
0
0
1
0

0
0
.
0
1
Die Poincarégruppe
Als Poincarégruppe betrachten wir semidirekte Produkt aus der eigentlichen orthochronen Lorentzgruppe und den Translationen des R4 , also
P = R4 o SO+ (3, 1).
Ein Element der Poincarégruppe (Λ, a) stellt somit eine Koordinatentransformation im MinkowskiRaum dar, die sich aus einer Lorentztransformation Λ und einer Translation a zusammensetzt;
das heißt
x 7→ x0 = Λx + a.
6
Für die Hintereindanderausführung zweier Poincarétransformationen gilt die Multiplikationsregel
(Λ̄, ā)(Λ, a) = (Λ̄Λ, Λ̄a + ā).
Die zu (Λ, a) inverse Transformation ist durch
(Λ, a)−1 = (Λ−1 , −Λ−1 a)
gegeben. Dies lässt sich leicht überprüfen, denn nach der Multiplikationsregel gilt
(Λ, a)(Λ, a)−1 = (Λ, a)(Λ−1 , −Λ−1 a)
= (ΛΛ−1 , Λ(−Λ−1 a) + a)
= (1, 0)
und (1,0) ist das neutrale Element der Poincarégruppe. (Bemerkung: wegen det Λ = ±1 6= 0 für
Λ ∈ O(3, 1) existiert Λ−1 immer.)
Für später werden an dieser Stelle noch die Erzeuger der Poincarégruppe festgehalten. Diese sind
a) die Translationen: Λ = 1 und a ∈ R4 beliebig,
b) die Rotationen um die drei Achsen:


1 0
0
0
0 1
0
0 

Λ=
0 0 cos θ sin θ  ≡ R1
0 0 − sin θ cos θ

1
0
0
0
0 cos θ 0 − sin θ
 ≡ R2
Λ=
0
0
1
0 
0 sin θ 0 cos θ


1
0
0
0
0 cos θ sin θ 0

Λ=
0 − sin θ cos θ 0 ≡ R3
0
0
0
1
,
a = 0;
,
a = 0;
,
a = 0;
,
a = 0;
,
a = 0;
,
a = 0;

c) die Boosts in drei Richtungen:

cosh β sinh β
 sinh β cosh β
Λ=
 0
0
0
0

cosh β
 0
Λ=
 sinh β
0

cosh β
 0
Λ=
 0
sinh β
0
0
1
0

0
0
 ≡ B1
0
1

0 sinh β 0
1
0
0
 ≡ B2
0 cosh β 0
0
0
1

0 0 sinh β
1 0
0 
 ≡ B3
0 1
0 
0 0 cosh β
7
2.3
Die Lie-Algebra der Poincarégruppe
Die Poincarégruppe ist eine Liegruppe. Es also möglich deren Elemente (zumindest in der Nähe
der Identität) durch einen Satz reeller Parameter zu parametrisieren. Im Fall der Poincarégruppe
sind dazu insgesamt 10 Parameter nötig:
• 3 Parameter zur Beschreibung der räumlichen Translationen plus 1 Parameter für eine
zeitliche Translation,
• 3 Parameter zur Beschreibung der Rotationen um die drei Achsen
• und 3 weitere Parameter zur Beschreibung der Boost in die drei verschiedenen Raumrichtungen.
Das Ziel dieses Abschnitts wird sein, die Kummutatoren der zur Poincarégruppe gehörigen LieAlgebra zu berechnen. Die Lie-Algebra der Poincarégruppe wird auch einfach kurz PoincaréAlgebra genannt.
Die Berechnung der Kommutatoren werden wir anhand einer konkreten Darstellung der Poincarégruppe durchführen. Dazu betrachen wir die Abbildung
Λ a
.
D : (Λ, a) 7→ D(Λ, a) =
0 1
Dies ist ein treue (d. h. injektive) Darstellung der Poincarégruppe. Man beachte, dass auf der
rechten Seite eine Matrix vom Format 5 × 5 steht.
Zur Berechnung der Kommutatoren reicht es, Poincarétransformationen in einer kleinen Umgebung der identische Abbildung zu betrachten und diese zu linearisieren.
Eine infinitesimale Lorentztransformation in der Nähe der Identität 1 kann in linearer Näherung
mit Hilfe einer Matrix ω geschrieben werden als


1 + ω00
ω01
ω02
ω03
 ω10
1 + ω11
ω12
ω13 
.
Λ=1+ω =
 ω20
ω21
1 + ω22
ω23 
ω30
ω31
ω32
1 + ω33
Diese Matrix muss selbstverständlich die Lorentzbedingung ΛT ηΛ = η erfüllen. Wenn man Λ
einsetzt und Terme von quadratischer Ordnung in den Einträgen von ω vernächlässigt, erhält
man

 

−1 − 2ω00 −ω01 + ω10 −ω02 + ω20 −ω03 + ω30
−1 0 0 0
−ω01 + ω10


1 + 2ω11
ω12 + ω21
ω13 + ω31 

 =  0 1 0 0 .


−ω02 + ω20 ω21 + ω12
1 + 2ω22
ω23 + ω32
0 0 1 0
−ω03 + ω30 ω13 + ω31
ω23 + ω32
1 + 2ω33
0 0 0 1
Vergleich man die Einträge dieser beiden Matrizen, so erhält man die Bedingungen an die Einträge von ω:
• ω00 = ω11 = ω22 = ω33 = 0,
• ω0l = ωl0 ≡ βl (für l = 1, 2, 3) und
• −ω32 = ω23 ≡ θ1 , −ω13 = ω31 ≡ θ2 sowie −ω21 = ω12 ≡ θ3 .
8
Man erkennt, dass die Matrix ω insgesamt 2 · 3 = 6 unabhängige Einträge hat. Nimmt man
noch vier Paramater, die aus den Translationen in die vier verschiedenen Richtungen resultieren
hinzu, so ergeben sich für eine infinitesimale Poincarétransformation 10 unabhängige Elemente:


1
β2
β2
β3 ε0
β1
1
θ3 −θ2 ε1 



1
θ 1 ε2 
D(Λ, a) = β2 −θ3
,
β3 θ2 −θ1
1
ε3 
0
0
0
0
1
wobei hier a = (ε0 , ε1 , ε2 , ε3 )T eine inifnitesimale Translation darstellt.
Der Zusammenhang zwischen einer Liegruppe und ihrer Lie-Algebra wird durch die Exponentialabbildung hergestellt. In unserer Situation bedeutet das
Λ a
= exp(iεµ Pµ + iθl Jl + iβl Kl ).
0 1
Dabei sind εµ , θl und βl die Koordinaten in der Basis Pµ , Jl , Kl (für die Indizes gilt µ ∈ {0, 1, 2, 3}
und l ∈ {1, 2, 3}).
Auf der rechten Seite dieser Gleichung können wir eine Taylorentwicklung durchführen, in der
wir Terme, die von höherer als quadratischer Ordnung sind, vernachlässigen. Dies liefert uns auf
der Ebene der Lie-Algebra die Gleichung


1
β2
β2
β3 ε0
β1
1
θ3 −θ2 ε1 


β2 −θ3
1
θ 1 ε2 

 = 1 + iεµ Pµ + iθl Jl + iβl Kl .
β3 θ2 −θ1
1
ε3 
0
0
0
0
1
Unter Verwendung, der im Abschnitt über die Poincarégruppe erwähnten elementaren Elemente,
erhält man nun durch einen Koeffizientenvergleich die Erzeuger der Poincarétransformationen.
Die Erzeuger der Translationen sind


0 0 0 0 1
0 0 0 0 0



P0 = H = −i 
0 0 0 0 0 ,
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

0
0

P1 = −i 
0
0
0

0
1

0
,
0
0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Die Erzeuger der Rotationen sind



0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0
0





J1 = −i 
0 0 0 1 0 , J2 = −i 0
0 0 −1 0 0
0
0 0 0 0 0
0
0
0
0
1
0

0 0 0
0 −1 0

0 0 0
,
0 0 0
0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
9
0
0
0
0
0

0
0

1
,
0
0
0
0

P2 = −i 
0
0
0
0
0
0
0
0

0
0

P3 = −i 
0
0
0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0
0

0
.
1
0
0 0 0 0
0 0 1 0

J3 = −i 
0 −1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

0
0

0

0
0
und die Erzeuger der Boosts sind



0
0 1 0 0 0
0
1 0 0 0 0





K1 = −i 
0 0 0 0 0 , K2 = −i 1
0
0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0
0

0
,
0
0

0
0

K3 = −i 
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0

0
0

0
.
0
0
Da wir nun alle Erzeuger in dieser Darstellung kennen, ist es ein Leichtes die entsprechenden
Kommutatoren auszurechnen. Matrixmultiplikationen führen auf die folgendenen Kommutatoren
der Poincaré-Algebra:
[Ji , Jj ] = iεijk Jk ,
[Ji , Kj ] = iεijk Kk ,
[Ki , Kj ] = −iεijk Jk ,
[Ji , Pj ] = iεijk Pk ,
[Ki , Pj ] = −iHδij ,
[Ji , H] = [Pi , H] = [H, H] = 0 ,
[Ki , H] = −iPi ,
wobei die Indizies i, j, k die Werte 1,2 und 3 annehmen können.
Die oben verwendete Bezeichnung der Basiselemente der Lie-Algebra ist durch deren physikalische
Bedeutung begründet:
• P0 = H entspricht dem Energie- bzw. Hamiltonoperator und P1 , P2 und P3 stellen die
Komponenten des Impulsoperators dar,
• die Jl mit l = 1, 2, 3 enspricht den Komponenten des Drehimpulses und
• die Kl mit l = 1, 2, 3 stellen drei weitere Generatoren, die jedoch keine physikalische Bedeutung haben.
In der Quantenmachanik sind die Operatoren von speziellem Interesse, die mit dem HamiltonOperator vertauschen, d. h. deren Kommutator mit H Null ergibt. Solche Operatoren sind Erhaltungsgrößen. Beim Betrachten der obigen Relationen zeigt sich, dass dies für den ImpulsDreiervektor
P = {P1 , P2 , P3 }
und für den Drehimpuls-Dreiervektor
J = {J1 , J2 , J3 }
zutrifft. Die Kl vertauschen nicht mit dem Hamilton-Operator und sind daher keine Erhaltungsgrößen.
Außerdem erkennt man an der Kommutatorrelation für den Drehimpuls, dass diese in der relativistischen Rechnung mit der nichtrelativistischen übereinstimmt.
2.4
Projektive Darstellungen und die Poincarégruppe
Im Abschnitt über projektive Darstellungen einer Symmetriegruppe sind zwei Bedingungen aufgeführt, die dafür sorgen, dass man das Auftreten projektiver Darstellungen vermeiden kann.
Wir betrachten im Folgenden, was diese Bedingungen für die Poincarégruppe bedeuten.
10
Allgemein gilt, dass es bei halbeinfachen Liegruppen immer möglich ist, durch eine Umdefinition der Generatoren, die „central charges“ zu eliminieren. (Halbeinfache Liegruppen haben
Lie-Algebren, die keine invariante abelsche Subalgebra haben, welche aus Generatoren besteht,
die miteinander kommutieren, und deren Kommutatoren mit den übrigen Generatoren ebenfalls
zu dieser Subalgebra gehören. Im Fall der Poincaréalgebra spannen die Pµ mit µ = 0, 1, 2, 3
eine solche invariante Subalgebra auf.) Die Poincarégruppe ist (wie auch die Lorentzgruppe) eine
nicht halbeinfache Liegruppe.
Es ist hier aber trotzdem möglich, durch eine Umdefinition der Generatoren aus einer projektiven
Darstellung eine gewöhnliche Darstellung zu machen. Es gibt also keinen algebraischen Grund,
weshalb bei der Poincarégruppe „echte“ projektive Darstellungen auftreten könnten.
Anders verhält es sich mit der topologischen Bedingung. Es ist nämlich so, dass die Poincarégruppe nicht einfach zusammenhängend ist und aus diesem Grund „echte“ projektive Darstellungen
besitzt. Um deren Auftreten verhindern zu können, wird es später sinnvoll sein, statt der eigentlichen Lorentzgruppe deren universelle Überlagerungsgruppe
SL(2, C) = {A ∈ C2×2 | det(A) = 1},
welche einfach zusammenhängend ist, zu betrachten.
3
Ein-Teilchen-Zustände
Zur Klassifikation der Ein-Teilchen-Zustände betrachtet man deren Transformationsverhalten
unter Poincarétransformationen.
Nach dem Theorem von Wigner kann man zu einer Poincarétransformation (Λ, a) ∈ P einen
linearen unitären Operator U (Λ, a) im Hilbertraum H definieren, so dass
Ψ 7→ U (Λ, a)Ψ
für Ψ ∈ H.
Analog zur Multiplikationsregel für Lorentztransformationen gilt für die entsprechenden unitären
Operatoren
U (Λ̄, ā)U (Λ, a) = U (Λ̄Λ, Λ̄a + ā).
Das mögliche Auftreten eines Phasenfaktors kann hier durch eine geeignete Erweiterung der
Lorentzgruppe vermieden werden.
Da die Komponenten das Energie-Impuls Vierervektors paarweise miteinander kommutieren ist
es innvoll, physikalische Zustände durch Eigenvektoren des Viererimpulses auszudrücken. Wenn
wir den Index σ für alle weiteren Freiheitsgrade einführen, betrachten wir also Zustandsvektoren
Ψp,σ mit
Pµ Ψp,σ = pµ Ψp,σ .
Die Zustände Ψp,σ transformieren unter Translationen gemäß
U (1, a)Ψp,σ = exp(ipa) Ψp,σ .
Es ist nun noch zu klären, wie sich die Anwendung einer (homogenen) Lorentztransformation
U (Λ, 0) ≡ U (Λ) auf einen solchen Zustand auswirkt.
Die Anwendung einer Quanten-Lorentztransformation U (Λ) auf den Zustand Ψp,σ mit ImpulsEigenwert p hat zur Folge, dass der transformierte Zustand den Eigenwert Λp besitzt:
P U (Λ)Ψp,σ = Λp U (Λ)Ψp,σ .
11
(3.1)
Das heißt die Eigenräume des Impulsoperators werden unter Lorentztransformationen aufeinander abgebildet.
(Zur Begründung von (3.1): Aus
U −1 (Λ)iεµ Pµ U (Λ) = U −1 (Λ)U (1, εµ )U (Λ)
= U (Λ−1 , (Λ−1 ε)µ )U (Λ)
= U (1, (Λ−1 ε)µ )
= i(Λ−1 ε)µ Pµ
= iεµ (ΛPµ )
folgt, dass
U −1 (Λ)Pµ U (Λ) = ΛPµ .
Unter Verwendung dieser Gleichung ergibt sich die Aussage (3.1)
P U (Λ)Ψ = U (Λ) U −1 (Λ)P U (Λ) Ψ
= U (Λ)ΛpΨ
= Λp U (Λ)Ψ .)
Unsere Aufgabe besteht nun darin, die Struktur der Koeffizienten Cσ0 σ (Λ, p) in irreduziblen
Darstellungen der Poincarégruppe herauszufinden.
Bis jetzt haben wir den Zustand eines Teilchen durch seinen Viererimpuls charakterisiert. Betrachtet man dasselbe Teilchen in verschiedenen Inertialsystemen, so werden sich die Impulse (i.
A.) unterscheiden. Die Menge aller dieser Impulse bildet die Bahn
B(p) = {Λp | Λ ∈ SO+ (3, 1)}
unter der Operation der Lorentzgruppe.
Zur Klassifikation der Ein-Teilchen-Zustände genügt es, je einen Vertreter k aus jeder möglichen
Bahn zu betrachten. Dann gibt es zu jedem p ∈ B(k) eine sog. Standard-Lorentztransformation
L(p) ∈ SO+ (3, 1), so dass
p = L(p)k.
(3.2)
Wir definieren die Zustände Ψp,σ mit Impuls p durch
Ψp,σ ≡ N (p)U (L(p))Ψk,σ
(3.3)
definieren, wobei N (p) eine Normierungskonstante darstellt.
Nun wenden wir eine beliebige homogene Lorentztransformation U (Λ) auf (3.4) an und erhalten
U (Λ)Ψp,σ = N (p) U (Λ) U (L(p))Ψk,σ
= N (p) U (ΛL(p))Ψk,σ
= N (p) U (L(Λp)) U (L−1 (Λp)) U (ΛL(p))Ψk,σ
= N (p) U (L(Λp)) U (L−1 (Λp)ΛL(p))Ψk,σ .
(3.4)
Der Grund für diese Umformung liegt darin, dass die Transformation L−1 (Λp)ΛL(p) den Standardimpuls k invariant lässt, denn
(L−1 (Λp)ΛL(p))k = L−1 (Λp)Λp = k.
Damit ist L−1 (Λp)ΛL(p) ein Element der Stabilisatorgruppe
S(k) = {W ∈ SO+ (3, 1) | W k = k}.
12
Diese Untergruppe trägt in der Physik auch die Bezeichnung „little group“ und es gilt für jede
Transformation W ∈ S(k)
X
U (W )Ψk,σ =
Dσ0 σ (W )Ψk,σ0 .
(3.5)
σ0
Die Matrizen D(W ) bilden ein Darstellung der „little group“.
(Denn für zwei beliebige Elemente W, W̄ ∈ S(k) gilt
X
Dσ0 σ (W̄ W )Ψk,σ0 = U (W̄ W )Ψk,σ = U (W̄ )U (W )Ψk,σ
σ0
= U (W̄ )
X
Dσ00 σ (W )Ψk,σ00 =
σ 00
X
Dσ00 σ (W )Dσ0 σ00 (W̄ )Ψk,σ0
σ 0 σ 00
und damit
Dσ0 σ (W̄ W ) =
X
Dσ0 σ00 (W̄ )Dσ00 σ (W ). )
σ 00
Insbesondere können wir (3.6) auf die Transformation
W (Λ, p) ≡ L−1 (Λp)ΛL(p)
anwenden. Das ergibt eingesetzt in (3.5)
X
U (Λ)Ψp,σ = N (p)
Dσ0 σ (W (Λ, p))U (L(Λp))Ψk,σ0 .
σ0
oder, wenn wir (3.4) verwenden,
U (Λ)Ψp,σ =
N (p)
N (Λp)
X
Dσ0 σ (W (Λ, p))ΨΛp,σ0 .
σ0
Diese Gleichung besagt, dass es zur Klassifaktion der Ein-Teilchen-Zustände ausreicht, die Darstellungen der „little group“ zu jedem möglichen Standard-Impuls k zu finden.
3.1
Die Lorentzgruppe und die SL(2, C)
Um einen Zusammenhang zwischen der Lorentzgruppe und der SL(2, C) herzustellen, identifizieren wir einen Vektor x = (x0 , x1 , x2 , x3 ) aus dem Minkowski-Raum mit einer hermiteschen
2 × 2-Matrix X durch
x0 + x3 x1 − ix2
X=
.
x1 + ix2 x0 − x3
Für X gilt X = X † und
− det(X) = −x20 + x21 + x22 + x23 = ||x||2 .
Da jede hermitesche 2 × 2-Matrix in dieser Form geschrieben werden kann, definiert jedes X
umgekehrt einen reellen Vierervektor. Wir betrachten nun für eine Matrix A ∈ SL(2, C) die
Abbildung
X 7→ AXA† .
Unter dieser Abbildung bleibt die Eigenschaft der Hermitizität von X erhalten, denn (AXA† )† =
A†† X † A† = AXA† . Außerdem ist die die Determinante von X erhalten:
det(AXA† ) = | det(A)|2 det(X) = det(X) = −||x||2 .
13
Deshalb ist durch die oben definierte Abbildung zugleich eine entprechende Abbildung im Minkowskiraum x 7→ φ(A)x definiert, welche die Norm von x erhält. φ(A) repräsentiert also eine
Lorentztransformation. Wegen
ABX(AX)† = A(BXB † )A†
ist φ ein Homomorphsimus. Allerdings ist φ nicht bijektiv, da A und −A offensichtlich dieselbe
Lorentztransformation beschreiben. Es lässt sich jedoch zeigen, dass die eigentliche orthochrone
Lorentzgruppe und die Faktorgruppe SL(2, C)/{±1} isomorph zueinander sind.
3.2
Little groups und deren Darstellungen
Zur Bestimmung der little groups verwenden wir die Darstellung von Lorentztransformationen
durch die entsprechenden 2 × 2-Matrizen. Das Vorgehen gliedert sich dann in drei Schritte:
a) beschreibe die möglichen Bahnen unter der Operation der SL(2, C) auf den Impulsvektoren
im Minkowski-Raum (dargestellt durch hermitesche 2 × 2-Matrizen);
b) wähle aus jeder Bahn einen Repräsentanten (entspricht dem Standardimpuls k) und bestimme dessen little group;
c) bestimme die Darstellungen der little groups
Zur Charakterisierung der möglichen Bahnen, eignen sich Größen die unter der Operation der
Lorentztransformationen auf den Impulsvektoren invariant bleiben. Dies ist zum einen das Quadrat des Impulses
p2 = −p20 + p21 + p22 + p23 ≡ −m2
und zum anderen, für den fall m2 > 0, noch zusätzlich das Vorzeichen von p0 . Dadurch kommt
die folgende Tabelle zu Stande, in der zu jeder möglichen Bahn ein Repräsentant (m. a. W.
Standardimpuls) aufgeführt ist:
Bahn
(a)
m2 > 0, p0 > 0
(b)
m2
(c)
m2
(d)
m2
Repräsentant (Standardimpuls)
> 0, p0 < 0
m 0
0 m
−m 0
0 −m
= 0, p0 > 0
= 0, p0 < 0
pµ = 0
(f)
m2
<0
14
−2 0
0 0
(e)
2 0
0 0
0 0
0 0
0
|m|i
−|m|i
0
Wir bestimmen nun zu jeder Bahn die little group (Stabilisatorgruppe):
• Alle Matrizen A ∈ SL(2, C), für die
m 0
m 0
†
A
A =
0 m
0 m
gilt, bilden den Stabilsator im Fall (a). Wegen
0
m 0
†
† m
A
A = AA
0 m
0 m
ist die obige Bedingung äquivalent zu der Forderung AA† = 1 bzw. A† = A−1 . Damit ist
die litte group im Fall (a) (wie auch im Fall (b)) die
SU (2) = {A ∈ C2×2 | A† = A−1 }.
• Im Fall (c) ergibt sich mit
A=
a b
c d
für die Stabilisatorbedingung
∗ ∗ 2|a|2 2ac∗ ! 2 0
a b
2 0
a c
=
=
2ca∗ 2|c|2
0 0
b∗ d ∗
c d
0 0
Dies ist nur dann erfüllt, wenn |a|2 = 1 und c = 0. Folglich sind die Matrizen im Stabilisator
in diesem Fall von der Form
iθ
e
b
0 e−iθ
Diese Matrixgruppe enspricht dem semidirekten Produkt aus der Drehgruppe SO(2) und
dem R2 , wobei θ eine Drehung um den Winkel 2θ beschreibt. Die Gruppe ist also die zweifache Überlagerung der Gruppe der euklidischen Bewegungen in der Ebene. Wir schreiben
die little group als Ẽ(2). Eine analoge Rechnung zeigt, dass auch im Fall (d) die Ẽ(2) die
little group ist.
• Die little group im Fall (e) ist offensichtlich die ganze SL(2, C). Es bleibt noch der Fall (e).
• Alle Matrizen A, die
A
0
|m|i
0
|m|i
A† =
−|m|i
0
−|m|i
0
erfüllen äquivalent dazu auch
0 1
0 1
†
A
A =
.
−1 0
−1 0
Mit A =
a b
c d
erhält man eine Bedingung für die Transponierte von A:
0 1
0
ad − bc
0 1
T
A
A =
=
.
−1 0
−(ad − bc)
0
−1 0
Aus
0 1
0 1
†
A
A =A
AT
−1 0
−1 0
folgt, dass A† = AT gelten muss, d. h. die Einträge von A sind reell und die little group im
Fall (e) ist die SL(2, R).
15
Die Ergebnisse können wir wieder in einer Tabelle festhalten:
Bahn
Repräsentant (Standardimpuls)
(a)
m2
(b)
m2
(c)
m2
(d)
m2 = 0, p0 < 0
> 0, p0 > 0
> 0, p0 < 0
m 0
0 m
−m 0
0 −m
= 0, p0 > 0
pµ = 0
(f)
m2
<0
2 0
0 0
0 0
0 0
SU (2)
SU (2)
Ẽ(2)
−2 0
0 0
(e)
Little group
Ẽ(2)
SL(2, C)
0
|m|i
−|m|i
0
SL(2, R)
Von physikalischem Interesse sind hier nur die Fälle (a) und (c). Der Fall (a) beschreibt Teilchen
der Ruhemasse m > 0 und der Fall (c) beschreibt Teilchen mit m = 0. Im diesen Fällen müssen
nun die irreduziblen Darstellungen der little groups gefunden werden. Diese geben wir an dieser
Stelle ohne Beweis an.
Wenn man die SU (2) untersucht, stellt man fest, dass deren irredubziblen Darstellungen, durch
einen positiven halbzahligen Parameter
1
3
s = 0, , 1, , . . .
2
2
parametrisiert werden können. Die Darstellungen sind 2s + 1-dimensional. Der Parameter s kann
mit dem Spin eines Teilchens identifiziert werden.
Physikalisch relevante Darstellungen der E(2) = R2 o SO(2) können ebenfalls durch einen halbzahligen Parameter, der die Werte
1
3
s = ±0, ± , ±1, ± , . . .
2
2
annehmen kann, parametrisiert werden.
Insgesamt haben wir gefunden: Physikalisch relevante Darstellungen (mit p0 > 0) der Überlagersungsgruppe der Poincarégruppe sind parametrisiert durch
m2 > 0
sowie durch
m2 = 0
und
und
1
3
s = 0, , 1, , . . .
2
2
1
3
s = ±0, ± , ±1, ± , . . .
2
2
16
.