Übungen zur Theoretischen Physik III 21*. Unschärferelation

SS 2006
Prof. Dr. N. Papadopoulos
Dr. J. Schwindt
Übungen zur Theoretischen Physik III
Blatt 6 – 12.6.2006
21*. Unschärferelation für eine spezielle Wellenfunktion (2 P)
Berechnen Sie für die Impulsverteilung φ(p) = exp(−a(p − p0 )2 /~2 ) in
den Erwartungswert hpi sowie die Impulsunschärfe (∆p)2 = h(p − hpi)2 i und bestimmen Sie die Unschärferelation ∆x∆p für beliebige Zeiten (siehe auch Aufgabe 7c).
22. Zeitevolution für gewisse Zustände (5 P)
Wir betrachten den eindimensionalen Potentialtopf:
(
0 für |x| ≤ a/2 ,
V (x) =
∞ für |x| > a/2 .
Beschreiben Sie die zeitliche Evolution für ein Teilchen im Zustand |ψi = c1 |E1 i + c2 |E2 i
und berechnen Sie die Erwartungswerte hxiψ1 , hxiψ2 sowie hxiψ . Die Zustände |ψ1 i = |E1 i
und |ψ2 i = |E2 i sind dabei stationär.
23. Der Propagator in der Quantenmechanik (8 P)
Die zeitliche Entwicklung des Zustandes ψ(x, t) kann man auch mit Hilfe des Propagators
G(x0 , t0 , x, t) ausdrücken durch (t < t0 ):
Z
0 0
ψ(x , t ) = dx G(x0 , t0 , x, t)ψ(x, t) .
(a) Bestimmen Sie G für ein freies Teilchen:
Z
~k2
1
ψ(x, t) = √
dk φ(k)eikx−i 2m t .
2π
(b) Zeigen Sie, dass die Abbildung G(x0 , t0 , x, t) für festes x, t die Schrödingergleichung in
den Variablen x0 und t0 erfüllt.
(c) Zeigen Sie, dass G folgende Form hat:
mit η ∈
i Z t0
G(x0 , t0 , x, t) = η exp
dτ L(x, ẋ) ,
~ t
R t0
, wobei S = t dτ L(x, ẋ) die klassische Wirkung für ein freies Teilchen ist.
24*. Lineare Algebra in
2
(5 P)
In einem zweidimensionalen Hilbertraum bilden die Vektoren |e1 i und |e2 i eine orthonormale Basis. Gegeben sind weiterhin die Vektoren:
1
1
|b1 i := √ |e1 i + i|e2 i und |b2 i := √ |e1 i − i|e2 i .
2
2
(a) Zeigen Sie, dass auch (|b1 i, |b2 i) eine Orthonormalbasis bilden.
(b) Schreiben Sie |bj i und hbj | für j ∈ {1, 2} als Spalten- bzw. Zeilen-Matrizen bezüglich
der Basis |ei i aus.
(c) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung des Operators U , der den Basiswechsel von (|e i i)
nach (|bj i) beschreibt.
√
(d) Der Vektor |vi hat in der Basis (|ej i) die Form v = 1/ 2 (1, 1)t . Drücken Sie |vi in
der Basis (|bj i) aus.
(e) Ein Operator T hat in der (|ej i)-Basis die Darstellung:
1 0
Te =
.
0 −1
Bestimmen Sie die entsprechende Matrix Tb in der (|bj i)-Basis.