Molekulare Nanomagnete: Quantenphysik zum Anfassen

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Vorl. #08 (13. Nov. 2009)
ExperimentalPhysik III (Bachlor)
WS09/10
Wiederholung:
Beugungsintergral -> Fresnel, Fraunhofer
Fraunhofer: Amplitude in Ebene z' ist proportional zur Fourier-Transformierten von
r
τ( x , y)E ein ( x , y)
Beugung am Gitter: Überlagerung von N Strahlen im Abstand d
⎛ Nd
⎞
sin ⎜ π
sin α ⎟
N −1
⎝ λ
⎠
A = ae iωt ∑ e inΔϕ ⇒ A(α) = A 0
d
⎛
⎞
n =0
sin ⎜ π sin α ⎟
⎝ λ
⎠
λ
Hauptmaxima: sin α = m , N-1 Nebenminima, N-2 Nebenmaxima
d
⇒ Hauptmaxima mit zunehmender Zahl der Striche schärfer
Bragg Bedingung 2d sin α = mλ
Weiterführung
2.e. Interferenz an planparalleler Glasplatte
D
Transmission:
d
d
, x BC =
cos β
cos β
= AC sin α = 2d tan β sin α
A
Gangunterschied AB, BC: x AB =
Gangunterschied AD: x AD
d n
⇒ gesamter Gangunterschied x = n ( x AB + x BC ) − x AD = 2d n 2 − sin 2 α
⇒ Phasenunterschied Δϕ = kx
C
β
B
α
⇒ Maxima: Δϕ = m 2π ⇒ 2d n 2 − sin 2 α = mλ
Reflexion:
Gangunterschiede wie bei Reflexion
⇒ gesamter Gangunterschied
α
x = n ( x AB + x BC ) − x AD = 2d n − sin α
2
2
⇒ Phasenunterschied Δϕ = kx − π
1⎞
⎛
⇒ Maxima: Δϕ = m 2π ⇒ 2d n 2 − sin 2 α = ⎜ m + ⎟λ
2⎠
⎝
D
A
d n
C
β
B
Warum π? Phase springt um π bei Reflexion and "harter" (= optische dichterer) Oberfläche
(aber ACHTUNG: gilt so nur für Polarisation senkrecht zur Einfallsrichtung, vide infra)
"Anschaulich": I = I reflektiert + I transmittiert
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Vorl. #08 (13. Nov. 2009)
Interferenzfarben:
Seifenblasen, Ölschichten, Newton-Ringe bei Diarahmen,....
Versuch: Seifenblase
Versuch: Seifenlamelle
2.f. Vielstrahlinterferenz, Fabry-Perot-Interferometer
A1 = R A 0
(R: Reflexionskoeffizient)
B1 = 1 − R A 0
C1 = R B1 = R (1 − R ) A 0
D1 = 1 − R B1 = (1 − R ) A 0
:
A m +1 = 1 − R C m = 1 − R R B m = 1 − R R R C m −1 = R A m
D m +1 = R D m
Gangunterschied x = 2d n 2 − sin 2 α
Phasenunterschied Δϕ = kx + δϕ , da aber immer 2 Reflexionen ⇒ Δϕ = kx
M
A = ∑ A m e i ( m −1) Δϕ
m =1
M → ∞ (grosse Platte bzw kleine Einfallswinkel)
1 − e iΔϕ
⇒ A = ±A 0 R
( ± kommt vom Phasensprung δϕ bei der ersten Reflexion)
1 − Re iΔϕ
2R (1 − cos Δϕ)
⇒ IR = I0
1 − 2R cos Δϕ + R 2
⇒
F sin 2 (Δϕ / 2)
IR = I0
1 + F sin 2 (Δϕ / 2)
1
IT = I0
1 + F sin 2 (Δϕ / 2)
Beispiel: senkrechter Einfall
1
IT = I0
1 + F sin 2 (nkd )
Maxima: 2nd = mλ
FWHM: ε = 4 arcsin 1 / F ≈
4
F
mit
4R
(Airy-Formel)
(1 − R ) 2
d
Δϕ
= 2π
n 2 − sin 2 α
2
λ
F=
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Vorl. #08 (13. Nov. 2009)
Anwendung: Präzissionsmessung von λ, x, n
Anwendung: Fabry-Pérot Interferometer
scharfe "Interferenzen" ⇔ R → 1
3. Auflösungsvermögen optischer Instrumente
Vorsicht: man muss erst festlegen um welche Grösse es geht
- räumliche Auflösung: zwei nahe Punkte noch als getrennt sichtbar
- spektrale Auflösung: zwei Wellen mit ähnlicher Wellenlänge noch getrennt feststellbar
( Δλ / λ )
Rayleigh Kriterium:
Zwei Punkte sind gerade dann noch
unterscheidbar (= auflösbar) wenn das
Beugungsmaximum des einen Punktes in
das 1. Beugungsminima des 2. Punktes fällt
Ein anderes Kriterium:
Abstand der Hauptmaximums
muss grösser als sein als die
Halbwertsbreite
Räumliche Auflösung:
Ursache der prinzipiell begrenzten Auflösung:
(prinzipiell meint durch physikalische
Prinzipien beschränkt, es ist immer leicht
etwas schlecht zu machen)
Beugung durch die begrenzte Grösse der optischen
Instrumente. Z.B. Linse führt zu Beugungsscheibchen
⇒ Licht kann nicht auf einen beliebig kleinen
Punkt fokussiert werden
Loch: 1. Minimum ist bei r sin α = 0.61λ
(vgl. Spalt b sin α = mλ )
-4Auflösung einer Lochblende
r sin α = 0.61λ ⇒ α min = 1.22
Vorl. #08 (13. Nov. 2009)
λ
D
Auflösung einer Linse
jeder Strahl wird Beugungsverbreitert
λ
⇒ α min = 1.22
D
Auflösung eines Fernrohrs
Das Zwischenbild nach dem Objektiv ist schon Beugungsverbreitert
λ
⇒ α min = 1.22
D
Mikroskop
nun Unterschied: das einfallende Licht ist nicht mehr parallel!
dafür ist das austretende Licht quasi parallel (da das
Zwischenbild weit entfernt ist)
Durchmesser des Beugungsscheibchen von Punkt P2:
d = bα min
λ
bλ
wegen α min = 1.22
⇒ d = 1.22
D
D
dies entspricht einem Abstand oder Auflösungsvermögen
vor dem Objektiv von
fλ
f
δx ≈ 1 d = 1.22 1
b
D
der von der Linse maximal erfasste Öffungswinkel ist
D
sin ϕ ≈
2f 1
⇒
δx ≈ 0.61
λ
n sin ϕ
Numerische Apertur: n sin ϕ
Warum sin ϕ ? kommt aus Abbes Theorie: 2 Punkte senden interferierende Kugelwellen aus
(Doppelspalt), mindestens das 1. Nebenmaximum muss vom Objektiv noch erfasst werden, um
ein Bild entstehen zu lassen
λ
λ
1. Nebenmaximum: sin α =
⇒ sin ϕ ≈ sin α ⇒ δx ≈
sin ϕ
δx
Verbesserung der Auflösung:
- Immersionsöl, n = 1.5 ⇒ 50% bessere Auflösung
- kleinere Wellenlänge → Elektronenmikroskop (1 nm), Röntgenmikroskop (in Entwicklung)
- Nahfeldmikroskopie