Testklausur zu Quantentheorie II

Institut für Theoretische Physik
Prof. Dr. J. Schliemann
Dr. P. Wenk
Wintersemester 2014/15
Testklausur zu Quantentheorie II
Aufgabe 1: Zwei-Niveau-Atom
[6P]
Wir betrachten ein Zwei-Niveau-Atom mit den Zuständen |Ai und |Bi, das sich
im Feld einer quantisierten photonischen Mode der Frequenz ω befindet. Der
Hamiltonoperator dieses Systems ist durch
H = EA |AihA| + EB |BihB| + ~ω(↠â + 1/2) + g(|AihB| + |BihA|)(â + ↠) (1)
gegeben. Dabei bezeichnen ↠und â die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
der Photonen.
a)[2P ] Machen Sie im Wechselwirkungsbild den Ansatz
|ψD (t)i =
∞
X
(CAn (t)|A, ni + CBn (t)|B, ni)
(2)
n=0
für die Gesamtwellenfunktion des Systems und bestimmen Sie die Zeitentwicklungsgleichungen für die Komponenten Cjn (t). |j, ni mit j = A, B
bezeichnet dabei den Gesamtzustand, bei dem das Atom im Zustand |ji ist
und sich n Photonen in der Mode befinden.
b)[2P ] Nun betrachte man den Fall eines nahresonant gekoppelten Systems, bei
dem ~ω ' EB − EA gilt. Begründen Sie, warum man in diesem Fall den
Kopplungsterm durch g(|BihA|â + |AihB|↠) approximieren kann.
c)[2P ] Zum Anfangszeitpunkt t = 0 seien genau n0 Photonen in der Mode und
das Atom befinde sich im Zustand |Ai. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
das Atom im Spezialfall ~ω = EB − EA zum Zeitpunkt t > 0 im Zustand
|Bi vorzufinden? Verwenden Sie dazu die Näherung aus Teilaufgabe (b).
Aufgabe 2: Elektron-Elektron-Wechselwirkung
[5P]
Gegeben seien zwei Elektronen in einem Einteilchenpotential, welches durch einen
dreidimensionalen isotropen harmonischen Oszillator mit Frequenz ω beschrieben
wird.
a)[2P ] Geben Sie die Energie und Eigenfunktion (mit Orts- und Spinkomponenten) des Grundzustands an, den dieses Zwei-Elektronen-System bei Vernachlässigung der Elektron-Elektron-Wechselwirkung haben würde.
b)[3P ] Berechnen Sie mit Störungstheorie in erster Ordnung, wie sich die Grundzustandsenergie aufgrund der Elektron-Elektron-Wechselwirkung ändert.
Aufgabe 3: Optisches Theorem
[4P]
Im Experiment wird festgestellt, dass der differentielle Wirkungsquerschnitt konstant ist und dem Wert A entspricht. Desweiteren sei das Störpotential kurzreichweitig und wir betrachten so kleine Energien der einlaufenden Teilchen, dass
Partialwellen der Streuamplitude mit l ≥ 1 vernachlässigt werden können (δl sei
die Phasenverschiebungen). Die Einfallsrichtung des einlaufenden Teilchens mit
dem Wellenvektor k ist in die z-Richtung gewählt. Berechnen Sie die Streuamplitude als Funktion von A und k.
Aufgabe 4: Goldene Regel
[6P]
Ein Elektron befinde sich in einem harmonischer Oszillator im Grundzustand,
|0i. Bei ta = −∞ werde eine Störung eingeschaltet. Diese ist ein mit der Zeit
2
exponentiell abfallendes elektrisches Feld in z-Richtung, E(t) = ez E0 e−αt .
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Anfangszustand für t → ∞ im
Grundzustand |0i bleibt?
Aufgabe 5: Spin-Spin WW
[4P]
Gegeben sei ein Gas aus fermionischen Spin 1/2 Teilchen mit Masse m, die sich im
potentialfreien dreidimensionalen Raum befinden. Die Wechselwirkung zwischen
den Teilchen werde durch ein spinabhängiges Potential der Form
V (ri , Si , rj , Sj ) = V0 exp −α(ri − rj )2 Si · Sj
(3)
beschrieben. Dabei bezeichnen ri und Si den Orts- bzw. Spinoperator des Teilchens
i. Geben Sie den Vielteilchen-Hamiltonoperator dieses Systems unter Verwendung der Feldoperatoren ψ̂σ† (r) und ψ̂σ (r) an, die jeweils ein Teilchen am Ort r
mit Spinkomponente σ (in z-Richtung) erzeugen bzw. vernichten.
Aufgabe 6: Cooper Paare
[5P]
Gegeben seien Erzeuger und Vernichter der merkwürdigen Cooper-Teilchen:
b† = c†k↑ c†−k↓
(4)
b = c−k↓ ck↑ ,
(5)
wobei c† , c Erzeuger und Vernichter für Elektronen sind.
Zeigen Sie, dass es sich bei den Cooper-Paaren weder um Fermionen noch um
Bosonen handelt.
Maximale Arbeitszeit: 120 Minuten
Zugelassene Hilfsmittel: handgeschriebene Formelsammlung (eine A4 Seite)
Notwendige Punktzall zum bestehen: 10P
Nützliche Hinweise:
Die normierte Grundzustandswellenfunktion des eindimensionalen harmonischen Oszillators mit Masse m und Frequenz ω ist durch
r
1
x2
~
ψ(x) = p√ exp − 2
mit η =
gegeben.
(6)
2η
mω
πη
Für α > 0 gilt:
Z
∞
−αx2
dx e
Z
Z
−∞
∞
2
r
=
1 π
2 α3
r
π − β2
=
e 4α
α
dx x2 e−αx =
−∞
∞
2 +iβx
dx e−αx
−∞
π
α
r
(7)
(8)
Es gilt:
Z
3
d r1
Z
f (|r1 |, |r2 |)
d r2
=
|r1 − r2 |
3
Z
3
d r1
Z
d3 r2
f (|r1 |, |r2 |)
max{|r1 |, |r2 |}
Die Pauli-Matrizen sind gegeben durch
0 1
0 −i
1 0
σx =
, σy =
, σz =
.
1 0
i 0
0 −1