Ubungsblatt 9 - Institut für Mathematik

Prof. Helga Baum
Institut für Mathematik
Rudower Chaussee 25
Haus 1 Raum 307
Übungsblatt 9
Analysis I* – WS 06/07
Abgabe am 08.01.2006
Aufgabe 41 (Kamm und Floh) (Die Aufgabe wird in der Übung besprochen)
In der komplexen Ebene C (mit Standardmetrik) ist die Menge
½
¾
¯
1
¯
A := [0, 1] ∪
+ iy ¯ n ∈ N und y ∈ [0, 1] ∪ {i}
n
gegeben. Skizzieren Sie die Menge A und zeigen Sie, dass A zusammenhängend ist.
Aufgabe 42
Sei X eine nichtleere Menge und bezeichne
Fb (X) := {f : X → R | f (X) beschränkt }
die Menge aller beschränkten Funktionen von X in die reellen Zahlen mit den punktweise
definierten Operationen:
(f1 + f2 ) (x) := f1 (x) + f2 (x),
(λ · f ) (x) := λ · f (x)
,
f, f1 , f2 ∈ Fb (X), λ ∈ R, x ∈ X.
Zeigen Sie
1. Fb (X) ist mit diesen Operationen ein reeller Vektorraum
2. Durch kf k∞ := supx∈X |f (x)| ist eine Norm auf Fb (X) definiert.
3. (Fb (X), k · k∞ ) ist ein Banachraum.
6P
Aufgabe 43
Sei E ein reeller Vektorraum. Zeigen Sie:
1. Sei h·, ·ipein Skalarprodukt auf E und k · k die dadurch definierte Norm auf E, d.h.
kxk := hx, xi für alle x ∈ E. Dann gilt das Parallelogramm-Gesetz
¡
¢
kx + yk2 + kx − yk2 = 2 kxk2 + kyk2
∀ x, y ∈ E
(∗)
2. Ist andererseits k · k eine Norm auf E, die das
p Parallelogrammgesetz (∗) erfüllt, so
existiert ein Skalarprodukt h·, ·i mit kxk = hx, xi für alle x ∈ E.
Hinweis: Zeigen Sie, dass man das gesuchte Skalarprodukt h·, ·i aus der Norm mittels
hx, yi :=
¢
1¡
kx + yk2 − kx − yk2
4
erhält.
Erfüllt jede Norm das Parallelogrammgesetz (∗) ?
8P
Aufgabe 44
Ferdi bekommt auch dieses Weihnachten wieder sehr viele Geschenke, nämlich abzählbar unendlich viele. Die Pakete, die alle würfelförmig sind, stellt Ferdi mit dem Größten,
das einen Meter hoch ist, beginnend nach Größe geordnet in einer Reihe unter dem Tannenbaum auf. Er stellt dabei fest, dass die Pakete jeweils ein Drittel so breit sind wie das
vorherige. Wie weit müssen die Äste des Tannenbaums mindestens ragen, wenn alle Pakete
unterm Baum Platz finden? Beim Auspacken stellt Ferdi fest, dass er beim nachfolgenden
Paket immer nur jeweils die Hälfte der Zeit braucht. Wie lange hat Ferdi für das erste
Paket gebraucht, wenn er, gierig wie er ist, schon nach 2 Minuten alles ausgepackt hat?
4P
Aufgabe 45
Heini bekommt zu Weihnachten von seinem Patenonkel, der unter Heinis Streichen viel
leiden musste, einen Würfel von einem Kubikmeter Größe geschenkt. Heini braucht zum
Auspacken eine Minute, und im Allgemeinen hängt die Zeit, die Heini zum Auspacken
braucht, proportional von der Oberfläche des Päckchens ab. Als er das Paket geöffnet
hat, ist in dem Karton wieder ein eingepackter Würfel und 87 m3 Luft. Und so geht es
weiter. Nach dem n-ten Auspacken findet Heini wieder ein würfelförmiges Päckchen und
3n2 +3n+1
m3 gähnende Leere. Heini versucht, die leeren Kartons aufeinander zu stapeln.
n3 ·(n+1)3
Gelingt ihm das? Zudem machen die Eltern sich Sorgen, ob Heini denn rechtzeitig zum
Abendspaziergang zum Onkel mit dem Auspacken fertig sein wird. Packt Heini noch an
Neujahr aus? Und warum ist Heini nachher so enttäuscht, dass er nicht mehr mit zum
Onkel will?
n
P
1
1
Hinweis: Beweise und verwende
k·(k−1) = 1 − n .
k=2
6P
Insgesamt: 24 P
Frohe Weihnachten und einen guten Rutsch ins neue Jahr