Ubungen zur Linearen Algebra 1 — Blatt 8
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Übungen zur Linearen Algebra 1 — Blatt 8
Prof. Dr. K. Wingberg, Dr. D. Vogel
Dr. A. Maurischat, Dr. D. Izychev
Wintersemester 2012/13,
Abgabe: Di 18.12.2012, 9.00 Uhr
28. Aufgabe: (3 Punkte) (Basis zur Normalform finden)
Sei f : R3 → R2 , die lineare Abbildung f (x) = A · x, wobei A =
1
1
2
3
−1
. Finden Sie Basen
0
B von R3 und C von R2 so, dass
cB
C (f )
=
1
0
0
1
0
.
0
Bemerkung: Der Beweis von Satz 3.8(ii) zeigt, wie man solche Basen finden kann.
29. Aufgabe: (5 Punkte) (Koordinatenmatrix zu anderen Basen)
Seien
1
2
0
v1 = 0 , v2 = −1 , v3 = 2
0
1
−1
Vektoren im Q3 .
(a) Zeigen Sie, dass B := (v1 , v2 , v3 ) eine Basis des Q3 ist, und bestimmen Sie die Übergangsmatrix T von der kanonischen Basis in die Basis B und die Übergangsmatrix S von B in
die kanonische Basis.
(b) Sei φ : Q3 → Q3 die lineare Abbildung, die durch φ(v1 ) = v1 , φ(v2 ) = −v2 und φ(v3 ) = −v3
gegeben ist.
Bestimmen Sie A ∈ M3 (Q) so, dass φ(x) = A · x gilt.
(c) Sei A die Matrix aus Teil (b). Berechnen Sie
A5 = A
· · A} .
| ·{z
5-mal
30. Aufgabe: (3 Punkte) (Beispiel einer Äquivalenzrelation)
Auf der Menge N × N definieren wir
(a1 , a2 ) ∼ (b1 , b2 ) :⇔ a1 + a2 = b1 + b2
für (a1 , a2 ) ∈ N × N, (b1 , b2 ) ∈ N × N.
(a) Zeigen Sie, dass ∼ eine Äquivalenzrelation ist.
(b) Bestimmen Sie die Äquivalenzklassen von (1, 1) und (3, 3).
– bitte wenden –
31. Aufgabe: (7 Punkte) (Äquivalenzrelation entspricht Zerlegung der Menge)
Es seien eine nichtleere Menge M , eine nichtleere
S Menge I und für jedes i ∈ I eine nichtleere
Teilmenge Mi ⊆ M gegeben, derart dass Mi 6⊂ j∈I Mj für alle i ∈ I gilt. Für a, b ∈ M definieren
j6=i
wir
a ∼ b :⇐⇒ ∃ i ∈ I mit a ∈ Mi und b ∈ Mi .
Zeigen Sie:
(a) ∼ ist genau dann reflexiv (d.h. für alle a ∈ M gilt a ∼ a), wenn M =
S
i∈I
Mi gilt.
(b) ∼ ist symmetrisch (d.h. für a, b ∈ M gilt: a ∼ b ⇒ b ∼ a).
(c) ∼ ist genau dann transitiv (d.h. für a, b, c ∈ M gilt: a ∼ b und b ∼ c ⇒ a ∼ c), wenn
Mi ∩ Mj = ∅ für alle i 6= j ∈ I gilt.
(d) Ist ∼ eine Äquivalenzrelation, so ist M die disjunkte Vereinigung aller Mi und die Mi sind
genau die Äquivalenzklassen in M .
Achtung: Man kann sich ab jetzt und spätestens bis Sonntag, den 20. Januar 2013,
24 Uhr zur ersten Klausur anmelden. Die Anmeldung läuft natürlich unter Vorbehalt
der Zulassung. Nur wer zur ersten Klausur angemeldet und zugelassen ist, kann an
der ersten Klausur teilnehmen.
Die Anmeldung zur zweiten Klausur ist möglich in der Zeit vom 4. Februar 2013
bis 24. Februar 2013, 24 Uhr.
Die Übungsblätter sowie weitere Informationen zur Vorlesung Lineare Algebra 1 finden Sie unter
http://www.iwr.uni-heidelberg.de/~Andreas.Maurischat/la1-ws2012