Vorlesung 04 - Mathematische Grundlagen II

Vorlesung Gesamtbanksteuerung
Mathematische Grundlagen II
Dr. Klaus Lukas
Carsten Neundorf
Vorlesung 04 – Mathematische Grundlagen II, 11.05.2009
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• Was sollen Sie heute lernen?
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Agenda
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Wiederholung stetige Renditen
deskriptive Statistik
Verteilungsparameter
Erwartsungswert und Varianz
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Konvidenzniveau
Testfunktion
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Stetige Rendite
Sind Ss und St zwei Kurswerte eines Wertpapiers oder auch
Indexes, so ergibt sich die stetige Rendite als natürlicher
Logarithmus des Zuwachsverhältnisses:
St
rs ,t = ln = ln St − ln S s
Ss
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Die Datenreihen
Im Verlaufe der Vorlesung sollen die eingeführten
Konzepte jeweils auch auf Echtdaten angewandt
werden.
Hierfür betrachten wir folgende Indizes:
Rentenindex REX
Aktienindex DAX
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Agenda
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Wiederholung stetige Renditen
deskriptive Statistik
Verteilungsparameter
Erwartsungswert und Varianz
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Konvidenzniveau
Testfunktion
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Ziele der deskriptiven Statistik
Die deskriptive Statistik zielt darauf ab, eine
unüberschaubare Datenmenge durch möglichst wenige
jedoch noch aussagekräftige Zahlen zu
charakterisieren. Im Extremfall mittels lediglich einer
Zahl.
Weiterhin bietet es sich an, die Daten erstmal graphisch
darzustellen.
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-0,1
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Jan 09
Jan 08
-0,2
-0,3
-0,4
0,3
0,2
0,1
0
-0,2
-0,3
8
Jan 09
Jan 08
Jan 07
Jan 06
Jan 05
Jan 04
Jan 03
Jan 02
Jan 01
Jan 00
Jan 99
Jan 98
Jan 97
Jan 96
Jan 95
Jan 94
-0,1
Jan 07
Renditen Renten
Jan 06
Jan 05
Jan 04
Jan 03
Jan 02
Jan 01
Jan 00
Jan 99
Jan 98
Jan 97
Jan 96
Jan 95
Jan 94
Graphische Zeitreihenanalyse
Renditen Aktien
0,3
0,2
0,1
0
Grundbegriffe der Statistik
• Grundgesamtheit G
• Merkmale X
•stetige und diskrete Merkmale
•Stichprobe und Umfang der Stichprobe n
•Ausprägungen des Merkmales x
•absolute und relative Häufigkeit
•Häufigkeitsfunktion h(x)
•Verteilungsfunktion F(x)
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Häufigkeitsverteilung
Renditeverteilung Aktien und Renten
90
80
70
60
50
40
30
20
10
Häufigkeitsverteilung Aktienrenditen
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7,
0%
10
,0
%
13
,0
%
16
,0
%
19
,0
%
-2
9,
0%
-2
6,
0%
-2
3,
0%
-2
0,
0%
-1
7,
0%
-1
4,
0%
-1
1,
0%
-8
,0
%
-5
,0
%
-2
,0
%
1,
0%
4,
0%
0
Häufigkeitsverteilung Renten
10
Agenda
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•
Wiederholung stetige Renditen
deskriptive Statistik
Verteilungsparameter
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Konvidenzniveau
Testfunktion
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Lageparameter
Der bekannteste Lageparameter ist der
Durchschnittswert oder auch das arithmetische Mittel
1 n
x = * ∑ xi
n i =1
Da jedem Merkmalswert das Gewicht 1/n zugeordnet
wird, kann es vorkommen, dass der Mittelwert mit
keinem beobachteten Wert übereinstimmt.
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Lageparameter
Ein weiterer Lageparameter, der auch in den
Beobachtungswerten enthalten ist, ist der Median.
Er ist durch die Eigenschaft definiert, dass mindestens
50% aller Werte kleiner oder gleich sind und
mindestens 50% aller Werte auch größer oder gleich
sind.
Um den Median zu ermitteln, müssen zuerst alle
Ausprägungen der Grösse nach sortiert werden.
Anschließend errechnet sich der Median wie folgt:
x Med = x  n 
 2  +1
 
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Lageparameter
Will man nicht den „mittleren“ Wert haben, sondern
den p-größten, so kann man die Formel wie folgt
abwandeln:
q p = x  p*n +1
Dies wird das p-Quantil genannt. p ist hierbei immer als
%-Zahl anzusehen.
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Streuungsparameter
Unser Ziel ist es, mit möglichst wenigen Kennzahlen
eine große Datenmenge zu beschreiben.
Am Beispiel der Renditeverteilung der Aktien und der
Renten sehen wir aber, dass der Mittelwert die Daten
nicht ausreichend beschreibt, da er für beide
Datenreihen nahezu identisch bei 0,2% liegt, aber die
größten und kleinsten Werte der Aktien deutlich mehr
von der Mitte abweichen als die Werte der Renten.
Deshalb wird nun ein Maß für die „Streuung“
eingeführt.
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Streuungsparameter
Ein mögliches Maß für diese Streuung ist die mittlere
quadratische Abweichung s2, auch empirische Varianz
bezeichnet. Als Formel ausgedrückt.
n
1
s 2 = ∑ ( xi − x ) 2
n i =1
Hieraus wird dann die Standardabweichung s abgeleitet,
indem aus s2 die Wurzel gezogen wird.
s = s2 =
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1 n
2
(
x
−
x
)
∑ i
n i =1
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Variationskoeffizient
Führt man die beiden Kennzahlen Standardabweichung
und Mittelwert zusammen, so erhält man den
sogenannten Variationskoeffizient V.
s
V =
x
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Agenda
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Wiederholung stetige Renditen
deskriptive Statistik
Verteilungsparameter
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Konvidenzniveau
Testfunktion
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Wahrscheinlichkeit und Zufallsereignis
Bisher haben wir untersucht, wie man gegebene
Datenmenge mit wenigen Kennzahlen möglichst
einfach beschreiben kann.
Ein weiterer Aspekt der Stochastik ist die Beantwortung
der Frage, welche Ergebnisse sind in der Zukunft
möglich und wie wahrscheinlich sind sie.
Damit haben wir schon einen wesentlichen Begriff
unbewusst verwendet, die Wahrscheinlichkeit.
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Wahrscheinlichkeit und Zufallsereignis
Die Wahrscheinlichkeit mathematisch exakt zu
definieren, ist nicht ganz einfach. Dazu müssen erst
noch zwei weitere Begriffe eingeführt werden.
Als Zufallsvorgang wird ein Geschehen bezeichnet, bei
dem aus einer gegebenen Situation heraus mehrere sich
gegenseitig ausschließende Folgesituationen möglich
sind und es unsicher ist, welche eintritt.
Alle möglichen Folgesituationen werden als
Ergebnismenge bezeichnet, eine konkrete Folgesituation
als Elementarereignis.
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Wahrscheinlichkeit und Zufallsereignis
Mit der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A, kurz
p(A), wollen wir die Chance für das Eintreten des
Ereignisses beschreiben.
Mathematisch muss gelten:
1.
p ( A) ≥ 0 für jedes Ereignis A
2.
p ( sicheres Ereignis ) = 1
3.
p ( A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ) = p ( A1 ) + p ( A2 ) + p ( A3 ) + 
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Wahrscheinlichkeit und Zufallsereignis
Wir definieren
p ( A) =
Anzahl der für A günstigen Fälle
Anzahl aller mögllichen Fälle
und als Gegenwahrscheinlichkeit q(A)
q ( A) = 1 − p ( A)
die Wahrscheinlichkeit, dass A nicht eintritt.
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diskrete Zufallsvariable
Ordnet man den Ergebnissen eines Zufallsvorgangs
Zahlen (Realisationen) zu, so erhält man eine
Zufallsvariable.
Ein Beispiel: zweimal Würfel. Die möglichen
Ergebnisse bestehen aus den 36 Zahlenpaaren ω=(i,j),
1≤i,j≤6. Für die Variable X=„Summe der Augenzahlen“
erhält man zu jedem Ergebnis (i,j) den Wert x=i+j. X
wird dann zu einer Zufallsvariable mit der
Ergebnismenge {2,3,…,12}.
Es interessieren dann Ergebnisse wie
{X=4}=„Die Augenzahl ist 4“
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diskrete Zufallsvariable
Dies lässt sich durch die ursprünglichen Ergebnisse (i,j)
ausdrücken. Es gilt
{X=4}={(1,3),(2,2),(3,1)}
Um die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses zu
berechnen, führt man dies auch wieder auf die
ursprünglichen Ergebnisse zurück.
P( X = 4) = P(1,3) + P(2,2) + P(3,1) =
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3
1
=
36 12
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Diskrete Zufallsvariable
Eine Zufallsvariable X heißt diskret, falls sie nur
endlich oder abzählbar unendlich viele Werte x1,x2,
…,xk,… annehmen kann. Die
Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ist gegeben durch
die Wahrscheinlichkeiten:
P ( X = xi ) = p i , i = 1,2,  , k ,
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Wahrscheinlichkeitsfunktion
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) einer diskreten
Zufallsvariablen X ist für x∈ℜ definiert als
 P( X = xi ) = pi
f ( x) = 
0,

x = xi ∈ {x1 , x2 ,  , xk , }
sonst
Durch die Wahrscheinlichkeitsverteilung bzw. –funktion
ist auch die Verteilungsfunktion F(x)=P(X≤x) gegeben.
F ( x) = P( X ≤ x) =
∑ f (x )
i:xi ≤ x
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i
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Lageparameter diskreter Zufallsvariablen
Ebenso, wie bei der Analyse von Kennzahlen, können
auch für diskrete Zufallsvariable Erwartungswert,
Varianz und Standardabweichung berechnet werden.
Der Erwartungswert errechnet sich mit Hilfe der
Wahrscheinlichkeitsverteilung wie folgt:
E ( X ) = x1 p1 +  + xk pk +  = ∑ xi pi
i ≥1
und mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x)
E ( X ) = x1 f ( x1 ) +  + xk f ( xk ) +  = ∑ xi f ( xi )
i ≥1
Statt E(X) findet auch das Symbol µ Verwendung.
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Lageparameter diskreter Zufallsvariablen
Die Varianz einer diskreten Zufallsvariable ist
σ 2 = Var ( X ) = ( x1 − µ ) 2 p1 +  + ( xk − µ ) 2 pk + 
= ∑ ( xi − µ ) 2 f ( xi )
i ≥1
Die Standardabweichung ist
σ = Var ( X )
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Lageparameter diskreter Zufallsvariablen
Erwartungswert
18,00%
eine Standardabweichung
16,00%
14,00%
12,00%
10,00%
8,00%
6,00%
4,00%
2,00%
0,00%
2
3
4
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5
6
7
8
9
10
11
12
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Agenda
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•
•
Wiederholung stetige Renditen
deskriptive Statistik
Verteilungsparameter
Diskrete Zufallsvariablen
Stetige Zufallsvariablen
Testfunktion
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stetige Zufallsvariablen
50,00%
45,00%
40,00%
35,00%
30,00%
25,00%
20,00%
15,00%
10,00%
5,00%
0,00%
-5,0%
-4,0%
-3,0%
-2,0%
-1,0%
0,0%
1,0%
2,0%
Häufigkeitsverteilung Renten
3,0%
4,0%
5,0%
In den bisherigen Untersuchungen haben
Zufallsvariablen untersucht, die eine feste Zahl von
Wahrscheinlichkeiten haben. Die Wahrscheinlichkeit,
dass ein Ereignis zwischen zwei Werten liegt, kann man
dann an der Fläche der Balken ablesen. Teilt man die
Balken feiner ein, kann man das immer noch an der
Fläche der Balken ablesen.
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stetige Zufallsvariablen
18,00%
16,00%
14,00%
12,00%
10,00%
8,00%
6,00%
4,00%
2,00%
-5
,0
0%
-4
,5
0%
-4
,0
0
-3 %
,5
0%
-3
,0
0
-2 %
,5
0%
-2
,0
0
-1 %
,5
0%
-1
,0
0
-0 %
,5
0%
0,
00
%
0,
50
%
1,
00
%
1,
50
%
2,
00
%
2,
50
%
3,
00
%
3,
50
%
4,
00
%
4,
50
%
5,
00
%
0,00%
Führt man diesen Prozess fort und lässt die Breite
immer mehr gegen null gehen, so nähert sich die Fläche
dem Integral unter der Funktion an.
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stetige Zufallsvariablen
Diese Überlegungen führen zur folgenden Definition
von stetigen Zufallsvariablen, wobei gleichzeitg die
Dichtefunktion f(x) definiert wird:
Eine Zufallsvariable X heißt stetig, wenn es eine
Funktion f(x)≥0 gibt, so dass für jedes Intervall [a,b]
b
P(a ≤ X ≤ b) = ∫ f ( x) dx
a
gilt. Die Funktion f(x) heißt Wahrscheinlichkeitsdichte
von X oder einfach nur Dichte.
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stetige Zufallsvariablen
Noch ein paar Eigenschaften:
P ( a ≤ X ≤ b) = P (a < X ≤ b) = P ( a ≤ X < b) = P (a < X < b)
und
P ( X = x) = 0 für alle x ∈ ℜ
∞
∫ f ( x)dx = 1
−∞
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stetige Zufallsvariablen
Aus der Definition von Dichten erhält man für die
Verteilungsfunktion F(x)=P(X≤x)=P(-∞<X ≤x)
x
F ( x) = P( X ≤ x) =
∫ f (t )dt
−∞
d.h. F(x) ist die Stammfunktion der Dichte.
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Lageparameter stetiger Zufallsvariablen
Der Erwartungswert E(X) einer stetigen Zufallsvariable
X mit Dichte f(x) ist
µ = E( X ) =
∞
∫ xf ( x) dx
−∞
Die Varianz Var(X) einer stetigen Zufallsvariable X mit
Dichte f(x) ist
∞
σ 2 = Var ( X ) = ∫ ( x − µ ) 2 f ( x) dx.
−∞
σ = Var ( X )
wird Standardabweichung genannt.
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Median und Quantile
Für 0<p<1 ist das p-Quantil xp die Zahl auf der xAchse, für die
F(xp)=p
gilt. Der Median xmed ist das 50%-Quantil, es gilt als
F(xmed)=1/2.
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Die Normalverteilung
Eine Zufallsvariable X heißt normalverteilt mit
Parametern µ∈ℜ und σ2>0, kurz X∼N(µ, σ2), wenn sie
die Dichte
f ( x) =
 (x − µ)2
exp −
2σ 2
2πσ

1

 , x ∈ ℜ

besitzt. Es gilt
Var(X)=σ2
E(X)=µ,
Speziell für µ=0, σ2=1 erhält man die
Standardnormalverteilung N(0,1) mit der Dichte
f ( x) =
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 1 
exp − x 2 
2π
 2 
1
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Die Normalverteilung
Welche Eigenschaften hat diese Verteilung?
1. Sie ist symmetrisch zu µ, d.h. es gilt
f(µ-x)=f(µ+x)
2. Die Normalvertielung hat Glockenform mit dem
Maximum an der Stelle µ und den Wendepunkten bei
µ±σ.
3. Je größer σ, desto schneller fällt die Kurve gegen 0.
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39
Die Normalverteilung
Die Verteilungsfunktion lässt sich nicht analytisch
berechnen und durch bekannte Funktionen in
geschlossener Form schreiben. Deshalb muss F(x) durch
numerische Verfahren berechnet werden. Entsprechende
Tabellen sind in den Kalkulationsprogrammen
enthalten.
Wichtige Quantile für Standardnormalverteilung sind
ebenfalls in den Programmen vorberechnet und in
Tabellen hinterlegt.
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40
Die Normalverteilung
Zentrale Schwankungsintervalle
Für k=1 ist P(µ-σ≤X ≤ µ+σ)=68,27%
Für k=2 ist P(µ-2σ≤X ≤ µ+2σ)=95,45%
Für k=3 ist P(µ-3σ≤X ≤ µ+3σ)=99,73%
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