Übungen zur Stochastik

MATHEMATISCHES INSTITUT
DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN
SoSe 2013
Übungen zur Stochastik
Prof. Dr. P. Pickl
Blatt 7
Aufgabe 1
Eine Nadel der Länge 5 wird der Länge nach zufällig auf eine Strecke der Länge 100 gelegt.
Zufällig soll bedeuten, dass die Nadelmitte uniform auf der Strecke verteilt ist.
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Nadel einen gegebenen Punkt P auf der
Strecke überdeckt?
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Nadel an einem Ende der Strecke übersteht?
(c) Präzisieren Sie den hier verwendeten Wahrscheinlichkeitsraum, indem Sie einen Ergebnisraum Ω, eine σ-Algebra A und ein Wahrscheinlichkeitsmaß P angeben.
Aufgabe 2
Es seien X1 und X2 unabhängige Zufallsvariablen mit stetigen Dichten ρ1 und ρ2 .
(a) Zeigen Sie, dass die Dichte von Y = X1 +X2 gegeben
R ∞ ist durch die Faltung der beiden
ursprünglichen Dichten: ρ(x) = (ρ1 ∗ ρ2 )(x) = −∞ ρ1 (x − y)ρ2 (y) dy.
Hinweis: Begründen Sie, dass sich die Verteilungsfunktion schreiben lässt als
Z
F (x) = P (Y = X1 + X2 ≤ x) =
χ{ y+z≤x} (y, z) ρ1 (y) ρ2 (z) dy dz ,
R2
wobei die Indikatorfunktion χA (x) auf dem letzten Blatt definiert wurde (dass nun
das Argument zweidimensional ist, macht keinen Unterschied).
(b) Berechnen Sie die Dichte für den Fall ρ1 (x) = e−x und ρ2 (x) = αe−αx , wobei α > 0
und ρ1 und ρ2 auf [0, ∞) definiert sind.
Aufgabe 3
Um den Formalismus kontinuierlicher Wahrscheinlichkeitsräume auch für diskrete Fälle
in einheitlicher Integral-Notation anwenden zu können, kann man eine Dichte über das
Punktmaß ρa (x) dx = δ(x − a) dx definieren, wobei die Deltafunktion definiert ist durch
(
Z
f (a) falls a ∈ B
f (x)δ(x − a) dx =
0
sonst
B
für alle unendlich oft differenzierbaren Funktionen (Testfunktionen) f ∈ C ∞ (R).
(a) Zeigen Sie, dass die Verteilungsfunktion zur Dichte ρa (x), gegeben ist durch die
Indikatorfunktion F (x) = χ[a,∞) (x).
(b) Zeigen Sie umgekehrt, dass die Deltafunktion tatsächlich auch die Dichte der Indikatorfunktion ist, wenn wir die Ableitung der Indikatorfunktion folgendermaßen
definieren (die sogenannte schwache Ableitung):
Für alle unendlich oft differenzierbaren (Test-)Funktionen mit kompaktem Träger
f ∈ C0∞ (d.h. der Träger supp(f ) := {x ∈ R | f (x) 6= 0} ist eine kompakte Menge,
insbesondere gilt lim f (x) = 0), ist die Ableitung der Indikatorfunktion definiert
x→±∞
durch partielle Integration des Integrals
Z ∞
f (x) (χ[a,∞) (x))0 dx
−∞
Bemerkung: Mithilfe von Indikator- und Deltafunktionen und der schwachen Ableitung
können ganz allgemein unstetige Verteilungsfunktionen durch (verallgemeinerte) Dichten
beschrieben werden, wobei der zugehörige Wahrscheinlichkeitsraum gleichzeitig diskrete
und kontinuierliche Anteile haben kann. Man kann zeigen, dass die schwache Ableitung
eindeutig ist und einige schöne weitere Eigenschaften hat, die man von der normalen (starken) Ableitung kennt.
Bei der Deltafunktion handelt es sich eigentlich um keine Funktion sondern um eine stetige, lineare Abbildung vom Raum der Testfunktionen C ∞ (R) in die reellen Zahlen, eine
sogenannte Distribution.
Abgabe: Montag, 10.6.2013 , 12 Uhr.