Grundlagen der Analysis ¨Ubungsblatt 2

UNIVERSITÄT KOBLENZ LANDAU
INSTITUT FÜR MATHEMATIK
Dr. Dominik Faas
Grundlagen der Analysis
Sommersemester 2010
Übungsblatt 2
Aufgabe 2 (vorbereitend zur Vorlesung am 22.04.2010)
(2+4=6 Punkte)
√
√
(a) Wie kann man Strecken der Länge 2 und 3 konstruieren (wenn eine Strecke der
√
√
Länge 1 gegeben ist) ? Begründen Sie, dass 2 und 3 nicht rational sind.
(b) Wir betrachten die Menge A = x ∈ R; x3 − 4x < 2 .
(i) Zeigen Sie, dass die Zahl 3 größer als jedes Element der Menge A ist.
(Hinweis: Nehmen Sie an, dass 3 ≤ x ist und folgern Sie daraus, dass x ∈
/ A ist.)
(ii) Kann man die Aussage in (i) noch ’verschärfen’, indem man die Zahl 3 durch eine
etwas kleinere Zahl C ersetzt ? Finden Sie eine solche Zahl C und überlegen Sie
sich, ob man diese noch weiter verkleinern könnte. Stellen Sie eine Vermutung
darüber an, ob es eine kleinstmögliche Zahl C gibt, mit der es funktioniert.
(iii) Zeichnen (oder plotten) Sie den Graphen der Funktion mit der Funktionsgleichung f (x) = x3 − 4x und zeichnen Sie die Menge A auf der x-Achse ein. Bringt
Ihnen dies neue Erkenntnisse bezüglich Ihrer Vermutung in (ii).
(iv) Gibt es eine Zahl c, die kleiner ist als jedes Element von A ?
Aufgabe 3 (vorbereitend zur Vorlesung am 26.04.2010)
(1+2+1+2=6 Punkte)
10
(a) Für n ∈ N sei xn = n2n . In der Nähe welcher Zahl liegt xn , wenn n sehr groß ist ?
Begründen Sie kurz Ihre Antwort (kein Beweis).
(b) Geben Sie eine Definition dafür, dass eine Folge (xn )n∈N reller Zahlen
-) gegen eine Zahl x ∈ R konvergiert.
-) gegen +∞ konvergiert.
(c) Geben Sie jeweils eine nichtkonstante Folge an, die gegen 0, − 53 , , +∞ konvergiert.
(d) Angenommen (an )n∈N
gegen a und (bn )n∈N gegen b. Was können Sie über
konvergiert
an
die Konvergenz von bn
sagen, wenn
n∈N
-) a = 6 und b = −2 ?
-) a = 1 und b = −∞ ?
-) a = ∞ und b = ∞ ?
-) a = 2 und b = 0 ?
Aufgabe 4 (Übungsaufgabe, Abgabe in der Vorlesung am 26.04.2010) (2+2=4 Punkte)
(a) Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke kürzer mit Summen- und Produktzeichen und
berechnen Sie sie mit Hilfe der Formeln aus der Vorlesung:
(i) (−4) + (−1) + 2 + 5 + 8 + . . . + 38 + 41
(ii) 1 + 2 + 4 + . . . + 2n−1 + 2n
(iii)
3
4
8
9
15
16
24
25
360
361
(n ∈ N)
399
400
·
·
·
· ... ·
·
(Hinweis: Faktorisieren Sie den Zähler, zerlegen Sie dann das Produkt und führen
Sie geeignete Indexverschiebungen durch.)
(b) Gesucht wird eine Formel für die Summe
n
P
k 2 der ersten n Quadratzahlen (n ∈ N).
k=1
Gehen Sie wie folgt vor:
Berechnen Sie den Ausdruck
n
P
(k + 1)3 −
n
P
k 3 auf zwei verschiedene Arten:
k=1
k=1
1.) Führen Sie eine Indexverschiebung durch, nach der sich die beiden Summen zum
Großteil aufheben.
2.) Multiplizieren Sie die Klammer aus und fassen sie zusammen.
Schreiben Sie beide Ergebnisse in eine Gleichung und lösen Sie diese nach
n
P
k 2 auf.
k=1
Benutzen Sie dann die Gaußsche Summenformel aus der Vorlesung, um ein Ergebnis
zu erhalten, in dem keine Summen mehr vorkommen.
Aufgabe 5 (Übungsaufgabe, Abgabe in der Vorlesung am 26.04.2010) (3+3=6 Punkte)
(a) Lösen Sie die folgenden (Un)-Gleichungen:
(i) |3x + 1| < 4,
(ii) |x| ≥ 2x − 3,
(iii) |x − 2| = x − 3,
(iv) |x| + 5 > |3x − 4|
(b) Beweisen Sie die folgenden Aussagen mit vollständiger Induktion:
(i) ∀n ∈ N∗ :
(ii) ∀n ≥ 2 :
(iii) ∀n ≥ n0
n
P
k · k! = (n + 1)! − 1
k=1
n
Q
k=2
: 2n
1−
1
k
> n2
=
1
n
(n0 ist zu bestimmen)
Aufgabe 6 (Zusatzaufgabe, Abgabe in der Vorlesung am 26.04.2010) (3∗ +2∗ =5∗ Punkte)
(a) Beweisen Sie die Formel
n
k
=
n
n−k
(n ∈ N, k ∈ {0, . . . , n}) aus der Vorlesung
• mittels Argumentation über Teilmengen.
• durch Nachrechnen mit der Definition
(b) Benutzen Sie den Binomischen Lehrsatz, um (1.01)6 und (0.9)4 ohne technische Hilfsmittel exakt zu berechnen.
Diese Übungsblätter finden sie auch unter
http://www.uni-koblenz-landau.de/landau/fb7/mathematik/team/dominik-faas/material