Physik, Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik

Elektrizitätslehre und Magnetismus
Othmar Marti | 12. 06. 2008 | Institut für Experimentelle Physik
Physik, Wirtschaftsphysik und
Lehramt Physik
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Homogene Stromverteilung
Magnetfeld einer homogenen Stromverteilung in einer dünnen Platte.
Links: die Geometrie zur Berechnung, Mitte: das Magnetfeld eines
homogenen Stromflusses und Rechts: das Magnetfeld zweier
antiparallel von Strom durchflossener Platten.
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Homogene Stromverteilung
I(∆y )
.
∆y →0 ∆y
Wir definieren eine lineare Stromdichte j = lim
Das
Stromfeld können wir uns als Parallelschaltung vieler linearer
Leiter vorstellen. Aus dem Superpositionsprinzip folgt, dass in
der z-Richtung
Bz ≡ 0
Das resultierende Feld dieser Superposition muss in der
xy -Ebene liegen. Auf den beiden Seiten senkrecht zur Platte
finden sich immer zwei Stromfäden, die die x-Komponente
kompensieren. Wenn wir später das Ampèresche Gesetz auf
diese beiden Seiten anwenden, gibt es keine Komponente von
B parallel zur Seite: dieser Teil des Linienintegrals ist null.
Wir betrachten weiter die Komponenten Bx (x) und By (x) des
Feldes B im Abstand x von der Platte.
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Homogene Stromverteilung
Wir werden zwei Symmetrieoperationen an:
I Wir drehen die Platte um π um die z-Achse. Die neue
Situation (Ströme) ist identisch mit der Ursprungssituation.
Deshalb muss
B(x) = −B(−x)
I
sein.
Wir drehen die Platte um π um die y -Achse und drehen
gleichzeitig die Flussrichtung des Stromes um j → −j. Die
Endsituation ist ununterscheidbar von der am Anfang. Also
gilt auch
Bx (−x) = Bx (x)
und
By (−x) = −By (x)
.
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Homogene Stromverteilung
Mit den beiden Symmetrieüberlegungen folgt:
Bx (x) ≡ 0
Um B y zu bestimmen, nehmen wir an, dass unser
Integrationspfad S symmetrisch bezüglich der Platte ist. Das
Ampèresche Gesetz sagt
I
ZZ
B · ds = 2By (x) · b + 2 · 0 = µ0
ida = µ0 · j · b
s
A(s)
Das Resultat ist unabhängig von x und homogen im Raum. Die
Magnetfeldlinien sind parallel zur Platte und links und rechts
antiparallel (siehe Abbildung 2, Mitte).
µ0
By =
j
2
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Homogene Stromverteilung
Bei zwei antiparallel von Strom durchflossenen Platten ist das
Magnetfeld auf den Raum zwischen den Platten beschränkt.
B = µ0 j
Anwendungsbeispiele: Streifenleiter, Koaxialkabel, Modell für
eine Spule
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Quellenfreiheit der magnetischen Induktion
Integrationsfläche zur Analyse der Quellenfreiheit des Magnetfeldes
ZZ
B · da = 0
A
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Quellenfreiheit der magnetischen Induktion
Integration über die Mantelfläche.
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Ampèresches Durchflutungsgesetz
Quellenfreiheit des Magnetfeldes
ZZ
ZZZ
0=
B · da =
divB dV
A
V (A)
oder in differentieller Form
divB = 0
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Vektorpotential
In diesem Abschnitt wollen wir die Frage lösen: wie konstruiere
ich eine magnetische Induktion B möglichst bequem? Das
Rezept stammt aus der Elektrizitätslehre. Dort wurde gezeigt,
dass aus einem beliebigen Potential U(r) durch
E(r) = − gradU(r )
eindeutig ein elektrisches Feld E(r) konstruiert werden kann,
das dem Gesetz der Elektrostatik
rotE(r) = 0
genügt. Grundlage war die Vektoridentität
rot ( gradF(r )) ≡ 0
die für beliebige Funktionen F(r ) gilt.
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Vektorpotential
Es gibt unter den Rechneregeln für Vektorableitungen eine
weiter Identität mit dem Nullvektor.
div ( rotF) = 0
∀F
Jedes Magnetfeld muss das Ampèresche Gesetz rotB = µ0 i
und die Quellenfreiheit divB = 0 erfüllen. Analog zur
Poissongleichung soll auch für das Magnetfeld eine
Potentialgleichung gelten. Wir müssen also ein beliebiges
Vektorfeld A wählen und die magnetische Induktion B gleich
der Rotation von A setzten: dann ist die Divergenzfreiheit von B
gewährleistet. Mit dem Vektorpotential A
B (x; y ; z) = rotA (x; y ; z)
werden beide Gleichungen erfüllt.
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Vektorpotential
Wegen der Vektoridentität
div ( rotA) = 0
ist die Quellenfreiheit bei beliebiger Wahl von A garantiert. Mit
der zweiten Vektoridentität rot ( rotA) = grad ( divA) − ∆A
bekommen wir aus dem Ampèrschen Gesetz
∆A − grad ( divA) = −µ0 i
Das Vektorpotential A kann immer so gewählt werden, dass
divA = 0 gilt.
Das Vektorpotential ist nicht eindeutig bestimmt. Nehmen wir
an, dass ein Vektorpotential mit divA = f 6= 0 existiert.
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Vektorpotential
Dann existiert auch ein Vektorfeld V = gradφ mit
divV
= f
rotV
= 0
mit einer eindeutigen Lösung, denn die obigen Gleichungen
sind formal äquivalent zur Elektrostatik . Wir definieren ein
Vektorpotential
A0 = A − V
Wegen Gleichung (??) gilt dann
rotA0 = rotA − rotV = rotA
Dies bedeutet, dass das neue Vektorpotential das gleiche
B-Feld erzeugt wie das ursprüngliche. Es gilt auch
divA0 = divA − divV = f − f = 0
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Vektorpotential
Zu jedem Vektorpotential A kann ein Vektorpotential A0
gefunden werden, so dass divA0 = 0 ist.
Das zu einer realen physikalischen Situation gehörende Vektorpotential A ist nicht eindeutig bestimmt. Die
Wahl eines der zur gleichen Lösung von B gehörenden
Potentiale nennt man Eichung
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Vektorpotential
In der Relativitätstheorie und in der Quantenmechanik
rechnet man bevorzugt mit dem Vektorpotential.
Aus der Gleichung für das Vektorpotential einer
Stromverteilung
∆A(x; y ; z) = −µ0 i(x; y , z)
kann man die Umkehrfunktion berechnen und erhält, analog
zur Elektrostatik,
ZZZ
µ0
i (r )
A (r) =
dV 0
4π
|r − r 0 |
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Vektorpotential
Wenn wir mit ρ = r − r 0 den Abstand von einem
Beobachtungspunkt r zu einem Punkt r 0 mit der Stromdichte
i(r 0 ) eines linearen Leiterstückes d` bezeichnen und ρ = r − r 0
setzen, ist der Beitrag zum magnetischen Feld
µ0 I d` × ρ
dB =
·
4π
ρ3
Durch Integration der Formel von Laplace oder des Gesetzes
von Biot-Savart bekommt man
I
µ0 I
d` × ρ
B(r) =
4π
ρ3
Leiter
Mit diesem Gesetz kann man das Magnetfeld einer beliebigen
Spule berechnen. Achtung: nur die integrale Form hat eine
physikalische Bedeutung! Die Formel von Laplace wird über
das Vektorpotential berechnet.
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Vektorpotential
Beispiel:
Wir hatten in Abbildung 2 gesehen, dass ein homogener Strom
in die +z-Richtung homogene magnetische Induktionen links
und rechts erzeugt. Die Magnetfelder haben die Form
−B0 , wenn x < 0;
By (x, y , z) =
B0 ,
wenn x > 0.
Für x = 0 ist By nicht definiert.
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Vektorpotential
10
5
0
−5
−10
−10
−5
0
5
10
Darstellung von B in einer (z = const)-Ebene. Die Strom-Ebene liegt
bei x = 0.
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Vektorpotential
Das dazugehörige Vektorpotential ist
Ax (x, y , z) = 0
Ay (x, y , z) = 0
B0 x,
für x < 0;
Az (x, y , z) =
−B0 x, für x > 0.
Wieder ist A für x = 0 nicht definiert. Aus B = rotA bekommt
man
Bx
=
∂Az
∂y
−
∂Ay
∂z
By
=
∂Ax
∂z
−
∂Az
∂x
Bz
=
∂Ay
∂x
−
∂Ax
∂y
=0
−B0 , für x < 0;
=
B0 ,
für x > 0.
=0
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Vektorpotential
0
−2
−4
Az
Seite 20
−6
−8
Vektorpotential
−10
−10
−5
0
5
10
x
z-Komponente des Vektorpotentials einer unendlichen Stromdichte
in z-Richtung in der (x = 0)-Ebene.
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Halleffekt
Hall-Effekt
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Bewegte Magnetfelder
Bewegte Magnetfelder und elektrische Felder.
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Transformation des transversalen elektrischen Feldes
Das elektrische Feld beider Platten im Bezugssystem S ist
Ez =
σ
0
wenn σ die Ladungsdichte in diesem Bezugssystem ist. Das
Magnetfeld ist
v0 · σ
Bx = µ0 · j = µ0 · σ · v0 =
0 · c 2
Die entsprechenden Felder im Bezugssystem S 0 müssen nun
berechnet werden. Auch in S 0 sind die Platten homogen geladen.
Also haben wir
σ0
Ez0 =
0
und
v 0 · σ0
Bx0 = 0 2
0 · c
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Transformation des transversalen elektrischen Feldes
Wir brauchen die Transformationsgesetze für σ 0 und v0
v00
=
σ0
=
σ0
=
v0 − v
1 − vc·v2 0
σ
γ0
σ0
γ00
wenn σ0 das Ruhesystem der Ladungen und γ0 = 1 −
Wir bekommen
s
0
1 − v02 /c 2
γ
σ0 = σ · 0 = σ
γ0
1 − v002 /c 2
v02
c2
−1/2
ist.
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Transformation des transversalen elektrischen Feldes
σ
0
=
v
u
u
1 − v02 /c 2
σu
!2
u
u
v0 −v
t1 −
/c 2
1−
=
v ·v0
c2
q
1 − v02 /c 2 1 −
σ r
1−
v ·v0
c2
v ·v0
c2
2
− (v0 − v )2 /c 2
q
1 − v02 /c 2 1 −
v ·v0
c2
=
σr
=
1 − 2 c 20 + c 4 0 − v02 /c 2 − v 2 /c 2 + 2vv0 /c 2
q
v ·v
1 − v02 /c 2 1 − c 20
σq
p
1 − v02 /v 2 · 1 − v 2 /c 2
v · v0
σ·γ· 1−
c2
=
v ·v
v 2 ·v 2
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Transformation des transversalen elektrischen Feldes
Mit
v00 =
v0 − v
1 − vc·v2 0
berechnet man
v00 · σ 0
v · v0 0
= σ·γ· 1−
v0
c2
v · v0 v0 − v
= σ·γ· 1−
c2
1 − vc·v2 0
= σγ (v0 − v )
Damit ist
Ez0 =
und
Bx0
σ0
=γ
0
v 0 · σ0
= 0 2 =γ
0 · c
σ
σv · v0
−
0
0 c 2
σ · v0
σ·v
−
0 c 2
0 c 2
= γ (Ez − v · Bx )
v
= γ Bx − 2 Ez
c
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Transformation des transversalen elektrischen Feldes
Damit sind die transversalen Felder Bx0 und Ez0 in S 0
Linearkombinationen der Felder Bx und Ez in S.
Die Transformationseigenschaften von Bz und Ex erhält man, indem
man die obige Anordnung um π/2 um die y -Achse dreht. Dann gehen
Ez
→ Ex
Bx
→
−Bz
über. Die Transformationsgleichungen sind dann
Ex0
Bz0
= γ (Ex + v · Bz )
v
= γ Bz + 2 Ex
c
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Transformation des longitudinalen elektrischen Feldes
Skizze zur Transformation eines longitudinale E-Feldes (links) und
des B-Feldes (rechts).
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Transformation des longitudinalen elektrischen Feldes
Die Transformation des longitudinalen E-Feldes ergibt sich aus
der Erkenntnis, dass transversal zur Geschwindigkeit keine
Längenkontraktion auftritt und dass das Elektrische Feld eines
Plattenkondensators, oder jeder anderen Anordnung von zwei
parallelen, homogenen Flächenladungen, nicht vom
Plattenabstand abhängt. Also ist
σ
Ey =
0
0
σ
Ey0 =
0
σ = σ0
Also ist auch
Ey0 = Ey
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Transformation des longitudinalen elektrischen Feldes
Die Transformationseigenschaften des Magnetfeldes können mit der in der obigen
Abbildung rechts angedeuteten Spule berechnet werden. Das Magnetfeld in der Spule
ist
I·N
By = µ0
L
wobei N die Anzahl Windungen und L die Länge der Spule ist. Wir machen dabei die
Annahme, dass die Spule sehr lang im Vergleich zum Durchmesser sei. Mit I = Q̇ ist
By = µ0
N dQ
L dt
Die Anzahl Windungen N und die Ladung sind relativistisch invariant. Das
transformierte Feld ist dann
N dQ
By0 = µ0 0 0
L dt
Mit der Längenkontraktion L0 = γL und der Zeitdilatation dt 0 = dt/γ folgt, dass sich die
relativistischen Effekte kompensieren und damit
By0 = By
ist.
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Lorentztransformation der Felder
Bei einerpBewegung in die y -Richtung mit v = (0; vy ; 0)
(γ = 1/ 1 − v 2 /c 2 ) werden die elektrischen und magnetischen Felder wie
Ex0 = γ (Ex + v · Bz )
Ey0
= Ey
Ez0 = γ (Ez − v · Bx )
Bx0 = γ Bx − cv2 Ez
By0
= By
0
Bz = γ Bz + cv2 Ex