¨Ubungen zur Vorlesung ”Wahrscheinlichkeitstheorie II”

Übungen zur Vorlesung
”Wahrscheinlichkeitstheorie II”
WS 2005/2006, Blatt 12
Abgabetermin: Freitag, 10.02.2006 in der Vorlesungspause.
Aufgabe 44
Für n ∈ IN sei Pn die Gleichverteilung auf { n1 , n2 , . . . , 1}, d.h. Pn ({ nk }) = n1 , für k = 1, . . . , n.
Existiert ein Wahrscheinlichkeitsmaß P derart, dass die Folge (Pn )n∈IN nach Verteilung gegen
P konvergiert? Bestimmen Sie P für den Fall einer positiven Antwort.
(3 Punkte)
Aufgabe 45
Beweisen Sie mit Hilfe charakteristischer Funktionen das Schwache Gesetz großer Zahlen. Sind
(Xn )n∈IN stochastisch unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen mit E|X1 | < ∞, so gilt
n
1X
Xi −→ EX
n i=1
in Verteilung.
Hinweis: Entwickeln Sie ϕXi .
(3 Punkte)
Aufgabe 46
(a) Man berechne die charakteristische Funktion der Poisson-Verteilung mit Parameter λ.
(b) Man zeige nun das Gesetz der kleinen Zahlen mit Hilfe charakteristischer Funktionen. Ist
(pn )n∈IN eine Folge in [0, 1] mit lim npn = λ > 0, so konvergiert die Binomialverteilung
n→∞
mit Parametern n und pn nach Verteilung gegen die Poissonverteilung mit Parameter λ.
(3 Punkte)
Aufgabe 47 (Zum Knobeln in den Ferien)
(1) Ein Würfel werde dreimal geworfen. Die Ergebnisse seien X1 , X2 , X3 . Man berechne
E(max(X1 , X2 , X3 )).
(2) Ein Würfel werde höchstens dreimal geworfen. Die Ergebnisse seien X1 , X2 , X3 . Man
bestimme eine Stoppzeit T ∗ , so dass
EXT ∗ = max EXT
T
gilt, wobei das Maximum auf der r.S. über alle Stoppzeiten läuft. Was ist EXT ∗ ?