Skript zur Vorlesung - Technische Universität Braunschweig

INSTITUT FÜR THEORETISCHE PHYSIK
Allgemeine Relativitätstheorie
Skriptum zur Vorlesung
überarbeitet
Sommersemester 2014
Prof. Dr. U. Motschmann
Dr. S. Simon
Dr. Yasuhito Narita
Dr. H. Kriegel
P. Meier, M. Sc.
Braunschweig, 2014
2
Das Skriptum ersetzt nicht die Vorlesung und kein Lehrbuch. Niedergelegt sind erklärender
Text nur in Stichpunkten und Formeln im Detail inclusive sehr vieler Zwischenrechnungen.
Das Skriptum soll den Studierenden helfen, sich in der Vorlesung auf die Erklärungen zu den
Ausgangspunkten, Ableitungen und Schlussfolgerungen zu konzentrieren und Entlastung beim
Abschreiben der mitunter detailreichen Gleichungen von der Tafel bringen. Die Studierenden
sollten das Skriptum zur Vorlesung vorliegen haben und die Erklärungen nach eigenem Bedarf
einfügen.
Uwe Motschmann
Satz: LATEX2ε
Wir danken allen, die an der Entstehung und Fehlersuche für dieses Skript mitgewirkt haben,
insbesondere Jochen Bandlow, Jörg Duhme, Hendrik Kriegel und Ulf Stolzenberg.
Braunschweig, 18. Juli 2014
U. Motschmann
3
4
Inhaltsverzeichnis
I
Physikalische Grundlagen der ART
9
1
Was ist ART ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2
Bezugssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3
Äquivalenz-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
II Mathematische Grundlagen
15
1
Bemerkung zur Historie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2
Krummlinige Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3
Metrischer Fundamentaltensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4
Tensoren im Riemannschen Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5
Kovariante Ableitung und Parallelverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6
Geodäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7
Geodäten in 2-d Polarkoordinaten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8
Kovariante Diﬀerentialoperatoren
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
9
Spezielle Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
10
Krümmungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
11
Bianchi - Identitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
12
Einbettung gekrümmter Räume in ﬂache Räume höherer Dimension . . . . . . 84
III Grundgesetze der Physik im Riemannschen Raum
87
1
Kovarianzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2
Punktmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5
INHALTSVERZEICHNIS
INHALTSVERZEICHNIS
3
Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4
Hydrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5
Einsteinsche Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
IV Schwarzschild-Lösung
107
1
Kugelsymmetrie in 4 Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2
Aufstellen der Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3
Lösung der Vakuum - Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4
Planetenbewegung und Periheldrehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5
Lichtablenkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6
Rotverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7
Physik am Schwarzschildradius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
V Gravitationswellen
139
1
Linearisierte Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2
Ebene Gravitationswellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3
Teilchen im Feld der Gravitationswelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4
Nachweis von Gravitationswellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
VI Innere Schwarzschild-Lösung
151
1
Aufstellen der Feldgleichungen und der Integrabilitätsbedingungen . . . . . . . 151
2
Lösung für inkompressible Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3
Übergangsbedingungen an die äußere Schwarzschild - Lösung . . . . . . . . . . 159
4
Massenobergrenze für stabile Sterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5
Zustandsgleichung und Sterntypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
VII Gravitationskollaps und schwarze Löcher
167
1
Kugelsymmetrischer Ansatz in Gauss-Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . 167
2
Inkohärente Materie als Sternenmaterial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3
Kollabierender Stern mit räumlich konstanter Dichte . . . . . . . . . . . . . . . 190
6
INHALTSVERZEICHNIS
INHALTSVERZEICHNIS
VIIIKosmologie
197
1
Kosmologisches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
2
Robertson-Walker-Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
3
Feldgleichungen für die Robertson-Walker-Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
4
Strahlungskosmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5
Friedman - Kosmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
6
Kosmologische Rotverschiebung und Hubble - Konstante . . . . . . . . . . . . . 217
7
Kritische Massendichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
8
Einﬂuss der kosmologischen Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
9
Massenparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
10
Helligkeits-Rotverschiebungs-Beziehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
11
Flachheitsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
7
Kapitel I
Physikalische Grundlagen der ART
1
Was ist ART ?
• Ausgangspunkt ist SRT, d.h. Gleichberechtigung aller Inertialsysteme
• Grenzen der SRT durch Schwerkraft,
Schwerkraft führt zur Beschleunigung von Massen und zerstört damit die Inertialsysteme
• Einbeziehung der Schwerkraft (Gravitation) führt auf die ART
• ART auch Einsteinsche Gravitationstheorie genannt
• Namensgebung „ART“ geht auf Einstein zurück, der die ausgezeichnete Rolle der Inertialsysteme beseitigen und eine Theorie ﬁnden wollte, die kein Bezugssystem vor einem
anderen auszeichnet.
Einsteinsche
Gravitationstheorie
Newtonsche
Gravitationstheorie
Geometrisierung der
Gravitation;
Kraft ist in Zeitintervall
und räumlichen Abstand
eingearbeitet
Kraft oder
Potential im Raum
Bemerkung:
Mit dem Begriﬀ der Kraft scheinen alle modernen Theorien ihre Nöte zu haben. In der Quantentheorie sind die „Kräfte“ ebenfalls abgeschaﬀt; sie gehen in Austausch-Wechselwirkungen
über. Austausch - WW werden durch Teilchen mit ganzzahligem Spin getragen:
• Elem. Kraft → Photonen (s=0)
• Schwache Kraft → Schwache Eichbosonen (s=1)
10
I. Physikalische Grundlagen der ART
• Starke Kraft → Gluonen (s=1)
• Gravitation → Gravitonen (s=2)
Massive Teilchen haben halbzahligen Spin.
2
Bezugssysteme
IS := Inertialsysteme
KS := Beliebige Bezugssysteme (i.a. beschleunigt, krummlinig, etc. )
Newtonsche Gravitationstheorie
• Galilei-kovariant, d.h. Newtonsche Gleichungen haben in allen IS bei Anwendung von
Galilei-Transformationen die gleiche Form
• in KS treten zusätzliche Trägheitskräfte auf: Corioliskraft, Zentrifugalkraft
• Raum und Zeit sind nach Newton absolut; „Beweis“ durch Eimerversuch: anfangs ruht
das Wasser im absoluten Raum (Oberﬂäche eben), dann rotiert es relativ dazu (Oberﬂäche gekrümmt)
• Problem : Warum sind alle IS gleichberechtigt?
Erwartung eines ausgezeichneten IS, das im absoluten Raum ruht!
Maxwellsche Gleichungen
• nicht Galilei-kovariant
• Lorentz-kovariant
• Raum und Zeit relativiert
• absolute Raum-Zeit ( = Minkowski-Raum), die die IS auszeichnet
• Oﬀener Punkt: Auszeichnung der IS bleibt unerklärt; gegenüber was sind IS nicht beschleunigt???
• Unbefriedigender Punkt:
Raum-Zeit der IS wirkt auf die Bewegung von Körpern, aber diese wirken nicht zurück
• Bemerkung:
Maxwell beanspruchte die Gültigkeit seiner Gleichungen nur für dasjenige IS, das im
Äther (lichttragendes Medium) ruht.
Machsches Prinzip
3 Äquivalenz-Prinzip
11
• Hypothese: träge Masse eines Körpers wird in irgendeiner Weise von allen anderen Massen bestimmt
• Gedankenexperiment:
Beschleunigte Rakete im leeren Raum, Trägheit wird verspürt, aber gegen was wird
beschleunigt? (Eimerversuch analog)
Nach obiger Hypothese gäbe es im leeren Raum keine Beschleunigung und damit keine
Trägheit
• Nach Mach kommt dem Raum keine eigene Bedeutung zu (reine Hilfsgröße)
• Wirklich sind nur die relativen Beziehungen (Abstände und Bewegungen) aller Körper
• Daraus folgt auch: Die anderen vorhandenen Massen bestimmen die IS.
ART
• beantwortet wie die Massen im Kosmos auf den Raum zurückwirken und wie die KS
und (lokalen) IS bestimmt werden
• allerdings: Raum wird nicht eliminiert, Struktur und Dynamik des Raumes sind eng mit
den vorhandenen Massen verknüpft.
3
Äquivalenz-Prinzip
Vorab: Hier geht es nicht um die Äquivalenz von Masse und Energie ( U = mc2 )!
Äquivalenz von träger und schwerer Masse
• mt ẍ = F (2. Newtonsches Gesetz)
mt : träge Masse eines Körpers
F : Kraft auf und nahe der Erdoberﬂäche. :
• F = ms g (Schwerkraft)
ms : schwere Masse des Körpers
g = const
2
s
; x(t) = 12 m
mt gt (freier Fall)
• Galilei: alle Körper fallen gleich schnell!
s
; m
mt für alle Körper gleich oder
ms
mt = const ⇒ 1 , Proportionalitätskonstante kann 1 gesetzt werden
12
I. Physikalische Grundlagen der ART
• analoge Überlegung für Pendelschwingung
• Experimentelle Überprüfungen
Experiment
∆m
m
Galilei (1564 - 1642)
Newton (1643 - 1727)
Eötvös (1848 - 1919)
Braginski 1972
..
.
Augenmaß
10−3
5 · 10−9
3 · 10−12
→ mt = ms heißt mitunter schwaches Äquivalenzprinzip.
Äquivalenz von Gravitationskräften und Trägheitskräften
1. Bezugssystem ruhend auf Erdoberﬂäche = KS
mt ẍ = ms g
(I.1)
2. Transformation in einen frei fallenden Fahrstuhl = IS’
Abbildung I.1: Koordinatensystem
1
x = x′ + gt2
2
mt
′
g2 = ms g
; mt ẍ +
2
mt ẍ′ = (ms − mt )g
(I.2)
(I.3)
(I.4)
3 Äquivalenz-Prinzip
13
• da mt = ms (Schwaches Äquivalenzprinzip)
ẍ′ = 0 (Bewegungsgleichung für freies Teilchen)
→ in IS’ wird keine Schwerkraft verspürt
• Verallgemeinerung des Befundes von Einstein:
In einem frei fallenden Koordinatensystem laufen alle Vorgänge so ab, als ob kein Gravitationsfeld vorhanden sei.
D.h. der Befund wird von mechanischen auf alle physikalischen Prozesse zu allen Zeiten
an allen Orten ausgedehnt.
Diese Verallgemeinerung heißt auch Einsteinsches Äquivalenzprinzip.
Einführung des Lokalen IS
• Betrachtung eines die Erde umkreisenden Satellitenlabors (SL) ohne Eigenrotation
• Frage: Handelt es sich um ein IS?
Bewegung um Erde ist eigentlich beschleunigt.
Handelt es sich um ein KS?
Im Innern des SL wirken weder Trägheits- noch Gravitationskräfte.
• SL ist auf jeden Fall ein frei fallendes Bezugssystem: Gravitation wird durch Zentrifugalkraft kompensiert, zumindest im Schwerpunkt und in kleiner Umgebung.
• Vorgänge laufen so ab wie in einem IS und als ob keine Gravitation vorhanden ist.
• Derartiges Bezugssystem heißt lokales IS; es unterscheidet sich von einem IS, da es
oﬀensichtlich gegenüber Erde, Sonne, Fixsternhimmel beschleunigt ist.
• Das lokale IS kann soweit ausgedehnt werden wie von der Inhomogenität des Gravitationsfeldes abgesehen werden kann; wird es zu groß betrachtet, wirken Gezeitenkräfte.
Zusammenfassung zu den Koordinatensystemen
• im Gebrauch sind 3 Arten von Koordinatensystemen
1. IS :
• nicht beschleunigt
• existieren nur näherungsweise, denn irgendein Punkt im Universum existiert immer,
zu dem das IS doch beschleunigt ist, z.B. Labor fest auf Erde ist gegenüber Sonne
oder Fixsternhimmel beschleunigt
• Gravitation kann wirken
2. KS:
• beliebiges Koordinatensystem
14
I. Physikalische Grundlagen der ART
• beschleunigt
• z.B. rotierend
• Gravitation und Trägheitskräfte können wirken
3. Lokales IS:
• Koordinatensystem, in dem keine Trägheitskräfte wirken und die Gravitation eliminiert ist
• da sich Gravitation nur lokal eliminieren lässt, heißt das Koordinatensystem Lokales
IS
• SL und frei fallender Fahrstuhl sind Beispiele für Lokales IS.
Physik im Lokalen IS
Im Lokalen IS laufen alle Vorgänge so ab, als sei kein Gravitationsfeld vorhanden. Dieser Befund wird verallgemeinert zum s.g. starken Äquivalenzprinzip:
Im Lokalen IS gelten die Gesetze der SRT !
Physik im KS
• wenn ein Lokales IS verlassen wird, wird die Gravitation i.a. wieder spürbar
• Transformation der im Lokalen IS gültigen und bekannten Gesetze der SRT in ein KS
fährt auf relativistische Gesetze mit Gravitation:
Lokales IS
Koordinatentransformation
SRT-Gesetz ohne Gravitation
−→
KS
ART-Gesetz mit Gravitation
• Koordinatentransformationen sind nichtlinear;
lineare Koordinatentransformationen sind gerade die Lorentz-Transformationen und diese überführen IS in IS und nicht in KS!
• Repräsentation der Gravitation durch Koordinatentransformationen nennt man Geometrisierung der Gravitation.
Kapitel II
Mathematische Grundlagen
1
Bemerkung zur Historie
Entwicklung der Grundlagen und Begriﬄichkeit
1860-1900: Riemann, Ricci, Levi-Civita
−→ Absoluter Diﬀerentialkalkül
1915-1960: Theoretische Physiker
−→ Tensoranalysis
heute: Mathematiker/Physiker
−→ Diﬀerentialgeometrie
2
Krummlinige Koordinatensysteme
4-dim. Raum
• aufgespannt durch Koordinatenlinien ξ i ; (ξ i ) = (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 , ξ 4 )
• Spezialfall Minkowski-Raum mit den Koordinatenlinien xi ; (xi ) = (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x, y, z, ct)
• Vereinbarung zur Indizierung:
i,j,k,...
= 1,2,3,4
a,b,c,d,...,h = 1,2,3 oder 1,2 wenn explizit angegeben
α, β, γ, ... = 1,....,N
• Vereinbarung der Summenkonvention: über doppelt auftretenden Indizes wird summiert.
kurz
• Ereignis P: (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 , ξ 4 ) −→ (ξ i )
{ Verallgemeinerung des „Ortes“; es gibt keinen Ortsvektor ξ }
Veranschaulichung
ξ 1 , ξ 2 in Papierebene projiziert
ξ 3 = const, ξ 4 = const
Beispiele im 3-dim. Raum
16
II. Mathematische Grundlagen
Abbildung II.1: Krummlinige Koordinatenlinien. Die ξ 1 -Koordinate ist dadurch ausgezeichnet, dass alle anderen Koordinaten feste Werte haben (ξ 2 = const, ξ 3 = const, ξ 4 = const).
Für einen anderen Satz der Konstanten entsteht eine andere ξ 1 -Koordinate. Analog für die
ξ 2 -Koordinate etc.
• Euklidischer Raum in kartesischen Koordinaten
ξ a = xa
• Zylinderkoordinaten
ξ1 = ρ , ξ2 = φ , ξ3 = z
• Kugelkoordinaten
ξ1 = r , ξ2 = θ , ξ3 = φ
Verhältnis von krummlinigen Koordinaten und gekrümmtem Raum
• Rückzug auf 2-dimensionale Räume zur Wahrung der Vorstellung
• Unterschied zwischen einem 2-dim. gekrümmten Raum und einem 2-dim. ebenen Raum
ist anschaulich klar
• jeder 2-dim. Raum, der sich in eine Ebene abwickeln lässt ist eben oder ﬂach; z.B.
Zylindermantel, Kegelmantel
• Kugeloberﬂäche ist gekrümmt
• Krummlinige Koordinaten und gekrümmter Raum sind zwei verschiedene Dinge:
krummlinige Koordinaten sind auch im ﬂachen Raum möglich, z.B. ebene Polarkoordinaten
• Kartesische Koordinaten im gekrümmten Raum sind global nicht möglich (wird später
exakt bewiesen)
• Deﬁnition der Krümmung des Raumes folgt später durch den Krümmungstensor
Vektoren in Ereignissen
2 Krummlinige Koordinatensysteme
17
Abbildung II.2: Vektoren
• in einem Ereignis ( Punkt des 4-dim. Raumes) können bestimmte physikalische Eigenschaften vorliegen, die je durch einen Vektor zu beschreiben sind
• z.B.
B Magnetfeld in P
v Geschwindigkeit eines Teilchens in P
dr Abstandsvektor zu einem benachbarten Punkt P’
Einführung von Basisvektoren in P
• Basisvektoren sind von Ereignis zu Ereignis verschieden
• wenn eine Basis in P eingeführt ist, kann ein beliebiger Vektor in P mit dieser Basis
dargestellt werden
• es gibt verschiedene Möglichkeiten für die Einführung einer Basis
◦ Kovariante Basis bi
bi :=
∂r
∂ξ i
(II.1)
bi schmiegen
( ) sich an die Koordinatenlinien an
dr
∂r
b1 = dξ
= ∂ξ
1
1
2 3 4
ξ ,ξ ,ξ =const
i
◦ Kontravariante Basis b
bi :=
∂ξ i
∂r
(II.2)
die Deﬁnition des Kontravarianten Basisvektors bi entspricht der Bildung des Gradienten auf der Fläche ξ i = const ; bi steht dann senkrecht auf dieser Fläche
• die bi , bj sind i.a. nicht normiert.
• für orthogonale Koordinaten wird bi ∥ bi
18
II. Mathematische Grundlagen
Abbildung II.3: Kovariante Basis
Abbildung II.4: Kontravariante Basis
3
Metrischer Fundamentaltensor
Das Skalarprodukt
gij := bi · bj
heißt metrischer Fundamentaltensor.
• gij = gji
• g ij := bi · bj
• gij := bi · bj
• Anwendung der Kettenregel
j
∂r
∂ξ j
∂ξ j
gij = ∂ξ
i · ∂r = ∂ξ i = δi ,
δij Kronecker-Symbol,
d.h. bi ⊥bj für i ̸= j
klar nach Konstruktionsvorschrift.
(II.3)
3 Metrischer Fundamentaltensor
19
Abbildung II.5: Orthogonalität von bi und bj bei i ̸= j nach Konstruktionsvorschrift.
Zerlegung eines beliebigen Vektors v in P
• nach der kovarianten Basis; man schreibt mit Summenkonvention
v = v i bi
(II.4)
und nennt v i die kontravarianten Komponenten von v
• nach der kontravarianten Basis; man schreibt
v = vj bj
(II.5)
und nennt vj die kovarianten Komponenten von v
Abbildung II.6: Darstellung von v in kovarianter Basis
• für die kontravarianten Komponenten v i folgt
v i = v · bi
da v · bi = v j bj · bi = v j δji = v i
(II.6)
20
II. Mathematische Grundlagen
Abbildung II.7: Darstellung von v in kontravarianter Basis
• für die kovarianten Komponenten vi folgt
vi = v · bi
(II.7)
da v · bi = vk bk · bi = vk δik = vi
• Umrechnung ko- und kontravarianter Komponenten ineinander
v i = v bi = vj bj bi = g ij vj
(II.8)
=
ˆ „Indexziehen“
• Umrechnung ko- und kontravarianter Basen ineinander
v = (v bi ) bi
(II.9)
j
sei v = b
j
b
(II.10)
j i
ij
= (b b ) bi = g bi
oder
(II.12)
v = (v bi ) b
i
(II.13)
sei v = bj
bj
(II.11)
(II.14)
= (bj bi ) bi = gij bi
(II.15)
(II.16)
• inverser metrischer Tensor
bi = g ij bj
bj
(II.18)
= gjk b
!
;
;
(II.17)
k
bi = g ij gjk bk = δki bk
g
ij
gjk =
δki
(II.19)
(II.20)
g ij verhält sich invers zu gjk , wenn beide Größen als Matrizen aufgefasst werden.
3 Metrischer Fundamentaltensor
21
• Skalarprodukt zweier beliebiger Vektoren:
v · w = v i bi · wj bj = v i wj bi · bj
= v
i
wj δij
i
(II.21)
(II.22)
= v wi
• analog
v · w = vi w i
v · w = v w gij = vi wj g
i
j
(II.23)
ij
(II.24)
• man beachte im allgemeinen
v · w ̸= v i wi ̸= vj wj
(II.25)
Abstand zweier inﬁnitesimaler benachbarter Ereignisse ds := |dr|
dr =
∂r
dξ i = bi dξ i
∂ξ i
ds2 = dr · dr = bi dξ i · bj dξ j
= gij dξ i dξ j
(metrische Fundamentalgleichung)
(II.26)
(II.27)
(II.28)
Die dξ i sind die Koordinatendiﬀerentiale, vom Typ her sind sie kontravariant.
Einführung kovarianter Koordinatendiﬀerentiale dξi
dξi := gij dξ j
(II.29)
Gleichung kann als Dgl. für ξi (ξ j ) aufgefasst werden. dξi ist vollständiges Diﬀerential und
damit integrabel, nur wenn
∂gij
∂gik
=
k
∂ξ
∂ξ j
(II.30)
gilt. Im allgemeinen ist das aber nicht der Fall, so dass es keinen globalen Zusammenhang
ξi (ξ j ) gibt; ξi sind also in der Regel anholonome Koordinaten, während ξ i deﬁnitionsgemäß
holonome Koordinaten darstellen.
Beispiel Minkowski-Raum
• (ξ i ) = (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x, y, z, ct)


1 0 0 0
 0 1 0 0 
ij

• (gij ) = (ηij ) := 
 0 0 1 0  = (η )
0 0 0 −1
22
II. Mathematische Grundlagen
• ds2 = ηij dxi dxj = dx2 + dy 2 + dz 2 − c2 dt2
• Gültigkeit des Schwarzschen Satzes:
∂ηij
∂xk
=
∂ηik
= 0
∂xj
; dxi = ηij dxj
; x1 = x
1
= x
2
= y
x2 = x
3
x3 = x
x4 = −x
integrabel
= z
4
= −ct
Bemerkung:
Prinzip des richtigen Indexbildes
Der Kalkül ist so konstruiert, dass auf beiden Seiten das gleiche Indexbild auftreten muss.
Das gilt für freie Indizes; Summationsindizes (gesättigt) müssen immer ko- und kontravariant
angeordnet sein.
Levi - Civita - Symbol
∆ijkl

 1 bei i = 1, j = 2, k = 3, l = 4 und allen geraden Indexpermutationen
−1 bei allen ungeraden Indexpermutationen
:=

0 sonst
z.B.
∆1243
=
−1
4123
=
−1
1134
=
0
∆
∆
d.h. vollständig antisymmetrisch.
Determinante des metrischen Tensors
• g := det(gik )
• g = ∆ijkl g1i g2j g3k g4l
Beweis durch Ausrechnen (s.u.)
• Rechenregel gilt für beliebige Dimensionszahl N
g = ∆ij...k g1i g2j . . . gN k
Beweis durch Induktion!
∆ij...k ist entsprechend deﬁniert.
4 Tensoren im Riemannschen Raum
23
• gmi gnj gok gpl ∆ijkl = g ∆mnop
im Sinne von zahlenmäßiger Gleichheit, denn Indexbil m,n,o,p stimmt nicht.
Beweis für zahlenmäßige Gleichheit:
1. m = 1, n = 2, o = 3, p = 4 : klar
2. zwei Indizes aus m,n,o,p gleich: links Null, da Spur aus symmetrischen und antisymmetrischen Ausdruck; rechts null, klar.
3. alle Indizes verschieden, Reihenfolge weicht von m=1,n=2,o=3,p=4 ab: Permutationen rechts und links der Anzahl nach gleich, um Reihenfolge 1234 zu erreichen.
q.e.d.
Beweis der Formel g = ∆ijkl g1i g2j g3k g4l
• zunächst N = 2
g = ∆ij g1i g2j = ∆12 g11 g22 + ∆21 g12 g21 = g11 g21 − g12 g21
• nun N = 3 :
g = ∆ijk g1i g2j g3k
= g11 ∆1jk g2j g3k + g12 ∆2jk g2j g3k + g13 ∆3jk g2j g3k
dazu:
1jk
∆
g2j g3k = ∆123 g22 g33 + ∆132 g23 g32
g g −g g
|22 33 {z 23 32}
11− Unterdeterminante
= ∆213 g21 g33 + ∆231 g23 g31
=
∆2jk g2j g3k
=
−(g21 g33 − g23 g31
|
{z
}
12− Unterdeterminante
etc
−→ Formel entspricht Entwicklungssatz nach der 1. usw. Zeile
4
Tensoren im Riemannschen Raum
Betrachtung eines 4-dim. Raumes mit der metrischen Fundamentalform
ds2 = gik (ξ 1 , . . . , ξ 4 ) dξ i dξ k = gik (ξ) dξ i dξ k
• mit gik ist Längen- und Winkelmessung in jedem Ereignis P festgelegt
• Länge von bi
z.B. b1
|b1 | =
√
b1 · b1 =
√
g11
(II.31)
24
II. Mathematische Grundlagen
etc
• Winkel zwischen bi und bj
z.B. b1 und b2
cos (b1 , b2 ) =
g12
b1 · b2
=√
|b1 | · |b2 |
g11 g22
(II.32)
etc.
; Raum mit Maßbestimmung
• Forderungen
g := det(gik ) ̸= 0,
gik (ξ) diﬀerenzierbar
Der durch die metrische Fundamentalform deﬁnierte Raum heißt Riemannscher Raum.
• Der Riemannsche Raum kann auch in N Dimensionen betrachtet werden; hier interessiert
insbes. N = 4 .
kurz
Ereignis P0 : (ξ01 , ξ02 , ξ03 , ξ04 ) −→ (ξ0 )
• ds2 = gik (ξ0 ) dξ i dξ k
kann lokal approximiert werden bei P0
• wegen gik (ξ0 ) = const ist Transformation zu Minkowski-Koordinaten möglich (Hauptachsentrafo u. Umskalierung der Koordinatendiﬀerentiale )
ds2 = ηik dxi dxk
• gilt exakt in ξ0 und genähert in U (ξ0 )
In einem Ereignis P können physikalische Größen existieren:
• Skalare
S = S(ξ)
• Vektoren
v = v(ξ) = v i (ξ) bi (ξ) = vj (ξ) bj (ξ)
• Tensoren im engeren Sinne
T = T (ξ) = T ij (ξ) bi (ξ) ◦ bj (ξ) = Tij (ξ) bi (ξ) ◦ bj (ξ) = T ij bi ◦ bj = Ti j bi ◦ bj
• Tensoren höherer Ordnung z.B. T = T ijk bi ◦ bj ◦ bk etc.
• Koordinatenlinien ξ l und Basisvektoren bl , bl bzw. deren dyadische Produkte dienen zur
quantitativen Darstellung der physikalischen Größen
4 Tensoren im Riemannschen Raum
25
Deﬁnition von Tensoren (vorläuﬁg)
• Physikalische Größen in einem Ereignis P des Riemannschen Raumes nennen wir Tensoren.
• Skalare sind Tensoren 0.Stufe
• Vektoren sind Tensoren 1.Stufe
• Es gibt Tensoren beliebiger Stufe.
• v i sind dann die kontravarianten Komponenten des Tensors 1.Stufe (oder Vektors) v
• vi analog kovariante Komponenten von v
• T ij kontravariante Komponenten von T
• Tij kovariante Komponenten von T
• T ij , Ti j gemischte Komponenten
Bemerkung zur Deﬁnition
• Mitunter wird v i als Kontravarianter Tensor und vi als Kovarianter Tensor bezeichnet;
entsprechend für höhere Stufen.
• Diese Benennung ist als Kurzbezeichnung aufzufassen, die allerdings nicht präzise ist.
• Es gibt Größen mit Tensor-Charakter, die nicht unmittelbar physikalische Größen sind;
diese werden dann geometrische Objekte genannt, z.B. gij .
Tensorfelder
• Ausdehnung der Betrachtung von Tensoren in einem Ereignis P auf den gesamten Riemannschen Raum
Bei Koordinatentransformationen dürfen sich physikalische Größen als Ganzes nicht ändern,
wohl aber ihre Komponenten; phys. Größe ist objektiv, Komponenten sind subjektiv, da Koordinaten subjektiv.
• Transformation von KS zu KS’
ξi
′
′
′
′
= ξ i (ξ 1 , ..., ξ 4 ) = ξ i (ξ l ) = ξ i (ξ)
(II.33)
sowie die Umkehrtransformation
′
′
′
ξ i = ξ i (ξ 1 , ..., ξ 4 ) = ξ i (ξ l ) = ξ i (ξ ′ )
(II.34)
26
II. Mathematische Grundlagen
• resultierende Transformation der Basisvektoren
mit
bi′
=
Aji′
=
∂r
∂r ∂ξ j
·
=
= bj · Aji′
′
∂ξ j ∂ξ i′
∂ξ i
∂ξ j
∂ξ i′
(II.35)
(II.36)
Aji′ ist die Jacobi-Matrix oder die inverse Jacobi-Matrix.
bi
′
′
Aij
mit
′
=
=
′
∂ξ i
∂ξ i ∂ξ j
′
=
·
= Aij · bj
j
∂r
∂ξ
∂r
′
i
∂ξ
∂ξ j
(II.37)
(II.38)
′
Aij ist die Jacobi-Matrix oder die inverse Jacobi-Matrix.
′
• Aij und Akl′ invers:
′
Aij
′
·
Ajl′
=
′
∂ξ i ∂ξ j
∂ξ i
i′
·
=
′
′ = δl′
j
l
l
∂ξ ∂ξ
∂ξ
(II.39)
• beliebiger Vektor v
′
′
v = v i bi′ = v i Aji′ bj = v j bj
;
vj
v
k′
=
=
′
Aji′ v i
′
Akl v l
(II.40)
(II.41)
(II.42)
• analog für Tensoren höherer Stufen
′ ′
Ti j
′
′
= Aik Ajl T kl
usw.
(II.43)
Transformationsverhalten ist wesentliche Eigenschaft von Tensoren
Deﬁnition:
Tensoren sind physikalische oder Geometrische Größen, deren Komponenten sich bei Koordinatentransformation KS → KS ′ wie folgt verhalten:
• Tensoren 0. Stufe
S = S′
(II.44)
• Tensoren 1. Stufe
′
′
v i = Aik v k
vi′ =
Aki′
vk
(II.45)
(II.46)
4 Tensoren im Riemannschen Raum
27
• Tensoren 2.Stufe
′
Ti j
′ ′
= Aik Ajl T kl
(II.47)
Ti′ j ′
= Aki′ Alj ′ Tkl
(II.48)
′
T ij ′
′
T′ ij
( ′
Ti′j
′
′
Aik
=
Alj ′
′
Aki′ Ajl
̸=
T ji′ i.A.
=
′
Tlk
(II.49)
Tk l
(II.50)
)
(II.51)
• Tensoren höherer Stufen analog
• Rücktransformationen mit den jeweils inversen Matrizen
Transformation der metrischen Fundamentalgleichung
′
ds2 = gik dξ i dξ k = gl′ m′ dξ l dξm′
∂ξ i
′
l′
mit dξ i =
= Ai l′ dξ l
′ dξ
l
∂ξ
′
′
(II.52)
(II.53)
′
′
ds2 = gik (ξ) Ail′ Akm′ dξ l dξ m = gl′ m′ dξ l dξ m
2
ist Tensor 0.Stufe
ds
gik Ail′
(II.54)
Akm′
= gl′ m′
transformiert sich
(II.55)
wie die kovarianten Komponenten eines Tensors
′
Tranformationmatrizen Aij , Aij ′ , sind keine Tensorkomponenten.
Im Minkowski-Raum gehen die Transformationsmatrizen in die Lorentz-Matrizen über:
′
′
Aij
→ Lij
(II.56)
Aij ′
→ Lij ′
(II.57)
Lorentz- Transformation enthält nur Konstanten und gilt im gesamten Minkowski-Raum;
′
Transformations-Matrizen des Riemannschen Raumes sind ereignisabhängig, also Aij (ξ).
Tensor-Operationen
• Verjüngung eines Tensors = Kontraktion zweier Indizes = Summation über einen oberen
und einen unteren Index:
T = T ii , T i = T ikk
=
ˆ Spurbildung bei Tensor 2.Stufe
=
ˆ Skalarprodukt für T ik = Ai Gk
Symmetrien für Tensoren 2.Stufe
28
II. Mathematische Grundlagen
• Tik symmetrisch Tik = Tki
; T ik = T ki (ÜA)
(N 2 − N )/2 + N = 12 (N 2 + N ) unabh. Komp.,
N = 4 ; 10 Komponenten
• Tik antisymmetrisch Tik = −Tki
; T ik = −T ki
(N 2 − N )/2 unabh. Komp. ,
N = 4 ; 6 Komponenten
• T ik = T ki
unsinnig!
• Bachsche Klammern
Tik
=
1
1
(Tik + Tki ) + (Tik − Tki )
|2
{z
} |2
{z
}
symmetr.
(II.58)
antisymm.
=: T(ik) + T[ik]
(II.59)
Addition
• nur für Tensoren gleicher Stufen und Typs ( gleiches Indexbild )
Tik + Vik = Wik
(II.60)
Multiplikation
• Verallgemeinerung des dyadischen Produktes
S ijk T lmn = Qi jklmn
(II.61)
Überschiebung
• Multiplikation mit gleichzeitiger Verjüngung
T ijk Sr k = Qij r
(II.62)
gij T j = Ti
(II.63)
v i wi = g ij vi wj = gij v i wj
(II.64)
• Spezialfall: Indexziehen
• Spezialfall: Skalarprodukt ; v i , wi
5 Kovariante Ableitung und Parallelverschiebung
• Spezialfall: „Länge“ eines Vektors v i

raumartig
 >0
= 0 Nullvektor (lichtartig)
vi v i

<0
zeitartig
29
(II.65)
Quotientensatz
• T ij... sei Tensor
• Nij... ?
• Falls T ij... Nij... = invariant (Skalar)
; Nij... ist Tensor
• Beweis: ÜA
Spur eines Produktes aus 2-Stuﬁgen Tensoren
• sei Sik = Ski , alm = −aml
• dann Sik aki = 0
• Beweis:
(1)
aik = g il g km alm
= −g il g km aml
= −g km g il aml
= −aki
(2)
Sik aki = −Ski aik
= −Sik a
ki
; Sik a
5
ki
( Einarbeiten der Symmetrien)
(k ; i)
= 0
Kovariante Ableitung und Parallelverschiebung
Partielle Ableitung der Komponenten eines Tensorfeldes ist im Riemannschen Raum i.a. kein
Tensorfeld
Notwendigkeit der Verallgemeinerung der Diﬀerentation auf die s.g. kovariante Ableitung, die
bei Anwendung auf ein Tensorfeld wieder ein Tensorfeld ergibt
30
II. Mathematische Grundlagen
• Beispiel
vi,
′
∂v i
∂ξ j ′
′
vi
∂
∂ξ j ′
′
∂v i
∂ξ j ′
′
′
ξ j = ξ j (ξ l )
′
̸= Aik Alj ′
(II.66)
∂v k
(II.67)
∂ξ l
′
= Aik v k
∂ξ l ∂
=
∂ξ j ′ ∂ξ l
∂
= Alj ′
∂ξ l
∂ ( ′ )
= Alj ′ l Ai k v k
∂ξ
(II.68)
(II.69)
(II.70)
(II.71)
′
i
∂v k
l ∂Ak
=
+
A
vk
′
j
∂ξ l
∂ξ l
′
k
∂Aik k
l
i′ ∂v
= Aj ′ Ak
+ j′ v
∂ξ l
∂ξ
| {z }
Alj ′
′
Aik
(II.72)
(II.73)
verschwindet im Minkowski-Raum, verschwindet nicht im Riemann- Raum
Totales Diﬀerential eines Tensorfeldes ist damit i.a. auch kein Tensor:
dv i =
∂v i
dξ j = v i (ξ + dξ) − v i (ξ)
∂ξ j
′
(II.74)
′
klar, da sich v i (ξ + dξ) mit Aij (ξ + dξ) und v i (ξ) mit Aij (ξ) transformieren.
Damit die Diﬀerenz zweier Tensoren (hier Vektoren) wieder einen Tensor (Vektor) ergibt,
müssen die beiden Tensoren(Vektoren) am selben Ereignis betrachtet werden.
Einführung einer abkürzenden Notation für die Parielle Ableitung
v|ji :=
5.1
∂v i
∂ξ j
.
Kovariante Ableitung
v sei Tensor und repräsentiere eine physikalische Größe
; v invariant gegenüber Koordinatentransformationen.
Die Einführung der kovarianten Ableitung wird in zwei Varianten vorgestellt:
1. Variante
(II.75)
5.1 Kovariante Ableitung
31
• dv sei inﬁnitesimale Diﬀerenz
dv = v(ξ + dξ) − v(ξ)
(II.76)
= v (ξ + dξ) bi (ξ + dξ) − v (ξ) bi (ξ)
i
i
(II.77)
= v (ξ + dξ) bi (ξ + dξ) − v (ξ + dξ) bi (ξ)
i
i
+ v i (ξ + dξ) bi (ξ) − v i (ξ) bi (ξ)
= v (ξ + dξ) { bi (ξ + dξ) − bi (ξ) } +
i
{
v (ξ + dξ) − v (ξ)
i
i
= v i (ξ + dξ) dbi + dv i bi (ξ)
}
(II.78)
bi (ξ) (II.79)
(II.80)
• zum gleichen Ergebnis kommt man mittels
(
)
dv = d v i bi = dv i bi + v i dbi
(II.81)
• die beiden rechten Summanden sind für sich genommen keine Tensoren, denn dv i und
auch dbi sind keine Tensoren
• Umformung der rechten Seite
dv = v i dbi − Γkil bk dξ l v i + Γkil v i dξ l bk + dv i bi
{
} {
}
dv = v i dbi − Γkil bk dξ l + dv i + Γikl v k dξ l bi
(II.82)
(II.83)
Einführung neuer Bezeichnungen
Dv i
:=
Dbi
:=
(
)
v i |l + Γikl v k dξ l
(
)
dbi − Γkil bk dξ l := bi|l − Γkil bk dξ l
dv i + Γikl v k dξ l :=
(II.84)
(II.85)
• die freien Parameter Γkil sind so zu bestimmen, dass
Dbi
k
; bi|l − Γil bk
bm · bi|l − Γkil δkm
Γm
il
=
0
(II.86)
=
0
(II.87)
=
0
(II.88)
=
b · bi|l
)
1 mk (
g
gik|l + glk|i − gil|k
2
(II.89)
s.ÜA
=
m
(II.90)
• damit ist Dvi bzw. v|li + Γikl v k ein Tensor, denn die einzelnen Größen verhalten sich bei
32
II. Mathematische Grundlagen
Koordinaten-Transformation wie folgt
′
v i |l′
′
Γik′ l′
( ′ )
∂ i′
′ q
′
p ∂
=
A
Aiq v q = Apl′ Aiq v|p
+ Apl′ Aiq|p v q
v
′
′
l
p
l
∂ξ
∂ξ
∂
∂
′
′
= bi l′ bk′ = Air br Apl′ p (Ask′ bs )
∂ξ
∂ξ
∂
′
′
= Air Apl′ Ask′ br p bs + Air Apl′ Ask′ |p br bs
∂ξ
=
′
′
= Air Apl′ Ask′ Γrsp + Air Apl′ Ark′ |p
i′
|l′
v +Γ
i′
k ′ l′
v
k′
i′
i′
v +Γ
v
k′
(II.93)
k′
q
= Aq Apl′ v|p
+ Apl′ Aq|p v q + Ar Apl′ Ask′ Γrsp Aq v q
′
i′
k ′ l′
(II.92)
(II.94)
i′
′
+ Air Apl′ Ark′ |p Akq v q
i′
|l′
(II.91)
i′
(II.95)
i′
q
+ Ar Apl′ δqs Γrsp v q
= Aq Apl′ v|p
′
′
′
+ Apl′ Aiq|p v q + Apl′ Air Ark′ |p Akq v q
|
{z
}
= 0 s.u.
′
′
q
+ Air Apl′ Γrqp v q
= Aiq Apl′ v|p
|
{z
}
(II.96)
(II.97)
r↔q
=
′
q
Aiq Apl′ (v|p
+
Γqrp v r )
(II.98)
• noch zu zeigen, dass sich obige 3. und 4. Summanden wegheben:
′
′
zu zeigen: Aiq|p + Air Ark′ |p Akq
′
′
′
′
Aqs′ Aiq|p + Air Ark′ |p δsk′
′
′
Aqs′ Aiq|p + Air Ars′ |p
′
′
Ars′ Air|p + Air Ars′ |p
( ′
)
Air · Ars′
|p
!
= 0 | · Aqs′
(II.99)
= 0
(II.100)
= 0
(II.101)
= 0
(II.102)
= δ
i′
s′ |p
=0
(II.103)
q.e.d.
2. Variante
• Betrachtung zweier benachbarter Tensoren v(ξ + dξ) und v(ξ) eines Tensorfeldes; i.a.
wird v(ξ + dξ) ̸= v(ξ) sein außer für ein homogenes Tensorfeld.
• dv = d(v i bi ) = dv i bi + v i dbi
• Komponenten von b(P ) sind verschieden von den Komponenten von b(P ), weil
1. b(P ) ̸= b(P )
2. die Basen in P und P unterschiedlich sind, d.h. selbst ein konstanter Vektor hätte
in P und P verschiedene Komponenten
• Zurückverschiebung von v(P ) nach P und Betrachtung der Komponenten von v(P ) in
der Basis bei P
5.1 Kovariante Ableitung
33
Abbildung II.8: Tensorfeld
Einführung des s.g. kovarianten Diﬀerentials
Dv := v(ξ + dξ) − v(ξ)
i
(II.104)
=
D(v bi )
(II.105)
=
Dv · bi + vi Dbi
|{z}
(II.106)
i
=0
• Mit v i (ξ + dξ) als die Komponenten von v(P ) zur Basis in P gilt:
Dv i ̸= v i (ξ + dξ) − v i (ξ) = dv i
(II.107)
• Mit ṽ i (ξ + dξ) als die Komponenten von v(P ) zur Basis in P gilt:
Dv i = ṽ i (ξ + dξ) − v i (ξ)
(II.108)
• Ansatz
ṽ i (ξ + dξ) = v i (ξ + dξ) − δv i
δv
i
=
−Γijk v j dξ k
(II.109)
(II.110)
Γijk sind Übertragungskoeﬃzienten, Christoﬀel-Symbole
• Einsetzen
Dv i = v i (ξ + dξ) + Γijk v j dξ k − v i (ξ)
= dv i + Γijk v j dξ k
(II.111)
(II.112)
34
II. Mathematische Grundlagen
• Γijk sind so zu bestimmen, dass Dv i wieder ein Tensor (Vektor) ist und im MinkowskiRaum in dv i übergeht.
• Es ergibt sich (s.ÜA)
Γijk
∂bj
1
=b
= g il
k
∂ξ
2
i
(
∂gkl ∂gjl ∂gjk
+ k −
∂ξ j
∂ξ
∂ξ l
)
(II.113)
• Γijk = Γikj
Die weiteren Umformungen gelten für beide Varianten gleichermaßsen. Deﬁnition der kovarianten Ableitung v i ||k über
Dv i := v i ||k dξ k
(II.114)
• folglich gilt
v i ||k =
∂v i
+ Γijk v j
∂ξ k
(II.115)
• Abkürzungen
v i |k :=
∂v i
:= ∂ξk v i := ∂k v i
∂ξ k
(II.116)
• oder auch
v i ||k = v i |k + Γijk v j
(II.117)
• v i ||k ist Tensor, da Dv i als Tensor konstruiert wurde und dξ k ein Tensor ist
• kontravariante Ableitung v i||k als Bezeichnung möglich, wenig gebräuchlich
v i||k
:=
g jk v i ||j
(II.118)
(II.119)
• weiterhin gilt (Beweis ÜA)
vi||k = vi|k − Γjik vj
(II.120)
Kovariante Ableitung für Tensoren anderer Stufen
• 0.Stufe
S||i = S|i
(II.121)
5.1 Kovariante Ableitung
35
• 1.Stufe
v i ||j = v i |j + Γijk v k ,
(II.122)
vi||j = vi|j − Γkij vk
(II.123)
• 2.Stufe
sei T ij
= v i wj
T ij||k
= v
i
(II.124)
||k w
j
+v
i
wj||k
(II.125)
= (v i |k + Γikl v l )wj + v i (wj|k + Γjkm wk )
(II.126)
= (v i wj )|k + Γikl v l wj + Γjkl v i wl
(II.127)
T ij||k = T ij|k + Γikl T lj + Γjkl T il
(II.128)
bzw. Tij||k = Tij||k − Γlik Tlj − Γljk Til
(II.129)
• usw.
• Konsistenz für 0.Stufe
S = v j vj
S||i =
S||i =
(II.130)
v j||i vj + v j vj||i = (v j|i + Γjil v l )vj
v j|i vj + v j vj|i + Γjil v l vj − Γlji v j vl
+ v (vj|i −
S||i = (v j vj )|i
j
Γlji vl )
(II.131)
(II.132)
(II.133)
2. kovariante Ableitungen i.a. nicht vertauschbar
vi||k||p
i.a.
̸= vi||p||k
(II.134)
(1.)
m
vi||k||p = vi||k|p − Γm
ip vm||k − Γkp vi||m
(
)
= vi|k − Γm
ik vm |p
(
)
r
− Γm
ip vm|k − Γmk vr
(
)
r
− Γm
kp vi|m − Γim vr
m
= vi|k|p − Γm
ik|p vm − Γik vm|p
−
−
Γm
ip vm|k
Γm
kp vi|m
r
+ Γm
ip Γmk vr
r
+ Γm
kp Γim vr
(II.135)
(II.136)
(II.137)
36
II. Mathematische Grundlagen
(2.)
m
vi||k||p − vi||p||k = −Γm
ik|p vm + Γip|k vm
−
−
−
+
(II.138)
m
Γm
ik vm|p + Γip vm|k
m
Γm
ip vm|k + Γik vm|p
m
Γm
kp vi|m + Γpk vi|m
r
m r
Γm
ip Γmk vr − Γik Γmp vr
r
m r
Γm
kp Γim vr − Γpk Γim vr
+
(
)
m
r m
r m
=
Γm
−
Γ
+
Γ
Γ
−
Γ
Γ
ip rk
ik rp vm
ip|k
ik|p
(II.139)
q.e.d.
Einfacher Beweis für Darstellung der Christoﬀel-Symbole vermittels Dbi = 0:
• Hintergrund des kovarianten Diﬀerentials ist der Bezug auf die „alte“ Basis, d.h. Basis
ändert sich bei kovarianter Ableitung nicht
bi||k = bi|k − Γlik bl = 0
(II.140)
m
Γlik bl bm = Γlik δlm = Γm
ik = b bi|k
Γm
ik
(II.141)
= b · b bn · bi|k , da
m
n
(II.142)
u · v = u vn = u · b v · bn = u · b bn · v
(II.143)
(
)
1 m n
Γm
b b bi|k bn + bk|i bn
(II.144)
ik =
2
}
{
1 m n
b b (bi bn )|k − bi bn|k + (bk bn )|i − bk bn
=
2
}
1 m n{
=
b b (bi bn )|k + (bk bn )|i − (bi bk|n ) − (bi bk|n ) − (bk bi|n )
2
)
1 mn (
m
g
gin|k + gkn|i − gik|n
Γik =
(II.145)
2
n
n
n
q.e.d.
• gik||p = (bi · bk )||p = 0
Nachrechnen, dass Dv i Tensor ist
Dv i = dv i + Γijk v j dξ k
( i
)
∂v
i ∂bj j
=
+
b
v
dξ k
∂ξ k
∂ξ k
zu zeigen:
′
Dv i
′
= Ail Dv l
..
.
Geometrische Interpretation des kovarianten Diﬀerentials
(II.146)
(II.147)
5.2 Parallelverschiebung im krummlinigen Koordinatensystemen
37
• Betrachtung eines Vektors in P: a = ai (P ) bi (P )
• Parallelverschiebung dieses Vektors um dξ in das inﬁnitesimal benachbarte Ereignis
P : a = ai (P ) bi (P )
• da sich Basis bi ändert, ändern sich auch die Komponenten ai , ohne dass sich a ändert
• zunächst Bildung von da
da = 0 = a(P ) − a(P )
i
i
= da bi + a dbi
; da bi = −a dbi
i
i
(II.148)
(II.149)
(II.150)
Änderung der Basis muss durch Änderung der Komponenten kompensiert werden
• Bildung des kovarianten Diﬀerentials Da
(II.151)
Da = 0
i
i
= Da bi + a Dbi
(II.152)
Dbi = 0
(II.153)
hier gilt
da a(P )zunächst nach P „zurückverschoben“ wird und damit in der Basis bei P betrachtet wird.
Oder: a wird bei P betrachtet, indem die Basis von P zugrundegelegt wird.
Folglich: Bei Betrachtung in der alten Basis ändern sich die Komponenten eines konstanten Vektors nicht:
Dai = 0
5.2
(II.154)
Parallelverschiebung im krummlinigen Koordinatensystemen
• klar im ﬂachen Raum, Hilfsgerade zw. P und P , Beibehaltung der Winkel des Vektors
zur Geraden, eindeutig auch bei Polygonzug.
• im gekrümmten Raum existiert keine Gerade, Gerade wird durch Geodäte (=kürzeste
Entfernung zw. P und P ) ersetzt, Beibehaltung der Winkel zur Geodäten
• kein Fernparallelismus im gekrümmten Raum,
z.B. Kugeloberﬂäche, „Polygonzug“ auch Geodäten = Großkreissegmente
Übertragung RQP ̸= Übertragung RP
38
Abbildung II.9: Parallelverschiebung
Abbildung II.10: Parallelverschiebung auf einer Kugel
II. Mathematische Grundlagen
5.2 Parallelverschiebung im krummlinigen Koordinatensystemen
Zusammenfassung
Tensoren im Riemannschen Raum
Koordinatentransformationen
KS ↔ KS ′
′
ξi
′
= ξ i (ξ k ),
′
ξ k = ξ k (ξ i )
′
′
Aik
=
Aki′
=
∂ξ i
,
∂ξ k
∂ξ k
∂ξ i′
Tensorkomponenten
′ ′
′
′
′
′
no r
T i jk′ l′ m = Ain Ajo Apk′ Aql′ Am
r T pq
Quotientensatz
T ij Qij
= S
, S Skalar (Invariante) , T ij Tensor
−→ Qij
Tensor
smn anm = 0
wenn smn = snm
und anm = −amn
39
40
II. Mathematische Grundlagen
Kovariante Ableitung, kovariantes Diﬀerential
Kovariante Ableitung
v i ||k = v i |k + Γikl v l
vi||k = vi|k − Γlki vl
T ij||k = T ij|k + Γikl T lj + Γjkl T il
Kovariantes Diﬀerential
Dv i = v i ||k dξ k = dv i + Γikl v l dξ k
Anwendung auf spezielle Objekte
bi||k = 0,
bi ||k = 0
gij||k = 0,
g ij ||k = 0
Geometrische Interpretation von Dv i :
v(ξ + dξ) − v(ξ) = dv i bi + v i dbi = Dv i bi
Darstellung der inﬁnitesimalen Diﬀerenz zweier Vektoren mittels
nur einer Basis bi im Punkt ξ
Christoﬀelsymbol
1
Γikl = bi bk|l = g im (gml|k + gmk|l − gkl|m )
2
6 Geodäten
6
41
Geodäten
Deﬁnition: Geodäte zwischen A und B im Riemannschen Raum ist Kurve mit kürzestem
Abstand, also
∫B
s=
ds =
A
∫B √
gik dξ i dξ k =
Minimum
(II.155)
A
Sei ξ p (λ) gesuchte Kurve mit λ zunächst als beliebiger Kurvenparameter
Abbildung II.11: Variation des Weges von A nach B
Hamiltonsche Prinzip
∫B √
gik ξ˙i ξ˙k dλ
δ
=
0,
(II.156)
A
mit ξ˙p :=
dξ p
dλ
Lagrange-Funktion
√
˙ =
L(ξ, ξ)
ds
gik ξ˙i ξ˙k =
dλ
(II.157)
Lagrange II
d ∂L
∂L
− p =0
dλ ∂ ξ˙p ∂ξ
(II.158)
42
II. Mathematische Grundlagen
• Wobei
∂L
∂ξ p
=
∂L
∂ ξ˙p
=
d ∂L
dλ ∂ ξ˙p
=
1
g ξ˙i ξ˙k
2L ik|p
gpk ξ˙k
1
(gik δpi ξ˙k + gik ξ˙i δpk ) =
2L
L
gpk ξ˙k dL
1
(gpk ξ¨k + gpk|l ξ˙l ξ˙k ) −
L
L2 dλ
(II.159)
(II.160)
(II.161)
• Wahl eines geeigneten Kurvenparameters:
λ = as + b
(aﬃner Parameter; a,b Konstanten)
;
L =
dL
dλ
ds
= const,
dλ
(II.162)
(II.163)
= 0,
d.h. L=const entlang der Geodäten; jede Geodäte hat „ihr“ L ;
 2
 L > 0 raumartig
L2 = 0 lichtartig
 2
L < 0 zeitartig
1
gpk ξ¨k + gpk|l ξ˙l ξ˙k − gjk|p ξ˙j ξ˙k = 0
2
1
gpk|l ξ˙l ξ˙k =
(g
+ gpk|l )ξ˙l ξ˙k
2 pl|k
1
gpk ξ¨k + (gpl|k + gpk|l − glk|p )ξ˙l ξ˙k = 0 | · g ip
2
ip
g
ξ¨i +
(g
+ gpk|l − glk|p )ξ˙l ξ˙k = 0
2 pl|k
;
(II.164)
(II.165)
(II.166)
(II.167)
• Geodätengleichung
;
Minkowski- Raum ξ i = xi
ξ¨i + Γikl ξ˙k ξ˙l = 0
(II.168)
6 Geodäten
43
gkl = ηkl
,
Γikl = 0
ẍi = 0 :
;
x1 = v01 λ + x10
x2 = v02 λ + x20
x3 = v03 λ + x30
ct = cλ + cto
Geodäte und kovariantes Diﬀerential
Dv i = dv i + Γijk v j dξ k
=: ξ˙i
dλ
= dξ˙i + Γijk ξ˙j dξ k
vi =
Dξ˙i
Dξ˙i
dλ
Dξ˙i
dλ
(II.169)
dξ i
(II.170)
| : dλ
(II.171)
= ξ¨i + Γijk ξ˙j ξ˙k = 0
= 0
(II.172)
ist Geodäten-Gleichung in belieb. Koordinaten!
(II.173)
Alternative Form der Geodäten-Gleichung, wenn die Eigenzeit τ als Kurvenparameter verwendet wird:
d( )
ξ¨n + Γnij ξ˙i ξ˙j = 0
(˙) =
(II.174)
dτ
Substitution
ξ˙n = un
→
n
u̇ +
Γnij ui uj
(II.175)
=0
(II.176)
u̇n ausdrücken durch
u̇n =
dun
∂un dξ k
=
= uk|k uk
dτ
∂ξ k dτ
(II.177)
ergibt
uk|k uk + Γnik ui uk = 0
(
)
un|k + Γnik ui uk = 0
oder
(II.178)
(II.179)
un||k uk = 0
(II.180)
un ||k uk = 0
(II.181)
44
II. Mathematische Grundlagen
Geodäten des verallgemeinerten Variationsproblems
• jede Lagrange-Funktion L = F (σ) mit σ = gik ξ˙i ξ˙k
führt auf Geodäten-Gleichung, wobei F beliebig monoton und diﬀerenzierbar
∫B
˙
F (σ(ξ, ξ))dλ
=0,
δ
(II.182)
A
λ zunächst wieder beliebig.
• L II
d ∂F
∂F
−
dλ ∂ ξ˙p ∂ξ p
∂F
∂ξ p
∂F
∂ ξ˙p
;
= 0
(II.183)
= F ′ gik|p ξ˙i ξ˙k
(II.184)
= F ′ 2 gpk ξ˙k
(II.185)
d
(F ′ 2 gpk ξ˙k ) − F ′ gik|p ξ˙i ξ˙k = 0
dλ
• sei λ = s (aﬃner Kurvenparameter)
( )2
( )2
ds
ds
; σ =
=
= 1 entlang der Geodäten
dλ
ds
1
; gpk ξ¨k + gpk|l ξ˙l ξ˙k − glk|p ξ˙l ξ˙k = 0 | g ip
2
i
¨
; ξ + Γikl ξ˙k ξ˙l = 0
(II.186)
(II.187)
(II.188)
(II.189)
• somit auch
L=
m 2 m
ṡ = gik ξ˙i ξ˙k
2
2
(II.190)
brauchbar
• für Geodäten-Gleichung wurde Dimension des Raumes nicht benötigt, somit kann für
˙a ˙b
den 3-dim. ﬂachen Raum L = m
2 gab ξ ξ gewählt werden; die kinetische Energie eines
freien Teilchens der Masse m in generalisierten Koordinaten ξ a
;
ξ¨a + Γabc ξ˙b ξ˙c = 0
(II.191)
ist Geodäten-Gleichung bzw.
mξ¨a = −mΓabc ξ˙b ξ˙c
(II.192)
wobei rechts die „Trägheitskräfte“ oder „Scheinkräfte“ stehen; eingeprägte Kräfte gibt es
beim freien Teilchen nicht; Lösung ist natürlich die Gerade.
Geodäten-Gleichung bei allgemeinem Kurvenparameter λ = f (s)
6 Geodäten
45
• Ausgangspunkt
k dξ l
d2 ξ i
i dξ
+
Γ
·
kl
ds2
ds ds
dξ
ds
d2 ξ
ds2
k dξ l
d2 ξ i
i dξ
+
Γ
·
kl
dλ2
dλ dλ
;
(II.193)
= 0
dξ dλ
·
dλ ds
d2 ξ
dλ dξ d2 λ
=
·
+
·
ds · dλ ds dλ ds2
( )
d2 ξ dλ 2 dξ d2 λ
=
+
·
dλ2 ds
dλ ds2
dξ i
= h(λ) ·
dλ
=
d2 λ
ds2
mit h(λ) = − ( )2
dλ
bzw.
d2 λ
+h·
ds2
(
dλ
ds
(II.194)
(II.195)
(II.196)
(II.197)
ds
)2
(II.198)
= 0
• neuer Parameter λ wäre wieder aﬃn, wenn h = 0, dann
λ = as + b
Die Geodäten-Gleichung (II.196) ist äquivalent zu (II.186), wenn
F (σ) = L =
√
ds
σ=
dλ
,
σ = gik ξ˙i ξ˙k
(II.199)
gesetzt wird; also das ursprüngliche Variationsproblem (II.155)
∫B
s=
√
σdλ = Minimum
A
betrachtet wird.
Beweis: Start von (II.186)
)
d ( ′
F 2 gpk ξ˙k − F ′ gik|p ξ˙i ξ˙k = 0
dλ
dF ′
2gpk ξ˙k + F ′ 2gpk |i ξ˙i ξ˙k + F ′ 2gpk ξ¨k − F ′ gik|p ξ˙i ξ˙k = 0
dλ
{
}
dF ′
1
k
′
k
i ˙k
i ˙k
˙
¨
˙
˙
2gpk ξ + 2F gpk ξ + gpk|i ξ ξ − gik|p ξ ξ
=0
dλ
2
{
}
1
1
1
1 dF ′ ˙n
np
k
i ˙k
i ˙k
i ˙k
¨
˙
˙
˙
ξ +g
gpk ξ + gpk|i ξ ξ + gpi|k ξ ξ − gik|p ξ ξ
=0
F ′ dλ
2
2
2
1 dF ′ ˙n ¨n
ξ + ξ + Γnik ξ˙i ξ˙k = 0
F ′ dλ
(II.200)
(II.201)
(II.202)
(II.203)
(II.204)
46
II. Mathematische Grundlagen
→
1 dF ′ ˙n
ξ¨n + Γnik ξ˙i ξ˙k = − ′
ξ
F dλ
√
σ
1
F′ = √
2 σ
(II.206)
F =
1
F′
1
F′
(II.205)
(II.207)
( )
dF ′
1 dσ
1
d ds 2
=− √ 3
=− √ 3
dλ
4 σ dλ
4 σ dλ dλ
( )
′
dF
1 ds d ds
=− 2
dλ
2σ dλ dλ dλ
( )
ds
′
dF
d ds ds
dλ
= − ( )2
ds
dλ
dλ dλ dλ
dλ
( )
( )
d
1
1 d dλ
=−
= ( )2
dλ
ds dλ
ds ds
ds
(II.208)
(II.209)
(II.210)
(II.211)
ds
d2 λ
′
2
1 dF
= ( ds )2
′
F dλ
dλ
ds
⇒
d2 λ
2
ξ¨n + Γnik ξ˙i ξ˙k = ( ds )2
dλ
ds
(II.212)
(II.213)
q.e.d.
6 Geodäten
47
Zusammenfassung
Geodäten
Verallgemeinerung der Geraden im Riemannschen Raum
Kürzester Abstand:
δ
∫B √
gik dξ i dξ k = 0
A
Geodäten - Gleichung
ξ¨i + Γikl ξ˙k ξ˙l = 0
dξ m
ξ˙m =
dλ
, λ aﬃner Parameter
1.Zusatz: o.g. Geodäten-Gleichung auch für Lagrange-Funktionen der Form
mit σ = gik ξ˙i ξ˙k
( )
m
m ds 2
i ˙k
˙
z.B. L = gik ξ ξ =
2
2 dλ
L = L(σ)
2.Zusatz: λ nicht aﬃn
d2 λ
2
ξ¨i + Γikl ξ˙k ξ˙l = − ( ds )2 ξ˙i
dλ
ds
48
II. Mathematische Grundlagen
7
Geodäten in 2-d Polarkoordinaten
ds2 = dr2 + r2 dφ2 , r = ξ 1 , φ = ξ 2
g11 = 1 , g22 = r2 , g12 = 0
)
1 im (
Γikl =
g
gmk|l + gml|k − gkl|m
2
)
1 11 (
Γ111 =
g g11|1 + g11|1 − g11|1 =
2
)
1 11 (
1
Γ12 =
g g11|2 + g12|1 − g12|1 =
2
)
1 11 (
Γ122 =
g g12|2 + g12|2 − g22|1 =
2
)
1 22 (
2
g g21|1 + g21|1 − g11|2 =
Γ11 =
2
)
1 22 (
Γ212 =
g g21|2 + g22|1 − g12|2 =
2
)
1 22 (
2
Γ22 =
g g22|2 + g22|2 − g22|2 =
2
0
0
1
− 2r = −r
2
0
1 1
1
2r =
2
2r
r
0
ξ¨i + Γikl ξ˙l ξ˙k = 0
1.
ξ¨1 + Γ122 ξ˙2 ξ˙2 = 0 ;
r̈ − rφ̇2 = 0
2.
ξ¨2 + Γ212 ξ˙1 ξ˙2 + Γ221 ξ˙2 ξ˙1 = 0 ;
2
φ̈ + ṙφ̇ = 0
r
7 Geodäten in 2-d Polarkoordinaten
49
Geradengleichung einsetzen:
ax + by = c
y = mx + n
ar cos(φ) + br sin(φ) = c
ṙ(a cos φ + bsinφ) + r(−a sin φ + b cos φ)φ̇ = 0
r̈(a cos φ + bsinφ) + 2ṙ(−a sin φ + b cos φ)φ̇ +
r(−a cos φ − b sin φ)φ̇2 + r(−a sin φ + b cos φ)φ̈ = 0
(r̈ − rφ̇2 )(a cos φ + b sin φ) + (2ṙφ̇ + rφ̈)(−a sin φ + b cos φ) = 0
¨
(r̈ − rφ̇2 )(a cos φ + b sin φ) + (2ṙφ̇ + rvarphi)(−a
sin φ + b cos φ) = 0
;
r̈ − rφ̇2 = 0,
2
φ̈ + ṙφ̇ = 0
r
q.e.d.
Geradengleichung ableiten:
;
r̈ = rφ̇2
ṙ
φ̈ = −2 φ̇
r
η = φ̇
φ̈
η̇
ṙ
=
= −2
φ̇
η
r
; (ln˙ η) = −2(ln˙ r) =
1
+ const
r2
const
k
= 2
2
r
r
k
r2
k2
r2
ln η = ln
;
η =
φ̇ =
;
r̈ =
( ˙ )
1
ln 2
r
50
II. Mathematische Grundlagen
Ansatz für r(λ) :
√
r =
1
(2αλ + β)
2r
α (2αλ + β)2
α 1 (2αλ + β)2
=
−
−
r
2
2rr2
r
4r3
2
2
α (2αλ + β)
k
−
− 3 = 0
3
r
4r
r
(2αλ + β)2 + 4k 2 !
= αλ2 + βλ + γ
4α
4αγ − β 2
β 2 + 4k 2
bzw k 2 =
4α
4
ṙ =
r̈ =
r̈ −
k2
r3
;
r2 =
;
αλ2 + βλ + γ
=
γ =
Umschrift der Konstanten α, β, γ :
r2 = x2 + y 2 = (vx λ + x0 ) + (vy λ + y0 )2
;
α = vx2 + vy2
β = 2vx x0 + 2vy y0
γ = x20 + y02
}
1{ 2
k2 =
4(vx + vy2 )(x20 + y02 ) − 4(vx x0 + vy y0 )2
}
{4 2 2
2
k = vx x0 + vy2 y02 + vx2 y02 + vy2 x20 − vx2 x20 − vy2 y02 − 2vx vy x0 y0
[
]
k 2 = (vx y0 − vy x0 )2
= (v 0 × x0 )2z
∝
Drehimpuls
;
!
k = −(vx y0 − vy x0 ) = (x0 × v)z
;
φ̇ - Integration
φ̇ > 0
bei „Rechtsdrehung“
7 Geodäten in 2-d Polarkoordinaten
√
φ̇ =
4αγ − β 2
(
2α
1
)2
β
λ + 2α
+
γ
α
−
51
φ̇
=
φ̇
=
β2
4α2
=
γ
β2
− 2
α 4α
=
φ̇
=
√
4αγ − β 2
k
k
1
η= 2 =
=
2
2
r
αλ + βλ + γ
2 αλ + βλ + γ
√
2
4αγ − β
1
β
2α
λ2 + α λ + αγ
√
γ
β2
1
− 2(
)
2
α 4α
β2
β2
λ + 2α
+ αγ − 4α
2
β2
k2
β2
k2
+
−
=
4α2 α2 4α2
α2
1
1
k
α
=
(
)2
( β )2
2
α
k
β
λ+ 2α
λ + 2α
+ αk 2
1+
k
α
τ
:=
dτ
=
φ
=
λ+
β
2α
k
α
,
α
dλ
k∫
α
dλ
k
(
1+
∫
=
φ
=
1
β
λ+ 2α
)2
k
α
dτ
= arctan τ + const
1 + τ2
β
λ + 2α
+ const.
arctan
k
α
Umschrift der Konstanten α, β, k :
(
φ = arctan
(
α
β
λ+
k
2k
)
+ const
vx2 + vy2
vx x0 + vy y0
φ = arctan −
λ−
vx y0 − vy x0
vx y0 − vy x0
)
Additionstheorem:
arctan x + arctan y = arctan
Wahl der Integrationskonstanten :
λ=0
;
φ0 = arctan
y0
x0
x+y
1 − xy
+ const
52
II. Mathematische Grundlagen
(
)
vx x0 + vy y0
= arctan −
+ const
v x y0 − v y x 0
vx x0 + vy y0
y0
const = arctan
+ arctan
vx y0 − vy x0
x0
arctan
y0
x0
const = arctan
1
vx x0 +vy y0
y0
vx y0 −vy x0 + x0
v x +v y
− vxx y00−vyyx00 · xy00
(vx x0 + vy y0 )x0 + (vx y0 − vy x0 )y0
(vx y0 + vy x0 )x0 − (vx x0 + vy y0 )y0
)
(
vx (x20 + y02 )
vx
const = arctan
= arctan −
vy
−vy (x20 + y02 )
(
)
(
)
2
2
vx + vy
vx x0 + vy y0
vx
φ = arctan −
λ−
+ arctan −
vx y0 − vy x0
vx y0 − vy x0
vy
const = arctan
v 2 +v 2
v x +v y
− vx yx0 −vyy x0 λ − vxx y00−vyyx00 − vvxy
(
)
φ = arctan
v 2 +v 2
v x +v y
1 + − vx yx0 −vyy x0 λ − vxx y00−vyyx00 ·
vx
vy
−(vx2 + vy2 )vy λ − {(vx x0 + vy y0 )vy + (vx y0 − vy x0 ) · vx }
φ = arctan
(vx y0 − vy x0 )vy − (vx2 + vy2 )λvx − (vx x0 + vy y0 )vx
−(vx2 + vy2 )vy λ − (vy2 + vx2 )y0
−(vy2 + vx2 )x0 − (vx2 + vy2 )vx λ
v y λ + y0
y
= arctan
φ = arctan
vx λ + x 0
x
φ = arctan
Zusammenfassung :
√
√
αλ2 + βλ + γ =
(vx λ + x0 )2 + (vy λ + y0 )2 =
x2 + y 2
(
)
v y λ + y0
α
β
y
φ = arctan
λ+
+ const = arctan
= arctan
k
2k
vx λ + x0
x
r =
√
Gerade als Geodäte bestätigt!
8
Kovariante Diﬀerentialoperatoren
Mittels kovarianter Ableitung ist Angabe von grad, rot, div in krummlinigen Koordinaten
äußerst einfach.
Determinante des metrischen Tensors
• indizierter Index für nächste Rechnung i1 , . . . , i4
g = ∆i1 i2 i3 i4 g1i1 g2i2 . . . g4i4
(II.214)
8 Kovariante Diﬀerentialoperatoren
53
Diﬀerentiation nach ξ l mit Anwendung der Leibnitz-Produkt-Regel
g|l =
4
∑
∆i1 ...i4 g1i1 . . . gnin |l . . . g4i4
(II.215)
n=1
gnin |l = gnm|l δimn = gnm|l g mr grin
g|l =
=
4
∑
n=1
4
∑
(II.216)
∆i1 ...i4 g1i1 . . . gnm|l g mr grin . . . g4i4
(II.217)
gnm|l g mr ∆i1 ...i4 g1i1 . . . grin . . . g4i4
(II.218)
n=1
( gnin zugunsten von grin ersetzt )
• Betrachtung der Summation über n und Summanden mit r ̸= n : enthalten sind Produkte grin · grir , die symmetrisch in in und ir sind; ∆i1 ...i4 ist aber antisymmetrisch, so
dass alle diese Terme verschwinden.
• überlebt nur Summand mit r = n :
g|l = gnm|l g mn g
−g|l = −g gnm|l g
(ln(−g))|l = g
mn
(II.219)
mn
(II.220)
(II.221)
gnm|l
Transformationseigenschaft von g
gi′ j ′ = Aki′ Alj ′ gkl
(II.222)
• Determinantenbildung via
gi′ j ′
;
g
′
g
′
= Ai′k gkl Alj ′
=
=
(II.223)
det(Aki′ ) · g · det(Alj ′ )T
{det(Akj′ )}2 g
2
= A g
( k)
( )
∂ξ
k
mit A = det Ai′ = det
∂ξ i′
; g i.a. kein Tensor
(II.224)
(II.225)
(II.226)
Jacobi - Det.
(II.227)
• g’,g ändern nie Vorzeichen! Da Riemannsche Räume betrachtet werden, die lokal die
Einführung eines Minkowski-Systems gestatten, gilt g ′ , g < 0 .
ϵ - Tensor
54
II. Mathematische Grundlagen
• ∆ijkl ist i.a. Riemannschen Raum kein Tensor, wohl aber im Minkowski-Raum, denn
′
′
dort gehen die Transformationsmatrizen Aij in die Lorentz-Matrizen Lij über
• nach Deﬁnition des Levi-Civita-Symbols muss gelten ∆′... = ∆... ,
um Lorentz-Tensor zu sein, muss auch gelten
′ ′ ′ ′
′
′
′
′
∆i j k l = Lii Ljj Lkk Lll ∆ijkl
(II.228)
( ′)
det Lii = ∆ijkl L1i L2j L3k L4l
(II.229)
• nun gilt aber
oder auch
′ ′ ′ ′
′
′
′
′
∆i j k l det(Lii ) = ∆ijkl Lii Ljj Lkk Lll
′
(II.230)
• für eigentliche Lorentz-Transformationen ( auf die wir uns hier beschränken) gilt aber
( ′)
det Lii = 1
und somit
′ ′ ′ ′
′
′
′
′
∆i j k l = Lii Ljj Lkk Lll ∆ijkl
(II.231)
und ∆ijkl ist Tensor im Minkowski-Raum oder Lorentz- Tensor
• Durchführung einer Koordinatentransformation von Minkowski-Koordinaten zu beliebigen Krummlinigen Koordinaten und Deﬁnition von
i′ j ′ k ′ l ′
ϵ
′
=
nun ist i.a.
=
hier aber A
=
da von Minkowski- Raum mit g
=
′ ′ ′ ′
′
i′ j ′ k′ l′
A−1 · ∆
√
A
ϵi j k l
′
′
∂ξ i ∂ξ j ∂ξ k ∂ξ l ijkl
:=
∆
∂xi ∂xj ∂xk ∂xl
′
′
′
′
= Aii Ajj Akk All ∆ijkl
=
√
;
(II.232)
(II.233)
(II.234)
g′
,
g
(II.235)
−g ′ ,
(II.236)
−1 ausgegangen wurde; somit
′ ′ ′ ′
∆i j k l
√ ′
(II.237)
−g
8 Kovariante Diﬀerentialoperatoren
55
• ϵijkl ist ein Riemann-Tensor 4. Stufe, denn
′ ′ ′ ′
ϵi j k l
′
!
′
′
′
= Aii Ajj Akk All ϵijkl
′ ′ ′ ′
∆i j k l
′
′
′
′
∆ijkl
= Aii Ajj Akk All √ ′
−g
′ j ′ k ′ l′
i
∆
= A−1 √
−g
√
g′
A =
g
√ ′
−g
(II.238)
(II.239)
(II.240)
q.e.d.
Transformation des Volumenelementes
• bekanntlich gilt
d4 ξ = A d 4 ξ ′
| d4 ξ = dξ 1 dξ 2 dξ 3 dξ 4
( i)
A = det Aj ′
Jacobi - Determinante
√
√
g′
−g ′
A =
=
g
−g
• folglich
√
und
−g d4 ξ =
√
−g ′ d4 ξ ′
• gilt für beliebige Dimensionen und ebenso für g → −g
• Beispiel: 3-dimensional
ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2

1 0 0
(gab ) =  0 1 0 
0 0 1

g = 1
(II.242)
(II.243)
(II.244)
√
−g d4 ξ ist Tensor 0. Stufe
ξ = (x, y, z)
(II.241)
ξ ′ = (r, Θ, φ)
ds2 = dr2 + r2 dΘ2 + r2 sin2 Θdφ2

1 0
0

0
(ga′ b′ ) =  0 r2
2
2
0 0 r sin Θ

g ′ = r4 sin2 Θ
dxdydz = r2 sin ΘdrdΘdφ
Gradient in krummlinigen Koordinaten und beliebiger Dimension
56
II. Mathematische Grundlagen
• kovariante Ableitung eines Skalars geht in partielle Ableitung über
(II.245)
S||k = S|k ,
k
gradS = S|k b
(
• Beispiel: 2-dim. Polarkoordinaten;
(gab ) =
|k
(II.246)
= S bk
1 0
0 ϱ2
)
(
,
(g ab )
=
1
0
0
)
1
ϱ2
(II.247)
ξ = (ϱ, φ)
∂S
S|1 =
∂ϱ
∂S
S|2 =
∂φ
(II.248)
(II.249)
g11 = b1 · b1 = 1
→
|b1 | = 1
(II.250)
=b ·b =1
→
|b | = 1
(II.251)
→
|b2 | = ϱ
1
|b2 | =
ϱ
(II.252)
g
11
1
1
1
Dann deﬁnieren wir eϱ := b1 = b1 mit |eϱ | = 1
g22 = b2 · b2 = ϱ2
1
g 22 = b2 · b2 = 2
ϱ
Dann deﬁnieren wir eφ :=
→
1
ϱ b2
→
(II.253)
= ϱ b2 mit |eϱ | = 1
gradS = S|1 b1 + S|2 b2 =
∂S 1
∂S
eϱ +
e
∂ϱ
∂φ ϱ φ
.
(II.254)
Die Rotation ist eine an den 3-dimensionalen Raum angepasste Konstruktion. Ihre Verallgemeinerung für beliebige Dimensionen ist der folgende antisymmetrische Tensor:
• Deﬁnition: antisymmetrischer Tensor
vi||k − vk||i
(II.255)
vi||k − vk||i = (vi|k − Γpik vp ) − (vk||i − Γpki vp ) = vi|k − vk|i
(II.256)
• folglich
• Besonderheit in 3 Dimensionen
va||b − vb||a hat 3 unabhängige nichtverschwindende Komponenten
; Zusammenfassung in einem 3-Vektor
kartesisch:
1
(rotv)a = ∆abc vc|b = ∆abc (vc|b − vb|c )
2
(II.257)
8 Kovariante Diﬀerentialoperatoren
57
krummlinig:
(rotv)a =
=
=
1 abc
ϵ (vc||b − vb||c )
2
1 ∆abc
√ (v − vb|c )
2 g c|b
1
√ ∆abc vc|b
g
(II.258)
Divergenz in krummlinigen Koordinaten und beliebigen Dimensionen
• Minkowski-Raum :
div v = v i |i
• Riemannscher Raum :
div v = v i ||i
v i ||i = v i |i + Γiik v k
(II.259)
• Kontraktion des Christoﬀel-Symbols
1 im
g (gmi|k + gmk|i − gik|m )
2
= g im gik|m Symmetrie i ↔ m
Γiik =
g im gmk|i
Γiik =
1 im
1 g|k
g gmi|k =
2
2 g
√
( −g)|k
√
= (ln −g)|k = √
−g
(II.260)
(II.261)
(II.262)
• Daher
1 √
v i ||i = v i |i + √ ( −g)|k v k
−g
√
1
v i ||i = √ ( −gv k )|k
−g
(II.263)
(II.264)
Gaußscher Satz in krummlinigen Koordinaten und beliebigen Dimensionen
• kartesisch, 3-dim.
∫
∫
a
d3 x v|a
=
V
• Minkowski - Raum
(II.265)
dfi v i
(II.266)
(V )
∫
∫
4
d x
V
dfa v a
v|ii
=
(V )
58
II. Mathematische Grundlagen
• Riemannscher Raum
∫
∫
∫
√
√
4
i
4 √
i
−g d ξ v||i = d ξ( −gv )|i =
dfi −gv i
V
V
(II.267)
(V )
Bemerkung zu Integralsätzen im Riemannschen Raum
• Gaußscher Satz im 4-dim Raum verknüpft 4-dim Volumen mit 3-dim Hyperﬂäche
• Es existieren weitere Integralsätze: Verknüpfung einer 3-dim Hyperﬂäche mit 2-dim Fläche sowie Verknüpfung einer 2-dim Fläche mit einem Kurven-Integral (äquivalent zum
Stokesschen Satz).
8 Kovariante Diﬀerentialoperatoren
59
Zusammenfassung
Kovariante Diﬀerentialoperatoren
Verallgemeinerung von grad,rot,div etc. im RR mittels kovarianter Ableitung
grad S
−→
S||i = S|i
rot v
−→
div v
−→
vi||k − vk||i = vi|k − vk|i
1 √
v i ||i = √ ( −gv i )|i
−g
Determinante des metrischen Tensors
g = det(gik ) = ∆ijkl g1i g2j g3k g4l
Transformation von g
g ′ = A2 g
A = det(Aki′ )
∂ξ k
Aki′ =
∂ξ i′
Levi-Civita-Symbol
′ ′ ′ ′
∆i j k l = ∆ijkl
( kein Riemann - Tensor )
ϵ - Tensor
∆ijkl
ϵijkl = √
−g
Volumenelement
( Riemann - Tensor )
d4 ξ := dξ 1 dξ 2 dξ 3 dξ 4
√
−g ′ d4 ξ ′ =
√
−gd4 ξ
( Riemann - Tensor 0. Stufe )
60
II. Mathematische Grundlagen
Gaußscher Satz
∫
V
√
v i ||i −gd4 ξ =
∫
V
√
( −gv i )|i d4 ξ =
∫
(V )
√
−g v i dfi
9 Spezielle Koordinatensysteme
9
61
Spezielle Koordinatensysteme
Orthogonale Koordinaten
• es gilt
ds2 = g11 (dξ 1 )2 + g22 (dξ 2 )2 + g33 (dξ 3 )2 + g44 (dξ 4 )2
= 0 für i ̸= j
(II.269)
= 0
(II.270)
bi ⊥ bj
(II.271)
gij
bzw. bi · bj
bzw.
(II.268)
• orthogonale Koordinaten sind nicht immer einführbar, denn:
KS’ sei beliebiges nichtorthogonales System
KS sei das zu erzeugende orthogonale System
ξk
=
ξ k (ξ ′ )
Transformation ξ ′ → ξ
k ̸= l :
′
gi′ j ′ Aik Ajl
′
=
gkl = 0
′
=
ˆ 6 part. Dgln für 4 Funktionen ξ k (ξ ′ ) bzw. ξ i (ξ)
• orthogonale Koord. in 3-dim. Raum
a ̸= b :
′
′
gc′ d′ Aca Adb = gab = 0
3 part. Dgln für 3 Funktionen ξ a (ξ ′ ) ,
i.a. möglich auf eine bestimmte Weise
• orthogonale Koordinaten im 2-dim Raum
gab = 0;
a, b = 1, 2
1 Bedingung für 2 Funktionen ξ a (ξ ′ ) ; mehr als eine Möglichkeit des Übergangs von
beliebigen zu orthogonalen Koordinaten
Zeitorthogonale Koordinaten
ξ 4 nennen wir „Zeit“ , z.B. ξ 4 = ct
• es gilt
ds2 = gab dξ a dξ b + g44 (dξ 4 )2 ,
ga4 = 0
⇒
g a4 = 0
also ba · b4 = 0 ,
ba ⊥ b4
(ÜA)
62
II. Mathematische Grundlagen
• immer einführbar, denn ga4 = 0 sind 3 Bedingungsgleichungen für 4 Funktionen ξ i (ξ ′ );
es ist sogar erreichbar
ds2 = gab dξ a dξ b ± (dξ 4 )2
(Gaußsche Koordinaten)
′
(II.272)
′
Vorstellung einer Strömung eines Fluides im 3-dim Raum, wobei ξ a räumliche und ξ 4 zeitliche Koordinaten darstellen. Ist es nun möglich, ein Koordinatensystem KS zu ﬁnden, dass
vollständig mit dem Fluid mit schwimmt, und damit das Fluid in dem zu ﬁndenden Koordinatensystem dann ruht?
• Geschwindigkeitsfeld
′
′
ui (ξ) =
dξ i
dλ
(II.273)
mit λ invarianter Parameter, z. B. s
• KS’ beliebig
• KS mitbewegt, d.h. ua = 0 , u4 ̸= 0
• mitbewegte Koordinaten sind immer einführbar, denn:
ua
′
, da ui ∝ dξ i
∂ξ a j ′
= 0 : 0 =
u
∂ξ j ′
=
ˆ 3 entkoppelten Dgln. für
ui = Aij ′ uj
(II.274)
(II.275)
ξ a (ξ ′ )
′
⇒ ξ (ξ ) bestimmbar
a
(II.276)
(II.277)
• u4 kann nicht zu 0 transformiert werden, denn dann entstünde homogenes System
∂ξ i j ′
u
∂ξ j ′
0 =
(II.278)
und die Jacobi- Determinante verschwindet; es wird jedoch gefordert
( i)
∂ξ
det
= det(Aij ′ ) ̸= 0
∂ξ j ′
(II.279)
Lokale Minkowski - Koordinaten
• ein Koordinatensystem mit in jedem Ereignis orthogonalen Koordinatenlinien lässt sich
im 4-dim. Riemannschen Raum i.a. nicht einführen (s.o.)
• in einem beliebig vorgegebenen Punkt ξ0 sind orthogonale Koordinaten aber sehr wohl
möglich; anschaulich klar; mathematisch klar, da die konstante Metrik gi′ k′ (ξ0′ ) immer
auf Hauptachsen transformiert werden kann, also
′
′
ds2 = g1′ 1′ (ξ0′ )(dξ 1 )2 + ... + g4′ 4′ (ξ0′ )(dξ 4 )2
(II.280)
9 Spezielle Koordinatensysteme
63
sowie Koordinaten- Streckung
ξ1 =
√
′
|g1′ 1′ | ξ 1
, usw , also
(II.281)
= ±(dξ ) ± (dξ ) ± (dξ ) ± (dξ )
2
1 2
ds
2 2
3 2
4 2
(II.282)
• aus mathematischer Sicht lässt sich über die Vorzeichen keine weitere Aussage machen;
aus physikalischer Sicht fordern wir den Anschluss an den Minkowski-Raum (3+,1-) ,
also z.B.
ds2 = (dξ 1 )2 + (dξ 2 )2 + (dξ 3 )2 − (dξ 4 )2
2
ds
i
= ηij dξ dξ
j
(II.283)
(II.284)
• Bemerkung: In physikalisch relevanten Räumen kann es singuläre Ereignisse geben, in
denen
ds2 = ηij dxi dxj
(II.285)
nicht möglich ist, z.B. im Innern Schwarzer Löcher
• im Ereignis ξ0 ist damit ein Minkowski-System eingeführt; ein solches Minkowski-System
kann sogar noch auf die (diﬀerentielle) Umgebung von ξ0 ausgedehnt werden
• Beispiel im 2-dim Raum
ξ0
Abbildung II.12: Tangentialﬂäche
Abweichungen zwischen Fläche und Tangentialebene in Umgebung von ξ0 von 2.Ordnung
• 4- dim. Raum : Projektion der Koordinaten des Tangential-Minkowski-Raumes auf den
64
II. Mathematische Grundlagen
Riemannschen Raum bei ξ0
⇒
1
gmn (ξ) = ηmn + dmnjk (ξ i − ξ0i )(ξ k − ξ0k )
2
k
k
für ξ ∈ U (ξ0 )
(II.286)
oder mit xi = ξ i − ξ0i
1
gmn (x) = ηmn + dmnik xi xk
2
(II.287)
• Tangential-Minkowski-Raum wird lokal ebenes System genannt
• Bedingung
gmn|p (ξ0 ) = 0
(II.288)
ist als Deﬁnitions- Gleichung für die lokalen Minkowski-Koordinaten aufzufassen
• damit verschwinden im lokalen Minkowski-System auch alle Christoﬀel-Symbole:
Γimn (ξ0 ) = 0 ,
(II.289)
jedoch nicht die Ableitungen
Γimn|p (ξ0 ) ̸= 0
(i.a.)
(II.290)
• wg. Γimn = 0 gehen Geodäten-Gleichungen allg.
k
l
d2 ξ i
i dξ dξ
+
Γ
kl
dλ2
dλ dλ
= 0
(II.291)
( λ aﬃner Parameter )
in
d2 xi
dλ2
= 0
(II.292)
über; gilt natürlich nur lokal; d.h. Koordinatenlinien sind Geodäten, z.B. x1 variabel;
x2 , x3 , x4 je konstant
⇒ lokales Minkowski-System wird auch lokal geodätisches System genannt.
• wie gut die Ersetzung des gekrümmten durch den Tangentialraum ist, hängt von der
Grösse der Koeﬃzienten dmnik ab; als Maß für Krümmung des Raumes zu vermuten
• lokal geodätische Systeme sind genau die Systeme der klassischen Physik!
Interpretation von Koordinatensystemen
• Koordinaten sind Namen für Ereignisse in der Welt
• Koordinaten haben mit physikalischen Eigenschaften zunächst nichts zu tun
9 Spezielle Koordinatensysteme
65
• Auswahl spezieller Koordinaten durch reine Zweckmäßigkeit, manche sind leichter interpretierbar
• alle Koordinatensysteme sind gleichwertig
• nach Einführung eines Koordinatensystems lässt sich die Metrik des Raumes ausmessen:
Längen, Winkel, ...
• als physikalische Messgrößen eignen sich nur solche Größen, die unabhängig von Koordinatesystem sind; Messgrößen lassen sich invariant schreiben
• Inertialsysteme sind lokal immer einführbar; physikalisch sind sie letzlich nicht ausgezeichnet, da sie global nicht existieren
• Historische Bemerkung: Streit zw. Ptolemäus und Kopernikus;
physikalisch gleichwertig und „richtig“ , heliozentrisches System ist zweckmäßiger und es
ist in größeren Umfeld näherungsweise inertial; heliozentr. System ist unbestritt. philosoph. Fortschr.
66
9.1
9.1.1
II. Mathematische Grundlagen
Zusammenfassung
Spezielle Koordinatensysteme
Orthogonale Koordinaten
ds2 = g11 (dξ 1 )2 + g22 (dξ 2 )2 + g33 (dξ 3 )2 + g44 (dξ 4 )2
gik = bi bk = 0,
bi ⊥ bk für i ̸= k
4 - dim. RR : nicht immer einführbar
3 - dim. RR : eindeutig einführbar
2 - dim. RR : mehrdeutig einführbar
Zeitorthogonale Koordinaten :
ξ 4 = ct
ds2 = gab dξ a dξ b + g44 dct2
ga4 = ba b4 = 0,
ba ⊥ b4
immer einführbar
z.B. Gaußsche Koordinaten:
g44 = ±1
ds2 = gab dξ a dξ b ± dct2
Mitbewegte Koordinaten
ui =
!
dξ i
,
dλ
ua = 0
, immer einführbar
Lokale Minkowski - Koordinaten ( Lokale IS)
ξ ∈ U (ξ0 ) :
mathematisch:
physikalisch:
ds2 = gik (ξ0 )dξ i dξ k
′
′
′
′
= ±(dξ 1 )2 ± (dξ 2 )2 ± (dξ 3 )2 ± (dξ 4 )2
′
′
′
′
= (dξ 1 )2 + (dξ 2 )2 + (dξ 3 )2 − (dξ 4 )2
10 Krümmungstensor
10
67
Krümmungstensor
• bisher stand Krümmung der Koordinaten im Vordergrund, Krümmung des Raumes nur
am Rande, Standardbeispiel Kugeloberﬂäche im 2 dim. Raum
• krummlinige Koordinaten sind natürlich auch im ﬂachen Raum möglich, z.B. ebene
Polarkoordinaten
ds2 = dρ2 + ρ2 dφ2
(
)
1 0
(gab ) =
a, b = 1, 2
0 ρ2
(II.293)
(II.294)
• im ﬂachen Raum existiert eine Koordinatentransformation
ξ ⇒ x,
x
i′
bzw. ξ i
′
=
xi (ξ j )
=
ξ i (xj )
′
die die krummlinigen Koordinaten ξ in kartesischen Koordinaten bzw. Minkowski-Koordinaten
x überführt
• die Koordinatentransformation ﬁndet man auf folgende Weise, es gilt
ηi′ j ′
∂ξ k ∂ξ l
·
gkl (ξ)
∂xi′ ∂xj ′
′
′
∂xk ∂xl
·
ηk′ l′
=
∂ξ i ∂ξ j
= Aki′ Alj ′ gkl =
′
′
bzw. gij (ξ) = Aki Alj ηk′ l′
(II.295)
(II.296)
• z.B. die untere Gleichung ist aufzufassen als System von Dgl. für die gesuchten Funktio′
′
nen xi (ξ j ) ; gesucht sind 4 Funktionen xi (ξ j ) bei 10 Dgln. , d.h. ∃ nur Lösungen unter
bestimmten Bedingungen, eben wenn gij (ξ) einen ﬂachen und nicht wirklich gekrümmten
Raum beschreibt
• technisch leicht lösbar ist das Dgl-System i.a. nicht, so dass dies als Bewertungskriterium
für die Raum-Krümmung entfällt
68
II. Mathematische Grundlagen
• 1. Beispiel: Ebene Polarkoordinaten ⇒ ebene kartes. Koordinaten
ds2 = dρ2 + ρ2 dφ2 = dx2 + dy 2
1
: KS
(II.298)
2′
′
(II.299)
(ξ , ξ ) = (ρ, φ)
1′
(II.297)
2
(x , x ) = (x, y)
gab (ρ, φ) =
11
:
22
:
12
:
: KS
′
∂xc
′
∂xd
∂ξ a
∂ξ b
∂x ∂x
∂y ∂y
+ a b
a
b
∂ξ ∂ξ
∂ξ ∂ξ
( )2 ( )2
∂x
∂y
1 =
+
∂ρ
∂ρ
( )2 ( )2
∂x
∂y
ρ2 =
+
∂φ
∂φ
∂x ∂x ∂y ∂y
0 =
+
∂ρ ∂φ ∂ρ ∂φ
δc′ d′ =
(II.300)
(II.301)
(II.302)
(II.303)
Lösung: x = ρ cos φ
(II.304)
y = ρ sin φ
(II.305)
?
• 2. Beispiel: Kugeloberﬂäche −→ ebenen kartesischen Koordinaten
ds2 = R02 (dΘ2 + sin2 Θdφ2 ) ,
1
2
1
2
R0 = const.
(II.307)
(ξ , ξ ) = (Θ, φ) ,
(x , x ) = (x, y)
11
:
22
:
12
:
(
∂x
∂Θ
)2
(
)2
∂y
∂Θ
( )2 ( )2
∂x
∂y
R02 sin2 Θ =
+
∂φ
∂φ
∂x ∂x
∂y ∂y
0 =
+
∂Θ ∂φ ∂Θ ∂φ
R02 =
(II.306)
+
(II.308)
(II.309)
(II.310)
(II.311)
keine globale Lösung, nur lokale Lösungen z.B. für |Θ| << 1 , d.h. sin Θ ≈ Θ , dann
Struktur des Dgl. - Systems genau wie im 1. Beispiel :
R0 wegnormieren
Θ↔ρ
φ↔φ
Beispiele veriﬁzieren noch einmal, dass
• gik hängen ab von der Struktur des Riemannschen Raumes
• gik hängen ab von Koordinaten
• gik ist es nicht leicht anzusehen, ob der Raum ﬂach oder gekrümmt ist
10 Krümmungstensor
69
Konstruktion des Krümmungstensors
• Raum ist ﬂach, wenn Krümmungstensor verschwindet (wird unten gezeigt )
• Krümmung hängt wesentlich mit Nichtvertauschbarkeit der zweiten kovarianten Ableitungen eines Vektors zusammen
• vgl. Formel Abschnitt (II.139)
vi||k||p − vi||p||k = −Rmikp vm
(II.312)
mit
Def.: Krümmungstensor Rmikp
m
r m
r m
Rmikp := Γm
ik|p − Γip|k + Γik Γrp − Γip Γrk
(II.313)
Kontraktion des Krümmungstensors
Def.: Ricci - Tensor Rip
Rip := Rmimp = g km Rmikp
(II.314)
R := Ri i = g ip Rip
(II.315)
Rip = Rpi
(II.316)
Def.: Krümmungsskalar R
Es gilt
Darstellung mit 2. Ableitungen der Metrik
Rmikp = gms Rsikp
Rmikp =
gms (Γsik|p
(II.317)
−
Γsip|k
+
Γrik Γsrp
−
Γrip Γsrk )
(II.318)
Zwischenrechnung
gmn Γnps + gsn Γnpm = gms|p =
ˆ gms||p = 0
(II.319)
gms Γsik|p = (gms Γsik )|p − gms|p Γsik
1
(g
+ gmk|i − gik|m )|p − (gmn Γnps + gsn Γnpm )Γsip
=
2 mi|k
(II.320)
zurück zu Rmikp
1.Term
70
II. Mathematische Grundlagen
2.Term p↔k
gms Γsip|k =
1
(g
+ gmp|i − gip|m )|k − (gmn Γnks + gsn Γnkm )Γsip
2 mi|p
(II.321)
Diﬀerenz 1. - 2. Term
gms (Γsik|p − Γsip|k ) =
1
(g
− gik|m|p − gmp|i|k + gip|m|k )
2 mk|i|p
n s
− gmn Γps Γik − gsn Γnpm Γsik
(II.322)
+ gmn Γnks Γsip
| {z }
fallen weg gegen 3. und 4. Term in Rmikp
+ gsn Γnkm Γsip
| {z }
bleiben erhalten
3.Term
gms Γrik Γsrp = gmn Γsik Γnsp (s → n, r → n)
(II.323)
gms Γrip Γsrk = gmn Γsip Γnsk
(II.324)
4.Term
• Krümmungstensor mit 2.Ableitungen der Metrik folgt zu
Rmikp =
1
(g
+ gip|m|k − gmp|i|k − gik|m|p )
2 mk|i|p
+ gsn (Γsip Γnmk − Γsik Γnpm )
(II.325)
Symmetrie des Krümmungstensors u. Ricci-Tensors
• aus obiger Relation für Rmikp folgt
Rmikp = Rkpmi
(II.326)
Rmikp = −Rimkp = −Rmipk = Rimpk
(II.327)
Rmikp + Rmpik + Rmkpi = 0 =: Rm<ikp>
1
:3
:2
: 1 + gip|m|k
gmp|i|k
( g Rmikp =
− 2 mk|i|p
(II.328)
Rmpik =
Rmkpi =
−
1
(
2
+
1
(
2
+
(II.329)
:b
:a
n
n
: 4) + gsn ( ΓsΓ
Γsik
gik|m|p
Γ
mp )
ip mk − :2
: 1 − gpi|m|k
:6
: 5 + gpk|m|i
gmk|p|i
gmi|p|k
)
− :a
: c − ΓsΓ
n
n
Γspk
gsn ( Γ
mi
pi mk )
:5
: 4 − gmi|k|p
gki|m|p
−
: b − Γs Γ
:c
n
Γski
gsn ( Γ
n
mi )
mp
kp
:3 +
gmp|k|i
Ri ikp = g im Rmikp = 0
: 6)
gkp|m|i
(II.330)
(II.331)
(II.332)
(II.333)
(II.334)
(II.335)
10 Krümmungstensor
71
•
Rip = g mk Rmikp = g mk Rkpmi = Rpi
(II.336)
Anzahl unabhängiger Komponenten von Rmikp
(vgl. Fließbach, ca. S.92)
• Rmikp im N-dim. Raum:
N 4 Komponenten, 44 = 256, aber meist 0.
• wg. Antisymmetrie in (mi) und (kp) kann jeder Doppelindex (mi) bzw. (kp) genau
M=
N2 − N
N (N − 1)
=
2
2
(II.337)
Werte annehmen
• Bzgl. dieser beiden Doppelindizes ist R(...)(...) ein symmetrischer Ausdruck mit
M2 − M
M (M + 1)
+M =
2
2
(II.338)
Elementen.
• somit zunächst
1
N (N − 1)[ 12 N (N − 1) + 1]
M (M + 1)
1
= 2
= {(N 2 − N )(N 2 − N + 2)} (II.339)
2
2
8
• bzgl. der Einschränkungen durch die „zyklische“ Symmetrie folgende Überlegung; Einarbeiten der bereits benutzten Symmetrien, also Antisymmetrie m ↔ i , k ↔ p sowie
Symmetrie (mi) ↔ (kp) auf folgende Weise:
Rmikp =
1
(Rmikp − Rimkp − Rmipk + Rimpk
8
+Rkpmi − Rpkmi − Rkpim + Rpkim )
(II.340)
→ Rm<ikp> hat 24 = 4! Terme mit jeweils verschiedener Reihenfolge der 4 Indizes. Jede
Permutation ergibt ein Minuszeichen der Gesamtsumme
−→ Gesamtsumme ist total antisymmetrisch
−→ Rm<ikp> ist nur nichttriviale zusätzliche Bedingung, wenn alle 4 Indizes verschieden
sind; es gibt
(
) {
N!
N
(N −4)!4! N ≥ 4
=
(II.341)
4
0
N <4
Möglichkeiten, vier verschiedene Indexwerte aus N auszuwählen;
72
II. Mathematische Grundlagen
• Anzahl CN der unabhängigen Komponenten
CN
=
=
=
=
CN
=
(
)
1 2
N
2
(N − N )(N − N + 2) −
4
8
1 2
N (N − 1)(N − 2)(N − 2)
(N − N )(N 2 − N + 2) −
8
24
3(N 4 − 2N 3 + 3N 2 − 2N ) − (N 4 − 6N 3 + 11N 2 − 6N )
24
2N 4 − 2N 2
24
1 2 2
N (N − 1)
12
(II.342)
•
C1 = 0
C2 = 1
C3 = 6
C4 = 20
• unabhängige Komponenten des Ricci-Tensors
Rip
=
−→
(II.343)
Rpi
10 Komponenten bei N = 4
Beispiele
• 1-dim Raum:
Krümmungstensor verschwindet immer, C1 = 0
ξ = (ξ 1 )
ds2 = g11 (dξ 1 )2
′
Weglänge s kann als Koordinate ξ 1 gewählt werden,
√
ds = ± |g11 (ξ 1 )|dξ 1
′
ds2 = ±(dξ i )2
−→ g1′ 1′
= ±1,
äußere Krümmung der Kurve in einem höherdimensionalen Raum spielt keine Rolle;
wichtig ist nur die innere Krümmung; nur diese beeinﬂußt Längen- und Winkelmessung,
also die Metrik.
10 Krümmungstensor
73
• 2- dim. Raum :
C2 = 1 ,
nichtverschwindend nur R1212 = −R2112 = −R1221 = R2121 ,
diese eine Komponente lässt sich durch den Krümmungsskalar R ausdrücken:
Ricci- Tensor
Rip = Rmimp = g ms Rsimp
11
(II.344)
12
21
22
Rip = g R1i1p + g R1i2p + g R2i1p + g R2i2p
22
22
(II.345)
(II.346)
R11 = g R2121 = g R1212
R12 = g R2112 = −g R1212
(II.347)
R21 = g R1221 = R12 = −g R1212
(II.348)
21
12
12
12
11
11
(II.349)
R22 = g R1212 = g R1212
Krümmungsskalar
R = Ri i = g ij Rji
(II.350)
R = (g 11 g 22 − g 12 g 12 − g 12 g 12 + g 22 g 11 )R1212
(II.351)
ik
(II.352)
R = 2 det(g )R1212
R1212
R = 2
g
(II.353)
Beispiel: Kugeloberﬂäche
(
(gik ) =
a2
0
0 a2 sin2 ϑ
)
R1212 = −a2 sin2 ϑ
2
R = − 2
a
(II.354)
(II.355)
(II.356)
vgl. Gaußsche Krümmung
κ=
1
R
1
= −
= 2
ρ1 ρ2
2
a
(II.357)
Veriﬁkation der Krümmungseigenschaft von Rmikp
1.Richtung : Wenn der Raum ﬂach ist, dann Rmikp = 0:
• im ﬂachen Raum sind kartesische oder Minkowski-Koordinaten möglich
−→ Γikl = 0
−→
Rmikp
= 0
(II.358)
(II.359)
• da Rmikp ein Tensor ist, verschwindet er in jedem Koordinatensystem des zugrunde liegenden Raumes, wenn er im kartesischen bzw. Minkowski-Koordinatensystem verschwindet.
74
II. Mathematische Grundlagen
2.Richtung: Wenn Rmikp = 0, dann ist Raum ﬂach:
• andere Formulierung: Wenn Rmikp = 0, dann ist immer ein globales kartesisches oder
Minkowski-System einführbar
• jetzt soll gezeigt werden, dass ein verschwindender Krümmungstensor gerade die Integrabilitätsbedingung für das Auﬃnden der Koordinatentransformation von krummlinigen
zu kartesischen bzw. minkowskischen Koordinaten darstellt
′
′
ξ → x′ ; xi = xi (ξ k ) bzw.
′
dxi
(II.360)
i′
∂x
′
dξ k = Aik dξ k
∂ξ k
=
(II.361)
• 2 Schritte :
′
′
(1) Aik , (2) xi
′
• Berechnung der Transformationskoeﬃzienten Aik aus der Forderung, dass ChristoﬀelSymbole im ﬂachen Raum verschwinden
• zunächst: allg. Transformationsverhalten der Christoﬀel-Symbole, dazu Basisvektordarstellung am schnellsten
Γikp = bi bk|p
b
i
=
bk =
bk|p =
bk′ |p =
( vgl. (II.113) oder (II.141) )
′
Aii′ bi
′
Akk bk′
′
(Akk bk′ )|p
′
Apk|p bk′
(II.362)
(II.363)
(II.364)
=
′
Akk|p bk′
k′
+
′
Akk bk′ |p
(II.365)
p′
(II.366)
+ Ak Ap bk′ |p′
k′
p′
i′
k′
p′
i′
k′ p′
i′
k′
i′
Γikp = Aii′ Ak Ap b bk′ |p′ + Ai Ak|p b bk′
Γikp = Aii′ Ak Ap Γ
(II.367)
i′
+ Aii′ Ak|p
(II.368)
′
• ﬂacher Raum : Γik′ p′ = 0
−→
′
Γikp = Aii′ Aik|p
j′
bzw. nach Multiplikation mit Aji
j′
Ak|p = Γikp Ai
′
(II.369)
(II.370)
′
′
ist Dgl.-System für die Ajk ; p= 1,...,4 Dgl. pro Ajk → überbestimmt, Gleichungen aber
nicht unabhängig voneinander.
• da 2.partielle Ableitungen vertauschbar, also
′
′
Ajk|p|r = Ajk|r|p
(II.371)
10 Krümmungstensor
75
dann muss gelten
(
)
(
)
′
′
Γikp Aji
− Γikr Aji
= 0
(II.372)
Γikp|r Aji + Γikp Aji|r − Γikr|p Aji − Γikr Aji|p = 0
(
) ′
′
′
Γikp|r − Γikr|p Aji + Γikp Γnir Ajn − Γikr Γnip Ajn = 0
(
) ′
m
i
m
i
m
j
Γm
−
Γ
+
Γ
Γ
−
Γ
Γ
kp ir
kr ip Am = 0
kp|r
kr|p
(II.373)
|r
′
|p
′
′
′
′
Rmkpr Ajm = 0
n
Rkpr
−→
Rnkpr
= 0
= 0 ist Integrabilitätsbedingung,
′
′
2. um aus den Aik die xi zu ﬁnden.
−→ Krümmungseigenschaft von Rnkpr veriﬁziert!
Übungsaufgabe
Berechnung der Koordinaten-Transformation für den Übergang von
ebenen Polarkoord. → ebenen kartes. Koord.
′
′
KS ′ : (x1 , x2 ) = (x, y)
KS : (ξ 1 , ξ 2 ) = (ρ, φ)
′
nach dxi
′
und Ajk|p
′
=
Aik dξ k
=
Γikp Aji
′
Bereitstellung der Γ im KS
Γ111 = 0 Γ112 = 0 Γ122 = −ρ
Γ211 = 0 Γ212 = ρ1 Γ222 = 0
′
Ajk - Gleichungen
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
1. A11|1 = Γ111 A11 + Γ211 A12 = 0A11 + 0A12
2. A11|2 = Γ112 A11 + Γ212 A12 = 0A11 + ρ1 A12
(II.375)
| Anj′
(II.376)
(II.377)
(II.378)
1. um Aik zu ﬁnden
′
(II.374)
76
II. Mathematische Grundlagen
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
3. A12|1 = Γ121 A11 + Γ221 A12 = 0A11 + ρ1 A12
′
′
4. A12|2 = Γ122 A11 + Γ222 A12 = −ρA11 + 0A12
5. A21|1 = Γ111 A21 + Γ211 A22 = 0A21 + 0A22
6. A21|2 = Γ112 A21 + Γ212 A22 = 0A21 + ρ1 A22
7. A22|1 = Γ121 A21 + Γ221 A22 = 0A21 + ρ1 A22
′
′
8. A22|2 = Γ122 A21 + Γ222 A22 = −ρA21 + 0A22
′
1. A11 = Φ(φ)
′
2. A12 = ρΦ|2
′
′
3. A12 = ρA12|1 = ρΦ|2
′
′
4. A11 = − ρ1 A12|2 = −Φ|2|2 = Φ
Φ = sin φ
′
A11
′
A12
(z.B.)
= sin φ
= ρ cos φ
′
5. A21 = Φ̃(φ)
′
6. A22 = ρΦ̃|2
′
′
7. A22 = ρA22|1 = ρΦ̃|2
′
′
8. A21 = − ρ1 A22|2 = −Φ̃|2|2 = Φ̃
→
Φ̃ = cos φ
′
A21 = cos φ
′
A22 = −ρ sin φ
10 Krümmungstensor
77
′
dxi - Gleichungen
′
′
′
′
′
′
1. dx1 = A11 dξ 1 + A12 dξ 2 = dx = sin φdρ + ρ cos φdφ
2. dx2 = A21 dξ 1 + A22 dξ 2 = dy = cos φdρ − ρ sin φdφ
−→
x = ρ sin φ
y = ρ cos φ
Übungsaufgabe
Untersuchung der Koordinaten-Transformation für den Übergang von
ϑ, φ - Koord. auf der Kugeloberﬂäche zu kartesischen Koordinaten
( Es wird nicht klappen, warum? )
KS : (ξ 1 , ξ 2 ) = (ϑ, φ)
nach dxi
′
′
′
KS ′ : (x1 , x2 ) = (x, y)
′
= Aik dξ k
′
und Ajk|p = Γikp Aji
′
Bereitstellung der Γ in KS
ds2 = a2 (dϑ2 + sin2 ϑdφ2 )
g11 = a2 , g22 = a2 sin2 ϑ , g 11 =
Γabc =
Γ111 =
Γ112 =
Γ122 =
Γ211 =
Γ212 =
Γ222 =
′
′
1
1
, g 22 = 2 2
2
a
a sin ϑ
1 ad
g (gdb|c + gdc|b − gbc|d )
2
1 11
g (g11|1 ) = 0
2
1 11
g (g11|2 ) = 0
2
1 11
1 1
g (−g22|1 ) = − 2 2a2 cos ϑ sin ϑ = − cos ϑ sin ϑ
2
2a
1 22
g (−g11|2 ) = 0
2
cos ϑ
1 22
1
1
2a2 cos ϑ sin ϑ =
g (−g22|1 ) =
2
2
2
2 a sin ϑ
sin ϑ
1 22
g (g22|2 ) = 0
2
Ajk - Gleichungen Ajk|p = Γikp Aji
′
78
II. Mathematische Grundlagen
′
′
′
′
′
′
′
′
′
cos ϑ 1′
sin ϑ A2
=
cos ϑ 1′
sin ϑ A2
′
′
′
′
cos ϑ 1′
sin ϑ A2
=
cos ϑ 1′
sin ϑ A2
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
cos ϑ 2′
sin ϑ A2
=
cos ϑ 2′
sin ϑ A2
′
′
′
′
cos ϑ 2′
sin ϑ A2
=
cos ϑ 2′
sin ϑ A2
′
′
′
1. A11|1 = Γ111 A11 + Γ211 A12 = 0A11 + 0A12 = 0
2. A11|2 = Γ112 A11 + Γ212 A12 = 0A11 +
3. A12|1 = Γ121 A11 + Γ221 A12 = 0A11 +
′
′
′
4. A12|2 = Γ122 A11 + Γ222 A12 = − sin ϑ cos ϑA11 + 0A12 = − sin ϑ cos ϑA11
5. A21|1 = Γ111 A21 + Γ211 A22 = 0A21 + 0A22 = 0
6. A21|2 = Γ112 A21 + Γ212 A22 = 0A21 +
7. A22|1 = Γ121 A21 + Γ221 A22 = 0A21 +
′
′
′
8. A22|2 = Γ122 A21 + Γ222 A22 = − sin ϑ cos ϑA21 + 0A22 = − sin ϑ cos ϑA21
′
1. A11 = Φ(φ)
′
sin ϑ
cos ϑ
A11|2 =
′
sin ϑ
cos ϑ
A12|1 =
2. A12 =
3. A12 =
′
sin ϑ
cos ϑ
′
sin ϑ
1
cos ϑ cos2 ϑ
Φ|2
Φ|2
→
wegen 2. − 3.
Φ|2 = 0
Φ = const
′
A12 = 0
′
′
4. A12|2 = − sin ϑ cos ϑ A11 = 0
′
A11 = 0
Φ=0
′
5. A21 = Φ̃(φ)
′
sin ϑ
cos ϑ
A21|2 =
′
sin ϑ
cos ϑ
A22|1 =
6. A22 =
7. A22 =
′
sin ϑ
cos ϑ
′
sin ϑ
1
cos ϑ cos2 ϑ
Φ̃|2
Φ̃|2
→
→
Φ̃|2 = 0
Φ̃ = const
′
A22 = 0
′
′
8. A22|2 = − sin ϑ cos ϑ A21 = 0
′
A21 = 0
Φ̃ = 0
′
Somit sind alle Aii = 0!
11 Bianchi - Identitäten
11
79
Bianchi - Identitäten
Vorbetrachtungen: Darstellung von Rmikp mit den zweiten Ableitungen von gik ; vgl. Gleichung
(II.326)
}
{
}
1{
gmk|i|p + gip|m|k − gmp|i|k − gik|m|p + gsn Γsip Γnmk − Γsik Γnpm = Rmikp
2
(II.379)
• bisherige Vorstellung: Metrik des Raumes ist gegeben, Krümmungstensor ist daraus zu
berechnen
• inverse Herangehensweise: Krümmungstensor einschließlich aller Symmetrien sei durch
Raumzeit-Funktionen vorgegeben und die Metrik ist daraus zu bestimmen, d.h. Gleichung (II.379) ist bei vorgegebener rechter Seite als Dgl.-System für die gmk aufzufassen
• wegen C4 = 20 handelt es sich um 20 Gleichungen für die 10 Funktionen gmk
• Problem hat i.a. keine Lösung bzw. eine Lösung existiert nur unter gewissen Integrabilitätsbedingungen
• Integrabilitätsbedingungen basieren im Kern auf folgender Idee: da die dritten partiellen
Ableitungen von gmn vertauschbar sind, müssen Beziehungen zwischen den Ableitungen
der Komponenten des Krümmungstensors bestehen; vgl. dazu den Schwarzschen Satz
als Integrabilitätsbedingungen für die totale Diﬀerentialgleichung
Überlegungen, wann gik (eindeutig) berechnet werden kann.
• Anwendung des Schwarzschen Satzes auf die dritten Ableitungen von gik ; wenn gik
gegeben wären, ist natürlich klar, dass der Schwarzsche Satz gilt und die dritten partiellen
Ableitungen vertauscht werden können; gik ist aber nicht vorgegeben, sondern wird erst
gesucht; vorgegeben ist (II.379) als Vorschrift zur unabhängigen Berechnung der zweiten
Ableitungen der gik ( Rmikp als gegeben betrachtet )
• Einführung der ersten Ableitungen von gik als
hikr
:=
gik|r
dgik = gik|r dξ r = hikr dξ r
(II.380)
(II.381)
• Gleichung (II.379) ist dann eine Vorschrift zur Berechnung von
hikr|s
(II.382)
• für jeden festen Satz jkr sind das 4 Gleichungen, aus denen hikr nur bestimmbar ist,
falls
dhikr = hikr|s dξ s
(II.383)
80
II. Mathematische Grundlagen
ein vollständiges Diﬀerential ist; ein vollständiges Diﬀerential ist das aber nur, wenn
hikr|s|t = hikr|t|s
(II.384)
gilt, wobei man sich für hikr|s|t etc. die Darstellung mit den Komponenten des Krümmungstensors eingesetzt denken muss
• wenn (II.384) erfüllt ist, kann dhikr zu hikr abintegriert werden
• wenn hikr nun gefunden ist, wird als nächster Schritt versucht dgik abzuintegrieren; das
ist aber wiederum nur möglich, wenn
(II.385)
hikr|s = hiks|r
gilt, denn dann ist dgik tatsächlich ein vollständiges Diﬀerential.
• (II.384) und (II.385) ist somit die Forderung der Vertauschbarkeit der 3.partiellen Ableitungen von gik , wobei man sich wiederum für die 3.partielle Ableitungen von gik die
Darstellung mit den Komponenten des Krümmungstensors eingesetzt denken muss;
• somit ergeben sich als Integrabilitätsbedingungen zusätzliche Forderungen an den Krümmungstensor; dies sind gerade die Bianchi-Identitäten
Rmi<kp||q> := Rmikp||q + Rmiqk||p + Rmipq||k = 0
(II.386)
Beweis :
1. Rmikp mittels Christoﬀel-Symbolen darstellen und kovariant ableiten
(Erinnerung gmn||q = 0 )
Rmikp||q = gms (Γsik|p − Γsip|k + Γrik Γsrp − Γrip Γsrk )||q
(II.387)
2. Herausgreifen eines beliebigen Ereignisses ξ0 im Riemannschen Raum und Wahl lokal
geodätischer Koordinaten in U (ξ0 )
−→
Γsik (ξ0 ) = 0,
(II.388)
̸= 0,
(II.389)
Γsik|p (ξ0 )
( )||q = ( )|q
−→
Rmikp||q = gms (Γsik|p|q − Γsip|k|q )
(II.390)
(II.391)
analog
k→q ,
p→k
Rmiqk||p
=
,q → p
gms (Γsiq|k|p − Γsik|q|p )
(II.392)
weitere Permutationen
q→p, k→q
Rmipq||k
=
, p→k
gms (Γsip|q|k − Γsiq|p|k )
(II.393)
11 Bianchi - Identitäten
81
3. Summation
(II.394)
Rmi<kq||p> = 0,
Beweis in lokal geodätischen Koordinaten erbracht
4. Beliebige Koordinaten
(II.395)
Rmi<kp||q> = 0
ist Tensorgleichung und damit invariant bei Koordinatentransformationen, Gültigkeit in
beliebigen Koordinatensystemen
q.e.d.
Folgerung für den Ricci-Tensor
( wg. g ip||q = 0 darf g ip unter die Ableitung gezogen werden )
g ip g mq Rmi<kp||q> = 0
−→
ip mq
g g
ip mq
Rmikp||q + g g
ip mq
Rmiqk||p + g g
(II.396)
Rmipq||k =
g mq g ip Rmipk||q + g ip Rik||p − g ip g mq Rimpq||k =
g mq Rmk||q + g mq Rmk||q − g mq Rmq||k
1
Rqk||q − R||k
2
1
Rqi||q − g ik R||k
2
1 ik
ik
(R − g R)||k
2
= 0
= 0
(II.400)
Welche Koordinaten beschreiben die Ebene?
ds2 = dx2 + dy 2
ds2 = dϑ2 + dφ2
ds2 = dϑ2 + sin2 ϑdφ2
ds2 = (dξ 1 )2 + sin2 ξ 1 (dξ 2 )2
ds
ÜA selbständig.
= dx − x sin ydxdy + x
2
(
2
(II.398)
(II.399)
Test: 2-dim. Räume
2
| g ik
= 0
Relation wird im weiteren noch wichtige Rolle spielen!
ds2 = (dξ 1 )2 + (ξ 1 )2 (dξ 2 )2
(II.397)
= 0
)
5
+ cos y dy 2
4
82
II. Mathematische Grundlagen
Zusammenfassung
Krümmungstensor
Krümmungstensor
m
r m
r m
Rmikp = Γm
ik|p − Γip|k + Γik Γrp − Γip Γrk
1
(g
+ gip|m|k − gmp|i|k − gik|m|p ) + gsn (Γsip Γnmk − Γsik Γnpm )
Rmikp =
2 mk|i|p
Symmetrien
Rmikp = Rkpmi = −Rimkp = −Rmipk = Rimpk
Rm<ikp> = 0
Unabhängige Komponenten : C4 = 20
Ricci-Tensor
Rip = Rmimp = g mk Rmikp
Rip = Rpi
Krümmungsskalar
R = Ri i = g ip Rip
Rmikp = 0 ↔ Raum ﬂach
( 10 unabhängige Komp. )
11 Bianchi - Identitäten
83
Zusammenfassung
Bianchi - Identitäten
Darstellung des Krümmungstensors mit 2. Ableitungen des metrischen Tensors
}
{
}
1{
gmk|i|p + gip|m|k − gik|m|p − gmp|i|k + gsn Γsip Γnmk − Γsik Γnpm = Rmikp
2
Vorgabe von Rmikp −→ 20 Dgln. für 10 gik
Integrabilitätsbedingung = Bianchi - Ident. ( Vertauschbarkeit der 3. part. Ableit. d. gik )
Rmi<kp||q> := Rmikp||q + Rmiqk||p + Rmipq||k = 0
Konsequenz für Ricci - Tensor
1
(Rik − g ik R)||k = 0
2
84
12
II. Mathematische Grundlagen
Einbettung gekrümmter Räume in ﬂache Räume höherer
Dimension
• 2-dim. gekrümmte Fläche kann in 3-dim. Euklidischen Raum eingebettet werden, klar
aus Erfahrung
• Frage: Flache Räume welcher Dimension sind notwendig, um einen gekrümmten 3-dim.
oder 4-dim. Raum einzubetten?
• n sei Dimension des gekrümmten Raumes, N sei Dimension des höherdim. ﬂachen Raumes, bi , i=1,. . .,n sind die Basisvektoren des n-dim. Raumes in einem Ereignis, also bi (ξ)
• eα , α = 1, . . . , N sind die Basisvektoren des N-dim. Raumes; in jedem Ereignis gleich;
ONB o.B.d.A.
• Basisvektoren bi sind Vektoren des N-dim. Raumes, d.h.
bi = aαi eα
bi (ξ) =
(II.401)
aαi (ξ)eα
(II.402)
mit den entsprechenden Koeﬃzienten aαi der Zerlegung; aαi = aαi (ξ)
• Koordinaten des n-dim. Raumes sind ξ i
• Koordinaten des N-dim. Raumes sind xα
• n-dim. gekr. Raum ist Hyperﬂäche im N-dim. ﬂachen Raum
• Gesucht sind die Flachraumkoordinaten xα bei vorgegebenen Koordinaten ξ i des gekrümmten Raumes, also
xα = xα (ξ i ).
(II.403)
z.B.: Kugeloberﬂ.
ξ 1 = ϑ,
(II.404)
ξ
2
1
2
3
= φ im 3-dim. kart.Raum x , x , x
x
1
= R0 sin ϑ sin φ
(II.406)
x
2
= R0 sin ϑ cos φ
(II.407)
x
3
= R0 cos ϑ
(II.408)
(II.405)
• Für den Vektor des Bogendiﬀerentials dr gilt ( r in der Hyperﬂäche)
dr = bi dξ i
|dr| = ds
bzw. dr =
(II.409)
(II.410)
aαi eα dξ i
• Andererseits ist aber auch
dr = eα dxα
(II.411)
12 Einbettung gekrümmter Räume in ﬂache Räume höherer Dimension
85
• Folglich
dxα = aαi dξ i
(II.412)
Diese Gleichungen sind Dgl. für die xα (ξ i )
• Bedingung für die Lösbarkeit:
dxα muss vollständiges Diﬀerential sein ( Wegabhängigkeit ist nicht sinnvoll) :
aαi|j = aαj|i
(II.413)
∂xα
∂ξ i
(II.414)
Dann ist
aαi =
und es existieren N Funktionen der Struktur xα = xα (ξ i ) , die die Einbettung global
beschreiben.
• N= ?
Wegen
gαβ = eα · eβ = δαβ
(II.415)
und
gij
= bi · bj
(II.416)
folgt
gij
=
=
∂xα ∂xβ
gαβ
∂ξ i ∂ξ j
∂xα ∂xβ
δαβ
∂ξ i ∂ξ j
(II.417)
Wegen der Symmetrie handelt es sich um
n2 − n
n(n + 1)
+n =
2
2
(II.418)
part. Dgl. für xα (ξ i ) bei vorgegebenen gij
−→
N
n=2 : N =3
n=3 : N =6
n = 4 : N = 10
=
n(n + 1)
2
(II.419)
86
II. Mathematische Grundlagen
Kapitel III
Grundgesetze der Physik im
Riemannschen Raum
zunächst wird davon ausgegangen, dass Riemannscher Raum vorgegeben ist, d.h. eine i.a.
gekrümmte Raum-Zeit liegt vor
Übertragung bekannter Gesetze der Mechanik, Elektrodynamik, Hydrodynamik aus der Formulierung im ﬂachen Raum (3.- dim. Euklidischer Raum, Minkowski-Raum) in die Formulierung im gekrümmten Raum (Riemannschen Raum)
Zustandekommen der Krümmung wird zum Ende des Kapitels in III.5 betrachtet
• Vorwegnahme: Quellen der Krümmung sind die Massen im Raum
• Krümmung ist Ausdruck von Gravitation
Nebeneﬀekt: Formulierung der Grundgesetze der Physik im ﬂachen Raum (Spezialfall verschwindender Krümmung) in beliebigen krummlinigen Koordinatensystemen
1
Kovarianzprinzip
Kovarianzprinzip ist eine Folgerung aus dem Äquivalenzprinzip
Erinnerung Äquivalenzprinzip (stark) :
• im Lokalen IS laufen alle Vorgänge so ab, als sei kein Gravitationsfeld vorhanden
• Lokales IS := lokales Minkowski-System := lokal geodätisches System
• kein Gravitationsfeld = keine Krümmung
Existenz der Lokalen IS ist in (fast) jedem Punkt des Riemannschen Raumes bewiesen im
Abschnitt II.9
Aufschreiben der bekannten Gesetze der SRT im Lokalen IS
• physikalische Größen und Zusammenhänge sind zunächst als Lorentz-Tensoren formuliert
88
III. Grundgesetze der Physik im Riemannschen Raum
• z.B. Vektor der Viererstromdichte
J = J i bi
(III.1)
wobei hier bi die Basis des Minkowski - Raumes ist
• oder Levi - Civita - Symbol
∆ijkl
(III.2)
dv i
(III.3)
• oder kontravariante Diﬀerentiale
• etc.
Umschreiben der Größen und Zusammenhänge in Riemann-Tensoren
• Umschrift erfolgt so, dass die Größen und Zusammenhänge Tensoren in beliebigen Koordinatensystemen sind und im Spezialfall des Minkowski-Systems in die bekannten
Lorentz-Tensoren zurückfallen
• z.B. Vektor der Viererstromdichte
Lokales IS → KS’
′
J = J i bi = J k bk′ ,
(III.4)
wobei hier bk′ die Basis in einem beliebigen Koordinatensystem ist, also
Jk
′
′
= Aki J i
(III.5)
mit
Aki
′
′
=
∂ξ k
∂xi
(III.6)
• oder
′ ′ ′ ′
∆ijkl −→ ϵi j k l
(III.7)
dv i −→ Dv i
(III.8)
• oder
• etc.
Gültigkeit der Gesetze auch in beliebigen Koordinatensystemen gesichert, denn alle Koordinatensysteme sind gleichberechtigt, solange Gesetze als Tensorgesetze formuliert sind;
das gilt auch, wenn die gekrümmten Koordinaten einen gekrümmten Raum beschreiben, d.h.
also - wie wir später sehen werden - unter dem Einﬂuss von Gravitation
Zfg.: Erhebung dieses Vorgehens zum Prinzip
2 Punktmechanik
89
• Kovarianzprinzip = Ausgehen von Gesetzen der SRT ( =
ˆ Gesetze ohne Gravitation) und
Umschreiben auf Riemann- Tensoren
−→ Gesetze der ART ( =
ˆ Gesetze mit Gravitation )
2
Punktmechanik
Bewegungsgleichung für ein Teilchen der Ruhemasse m0 im Lokalen IS:
m0
dui
dτ
= Ki
mit ui =
Ki
(III.9)
dxi
Geschwindigkeit
dτ
Kraft auf das Teilchen, z.B. elektromagnetische Kraft,
aber natürlich keine Gravitation (IS!)
(III.10)
(III.11)
diese Gleichung ist zwar kovariant bei Lorentz-Transformationen, aber nicht bei allg. KoordinatenTransformationen
• anders ausgedrückt :
ui bzw dxi , K i sind Lorentz-Tensoren, aber keine Riemann-Tensoren
Umschreiben auf Riemann-Tensoren
(
m0
m0
Dui
= Ki
dτ)
dui
+ Γikl uk ul
= Ki
dτ
oder
dui
m0
= K i − m0 Γikl uk ul
dτ
(III.12)
(III.13)
(III.14)
Interpretation der −Γikl uk ul
• nach Transformation von IS → KS enthalten sie Gravitationskräfte, falls der Raum
gekrümmt ist, und/oder Trägheitskräfte, je nachdem ob beschleunigte Koordinaten auftreten
Nebenbedingung für die Geschwindigkeit
90
III. Grundgesetze der Physik im Riemannschen Raum
• zunächst im IS :
ds2 = ηik dxi dxk = dx2 + dy 2 + dz 2 − c2 dt2
ds2
= ηik ui uk
dτ 2
(III.15)
(III.16)
da
!
τ
(III.17)
= t
für ruhende Uhren, also für
dx = dy = dz = 0 (=Deﬁnition
ˆ
der Eigenzeit τ )
(III.18)
ηik ui uk = ui ui = −c2
(III.19)
folgt
• ui ui = −c2 bereits invariant (kovariant) , gilt also auch in KS:
− c2 = ui ui = gik ui uk = gik
dξ i dξ k
dτ dτ
(III.20)
• Nebenbedingung ist nicht unabhängig von
m0
Dui
dτ
= Ki
(III.21)
denn
m0
Dui
Dui
ui + m0 ui
dτ
dτ
D(ui ui )
dτ
= K i ui + ui Ki = 2K i ui
= m0
(III.22)
(III.23)
wegen
ui ui = −c2
(III.24)
D(ui ui ) = 0
(III.25)
−→ K ui = 0
(III.26)
folgt
i
oder „K
i
⊥ ui „
(III.27)
3 Elektrodynamik
3
91
Elektrodynamik
Feldgleichungen im Lokalen IS:
(III.28)
B<mn|k> = 0,
H
mn
|n
= J
m
(III.29)
mit
Bmn elm. Feldstärketensor
H mn elm. Erregungstensor
J m Viererstromdichte
Umschreiben auf Riemann-Tensoren
(III.30)
B<mn||k> = 0,
H
mn
||n
m
(III.31)
= J ,
(III.32)
damit Gültigkeit in beliebigen Koordinatensystem
andere Form der Gleichungen
−→
Bmn||k = Bmn|k − Γlmk Bln − Γlnk Bml
(III.33)
Bkm||n = Bkm|n − Γlkn Blm − Γlmn Bkl
(III.34)
Bnk||m = Bnk|m −
(III.35)
Γlnm Blk
−
Γlkm Bnl
(III.36)
B<mn||k> = B<nk|m> = 0
: (=0)
−→
H mn ||n = H mn |n + Γnln H ml + Γm
H ln
ln
√
−g |l
n
Γln = √
(vgl. (II.262) )
−g
)
1 (√
H mn ||n = √
−gH mn |n
−g
(III.37)
(III.38)
(III.39)
Bewegungsgleichung eines Teilchens der Masse m0 und der Ladung q im elm. Feld :
Dui
dτ
dui
m0
dτ
m0
−→
= qB ik uk
(III.40)
= −m0 Γimn um un + qB ik uk
(III.41)
92
III. Grundgesetze der Physik im Riemannschen Raum
• elm. Kräfte ∝ B ik
• Gravitations- und Trägheitskräfte ∝ Γimn
• B ik sind aus Ableitungen der elm. Potentiale Ai erzeugt
• Γimn sind aus Ableitungen der gmn erzeugt; gmn spielen die Rolle von Gravitationspotentialen
4
Hydrodynamik
Feldgleichungen im Lokalen IS:
T ik|k = k i
(III.42)
mit dem Energie-Impuls-Tensor einer idealen Flüssigkeit
T ik = (ρ0 +
1
P0 )ui uk + η ik P0
c2
(III.43)
wobei
ρ0
P0
ki
Massendichte
( auch Ruhemassendichte, da im Ruhesystem des Volumenelementes betrachtet )
Druck
( auch Eigendruck, da im Ruhesystem des jeweiligen Volumenelementes betrachtet )
äußere Kraftdichte
Zunächst wird der nichtrelativistische Grenzfall veriﬁziert
• Dichte - Terme (ρ0 ui uk )|k
i
(u )
=
i=4 : (ρ0 u4 uk )|k
=
d(ξ i )
d(ξ i ) dt
1
=
= √
2
dτ
dt dτ
1 − vc2
ρ0
ρ0
a
(
c)|t + (
2 cv )|a
v2
(1 − c2 )
(1 − vc2 )
(
va
c
v≪c
−−−→ c (ρ0|t + (ρ0 v a )|a )
i=a : (ρ0 ua uk )|k
=
( Term der Kontinuitätsgleichung )
(
)
(
)
ρ0
ρ
0
a
+
vavb
2 v
v2
1 − vc2
1
−
2
c
|t
|b
v≪c
−−−→ (ρ0 v a )|t + (ρ0 v a v b )|b
)
(III.44)
(III.45)
(III.46)
(III.47)
(III.48)
( Term der Euler-Gleichung in konservativer Form )
einführbar wäre eine „ dynamische Massendichte „
ρ0
ρ=
2
1 − vc2
(III.49)
4 Hydrodynamik
93
{ (
• Druck - Terme P0 η ik +
ui uk
c2
i
(u )
⇒
P ik
)}
|k
=: P ik|k
√
=
(
1
2
va
c
1 − vc2
( )
0
v≪c
−−−→
c

P0 0 0
 0 P0 0
→ 
 0 0 P0
0 0 0
)
(III.50)
(III.51)

0
0 
 = P0 (δ ab )
0 
0
(III.52)
i = a : P ak|k
=
δ ab P0|b
(III.53)
i = 4 : P 4k|k
=
0
(III.54)
• Gesamt-Gleichungen ( speziell für k i = 0 )
{ (
)}
(
)
u4 uk
(ρ0 u4 uk )|k + P0 η 4k + 2
→ c ρ0|t + (ρ0 v a )|a = 0
c
|k
{ (
)}
(
)
a
k
u u
|a
(ρ0 ua uk )|k + P0 η ak + 2
→ (ρ0 v a )|t + ρ0 v a v b )|b + P0 = 0
c
|k
(III.55)
• Damit ist gezeigt, dass der Energie-Impuls-Tensor (III.43) im Grenzfall die Kontinuitätsund Euler-Gleichung korrekt beschreibt. Allerdings sind andere Energie-Impuls-Tensoren
konstruierbar, die im nichtrelativistischen Grenzfall die gleichen Kontinuitäts- und EulerGleichungen ergeben; es könnten an (III.43) etwa weitere Terme proportional u/c und
Potenzen davon angefügt werden, die im Grenzfall wieder verschwinden. In der folgenden
ergänzenden Überlegung wird gezeigt, dass die Form (III.43) durchaus eindeutig ist,
wenn von vertrauten Bedingungen im Ruhsystem ausgegangen wird.
• Ergänzung: Übergang zwischen dem Ruhsystem des jeweiligen Volumenelementes und
dem System (=Lokales IS), in dem sich das Volumenelement bei x mit ui (x) bewegt.
(a) Druck:
Ruhsystem :

P0 0 0

′
′
0 P0 0
(P r s ) = 
 0 0 P0
0 0 0

0
0 
,
0 
0
(III.56)
Lokales IS :
′ ′
P ik = Lir′ Lks′ P r s ,
(III.57)
in der Lorentz-Transformation sind Geschwindigkeiten beliebiger Richtungen zuzulassen,
also
94
III. Grundgesetze der Physik im Riemannschen Raum
(
Lir′ (−u)
(
)
=
a
δ ab + β uc
ub
c
ub
c
)
ua
c
u4
c
(vgl. Einschub unten)
Umschrift

0

′
′
′
′
0
(P r s ) = P0 (η r s ) + P0 
 0
0
′ ′

0 0

0 0
(Lir′ ) 
 0 0
0 0
0
0
0
0
Lir′ Lks′ η r s

0
0 
 (Lk′ )T
0  s
1
=
(III.61)
a
δ ac + β uc
uc
c
(
=
(
=
ik
ua
c
u4
c
0
0
ua ub
c c
ub u4
c c
uc
c
)(
ua
c
u4
c
)
0
 0

 0
0
b
ub
ua
c
u4
c

δ bd + β uc
u4
c
u4
c
(
ik
(P ) = P0 (η ) + P0
P
(III.59)
(III.60)
=
ik

0
0 

0 
1
0
0
0
0
= η ik
(
−→
0
0
0
0
(III.58)
ud
c
c
)
0
0
0
0
ud
c
u4
c
0
0
0
0
)

0 (
ub ud
bd
0 
 δ + βb d c
u
0 
c
1
(III.62)
ua ub
c c
ub u4
c c
ua
c
u4
c
u4
c
u4
c
)
(III.64)
(III.65)
(b) Dichte

′ ′ (T r s )
Lokales IS :
P0 =0
T ik 
0

0
(Lir′ ) 
 0
0
0
0
0
0
P0 =0
0
 0
=
 0
0
0
0
0
0

0
0
0
0 

0
0 
0 ρ0 c2
(III.66)
′ ′
= Lir′ Lks′ T r s (III.67)
P0 =0

0
0 
 (Lk′ )T
0  s
1
−→ T ik 0
0
0
0
P0 =0
(
=
ua ub
c c
ub u4
c c
=
ρ0 ui uk
s.o.
)
(III.63)
(
)
ui uk
ik
= P0 η +
c c
Ruhsystem :
ud
c
u4
c
ua
c
u4
c
u4
c
u4
c
)
(III.68)
(III.69)
4 Hydrodynamik
95
(c) Druck und Dichte
T
ik
=T ik P0 =0
+P
ik
(
)
P0
= ρ0 + 2 ui uk + η ik P0
c
Einschub
Lorentz-Transformation bei beliebigem v
Abbildung III.1: Lorentz-Transformation
• keine Verdrehung der Systeme, aber Bewegung in beliebige Richtung
• Zerlegung
)
(
(xv)v
(xv)v
x = x|| + x⊥ =
+ x−
v2
v2
• bekannt ist
x′|| =
x|| − vt
√
,
v2
1 − c2
x′⊥ = x⊥
t
′
=
x v
t − c||2
t − xv
2
√
=√ c
2
2
1 − vc2
1 − vc2
• somit
x|| − vt
x|| − vt
x′ = x′|| + x′⊥ = √
+ x⊥ = x − x|| + √
2
2
1 − vc2
1 − vc2


1
v(vx)
vt
x′ = x +  √
− 1
−√
2
2
2
v
1 − vc2
1 − vc2
(III.70)
96
III. Grundgesetze der Physik im Riemannschen Raum
• in Komponentenschreibweise
xa
′


= xa +  √
′
x4
√
=
1
v2
c2
1−
v a vb
va
− 1 2 xb − √
v
c 1−
1
1−
v2
c2
vb
x4 − √
c 1−
• Ablesen der Lorentz-Transformation
(

′
(Lij )
a
 δb +

=

va v
−1
v2
b
−
2
′

(Lij ) = 
(
′
(Lij )
=
mit
√ 1
2
1− v2
+
c



2
1− v2
c
c
• L’s mit Vierer-Geschwindigkeit ausdrücken
( a )
1
v
i
(u ) = √
2
c
1 − vc2
)
(

δba
va
√
2
1− v2
c
√ 1
1− v2
c
(
−1
1−
v2
c2
)

c2 ua ub
v2 c c
a
− uc
c
a
δba + β uc
− ucb

ub
c
−
− ucb
ua )
u4
c
c
u4
c

(
)
1
v 2 c2


√
β =
−1
1− 2
2
c
v2
1 − vc2
√
2
)
1 − 1 − vc2 (
v 2 c2
√
=
1− 2
2
c
v2
1 − vc2
{√
(
)} 2
v2
v2
c
1− 2 − 1− 2
=
c
c
v2
Einschub - Ende.
• Umschreiben von
T ik|k
auf Riemann-Tensoren:
T ik||k
x4
xb
)
√ 1
2
1− v2
c
v
√ b
−
v2
c2
v2
c2
)
}
{(
1
i k
ik
= ki
=
ρ0 + 2 P 0 u u + η P 0
c
|k
{(
)
}
1
i k
ik
=
ρ0 + 2 P0 u u + g P0
= ki ,
c
||k


4 Hydrodynamik
97
damit Gültigkeit in einem beliebigen Koordinatensystem
obige 4 Bewegungsgleichungen müssen in jedem konkreten Anwendungsfall durch eine
Zustandsgleichung ergänzt werden
• 4 Gleichungen bei 5 Unbekannten:
ρ0 , P0 , ui ( nur 3 ui sind unabhängig, ui uk gik = −c2 )
• exemplarische Zustandsgleichungen
1. P0 = 0 =
ˆ inkohärente Materie
2. P0 = 13 uem = 31 ρ0 c2 =
ˆ Photonengas, uem elm. Energiedichte, ρ0 korrespondierende
Massendichte
98
III. Grundgesetze der Physik im Riemannschen Raum
Zusammenfassung
Kovarianzprinzip
Übersetzung bekannter Gesetze der SRT in die entsprechenden verallg. Gesetze der ART
Schaﬀung der Bedingungen der SRT (= Inertialsyst.) im Riemannschen Raum ( nur lokal
möglich) :
Lokal geodäisches System =
ˆ SRT
Beliebiges System =
ˆ ART
Punktmechanik
i
i
i
m0 du
dτ = K
i
m0 Du
dτ = K
Elektrodynamik
B<mn|k> = 0
H mn|n = J m
B<mn||k> = 0
H mn||n = J m
Hydrodynamik
T ik
T ik|k = k i
)
= ρ0 + c12 P0 ui uk + η ik P0
(
T ik
T ik||k = k i
)
= ρ0 + c12 P0 ui uk + g ik P0
(
5 Einsteinsche Feldgleichungen
5
99
Einsteinsche Feldgleichungen
keine Ableitung mit dem Kovarianzprinzip möglich, da
• @ Feldgleichung in der SRT, die kovariant verallgemeinert werden könnte
• klar, da jetzt nach Gleichungen gefragt wird, die den Zusammenhang der Krümmung
des Raumes mit den Massen herstellen ( und in der SRT gibt es keine Krümmung)
Aufstellung der Feldgleichungen nach den Kriterien
• Riemann-Tensoren (Forminvarianz bei Koord. - Trafo)
• Einfachheit
• Newtonscher Grenzfall
5.1
Newtonsche Gravitationstheorie
Gravitationsgesetz
mν
∑ mν mµ r ν − r µ
d2 r ν
= −γ
2
rν − rµ 2 rν − rµ dt
µ̸=ν
(III.71)
Besser geeignet für Verallgemeinerungen ist:
• skalares Gravitationspotential
Φ(r) = −γ
∑
µ
mµ
r − rµ = −γ
∫
d3 r ′
ρ(r′ )
|r − r′ |
(III.72)
• Umbezeichnung
rν → r(t) , mν → m
d2 r
⇒ m 2 = −m∂r Φ
dt
(III.73)
denn:
∂r
1
| |
= −
1
1
r − r′
∂
=
−
·
r
| |2
|r − r′ |2 |r − r′ |
(III.74)
• Φ(r) ist Lösung der Feldgleichung
∆Φ(r) = 4πγρ(r)
(III.75)
100
5.2
III. Grundgesetze der Physik im Riemannschen Raum
„Ableitung“ der Feldgleichungen
Forderungen an die aufzustellenden Gleichungen
1. Tensorgleichungen, d.h. Unabhängigkeit des Gesetzes von subjektiven Koordinatensystemen
2. Newtonsche Gravitationstheorie soll als Grenzfall enthalten sein
3. Grundgröße der Newtonschen Gravitationstheorie ist das Gravitationspotential Φ ; dann
ist gegenüberzustellen die Grundgröße des Riemannschen Raum, also der metrische Fundamentaltensor gmn
4. part. Dgl. max 2. Ordnung in den Unbekannten gmn ; möglichst linear in den höchsten
Ableitungen in Gegenüberstellung zu ∆Φ ∝ ρ
5. Ursache (Quelle) des Gravitationsfeldes soll eine Verallgemeinerung der Dichte ρ der
schweren Masse sein, eventuell der Energie-Impuls-Tensor T mn
Zwischenüberlegungen
• Hydrodynamik im kräftefreien Fall :
T mn||n = 0 , T mn = T nm
(III.76)
• Elektrodynamik im kräftefreien Fall :
T mn||n = 0 , T mn = T nm
(III.77)
Gmn = −κTmn , κ Konstante
(III.78)
Ansatz
• wegen
T mn||n = 0
(III.79)
Tmn = Tnm
(III.80)
und
muss
Gmn||n = 0,
Gmn
gelten
=
Gnm
(III.81)
(III.82)
5.2 „Ableitung“ der Feldgleichungen
101
• Erinnerung an Bianchi-Identitäten mit Folgerung
)
(
1 mn
mn
=0
R − g R
2
||n
(III.83)
• weiterer Baustein für Gmn ist gmn selbst
• Ansatz für Gmn
1
Gmn = Rmn − g mn R − Λg mn
2
(III.84)
• man kann zeigen, dass es keinen weiteren Tensor gibt, der Forderungen (1) - (5) erfüllt
(ohne Beweis)
• Λ kosmologische Konstante,
Λ ̸= 0
−→
Rmn ̸= 0
(III.85)
auch bei T mn = 0 , d.h. völlig materiefreier Raum ist gekrümmt; experimentell schwer
nachzuweisen, hier meist
Λ = 0
Gmn
1
= Rmn − g mn R
2
(III.86)
(III.87)
(III.88)
• Λ kann positiv und negativ sein. Λ > 0 im Zusammenspiel mit der Vorzeichenkonvention
in Gleichung (III.84) bedeutet Antigravitation. Dies wird im Anschluss an den folgenden
Abschnitt "Newtonscher Grenzfall"gezeigt.
Einsteinsche Feldgleichungen ( Einstein : 1905 - 1915 )
1
Rmn − gmn R = −κTmn
2
(III.89)
• Beschreibung der Raumkrümmung ( Rmn ) durch die Materieverteilung ( Tmn )
• 10 part. Dgln für gmn
• Unmöglichkeit T mn vorzugeben, d.h. raum - zeitliche Verteilung der Materie, und gmn
auszurechnen, da T mn auch von g mn abhängig
• Raumkrümmung und Bewegung der Materie bilden ein gekoppeltes dynamisches System,
das nur simultan gelöst werden kann
Äquivalente Form der Gleichungen, Kontraktion
102
III. Grundgesetze der Physik im Riemannschen Raum
• Kontraktion
1
Rmm − g mm R =: −R = −κT mm =: −κT,
2
R = κT
1
−→ Rmn = −κ(Tmn − gmn T )
2
(III.90)
(III.91)
(III.92)
Bezeichnung : Einstein-Tensor Gmn
1
Gmn = Rmn − gmn R
2
5.3
(III.93)
Newtonscher Grenzfall
Festlegung des Grenzfalles
1. Massendichte ρ0 bzw. Energiedichte ρ0 c2 ist entscheidender Term im Energie-ImpulsTensor:
−→
ρ0 c2 ≫ P0
(
)
P0
mn
T
=
ρ0 + 2 um un + g mn P0
c
m n
≈ ρ0 u u
(III.94)
(III.95)
(III.96)
2. Geschwindigkeiten sind klein gegen c :
va ≪ c
ui → (0, 0, 0, c)
(III.97)
(1) und (2)
(
(T
mn
)=
0 0
0 T 44
)
,
T 44 = ρ0 c2
(III.98)
3. Felder sind langsam veränderlich:
( )|4 vernachlässigen
4. Metrik weicht nur schwach vom ﬂachen Raum ab
gmn
=
ηmn + fmn ,
|fmn | ≪ 1,
Vernachlässigung von quadratischen Termen in fmn
(III.99)
(III.100)
5.3 Newtonscher Grenzfall
103
Verbleibende Gleichung
1
R44 = −κ(T44 − η44 T )
2
1
= −κ(ρ0 c2 + (−ρ0 c2 ))
2
κ
R44 = − ρ0 c2
2
(III.101)
(III.102)
• R44 aus
1
(g
+ gip|m|k − gmp|i|k − gik|m|p ) + quadr. Terme in Γ (III.103)
2 mk|i|p
)
1 nm (
=
η
fmk|i|p + fip|m|k − fmp|i|k − fik|m|p
(III.104)
2
1
= Rn4n4 = η nm (fmn|4|4 + f44|m|n − fm4|4|n − f4n|m|4 )
(III.105)
2
Rmikp =
Rnikp
R44
• ( )|4 = 0
1 nm
1
η f44|m|n = ∆f44
2
2
= −κρ0 c2
R44 =
−→
∆f44
(III.106)
(III.107)
• Struktur einer Poisson-Gleichung, aber f44 dimensionslos, kein Potential
−→ zusätzliche Information notwendig
• Geodäten-Gleichung
dξ k dξ p
d2 ξ i
=0
+ Γikp
2
dτ
dτ dτ
(III.108)
für langsam bewegte Teilchen (z.B. Planeten)
τ
d(ξ k )
dτ
≈ t,
(III.109)
= (uk ) ≈ (0, 0, 0, c)
(III.110)
i=a:
d2 ξ a
dt2
= −Γa44 c2
1 mn
g (gin|k + gkn|i − gik|n )
2
1 an
η (f4n|4 + f4n|4 − f44|n )
=
2
1
= − η ab f44|b
2
c2 ab
=
η f44|b
2
(III.111)
Γm
ik =
(III.112)
Γa44
(III.113)
Γa44
d2 ξ a
dt2
(III.114)
(III.115)
104
III. Grundgesetze der Physik im Riemannschen Raum
• Vergleich mit Bewegungsgleichung eines Teilchens im Gravitationspotential Φ
d2 r
dt2
d2 r
dt2
d2 r
dt2
r
2
d r
dt2
2
d ξc
b
dt2 c
d2 ξ c a
δ
dt2 c
d2 ξ a
dt2
→
∂Φ
∂r
∂Φ ∂ξ b
= − b
∂ξ ∂r
= −
(III.116)
(III.117)
= −Φ|b bb
(III.118)
= ξ c bc
d2 ξ c
=
b , da bc = const (kartesisch)
dt2 c
(III.119)
= −Φ|b bb
(III.121)
| · ba
(III.120)
= −Φ|b g ab ≈ −Φ|b η ab
(III.122)
= −η ab Φ|b
(III.123)
−Φ =
c2
f44
2
(III.124)
1.
2Φ
g44 = η44 + f44 = −1 − 2
c
(
)
2Φ
g44 = − 1 + 2
c
(III.125)
(III.126)
2.
c2
∆f44
2
c4
=
κρ (ρ0 = ρ)
2
∆Φ = 4πγρ = −
=
−→
κ =
c2
κρ0 c2
2
8π
γ
c4
(III.127)
(III.128)
(III.129)
Verknüpfung zw. Einstein (κ) und Newton (γ)
• Newtonscher Grenzfall mit Kosmologischer Konstanten und Interpretation des Vorzeichens der Kosmologischen Konstanten
Anknüpfung an Gleichung (III.84) :
Rmn −
R mn
g − Λ g mn = −κ T mn
2
(III.130)
5.4 Struktur der Einsteinschen Feldgleichungen
105
Folgerungen:
Rm n −
R m
g
− Λg m n = −κ T m n
2 n
R
R − 4 − Λ 4 = −κ T
2
−R − 4 Λ = −κT
R = κT − 4Λ
Rmn −
Rmn −
Rmn =
Rmn =
Rmn =
g mn
(κ T − 4 Λ) − Λg mn = −κ T mn
2
κ
T g mn + 2 Λ g mn − Λg mn = −κ T mn
2
κ
−κ T mn + T g mn − Λg mn
2
(
)
T mn
mn
−κ T
− g
− Λ g mn
2
(
)
T
−κ Tmn − gmn − Λ gmn
2
(III.131)
(III.132)
(III.133)
Im Newtonschen Grenzfall gilt
g44 ≈ −1
woraus folgt
(III.134)
)
(
T
+ Λ.
= −κ T44 +
2
(III.135)
T = g ik Tik = g 44 T44 = −T44
(III.136)
R44
Wegen
folgt weiter
κ
R44 = − T44 + Λ
2
κ
R44 = − ρ0 c2 + Λ .
2
(III.137)
Somit kann Λ > 0 als Anti-Gravitation interpretiert werden, denn die gravitierende
Wirkung von ρ0 c2 wird herabgesetzt.
5.4
Struktur der Einsteinschen Feldgleichungen
Feldgleichungen
1
Rmn − gmn R = −κTmn
2
(III.138)
106
III. Grundgesetze der Physik im Riemannschen Raum
• 10 part. Dgl. für 10 gmn
• 10 Dgln. sind nicht unabhängig wegen
(
)
1 mn
mn
R − g R
=0
2
||n
(III.139)
(4 Gleichungen)
• nur 10 − 4 = 6 Gleichungen sind wirklich unabhängig
• gmn nicht eindeutig bestimmt
• Folge der Kovarianz, denn es muss aus Lösungen gmn (ξ) durch ξ ′ (ξ) auch gp′ q′ (ξ ′ ) Lösung sein
−→ Feldgleichungen dürfen daher nur 6 Funktionen festlegen
• geschickte Wahl der ξ erleichtert Lösung
Vergleich mit Elektrodynamik in SRT
• Eichmöglichkeit für Potentiale, z.B. Lorentz-Eichung
Ai |i = 0
(III.140)
• Feldgleichungen bekommen einfache Form
i|k
2Ai = η kl Ai |k|l = A
|k
= −J i
(III.141)
Feldgleichungen und Geodäten
• Frage: Muss Geodätengleichung
l
k
d2 ξ i
i dξ dξ
=0
+
Γ
kl
dλ2
dλ dλ
(III.142)
als Bewegungsgleichung von Testteilchen zusätzlich gefordert werden?
• Antwort: Nein, Geodätengleichung folgt aus T mn||n = 0 , ist also Folge der lokalen
Energie-Impuls-Erhaltung
• Beweis: vgl. Stephani, S.92
Kapitel IV
Schwarzschild-Lösung
kugelsymmetrische Gravitationsfelder
Erwartung besonderer Einfachheit bei Kugelsymmetrie
wichtigste Gravitationsfelder für uns: Sonne und Erde; nahezu kugelsymmetrisch, Drehung
langsam (v a << c)
1
Kugelsymmetrie in 4 Dimensionen
Bezeichnungen
ξ 1 = R, ξ 2 = ϑ, ξ 3 = φ, ξ 4 = cT
3-dim. Linienelement
ds2 = g11 (R, cT )dR2 + g22 (R, cT )(dϑ2 + sin2 ϑdφ2 )
(IV.1)
• wg. Kugelsymmetrie darf keine ϑ- oder φ- Richtung ausgezeichnet sein −→
• g11 und g22 dürfen nicht von ϑ und φ abhängen,
• ds2 darf nicht vom Vorzeichen von dϑ oder dφ abhängen: g12 = g13 = g23 = 0
4-dim. Verallgemeinerung
• g24 = g34 = 0, weil ds2 nicht vom Vorzeichen von dϑ oder dφ abhängen darf
• allgemeinster kugelsymmetrischer Ansatz
ds2 = g11 (R, cT )dR2 +g22 (R, cT )(dϑ2 +sin2 ϑdφ2 )+2g14 (R, cT )dRdcT +g44 (R, cT )c2 dT 2
Vereinfachung durch Koordinatentransformation
• r′ =
√
g22 (R, cT ), ϑ′ = ϑ, φ′ = φ, cT ′ = cT
108
IV. Schwarzschild-Lösung
• Striche weglassen
−→ R = R(r, cT )
(IV.2)
−→ dR = . . . dr + . . . dcT
(IV.3)
•
ds2 = h2 dr2 − 2 a b dr dcT − b2 c2 dT 2 + r2 (dϑ2 + sin2 ϑdφ)
(IV.4)
(IV.5)
h(r, T ), a(r, T ), b(r, T )
• Interpretation von r : r=const, T=const beschreibt eine Kugel, deren Oberﬂäche zu 4πr2
auszurechnen ist; r ist aber etwas anderes als der Radius
weitere Koordinatentransformation: Beseitigung des gemischten Terms durch Einführung einer
neuen Zeitkoordinate t = t(T, r)
• Vorgabe der Transformation nicht integral sondern diﬀerentiell; trotzdem muss t holonom sein
dct = e−
γ(r,T )
2
(IV.6)
(a dr + b dcT )
γ
• (a dr +b dcT ) i.a. kein vollständiges Diﬀerential; integrierender Faktor e− 2 macht rechte
Seite zum vollständigen Diﬀerential −→ t holonom Koord. −→ Existenz von t(T, r)
gesichert
Anm.: vgl. math. Satz: Pfaﬀsche Formen mit 2 Veränderlichen haben stets einen integrierenden Faktor!
•
2a b dr dcT + b2 (dcT )2 = eγ (dct)2 − a2 dr2
(IV.7)
h2 + a2 =: eλ
(IV.8)
ds2 = eλ(r,t) dr2 + r2 (dϑ2 + sin2 ϑdφ2 ) − eγ(r,t) dct2
(IV.9)
•
•
( Schwarzschildsche Form des Linienelementes einer kugelsymmetrischen Metrik )
−→ g11 = eλ , g22 = r2 , g33 = r2 sin2 ϑ, g44 = −eγ ,
gik = 0 für i ̸= k
(IV.10)
(IV.11)
• Der inverse metrische Tensor g ik ist einfach hinzuschreiben: die Inverse einer Diagonalmatrix ist wieder diagonal, die Diagonalelemente sind invers zueinander
2 Aufstellen der Feldgleichungen
2
109
Aufstellen der Feldgleichungen
Christoﬀel - Symbole
• vorbereitende Bereitstellung, da in Feldgleichungen benötigt
• Berechnung der Γikl entweder aus Deﬁnition
1
Γikl = g is (gsk|l + gsl|k − gkl|s )
2
(IV.12)
• geschickter ist das Ablesen der Γikl aus der Geodäten-Gleichung
ξ¨i + Γikl ξ˙k ξ˙l = 0
(IV.13)
• Geodäten-Gleichung aus LII mit der Lagrange-Funktion (vgl. Abschnitt Geodäten)
( )
1 ds 2
L =
(IV.14)
2 dτ
{ ( )
[( )
)2 }
( )2 ]
(
2
2
1
dr
dϑ
dφ
dct
=
(IV.15)
eλ
+ r2
+ sin2 ϑ
− eν
2
dτ
dτ
dτ
dτ
• Aufstellen der LII
0=
d ∂L
∂L
− i
i
dτ ∂dτ ξ
∂ξ
(IV.16)
• Abkürzungen
∂( )
∂r
∂( )
∂ct
• ξ 1 = r:
0 =
−
0 =
−
0 =
−
= ( )′ ,
(IV.17)
= ( )˙
(IV.18)
(
)
( )
d
1 λ dr 2 ′
λ dr
e
− e
λ
dτ
dτ
2
dτ
[( )
( )2 ]
(
)
dϑ 2
dφ
1 ν dct 2 ′
2
r
+ sin ϑ
+ e
ν
dτ
dτ
2
dτ
}
{
( )2
( )
2r
dr
dr
dct
1 λ ′ dr 2
d
′
λ
+λ
+ λ̇
·
− e λ
e
dτ 2
dτ
dτ dτ
2
dτ
( )2
( )2
(
)2
dϑ
dφ
1
dct
r
− r sin2 ϑ
+ eν ν ′
dτ
dτ
2
dτ
( )2
( )2
( 2 )
1 ′ dr
dr dct
dϑ
d r
−ν
+ λ
+ λ̇
·
− re
2
dτ
2
dτ
dτ dτ
dτ
( )2
(
)2
′
dφ
ν
dct
r sin2 ϑe−λ
− eν−λ
dτ
2
dτ
(IV.19)
(IV.20)
(IV.21)
110
IV. Schwarzschild-Lösung
(IV.22)
Γ114
(IV.23)
Γ122
Γ133
Γ144
• ξ2 = ϑ :
0 =
0 =
(IV.24)
−λ
= −r sin ϑe
1 ′ ν−λ
=
νe
2
2
;
(
)
( )2
dφ
2 dϑ
2
r
− r sin ϑ cos ϑ
dτ
dτ
( )2
2
d ϑ 2 dr dϑ
dφ
+
− sin ϑ cos ϑ
2
dτ
r dτ dτ
dτ
d
dτ
• ξ3 = φ :
0 =
0 =
• ξ 4 = ct :
λ′
;
2
λ̇
=
;
2
= −r e−λ ;
−→ Γ111 =
1
;
r
= − sin ϑ cos ϑ
(IV.26)
(IV.27)
(IV.28)
−→ Γ212 =
(IV.29)
Γ233
(IV.30)
(
)
d
2
2 dφ
r sin ϑ
dτ
dτ
2
d φ 2 dr dφ
dϑ dφ
+ 2 cot ϑ
+
2
dτ
r dτ dτ
dτ dτ
1
;
r
= cot ϑ
(IV.31)
(IV.32)
−→ Γ313 =
(IV.33)
Γ323
(IV.34)
(
)
( )2
(
)
dct
1
dr
dct 2
1
−eν
− eλ
· λ̇ + eν ν̇
dτ
2
dτ
2
dτ
(
)
2
d2 ct
dr dct
dct
0 = −eν 2 − eν ν ′
− eν ν̇
dτ
dτ dτ
dτ
( )2
(
)2
1 λ
dr
1
dct
−
e λ̇
+ eν ν̇
2
dτ
2
dτ
(
)
( )
2
dct
1 λ−ν dr 2
dr dct
d2 ct 1
+
ν̇
+
λ̇e
+ ν′
0 =
dτ 2
2
dτ
2
dτ
dτ dτ
0 =
(IV.25)
d
dτ
−→ Γ411 =
Γ414 =
Γ444 =
λ̇ λ−ν
e
;
2
ν′
;
2
ν̇
2
(IV.35)
(IV.36)
(IV.37)
(IV.38)
(IV.39)
(IV.40)
2 Aufstellen der Feldgleichungen
111
• alle anderen Γ ’s verschwinden
Γ ’s im Überblick
λ′
2
Γ111 =
Γ133 = −r sin2 ϑe−λ
λ̇
2
1
r
1
r
λ̇ λ−ν
2e
ν̇
2
Γ114 =
Γ212 =
Γ313 =
Γ411 =
Γ444 =
Γ122 = −re−λ
Γ144 =
ν ′ ν−λ
2e
Γ233 = − sin ϑ cos ϑ
Γ323 = cot ϑ
Γ414 =
ν′
2
• Berechnung einiger Γ’s zum Vergleich direkt aus der Deﬁnition
g11 =
1 1s
2 g (gs1|1
1 1s
2 g gs1|1
1 11
2 g g11|1
eλ ,
g 11
e−λ
Γ111 =
Γ111 =
Γ111 =
=
g11|1 =
eλ
·
+ gs1|1 − gs1|1 )
Γ111 =
Γ112 =
=
=
λ′
2
1 1s
2 g (gs1|2 + gs2|1 − g12|s )
1 11
2 g (g11|2 + g12|1 − g12|1 )
1 11
2 g g11|2
= 0
λ′
Ricci-Tensor
• Rmn = Ri min = Γimi|n − Γimn|i + Γrmi Γirn − Γrmn Γiri
• R1m1n = Γ1m1|n − Γ1mn|1 + Γrm1 Γ1rn − Γ1mn Γ111 − Γ4mn Γ141
R2m2n = Γ2m2|n − Γ2mn|2 + Γrm2 Γ2rn − Γ2mn Γ212
R3m3n = Γ3m3|n − Γ3mn|3 +Γrm3 Γ3rn − Γ1mn Γ313 − Γ2mn Γ323
| {z }
=0
R4m4n = Γ4m4|n − Γ4mn|4 + Γrm4 Γ4rn − Γ1mn Γ414 − Γ4mn Γ444
• R1m1n
R111n = 0 = R1n11
R1212 = −Γ122|1 + Γ221 Γ122 − Γ122 Γ111
R1213 = 0 = R1312
R1214 = 0 = R1412
R1313 = −Γ133|1 + Γ331 Γ133 − Γ133 Γ111
R1314 = 0 = R1413
R1414 = Γ141|4 − Γ144|1 + Γ141 Γ114 + Γ441 Γ144 − Γ144 Γ111 − Γ444 Γ141
112
IV. Schwarzschild-Lösung
• R2m2n
R2121 = Γ212|1 + Γ212 Γ221 − Γ111 Γ212
R2n22 = 0 = R222n
R2123 = 0 = R2321
R2124 = −Γ114 Γ212 = R2421
R2323 = −Γ233|2 + Γ332 Γ233 − Γ133 Γ212
R2324 = 0 = R2423
R2424 = −Γ144 Γ212
• R3m3n
R3131 = Γ313|1 + Γ313 Γ331 − Γ111 Γ313
R3132 = 0 = R3231
R3n33 = 0 = R333n
R3134 = −Γ114 Γ313 = R3431
R3232 = +Γ323|2 + Γ323 Γ332 − Γ122 Γ313
R3234 = 0 = R3432
R3434 = −Γ144 Γ313
• R4m4n
R4141 = Γ414|1 − Γ411|4 + Γ114 Γ411 + Γ414 Γ441 − Γ411 Γ444 − Γ111 Γ414
R4142 = 0 = R4241
R4143 = 0 = R4341
R4n44 = 0 = R444n
R4242 = −Γ122 Γ414
R4243 = 0 = R4342
R4343 = −Γ133 Γ414
Ricci - Tensor in Γ’s
• R11 = Γ212|1 + Γ212 Γ212 − Γ111 Γ212 + Γ313|1 + Γ313 Γ313 − Γ111 Γ313 + Γ414|1 − Γ411|4 + Γ114 Γ411
+Γ414 Γ441 − Γ411 Γ444 − Γ111 Γ414
3 Lösung der Vakuum - Feldgleichungen
113
• R12 = 0
• R13 = 0
• R14 = −Γ114 Γ212 − Γ114 Γ313
• R22 = −Γ122|1 + Γ212 Γ122 − Γ122 Γ111 + Γ323|2 + Γ323 Γ332 − Γ122 Γ313 − Γ122 Γ414
• R23 = 0
• R24 = 0
• R33 = −Γ133|1 + Γ331 Γ133 − Γ133 Γ111 − Γ233|2 + Γ332 Γ233 − Γ133 Γ212 − Γ133 Γ414
• R34 = 0
• R44 = Γ141|4 − Γ144|1 + Γ141 Γ114 + Γ441 Γ144 − Γ144 Γ111 − Γ444 Γ141 − Γ144 Γ212 − Γ144 Γ313
Nichtverschwindende Rip
{
′′
′
′
1
− λ2 1r − r12 + r12 − λ2 1r + ν2 − λ̈2 + λ̇2
r2
′ ′
− λ̇2 eλ−ν ν̇2 − λ2 ν2
}
{
ν ′′
ν ′2
λ′ ν ′
λ′
λ−ν λ̈ + λ̇2 − λ̇ν̇
+
−
−
−
e
2
4
4
r
2
4
4
• R11 = − r12 +
R11 =
• R22 = + (1 − rλ′ ) e−λ − 1r re−λ +
{
}
R22 = −1 + e−λ 1 + 2r (ν ′ − λ′ )
λ′
−λ
2 re
−
1
sin2 ϑ
(
)}
λ̇ − ν̇ eλ−ν +
λ̇ λ̇ λ−ν
2 2e
+
( ′ )2
ν
2
′
+ cot2 ϑ + re−λ 1r + re−λ ν2
′
• R33 = sin2 ϑ(1 − rλ′ )e−λ − 1r r sin2 ϑe−λ + λ2 re−λ + cos2 ϑ − sin2 ϑ − cos2 ϑ + r sin2 ϑe−λ 1r
′
2
+ r sin
ϑe−λ ν2 [
]}
{
R33 = sin2 ϑ −1 + e−λ 1 + 2r (ν ′ − λ′ )
R33 = sin2 ϑR22
( )2
′ ′
′ ′
′
• R44 = λ̈2 − 12 {ν ′′ + ν ′ (ν ′ − λ′ )} eν−λ + λ̇2 + ν2 ν2 eν−λ − λ2 ν2 eν−λ − ν̇2 λ̇2 − ν2 eν−λ 1r
′
− ν2 eν−λ 1r
R44 =
λ̈
2
+
λ̇2
4
• R14 = − λ̇2 1r −
−
ν̇ λ̇
4
− eν−λ
{
ν ′′
2
+
ν ′2
4
−
λ′ ν ′
4
+
ν′
r
}
λ̇ 1
2r
R14 = − λ̇r
3
Lösung der Vakuum - Feldgleichungen
Lösung außerhalb der Massenverteilung ( =
ˆ äußere Schwarzschild- Lösung )
T mn ≡ 0
114
IV. Schwarzschild-Lösung
Einﬂuss der Massenverteilung besteht nur in der Symmetrie des Lösungsansatzes, sonst gehen
Massen nicht mehr ein
R
gmn = 0
2
Rmn −
R nm
g gmn
2
R
Rnn − δnn
2
R
R− ·4
2
R
g nm Rmn −
|g nm
= 0
= 0
= 0
= 0
Vakuum-Feldgleichungen
Rmn = 0
• R11 =
ν ′′
2
+
ν ′2
4
−
λ′ ν ′
4
−
λ′
r
− eλ−ν
{
λ̈
2
λ̇2
4
−
λ̇ν̇
4
λ′ ν ′
4
+
ν′
r
+
}
=0
{
}
• R22 = −1 + e−λ 1 + 2r (ν ′ − λ′ ) = 0
• R33 = sin2 ϑR22 = 0
• R44 =
λ̈
2
+
λ̇2
4
−
λ̇ν̇
4
− eν−λ
{
ν ′′
2
+
ν ′2
4
−
}
=0
• R14 = − λ̇r = 0
Birkhoﬀscher Satz (1923) :
Jede kugelsymmetrische Vakuum-Lösung der Einsteinschen Gleichungen ist statisch.
• Beweis:
1. R14 = 0
−→ λ̇ = 0
−→ λ = λ(r)
2. R22 = 0
−→ ν ′ = ν ′ (r)
−→ ν = ν(r) + f (t)
3 Lösung der Vakuum - Feldgleichungen
115
3. f (t) kann wegtransformiert werden: Eingang von ν in das Linienelement über
eν (dct)2 = eν(r) ef (t) (dct)2
Koordinatentransformation
dct′ = e
f (t)
2
dct
bringt in neuen Koordinaten ct’ f zum Verschwinden (Strich im weiteren wieder
weggelassen)
−→ ν(r)
4. wegen λ(r) und ν(r) ist Metrik zeitunabhängig
q.e.d
Verbleibende Gleichungen
R11 :
R44 :
R22 , R33 :
ν ′′
ν ′2
λ′ ν ′
λ′
2 + 4 − 4 − r
′′
′2
′
′
′
ν
ν
− λ 4ν + νr
2 +
4
{
}
e−λ 1 + 2r (ν ′ − λ′ )
= 0
= 0
= 1
• R11 − R44 :
λ′ = −ν ′
ν = −λ(r) + f˜(t)
˜
f
f˜(t) kann wie f (t) durch Koordinatentransformation dct′ = e 2 dct zum Verschwinden
gebracht werden.
ν(r) = −λ(r)
• R22 , R33 : Substitution α = e−λ
′
′ −λ
{α =r −λ e }
e−λ 1 + (−2λ′ )
{2
}
α′
α 1+r
α
1
α′ + α
r
= −λ′ α
= 1
= 1
=
1
r
Homog. Lösung:
dr
dα
= −
α
r
ln α = − ln r + const
1
α ∝
r
2M
α = −
r
116
IV. Schwarzschild-Lösung
mit −2M als Integrationskonstanten
Inhomog. Lösung:
α=1
Allg. Lösung:
α = 1−
2M
= e−λ = eν
r
−→ Schwarzschild - Metrik (1916)
•
ds2 =
)
(
) (
M
dr2
2
2
2
2
+
r
dϑ
+
(sin
ϑ)
dφ
−
1
−
2
dct2
r
1 − 2M
r
Diskussion
• Bedeutung von M ?
für r ≫ M nur geringe Abweichung vom ﬂachen Raum:
gmn = ηmn + fmn ,
|fmn | << 1
−→ Verknüpfung mit Newtonschem Grenzfall (vgl. (III.126) ) :
(
)
(
)
2Φ
M
g44 = − 1 + 2 = − 1 − 2
c
r
2
Mc
−→ Φ = −
r
(IV.41)
(IV.42)
(IV.43)
vgl. mit Φ = −γ MrN ,
wobei MN ( Newtonsche) Masse einer kugelsymmetrischen Massenverteilung,
−→
M=
γ
κc2
M
=
MN
N
c2
8π
(IV.44)
M hat Dimension einer Länge
−→ Einführung
von
{
Gravitationsradius oder
rG = 2M
Schwarzschild - Radius
Sonne rG = 2, 96 km
Erde
rG = 8, 8 mm
Schwarzschild - Radius wird meist im Innern der Massenverteilung liegen
• Beispiele für rG :
• Falls rG doch bereits im Außenraum liegt, wird rG zum Ereignishorizont eines Schwarzen
Loches; genauere Diskussion später
Bedeutung der Koordinaten
3 Lösung der Vakuum - Feldgleichungen
117
• insbesondere r,t haben keine unmittelbare physikalische Bedeutung
• t wird Koordinatenzeit genannt im Unterschied zur Eigenzeit τ eines im Gravitationsfeld
ruhenden Beobachters (dr = dϑ = dφ = 0)
•
(
rG ) 2
!
ds2 = − 1 −
dct
=
−c2 dτ 2
|{z}
r
Def.derEigenzeit
√
rG
dτ =
1−
dt
r
−→
(IV.45)
(IV.46)
• r ist radiale Koordinate aber nicht der Radius; r = const ist Oberﬂäche einer Kugel mit
dem Wert 4 πr2 , denn für r = const und t = const gilt
ds2 = r2 (dϑ2 + sin2 ϑ dφ2 )
(IV.47)
und für das Flächenelement dS von dϑ und dφ aufgespannt gilt
dS =
√
g̃dϑdφ
(=
ˆ 2-dim. Volumenelement )
(IV.48)
mit
g̃ = (g22 g33 − g23 g32 ) = r4 sin2 ϑ
(IV.49)
also
∫
S=
∫
dS = r
2
sin ϑ dϑ dφ = 4πr2
(IV.50)
Linienelement in radiale Richtung ist durch
dr
ds = √
1−
rG
r
=: dR
(radialer Abstand)
(IV.51)
gegeben, d.h. dR > dr , radialer Abstand ist immer größer als Diﬀerenz der radialen
Koordinate.
• Darstellung der Fläche t=const, ϑ =
ds2 =
π
2
( Rotationsﬂäche) im Einbettungsraum:
dr2
+ r2 dφ2
1 − rrG
(IV.52)
Entlangwandern auf φ = const :
ds = dR = √
dr
1−
rG
r
(IV.53)
118
IV. Schwarzschild-Lösung
Schwarzschild-Metrik mit kosmolog. Glied
R
gmn − Λgmn
2
R
Rmm − δ mn − Λδ mn
2
R
R − 4 − Λ4
2
R
Rmn −
= 0
= 0
= 0
= −4Λ
Rmn + 2Λgmn − Λgmn = 0
Rmn = −Λgmn
Rmn = −Λδ mn
R14 = 0 −→ Birkhoﬀscher Satz auch bei Λ ̸= 0
ν ′′ ν ′2 λ′ ν ′ λ′
+
−
−
= −Λeλ
2
4 { 4
r
}
r
= −1 + e−λ 1 + (ν ′ − λ′ ) = −Λr2
2
2
= sin ϑ R23 = −Λ r2 sin2 ϑ
{ ′′
}
ν ′2 λ′ ν ′ ν ′
ν−λ ν
= −e
+
−
+
= +Λeν
2
4
4
r
R11 =
(IV.54)
R22
(IV.55)
R33
R44
(IV.56)
(IV.57)
R11 − R44 :
λ′ = −ν ′
(IV.58)
ν = −λ + f˜(t)
(IV.59)
f˜(t) kann durch Trafo
f˜
dct′ = e 2 dct
(IV.60)
zum Verschwinden gebracht werden
−→
R22 , R33 :
ν(r) = −λ(r)
(IV.61)
}
{
e−λ 1 + 2r (−2λ′ ) = 1 − Λr2
α = e−λ
′
′ −λ
(IV.62)
′
α = −λ e
= −λ α
{
}
α′
α 1+r
= 1 − Λr2
α
α + rα′ = 1 − Λr2
1
1
− Λr
α′ + α =
r
r
(IV.63)
(IV.64)
(IV.65)
(IV.66)
3 Lösung der Vakuum - Feldgleichungen
119
Homog. Lösung :
α=−
2M
r
(IV.67)
Inhomog. Lösung :
α = 1 − βΛr2
′
ds2 =
α = −2βΛr
1
1
−2βΛr + − βΛr = − Λr
r
r
2β + β = 1
1
β =
3
1
α = 1 − Λr2
3
1
2M
−λ
− Λr2
−→ e
= 1−
r
3
)
(
( 2
)
dr2
1 2
2M
2
2
2
− Λr dct2
+ r dϑ + sin ϑdφ − 1 −
1
2
r
3
1 − 2M
−
Λr
r
3
(IV.68)
(IV.69)
(IV.70)
(IV.71)
(IV.72)
(IV.73)
(IV.74)
(IV.75)
120
IV. Schwarzschild-Lösung
Zusammenfassung : Schwarzschild - Lösung
Kugelsymmetrie in 4 Dimensionen
ds2 = g11 (R, cT )dR2 + g22 (R, cT )(dϑ2 + sin2 ϑdφ2 )
2
+ 2g14 (R, cT ) dR dcT + g44 (R, cT )(dcT )
(IV.76)
(IV.77)
Koordinatentransformationen
• r=
√
g22 (R, cT ), ϑ = ϑ, φ = φ, cT = cT
ds2 = h2 dr2 − 2ab dr dcT − b2 (dcT )2 + r2 (dϑ2 + sin2 ϑdφ2 )
(IV.78)
h(r, T ); a(r, T ); b(r, T )
• t = t(T, r) vermittels dct = e−
ν(r,T )
2
{a dr + b(dcT )}
ds2 = eλ dr2 + r2 (dϑ2 + sin2 ϑdφ2 ) − eν dct2
(IV.79)
−→ g11 = eλ(r,t) , g22 = r2 , g33 = r2 sin2 ϑ, g44 = −eν(r,t) , gik = 0 für i ̸= k
{Schwarzschildsche Form des Linienelementes einer kugelsymmetrischen Metrik}
Christoﬀel - Symbole
• Ausrechnen über Deﬁnition oder
• Ablesen aus Geodäten - Gleichung
(
)
• Deﬁnition: Γikl = 12 g is gsk|l + gsl|k − gkl|s
• Abkürzung ∂r ( ) = ()′ , ∂ct ( ) = ( )˙
Γ111
Γ133
Γ114
Γ212
Γ313
Γ411
Γ444
′
= λ2
= −r sin2 ϑe−λ
= λ̇2
= 1r
= 1r
= λ̇2 eλ−ν
= ν̇2
Γ122 = −re−λ
′
Γ144 = ν2 eν−λ
Γ233 = − sin ϑ cos ϑ
Γ323 = cot ϑ
′
Γ414 = ν2
• alle weiteren Γ ’s verschwinden
3 Lösung der Vakuum - Feldgleichungen
121
Ricci-Tensor
• Rmn = Ri min = R1m1n + R2m2n + R3m3n + R4m4n
• R11 = Γ212|1 + Γ212 Γ212 − Γ111 Γ212 + Γ313|1 + Γ313 Γ313 − Γ111 Γ313 + Γ414|1 − Γ411|4 + Γ114 Γ411
+ Γ414 Γ441 − Γ411 Γ444 − Γ111 Γ414
• R14 = −Γ114 Γ212 − Γ114 Γ313
• R22 = −Γ122|1 + Γ212 Γ122 − Γ122 Γ111 + Γ323|2 + Γ323 Γ332 − Γ122 Γ313 − Γ122 Γ414
• R33 = −Γ133|1 + Γ331 Γ133 − Γ133 Γ111 − Γ233|2 + Γ332 Γ233 − Γ133 Γ212 − Γ133 Γ414
• R44 = Γ141|4 − Γ144|1 + Γ141 Γ114 + Γ441 Γ144 − Γ144 Γ111 − Γ444 Γ141 − Γ144 Γ212 − Γ144 Γ313
• alle weiteren Rmn verschwinden
Ricci - Tensor in λ und ν
• R11 =
ν ′′
2
+
ν ′2
4
−
λ′ ν ′
4
−
λ′
r
− eλ−ν
{
λ̈
2
λ̇2
4
−
λ̇ν̇
4
λ′ ν ′
4
+
ν′
r
+
}
}
{
• R22 = −1 + e−λ 1 + 2r (ν ′ − λ′ )
• R33 = sin2 ϑR22
• R44 =
λ̈
2
+
λ̇2
4
−
λ̇ν̇
4
− eλ−ν
{
ν ′′
2
+
ν ′2
4
−
}
• R14 = − λ̇r
Vakuum - Feldgleichungen : Rmn = 0
Birkhoﬀscher Satz: Jede kugelsymmetrische Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen ist statisch.
•
ν ′′
2
+
ν ′2
4
−
λ′ ν ′
4
−
λ′
r
=0
•
ν ′′
2
+
ν ′2
4
−
λ′ ν ′
4
+
ν′
r
=0
{
}
• e−λ 1 + 2r (ν ′ − λ′ ) = 1
122
IV. Schwarzschild-Lösung
Schwarzschild-Lösung
• ds2 =
dr 2
1− 2M
r
(
+ r2 (dϑ2 + sin2 ϑdφ2 ) − 1 −
2M
r
)
dct2
• 2M = rG Schwarzschild-Radius, Gravitationsradius
4 Planetenbewegung und Periheldrehung
4
123
Planetenbewegung und Periheldrehung
zu untersuchen ist die relativistische Version des Kepler-Problems, Bewegung eines Körpers
(Teilchens) im zentralsymmetrischen Gravitationsfeld
Darstellung des Gravitationsfeldes mit der Schwarzschild-Metrik
(
dr2
rG ) 2
2
2
2
2
ds2 =
+
r
(dϑ
+
sin
ϑdφ
)
−
1
−
dct
1 − rrG
r
(IV.80)
LII - Gleichungen wurden bereits im Abschnitt „Geodäten“ für eine beliebige Metrik ausgerechnet zu
k
l
d2 ξ i
i dξ dξ
+
Γ
=0
kl
dλ2
dλ dλ
λ aﬃner Parameter, z.B. λ = τ mit
ds2 = −c2 dτ 2 ,
(IV.81)
(IV.82)
• entweder: Γikl auf Schwarzschild - Metrik spezialisieren
• oder: LII erneut ableiten mit sofort auf die Schwarzschild-Metrik spezialisierter LagrangeFunktion
• 2. Variante geht schneller, also
( )
1 ds 2
L =
(IV.83)
2 dτ
{ ( )2
[( )
}
( )2 ] (
2
dr
) ( dct )2
1
dϑ
dφ
r
G
dτ
=
+ r2
+ sin2 ϑ
− 1−
2 1 − rrG
dτ
dτ
r
dτ
und
d ∂L
∂L
− k
dτ ∂ ξ˙k
∂ξ
dξ k
= 0, ξ˙k :=
dτ
• Vereinfachung möglich über LII für ξ 2 = ϑ :
(
)
( )2
d
dϑ
dφ
r2
− r2 sin ϑ cos ϑ
= 0
dτ
dτ
dτ
( )2
dφ
d2 ϑ 2 dr dϑ
+
− sin ϑ cos ϑ
= 0
dτ 2
r dτ dτ
dτ
(IV.84)
(IV.85)
(IV.86)
Vorgabe von Anfangsbedingungen (durch geeignete Wahl eines Koordinatensystems):
π
ϑ(τ = 0) =
,
2
dϑ
(τ = 0) = 0
dτ
π
−→ ϑ(τ ) =
2
124
IV. Schwarzschild-Lösung
( eindeutig nach Dgl. - Theorie) ;
−→ ebene Bewegung !
• ϑ=
π
2
sofort in L einsetzen bevor weitere LII gebildet werden:
{ ( )2
}
( )2 (
dr
) ( dct )2
r
1
dφ
G
dτ
− 1−
L=
+ r2
2 1 − rrG
dτ
r
dτ
(IV.87)
• ξ 3 = φ : zyklisch
−→ Erhaltungssatz (Drehimpuls)
d ∂L
dτ ∂dτ φ
dφ
−→ r2
dτ
= 0
(IV.88)
= B = const
(IV.89)
• ξ 4 = ct : zyklisch
−→ Erhaltungssatz (Energie)
−→
• ξ1 = r :
d
dτ
{
dτ r
1 − rrG
}
+
d ∂L
dτ ∂dτ ct
(
rG ) dct
1−
r dτ
= 0
(IV.90)
= A = const
(IV.91)
2
r
1 rG2 (dτ r)
1 rG
2
−
r
(d
φ)
+
(dτ ct)2 = 0;
(
)
τ
2
2 1 − rG
2 r2
(IV.92)
r
anstelle dieser komplizierten Dgl. ist es auch möglich, das 1.Integral
( )2
(
ds
rG )
(dτ r)2
2
2
+
r
(d
φ)
−
1
−
(dτ ct)2
= −c2 =
τ
dτ
1 − rrG
r
(IV.93)
zu verwenden!
Veriﬁkation des 1. Integrals
• Diﬀerenzieren dτ des 1. Integrals
− c2 =
(
(dτ r)2
rG )
2
2
+
r
(d
φ)
−
1
−
(dτ ct)2
τ
1 − rrG
r
(IV.94)
unter Beachtung der Erhaltungssätze liefert
0 =
0 =
(
(dτ r)2 rG
2dτ rd2τ r
rG )
2
2
−
d
r
+
r
d
φ
dτ ct d2τ ct (IV.95)
d
φ
−
1
−
)
(
τ
τ
rG 2 r 2 τ
|
{z
}
1 − rrG
r
1− r
|
{z
}
=const
=const
(
)
2 r
1 − rrG dτ ct d2τ ct
1 (dτ r) rG2
1 2
d2τ r
d2τ φ
− (
−
·
(IV.96)
) + r dτ φ
1 − rrG
2 1 − rG 2 2
dτ r
2
dτ r
r
4 Planetenbewegung und Periheldrehung
•
d2τ φ
dτ r
125
eliminieren über Erhaltungssatz nach Diﬀ.:
2τ dτ rdτ φ + r2 d2τ φ = 0
d2τ φ
dτ φ
−→
= −2
dτ r
τ
•
d2τ ct
dτ r
(IV.97)
(IV.98)
eliminieren über weiteren Erhaltungssatz nach Diﬀ.
(
rG ) 2
rG
d
rd
ct
+
1
−
dτ ct = 0
τ
τ
r2
r
d2τ ct rrG2
d2τ ct
−→
= −
dτ r
1 − rrG
−→
0 =
2 r
d2τ r
1 (dτ r) rG2
1 rG
2
−
−
r
(d
φ)
+
(dτ ct)2
(
)
τ
rG
2
1− r
2 1 − rG
2 r2
r
(IV.99)
(IV.100)
(IV.101)
−→ Übereinstimmung mit Geodätengl. für ξ 1 = r !
Einarbeiten der Erhaltungsgrößen in die Geodätengl. ergibt mit der Abkürzung (˙) = dτ ( )
−c2 =
ṙ2
B2
A2
+
−
1 − rrG
r2
1 − rrG
B 2 rG B 2 c2 rG
= A2 − c2 = const
−
−
r2
r3
r
B2
M B2
1 2 γMN
ṙ −
+ 2 −
= const
⇒
3
r
2r }
|2
{z
| r{z }
ṙ2 +
Keplerproblem nach Newton
(IV.102)
(IV.103)
(IV.104)
Zusatzterm der ART
Somit modiﬁziert die ART das Keplerproblem nach Newton um einen Zusatzterm ∝ r−3 .
Berechnung der Bahnkurve r(φ) aus dem 1.Integral, der Impulserhaltung und der Energieerhaltung:
• Substitution
−→
r
=
dτ φ
=
dτ ct
=
dτ r
=
dτ r
=
w
′
1
w
B
= Bw2
r2
A
A
rG =
1− r
1 − rG w
1
1
− 2 dτ w = − 2 dφ wdτ φ
w
w
−Bdφ w
:= dφ w
(IV.105)
(IV.106)
(IV.107)
(IV.108)
(IV.109)
(IV.110)
126
IV. Schwarzschild-Lösung
• 1. Integral
B 2 w′2
A2
+ B 2 w2 −
= −c2
1 − rG w
1 − rG w
B 2 w′2 + B 2 w2 (1 − rG w) − A2 + c2 (1 − rG w) = 0,
(IV.111)
(IV.112)
dφ
Separation
∫ mittels dw möglich
−→ φ = f (w)dw führt auf Elliptische Integrale, aber nicht auf Ellipsen; d.h. prinzipiell
exakt gelöst!
• näherungsweise Lösung der Dgl: Diﬀerentation nach φ
2B 2 w′ w′′ + 2B 2 ww′ (1 − rG w) − B 2 rG w2 w′ − c2 rG w′ = 0
′
′′
′
′
′
2B w w + 2B ww − 3B rG w w − c rG w = 0
3
c2 rG ′
(w′′ + w − rG w2 −
)w = 0
2
2B 2
2
2
w′′ + w =
w′′ + w =
2
2
2
c2 rG 3
+ rG w2 und w′ = 0
2B 2
2
c2 M
+ 3M w2 und w′ = 0
B2
(IV.113)
(IV.114)
(IV.115)
(IV.116)
(IV.117)
• Fall 1 : w′ = 0
−→ dτ r = 0 −→ r = const (Kreisbahn)
2
• Fall 2 : w′′ + w = cBM
2 + 3M w
Vernachlässigung des Terms ∝ w2 führt auf Newtonsche Theorie:
2
w0′′ + w0 =
w0 =
c2 M
B2
M c2
(1 + ϵ cos φ),
B2
(IV.118)
(IV.119)
Einsetzen von w0 im Term ∝ w2 , d.h. Iteration
w1′′ + w1 =
w1′′ + w1 =
M c2
+ 3M w02
B2
M c2
M 2 c4
+
3M
(1 + 2ϵ cos φ + ϵ2 cos2 φ),
B2
B4
Dgl. vom Typ der Gleichung einer erzwungenen Schwingung;
nach Stephani:
{
(
)}
3M 3 c4
1
2 1
−→ w1 = w0 +
1 + ϵφ sin φ + ϵ
− cos(2φ)
,
B4
2 6
ϵφ sin φ : entscheidender Korrekturterm zu w0 , da wachsend
1
cos(2φ) : oszillierend
6
(IV.120)
(IV.121)
(IV.122)
(IV.123)
(IV.124)
4 Planetenbewegung und Periheldrehung
w1 ≈ w0 +
w1 ≈
w1 ≈
127
3M 3 c4
ϵφ sin φ
4
{B
}
3M 2 c2
M c2
1 + ϵ cos φ +
ϵφ sin φ
B2
B2
{
(
) }
M c2
3M 2 c2
1 + ϵ cos 1 −
φ ,
B2
B2
(IV.125)
(IV.126)
(IV.127)
denn
cos(α − β)
=
cos α cos β + sin α sin β
(IV.128)
cos(1 − M̃ )φ
=
cos φ cos M̃ φ + sin φ sin M̃ φ
(IV.129)
cos(1 − M̃ )φ
≈
cos φ + M̃ φ sin φ
3M 2 c2
mit M̃ =
,
B2
M̃ φ << 1
(IV.130)
(IV.131)
(IV.132)
• nach φ = 2π ist das ursprüngliche r noch nicht wieder ganz erreicht:
∆φP =
6πM 2 c2
B2
ist Periheldrehung (ϵ ̸= 0)
Abbildung IV.1: Rosettenbewegung eines Planeten
(IV.133)
128
5
IV. Schwarzschild-Lösung
Lichtablenkung
Lichtstrahlen sind s.g. Nullgeodäten, d.h. das 1. Integral der Geodäten - Gleichung ist
(
ds
dλ
)2
= gik
dξ i dξ k
= 0
dλ dλ
(IV.134)
vgl. ds2 = 0 im Minkowski Raum :
= dx + dy + dz − c dt
2
2
ds
vx2
+
vy2
+
vz2
−c
2
v
2
2
2
2
(IV.135)
= 0
= 0
2
2
= c
(IV.136)
(IV.137)
(IV.138)
Geodäten - Gleichung ist ebenfalls gültig, allerdings kann Eigenzeit nicht als Kurvenparameter
verwendet werden; sie ist deﬁniert über
ds2 = −c2 dτ 2 ,
(IV.139)
was hier nicht brauchbar ist; Wahl eines anderen aﬃnen Kurvenparameters λ
Geodäten - Gleichung für ϑ, φ, ct werden unverändert aus Abschnitt 4.4 übernommen, also
insbesondere
π
, ebene Bewegung
2
(IV.140)
= B = const , Impulssatz
(IV.141)
= A = const , Energiesatz
(IV.142)
ϑ =
dφ
r2
dλ
(
rG ) dct
1−
r dλ
anstelle der Geodäten-Gleichung für r wird wiederum das 1. Integral benutzt:
(
1
rG )
2
2
2
(d
r)
+
r
(d
φ)
−
1
−
(dλ ct)2 = 0
λ
λ
1 − rrG
r
(IV.143)
w′′ + w = 3M w2
(IV.144)
folglich
Lösung im ﬂachen Raum ( M = 0 )
w0′′ + w0 = 0
1
−→ w0 =
sin(φ − φ0 )
D
φ0 , D
Integrationskonstanten ,
o.B.d.A. φ0 = 0
1
1
=
sin φ
−→ w0 =
r
D
(IV.145)
(IV.146)
(IV.147)
(IV.148)
(IV.149)
5 Lichtablenkung
129
Geradengleichung mit Abstand D vom Ursprung
genäherte Lösung im gekrümmten Raum
3M
sin2 φ
D2
(IV.150)
M
(1 + cos2 φ)
D2
(IV.151)
w1′′ + w1 =
• partikuläre inhom. Lösung
w̃1 =
• allg. Lösung
w1 = w0 + w̃1
1
M
1
w1 =
sin φ + 2 (1 + cos2 φ) =
D
D
r
M
r(2 cos2 φ + sin2 φ)
D = r sin φ +
D
M 2x2 + y 2
√
D = y+
D x2 + y 2
(IV.152)
(IV.153)
(IV.154)
(IV.155)
• 2.Term beschreibt Abweichung von der Geraden y = D :
y = D−
M 2x2 + y 2
√
D x2 + y 2
(IV.156)
• Asymptote für x → ±∞
2M
x
D
∆φ
2M
=
2
D
4M
2rG
=
D
D
y = D−
tan
∆φ
2
≈
∆φ =
• Beispiel : Sonne
rG = 2, 96 km
D = 7 · 105 km (Sonnenrand streifend)
∆φ = 1, 75′′
(IV.157)
(IV.158)
(IV.159)
130
IV. Schwarzschild-Lösung
• Historische Messung am 29.5.1919 während einer Sonnenﬁnsternis
• neuere Messungen mit Quasaren, die keiner Sonnenﬁnsternis bedürfen
• Gravitationslinse
Abbildung IV.2: Gravitationslinse
6
Rotverschiebung
Im Gravitationsfeld wird Licht nicht nur in Richtung geändert, auch in Frequenz
• Eﬀekt beruht auf zusammenhang zwischen Eigenzeit und Zeitkoordinate
Eﬀekt ist wohlunterschieden von Doppler-Eﬀekt, hat also mit Bewegung von Quellen oder
Sender nichts zu tun
Gültigkeit in allen statischen Gravitationsfeldern, nicht nur Schwarzschild-Metrik
Ausgangspunkt:
• Zeitorthogonale Koordinaten : g4a = 0
6 Rotverschiebung
131
• zeitunabhängige Metrik: gik|4 = 0
• Sender im Punkt P1 = (r1 , Θ1 , φ1 ) ruhend
• Empfänger im Punkt P2 = (r2 , Θ2 , φ2 ) ruhend
Lichtwelle zwischen P1 und P2
• ds2 = gab dξ a dξ b + g44 dct2 = 0
• t1 Koordinatenzeit beim Aussenden in P1
• t2 Koordinatenzeit beim Empfangen in P2
• Koordinatenzeit - Diﬀerenz t2 − t1 :
∫2
ct2 − ct1 = dct
=
∫λ2 √
λ1
1
a
dξ
− ggab
44 dλ
dξ b
dλ dλ
,
λ aﬃner Parameter entlang der Nullgeodäten
• Integral hängt nur vom Weg ab, nicht von der Zeit ct, da gik zeitunabhängig sind
• für ein später (t′1 ) ausgesandtes Lichtsignal gilt der gleiche Weg und demnach die gleiche
Zeitdiﬀerenz
t2 − t1 = t′2 − t′1
• −→ Koordinatenzeitintervalle zwischen aufeinanderfolgenden Signalen sind am Empfänger und Sender gleich:
t′1 − t1 = t′2 − t2
(IV.160)
• −→ Zahl der Schwingungen der Welle in Einheiten der Koordinatenzeit ist am Empfänger
und Sender gleich
n
∆t1
=
n
;
∆t2
(IV.161)
n muss natürlich auch gleich sein, da sich alle Portionen innerhalb der Welle mit gleicher
Geschwindigkeit c ausbreiten
Uhr des Beobachters am Sender misst aber Eigenzeit ∆τ1
• wg. Def. der Eigenzeit −c2 dτ 2 = gik dξ i dξ k gilt für ruhenden Beobachter
− c2 dτ 2 = g44 dct2
(IV.162)
• Integration, da g44|4 = 0
∆τ1 =
√
−g44 (1)∆t1
(IV.163)
132
IV. Schwarzschild-Lösung
Uhr des Beobachters am Empfänger misst ∆τ2
√
∆τ2 =
−g44 (2)∆t2
(IV.164)
folglich
√
∆τ2
∆τ1
g44 (2)
g44 (1)
=
(IV.165)
Frequenzen an jeweiligen Orten
•
f1 :=
f2 :=
•
1
,
∆τ1
1
∆τ2
(IV.166)
(IV.167)
√
f1
f2
=
g44 (2)
g44 (1)
(IV.168)
Rotverschiebung z
√
f1
−1=
z :=
f2
g44 (2)
−1
g44 (1)
(IV.169)
• z heißt immer „Rotverschiebung“, auch wenn f2 > f1 , d.h. wenn tatsächlich eine „Blauverschiebung“ (z<0) vorliegt
Rotverschiebung in der Schwarzschild-Metrik
•
√
z =
1−
1−
rG
r2
rG
r1
−1
(IV.170)
• r1 , r2 >> rG
√
z ≈
z ≈
rG
rG
(1 −
)(1 +
)−1≈
r2
r1
(
)
1 rG rG
−
2 r1
r2
√
1+
rG rG
−
−1
r1
r2
(IV.171)
(IV.172)
6 Rotverschiebung
133
• Beispiel: Sonne r1 , Erde r2
z =
1 rG
≈ 10−6 ,
2 r1
(IV.173)
echte Rotverschiebung, da Sender näher an Gravitationsquelle als Empfänger
Darstellung der Rotverschiebung mit dem Newtonschen Gravitationspotential Φ
)
(
2Φ
g44 = − 1 + 2
c
v
u
u1 +
z = t
1+
2Φ2
c2
2Φ1
c2
−1 ≈
1
(Φ2 − Φ1 )
c2
(IV.174)
(IV.175)
• im Photonen-Bild entspricht die Gravitationsrotverschiebung einer Änderung der kinetischen Energie h · f durch Gewinn oder Verlust von potentieller Energie
Zur Veranschaulichung betrachte man folgenden Kreisprozess: Ein zunächst ruhendes
massives Teilchen der Energie mc2 falle im homogen angenommenen Gravitationsfeld
um die Strecke ∆r < 0.
Das Teilchen verliert potentielle Energie (−m g ∆r) , die sich in kinetische Energie umwandelt. Die Gesamtenergie des Teilchens bei Position 1 zerstrahle man in ein Photon,
das dann die Energie h · f1 haben möge.
Das Photon bewege sich zurück nach Position 2 und erfährt die Rotverschiebung z =
(Φ2 −Φ1 )
. Dort angekommen denke man sich, dass das Photon der Energie hf2 sich in das
c2
massive Ausgangsteilchen der Energie mc2 zurückverwandelt. Wegen
Φ2 − Φ1 = −g∆r
(IV.176)
ist die Rotverschiebung als Verlust von potentieller Energie interpretierbar.
mc2
hf2
2
g ≈ const
z=
∆r
ϕ2 − ϕ1
c2
1
mc2 − mg∆r
hf1
Rotverschiebung beruht letztendlich auf der allgemein-relativistischen Zeitdilatation im Gravitationsfeld
134
7
IV. Schwarzschild-Lösung
Physik am Schwarzschildradius
• Außenraum (Vakuum) erstrecke sich bei r < rG
•
ds2 =
( 2
) (
dr2
rG ) 2
2
2
2
+
r
dϑ
+
sin
ϑdφ
−
1
−
dct
1 − rrG
r
• Singularität des Metrischen Tensors:
g11 −→ ∞
(IV.177)
r→rG
• Singularitäten sind wohlbekanntes Phänomen, z.B. für Coulomb-Potential
V =
q
4πϵ0 r
• Kompliziertere Situation in einer nichtlinearen Theorie, da Singularität nicht am Ort
der Quelle aufzutreten braucht
• Singularitäten des Raumes können auch durch singuläres Koordinatensystem vorgetäuscht sein, z. B. Kugelkoordinaten im dreidimensionalen Euklidischen Raum
g22 = r2
1
g 22 = 2
r
g11 = 1
g 11 = 1
g 22 −→ ∞
r→0
, g 33
g33 = r2 sin2 ϑ
1
g 33 = 2 2
r sin ϑ
−→
r→0,ϑ→0,π
∞ ;
(IV.178)
aber r = 0 ist ein harmloser Punkt.
• Koordinaten-unabhängige Charakterisierung durch Suche nach Singularitäten in Tensoren 0. Stufe (Invarianten), z. B.
Rijkl Rijkl = 12
2
rG
r2
(IV.179)
oder in anderen geometrischen Objekten wie z. B.
g = −r4 sin2 ϑ
;
(IV.180)
beide Konstruktionen sind regulär bei r = rG
• Untersuchung der physikalischen Verhältnisse bei r = rG entlang radialer Geodäten für
Testteilchen:
• Anknüpfung an Gleichung (IV.91) und (IV.93) für radiale Bewegung (dφ = 0, kein
Drehimpuls):
(
rG )
1−
dτ ct = A = const
(IV.181)
r
( r )
1
G
2
− c2 =
(d
r)
−
−
(dτ ct)2
(IV.182)
τ
1 − rrG
r
7 Physik am Schwarzschildradius
• folglich
135
√
(
rG )
dτ r = ± A2 − c2 1 −
r
dr
dτ r
=
=±
dct
dτ ct
→
dct = ±A (
1−
√
(
A2 − c2 1 −
rG
r
)√
rG
r
(IV.183)
)
(
A
dr
(
A2 − c2 1 −
rG
r
1−
rG )
r
(IV.184)
(IV.185)
)
• Integration von Startzeit ts bei Startpunkt rs (̸= rG ) bis tG bei rG
∫tG
∫rG
A
dt = ±
C
(
rs
ts
1−
rG
r
)√
dr
(
A2 − c2 1 −
rG
r
)
• rechtes Integral divergiert, abzuschätzen durch folgende Situation:
rs nahe an rG beginnen lassen,
√
√
A2 − c2 (1 − rG /r) ≈ A2 ;
(IV.186)
(IV.187)
damit vereinfacht sich das rechte Integral zu
∫rG
rs
dr
=
1 − rrG
∫rG
rs
r dr
≈ r̃ ln (r − rG )|rrG
→∞
s
r − rG
(IV.188)
und aus (IV.186) folgt
−→
tG − ts → ∞ .
(IV.189)
Testteilchen braucht unendlich lange Koordinatenzeit um die endliche Strecke
∫rG
∆s =
∫rG
ds =
rs
rs
dr
√
1−
rG
r
rG
√
∫rG √
√ ∫
√
r dr
dr
r − rG
√
√
=
= r̃
= r̃
<∞
2
r − rG
r − rG
rs
rs
(IV.190)
zurückzulegen.
• Eigenzeit während Bewegung von rs nach rG : Nach (IV.183) erhalten wir
∫rG
√
τ=
rs
dr
A2 − c2 (1 − rG /r)
<∞
(wie ∆s)
(IV.191)
→ frei fallender Beobachter spürt nichts beim Passieren von rG , r und t ”ungeeignete”
Koordinaten
• Analoge Diskussion radialer Geodäten für Photonen:
136
IV. Schwarzschild-Lösung
• Anknüpfung an Gleichung (IV.142) und (IV.143) für dφ = 0:
(
dr2
rG ) 2
−
1
−
dct = 0
1 − rrG
r
∫tG
c (ts − tG ) =
∫rG
dct =
ts
rs
dr
→∞
1 − rrG
(IV.192)
(IV.193)
Photon braucht ebenfalls unendlich lange Koordinatenzeit für die endliche Strecke ∆s.
• Schwarzschildlösung in anderen Koordinaten;
z.B. Lemaitre 1933, Eddington-Finkelstein (1924, 1958), Kruskal
• Kruskal-Koordinaten (s. Stephani, S. 208)
r, ct → w, z ; ϑ, φ bleiben unverändert mit
r − rG rr
e G
rG
ct
w
= tanh
z
2rG
z 2 − w2 =
(IV.194)
(IV.195)
w, z auch negativ, aber so beschränkt, dass r ≥ 0
• Charakt. Linien:
z 2 − w2 = 0 ,
r = rG :
→
r=0:
tanh
ct
= ±1
2G
→
z 2 − w2 = −1 ;
z = ±w
t = ±∞
w2 − z 2 = 1
•
ds2 = 4
3
)
(
)
rG
− r (
e rG dz 2 − dw2 + r2 (w, z) dϑ2 + sin2 ϑdφ2
r
(Kruskal-Metrik)
(IV.196)
7 Physik am Schwarzschildradius
137
r
r G st
= con
,r =
∞ r
− <
t = rG
=
rG 0
rG r = >
< r r=
R G,
= t = con
co
s
ns ∞ t
t
• Diskussion
w
II
I
I’
z
II’
r
=
0
I : r > rG
,
z > |w| ,
t endlich
II : r > rG
′
I , II ′ : isometrisch zu I, II
metrisch ununterscheidbar
• radiale Bewegungen (dϑ = dφ = 0)
ds2 = 4
3
)
rG
− r (
e rG dz 2 − dw2
r
(IV.197)
• radiale Lichtausbreitung: ds = 0
• einlaufende Lichtstrahlen aus I landen unweigerlich im Schwarzen Loch bei r = 0, wenn
sie einmal den Schwarzschildradius (r = rG ) passiert haben, da wird r zeitartig und t
raumartig:
(
)
dr2
rG
− 1 dct2 + r2 dϑ2 + sin2 ϑdφ2 − rG
(IV.198)
ds2 =
r −1
|r {z }
| {z }
>0
<0
Das Verrinnen der Zeit ”r” kann man aber nicht aufhalten, auch nicht mit Raketen,
während man den Ort festhalten kann.
• auslaufende Lichtstrahlen in I können nicht aus dem Schwarzen Loch (r = 0 oben),
sondern höchstens aus dem weißen Loch (r = 0 unten). Allerdings brauchen sie unendlich
lange (t = ∞); wobei t ja auch die Eigenzeit eines entfernten Beobachters (r ≫ rG ) ist.
Für einen endlich existierenden Kosmos kann also von dort nichts bei uns angekommen
sin.
IV. Schwarzschild-Lösung
r
r
w
=
= 0
rG
138
kann
nicht
entweichen
auslaufende
Lichtstrahlen
in I
z
einlaufende
Lichtstrahluen
aus I
r
=
0
• Hinzunahme von weiteren Freiheitsgraden beschleunigt sogar den Sturz ins Schwarze
Loch; z. B. für Photonen
(
)
... dz 2 − dw2 + dσ 2 = 0
→ dw2 muss größer werden.
Ähnliches gilt für Beobachter mit Raketen!!!
Kapitel V
Gravitationswellen
Existenz von Gravitationswellen ist besonders interessantes Problem
Frage nach freien wellenartigen Gravitationsfeldern in Analogie zur Elektrodynamik
Ausbreitung mit Lichtgeschwindigkeit
Erzeugung von einem System beschleunigter Massen
wegen nicht existierender gravitativer Dipole kann niedrigste Ordnung nur Quadrupolstrahlung sein
Entstehung, wenn große Massen stark beschleunigt werden
• theoretisch vorhergesagt
• intensiv gesucht
• bisher nicht gefunden
• GEO600 in Hannover u.a. vielversprechend
indirekte Nachweis der Gravitationsstrahlung durch Abnahme der Bahnperiode des Doppelsternsystems PSR 1913 + 16
• Nobelpreis 1993; Taylor und Hulse
• Abnahme der Systemenergie =
ˆ erwartete Energie der Gravitationsstrahlung
1
Linearisierte Theorie
Nur geringe Abweichung von der Minkowski-Metrik:
gmn
für
Linearisierung
=
ηmn + fmn
|fmn | << 1
(V.1)
140
V. Gravitationswellen
• Produkte der f’s vernachlässigen
• Indexziehen mit Minkowski-Metrik; da
fmn = f pr gmp gnr
= f
pr
(V.2)
(V.3)
(ηmp + fmp ) (ηnr + fnr )
pr
2
(V.4)
= f ηmp ηnr + O(f )
pr
(V.5)
= f ηmp ηnr ;
analog für andere Tensoren
• Inverse Metrik
g mn = η mn − f mn
n
δm
= gmr g
rn
= ηmr η
=
n
δm
rn
+
, da
(V.6)
= (ηmr + fmr ) (η
+ η fmr − ηmr f
fmn
rn
−
rn
−f )
rn
(V.7)
rn
(V.8)
fmn
(V.9)
folglich
)
1 ms (
fsi|k + fsk|i − fik|s
Γm
ik = η
2
(V.10)
folglich
m
Rmikp = Γm
ik|p − Γip|k
)
1 ms (
η
fsi|k|p + fsk|i|p − fik|s|p − fsi|p|k − fsp|i|k + fip|s|k
=
2
)
1 ms (
=
η
fsk|i|p − fik|s|p − fsp|i|k + fip|s|k
2
(V.11)
(V.12)
(V.13)
folglich
(
)
1
Rip = Rmimp = η ms fsm|i|p − fim|s|p − fsp|i|m + fip|s|m
2
}
1{
Rip =
2fip + f mm|i|p − f mi|m|p − f mp|i|m
2
(V.14)
(V.15)
mit d’Alembert-Operator:
2
:=
|m
η ms ∂xm ∂xs := η ms ∂m ∂s := ∂m ∂ m = ( )|m
Einführung einer zweckmäßigen Hilfsfunktion Ψ :
(V.16)
1 Linearisierte Theorie
141
Ψmq
1 q
fm q − δm
f
2
:=
(V.17)
mit
−→
f
:=
Rip
=
f ii
)
1
1( m
2fip −
Ψi |m|p + Ψpm |m|i ,
2
2
(V.18)
(V.19)
da:
1
Ψi m|m|p = fi m|m|p − δim f|m|p
2
1
m
= f i|m|p − f|i|p
2
1
Ψpm |m|i = f mp|m|i − f|p|i
2
Ψi m|m|p + Ψpm |m|i = f mi|m|p + f mp|m|i − f|i|p
(V.20)
(V.21)
(V.22)
(V.23)
−→ Aussage
(V.24)
)
(
1
Rip = −κ Tip − T gip
2
(V.25)
)
(
)
1( m
1
1
m
2fip −
Ψi |m|p + Ψp |m|i = −κ Tip − T ηip
2
2
2
(V.26)
Linearisierte Feldgleichungen
• zunächst allgemein:
• linearisiert:
Vereinfachung der linearisierten Feldgleichungen durch geeignete Koordinatentransformation
ξ¯i = ξ i + ϵi (ξ)
→
ξi
(V.27)
• wg. |fmn | << 1 sind nur kleine Abweichungen von den Minkowski-Koordinaten zugelassen; das gilt für die ξ i als auch die ξ¯i ; somit sind insbesondere ϵi kleine Größen.
ξ¯i|l = δli + ϵi |l
bzw. ξ
i
|l
=
δ̄li
−ϵ
i
|l
(V.28)
=
δli
−ϵ
i
|l
(V.29)
• Auswirkungen für fip → f¯ip :
→
∂ξ m ∂ξ n
gmn = ξ m|i ξ n |p gmn
∂ ξ¯i ∂ ξ¯p
(
)(
)
=
δim − ϵm|i δpn − ϵn|p (ηmn + fmn )
ḡip =
(V.30)
ḡip
(V.31)
ḡip = ηip + fip − ϵi|p − ϵp|i
f¯ip = fip − ϵi|p − ϵp|i
(V.32)
(V.33)
142
V. Gravitationswellen
bzw.
fip = f¯ip + ϵi|p + ϵp|i
(V.34)
• Krümmungstensor bleibt bei dieser Transformation unverändert (ÜA)
• sei f = f ii , f¯ = f¯ii , dann folgt
f¯ = f − η ip ϵi|p − η ip ϵp|i = f − 2ϵi |i
1
|m
Ψ̄i m = Ψi m − ϵi − ϵm|i − δim (f − 2ϵr|r )
2
|m
m
m
m
Ψ̄i
= Ψi − ϵi − ϵ |i + δim ϵr|r
→
(V.35)
(V.36)
(V.37)
• Ableitungen der Ψ̄
Ψ̄i m|m = Ψi m|m − ϵi
|m
|m
− ϵm|i|m + δim ϵr|r|m
|
{z
}
(V.38)
=0
Wahl der ϵ , so dass
|m
|m
m
Ψ̄i |m
= 2ϵi = Ψi m|m
(V.39)
= 0
(V.40)
Ψ̄i m|m = f¯i m|m − f¯|i = 0
(V.41)
ϵi
→
=
ˆ 4 Nebenbedingungen an die f¯ip :
=
ˆ spezielle Eichung der f¯ip : Hilbert-Eichung
Ricci-Tensor bleibt bei der Koordinatentransformation ξ i → ξ¯i unverändert
• klar, da Krümmungstensor unverändert
• explizites Nachrechnen für Rip :
)
1
1( m
2fip −
Ψi |m|p + Ψpm |m|i
2
2
= f¯ip + ϵi|p + ϵp|i
Rip =
fip
m
Ψi |m
=
Rip =
→ Rip =
(V.42)
(V.43)
+ 2ϵi
(V.44)
{
}
1 ¯
1 1
+ Ψ̄ m
2fip + 2ϵ
2ϵ
Ψ̄i m|m|p + 2ϵ
2ϵ
(V.45)
i|p + p|i −
p|i
p |m|i + i|p
2
2
2
(
)
1 ¯
1
(V.46)
2fip −
Ψ̄i m|m|p + Ψ̄pm |m|i
2
2
Ψ̄i m|m
Verbleibende Gleichung
+
ϵi m|m
=
Ψ̄i m|m
2 Ebene Gravitationswellen
143
(
)
1
¯
2fip = −2κ Tip − T ηip
2
(V.47)
Eindeutigkeit der Eichtransformation?
• Eichtransformation bestimmt sich aus
2ϵi = Ψi m|m
(V.48)
• inhomogene lineare Dgl. für ϵi mit allg. Lösung
ϵi = ϵhom
+ ϵinhom
,
i
i
2ϵhom
i
inhom
2ϵi
= 0
=
Ψi m|m
(V.49)
(V.50)
(V.51)
• 2ϵhom
= 0 nicht eindeutig lösbar → ϵi nicht eindeutig!
i
Es sind beliebige weitere Eichtransformationen ξ i = ξ i + ϵ i möglich, die die Hilbert - Eichung
nicht schädigen , so lange
2ϵ̄i = 0
(V.52)
gilt.
2
Ebene Gravitationswellen
Ebene Wellen im Vakuum sind gesucht
zu lösendes Problem
2f jp = 0,
1
m
f j |m − f |j = 0
2
(V.53)
(V.54)
Strich wird im weiteren weggelassen, also
2fjp = 0,
1
fj m|m − f|j = 0
2
(V.55)
(V.56)
144
V. Gravitationswellen
Ansatz für eine ebene Welle
}
{
m
fjp = Re ajp eikm ξ
(V.57)
• Re für Realteil wird im weiteren unterdrückt
2fjp = η mn fjp|m|n = −η mn km kn fjp = 0
→
η mn km kn = k n kn = 0
(V.58)
(V.59)
d.h. k n muss s.g. Nullvektor sein
1
fj m|m − f|j
2
→
ajm k m
1
= ajm ikm − amm (ikj ) = 0
2
1
=
akj mit a := amm
2
(V.60)
(V.61)
ajp heißt Polarisationstensor
• Symmetrie ergibt zunächst 10 Komponenten
• Hilbert-Eichung reduziert um 4 auf 6 Komponenten
• 6 Komponenten enthalten reine Koordinantenwellen; dies sind Wellen, deren Krümmungstensor identisch verschwindet
• Beseitigung der Koordinatenwellen durch weitere Eichung ξ n = ξ n + ϵ n mit
2ϵn = 0
(V.62)
→ Reduktion auf 2 Komponenten möglich
• konkrete Wahl
ϵn = −ibn eikm ξ
m
(V.63)
→ f rp = frp − ϵr|p − ϵp|r
(V.64)
→ arp = arp − br kp − bp kr
(V.65)
Betrachtung einer ebenen Welle, die sich in ξ 3 -Richtung ausbreitet
(k m ) = (0, 0, k, k)
(V.66)
ω
>0
c
(V.67)
mit
k=
2 Ebene Gravitationswellen
145
• Hilbert-Eichung liefert
−→
a13 + a14 = 0
(V.68)
a23 + a24 = 0
a
a33 + a34 =
2
a
a43 + a44 = −
2
a33 − a44 = a = a11 + a22 + a33 − a44
(V.69)
−→
a11 = −a22
(V.70)
(V.71)
(V.72)
(V.73)
• als 6 unabhängige Komponenten können aufgefasst werden
a11 , a33 , a44 , a12 , a13 , a23
• die weiteren 4 abhängigen Komponenten sind dann
a22 = −a11
(V.74)
a14 = −a13
(V.75)
a24 = −a23
1
a34 = − (a33 + a44 )
2
(V.76)
(V.77)
• Umeichung
a11 = a11
(V.78)
a33 = a33 − 2b3 k
(V.79)
a44 = a44 + 2b4 k
(V.80)
a12 = a12
(V.81)
a13 = a13 − b1 k
(V.82)
a23 = a23 − b2 k
(V.83)
amn = 0
(V.84)
• Wahl der bn so, dass
• danach nur noch folgende nichtverschwindende Komponenten
a11 = −a22 ,
(V.85)
a12 = a21
(V.86)
a11 = −a22 ,
(V.87)
a12 = a21
(V.88)
bzw. Striche weglassen
diese Eichung heißt auch tt-Eichung : transverse traceless gauge.
146
V. Gravitationswellen
• zwei mögliche lineare Polarisationen durch a12 = 0 bzw. durch a11 = 0 bestimmt; Einführung zweier Basis-Polarisationstensoren.


1 0 0 0
 0 −1 0 0 

eI = 
(V.89)
 0 0 0 0 ,
0 0 0 0


0 1 0 0
 1 0 0 0 

e II = 
(V.90)
 0 0 0 0 
0 0 0 0
→
3
a = a11 + a22 + 0 = 0 (traceless)
1
aim k m =
aki = 0
2
(transverse: aim ⊥ km )
(V.91)
(V.92)
(V.93)
Teilchen im Feld der Gravitationswelle
ebene Gravitationswellen sind zeitabhängige Störungen der Metrik mit zwei transversalen
Moden
Ausbreitung mit Lichtgeschwindigkeit wegen 2
echter physikalischer Eﬀekt und kein Koordinateneﬀekt, denn
• Krümmungstensor enthält nichtverschwindende zeitabhängige Komponenten
(
)
1
Rmikp = η ms fsk|i|p − fik|s|p − fsp|i|k + fip|s|k
2
wobei für ebene Gravitationswellen
fsk|i|p = −ki kp fsk
(V.94)
(V.95)
→ Rückführung von Rmikp auf f11 und f12
• außerdem gilt für den linearisierten Krümmungstensor in obiger Form die Wellengleichung
2Rmikp = 0
(V.96)
als kovariante Gleichung; da
2Rmikp = R
=
=
m
|n
ikp|n
= η nr Rmikp|n|r =
1 ms nr
η η (fsk|n|r|i|p − ...)
2
1 ms
η (2fsk|i|p − ...) = 0
2
1 ms nr
η η (fsk|i|p|n|r − ...)
2
(V.97)
(V.98)
(V.99)
3 Teilchen im Feld der Gravitationswelle
147
Probeteilchen im Feld der ebenen Gravitationswelle, das keinen weiteren Kräften ausgesetzt
ist
• freies Teilchen genügt Geodätengleichung
ξ¨i + Γikl ξ˙k ξ˙l = 0
(V.100)
mit
ξ˙i =
dξ i
= ui
dτ
dui
+ Γikl uk ul = 0
dτ
(V.101)
(V.102)
• Anfangsbedingung: ruhendes Teilchen
(ui ) = (0, 0, 0, c)
(V.103)
• tt-Eichung
→
nur f11 , f22 , f12 , f21 ̸= 0
1 4s
→ Γi44 =
η (fs4|4 + fs4|4 − f44|s ) = 0
2
dui →
= 0
dτ τ =0
→
→
ui = (0, 0, 0, c)
(V.104)
(V.105)
(V.106)
(V.107)
ξ
a
= const,
(V.108)
ξ
4
= cτ
(V.109)
Teilchen bleibt in Ruhe bzgl. des gewählten KS ξ ; wegen Zeitabhängigkeit der Metrik ändern
sich relative Abstände von Teilchen zueinander
• ds2
ds2 = (ηmn + fmn )dξ m dξ n
(V.110)
fmn = fmn (ξ 3 , ξ 4 ) für m, n = 1, 2
(V.111)
ds2 = dl2 + (dξ 3 )2 − (dξ 4 )2 ,
(V.112)
mit
• Umschrift
ξ
4
= ct
(V.113)
mit
dl2 = (1 + f11 )(dξ 1 )2 + (1 − f11 )(dξ 2 )2 + 2f12 dξ1 dξ2
(V.114)
148
V. Gravitationswellen
• Betrachtung von Teilchen auf einem Kreis bei ξ 3 = 0 zunächst ohne Welle, also
(ξ 1 )2 + (ξ 2 )2 = L2
(V.115)
• Einfallen einer ebenen Gravitationswelle in ξ 3 - Richtung :
l2 = (1 + f11 )(ξ 1 )2 + (1 − f11 )(ξ 2 )2 + 2f12 ξ 1 ξ 2 ,
(V.116)
da fab nicht von ξ 1 , ξ 2 abhängen, können endliche Koordinaten statt Diﬀerentiale benutzt
werden.
• Position eines Teilchens P ändert sich nicht; wir schreiben
ξP1
= L cos φ
(V.117)
ξP2
= L sin φ
(V.118)
• Fall 1 : Gravitationswelle Typ I , e11 = 1 , e12 = 0 , Amplitude â
{
}
l2 = L2 (1 + âe11 cos ωt) cos2 φ + (1 − âe11 cos ωt) sin2 φ
l
2
= L {1 − â cos ωt cos 2φ}
2
(V.119)
(V.120)
4 Nachweis von Gravitationswellen
• Fall 2 : Gravitationswelle Typ II , e11 = 0 , e12 = 1 ,
{
}
l2 = L2 cos2 φ + sin2 φ + 2âe12 cos ωt cos φ sin φ
(V.121)
= L {1 + â cos ωt sin 2φ}
(V.122)
2
4
149
Nachweis von Gravitationswellen
Weber - Zylinder
Interferometer
• GEO 600 (600m)
• LIGO ( 4km, Washington in Luisiana)
• VIRGO (3km, Pisa)
• TAMA 300 (3km, Japan)
• LISA ( 5 ·106 km, ESA,NASA )
150
V. Gravitationswellen
Kapitel VI
Innere Schwarzschild-Lösung
Gravitationsfeld im Innern eines Himmelskörpers
Modell für Energie-Impuls-Tensor notwendig
• Vernachlässigung von innerer Reibung, Wärmeleitung u.a. typisch thermodynamischen
Eﬀekten
• Modell eines idealen ﬂuiden Mediums ist gute Approximation
(vgl. (III.70) )
)
(
P
Tmn = ρ + 2 um un + P gmn
c
(VI.1)
weglassen des Index „0“ an ρ und P zur Markierung, das es sich um die Größen im
Ruhesystem des jeweiligen Volumenelementes handelt ( „ statischer Druck“ )
Feldgleichungen
Rmn −
R n
δ = −κTmn
2 m
(VI.2)
hier am günstigsten in dieser Form.
1
Aufstellen der Feldgleichungen und der Integrabilitätsbedingungen
Statische, kugelsymmetrische Lösung gesucht
• Vernachlässigung radialer Masseströme in den Sternen
Ansatz für Metrik
ds2 = eλ(r) dr2 + r2 (dϑ2 + sin2 ϑdφ2 ) − eν(r) dct2
(VI.3)
152
VI. Innere Schwarzschild-Lösung
Materie ruht in diesem Koordiantensystem
(um ) = (0, 0, 0, u4 )
T1 1 = T2 2 = T3 3 = P
)
(
P
T4 4 = −c2 ρ + 2 + P = −c2 ρ
c
n
Tm = 0 für m ̸= n
(VI.4)
(VI.5)
(VI.6)
(VI.7)
Ricci-Tensor wie im Abschnitt „ Schwarzschild-Lösung“ mit λ̇ = ν̇ = 0
ν ′′ ν ′2 λ′ ν ′ λ′
+
−
−
2
4 { 4
r
)}
r( ′
−λ
= −1 + e
1+
ν − λ′
2
= sin2 ϑR22
{ ′′
}
ν ′2 λ′ ν ′ ν ′
ν−λ ν
= −e
+
−
+
2
4
4
r
R11 =
(VI.8)
R22
(VI.9)
R33
R44
(VI.10)
(VI.11)
Krümmungsskalar R
R = g mn Rmn
(VI.12)
Ablesen der g mn
g 11 = e−λ
1
g 22 =
r2
g 33 =
(VI.13)
(VI.14)
1
r2 sin2 ϑ
g 44 = −e−ν
R = g 11 R11 + g 22 R22 + g 33 R33 + g 44 R44
(VI.16)
(VI.17)
}
ν ′′ ν ′2 λ′ ν ′ λ′
R = e
+
−
−
(VI.18)
2
4
4
r
{ ′′
}
(
))}
1+1{
r( ′
ν ′2 λ′ ν ′ ν ′
−λ
′
−λ ν
+
−1
+
e
1
+
ν
−
λ
+
e
+
−
+
r2
2
2
4
4
r
{ ′′
}
′2
′
′
′
′
′
′
2
ν
ν
λν
λ
ν
1
ν
λ
R = − 2 + 2e−λ
+
−
−
+
+ 2+
−
(VI.19)
r
2
4
4
2r 2r r
2r 2r
{ ′′
}
2
ν ′2 ν ′ − λ′
1
−λ ν
R = − 2 + 2e
+
+
+ 2
(VI.20)
r
2
4
r
r
−λ
{
(VI.15)
1 Aufstellen der Feldgleichungen und der Integrabilitätsbedingungen
153
Umrechnung Rmn in Rmn
Rmn = g ni Rim
(VI.21)
R11
(VI.22)
R11
11
= g R11
}
{ ′′
ν ′2 λ′ ν ′ λ′
−λ ν
= −e
+
−
−
2
4
4
r
(VI.23)
R22 = g 22 R22
{
}
)
1
1
1 ( ′
2
−λ
′
R2 = − 2 + e
+
ν −λ
r
r2 2r
R33 = g 33 R33 = R22
R44 = g 44 R44 = e−λ
{
ν ′′
2
+
ν ′2
4
−
λ′ ν ′
4
(VI.24)
(VI.25)
+
ν′
}
(VI.26)
(VI.27)
r
Erinnerung
R
1
= − 2 + e−λ
2
r
{
1
ν ′′ ν ′2 λ′ ν ′ ν ′ − λ′
+
−
+
+ 2
2
4
4
r
r
}
(VI.28)
Feldgleichungen
Rmn −
1
1
2
2
3
3
4
4
:
R n
δ
= −κTmn
2 m
(VI.29)
:
− κP
= R11 −
−κP
= +
R
2
1
− e−λ
r2
{
ν′
1
+ 2
r
r
(VI.30)
}
(VI.31)
:
:
identisch
2
2
− κP
= R22 −
−κP
= −
R
2
1
− e−λ
r2
(VI.32)
{
ν ′′ ν ′2 λ′ ν ′ ν ′ − λ
+
−
+
2
4
4
2r
}
′
(VI.33)
154
VI. Innere Schwarzschild-Lösung
+ κc2 ρ = R44 −
+κc2 ρ =
−→
R
2 {
1
λ′
1
−λ
−
e
−
+ 2
2
r
r
r
}
(VI.34)
(VI.35)
3 Feldgleichungen für
(VI.36)
λ(r), ν(r), P (r), ρ(r)
Über die Feldgleichungen hinaus ist eine Zustandsgleichung ( = Materialgleichung)
(VI.37)
F (ρ, P ) = 0
zu formulieren!
anstatt der Feldgleichungen ist es ggf. zweckmäßig die Integrabilitätsbedingungen (IB)
T mn||n = 0
bzw. Tm
n
||n
= 0
(VI.38)
(VI.39)
mit zu verwenden:
Tmn
Tmn ||n
(
)
P
n
= ρ + 2 um un + P δm
c
(
)
(
)
(
)
P
P
P
n
n
= ρ+ 2
um u + ρ + 2 um||n u + ρ + 2 um un||n + P|m = 0
c |n
c
c
(VI.40)
(VI.41)
wegen (un ) = (0, 0, 0, u4 ) gilt
ρ|n · un = 0
P|n · u
n
(VI.42)
(VI.43)
= 0
un||n =
1
√
−g
(√
)
−gun |n = 0
um||n = um|n − Γimn ui = 0 − Γ4mn u4 = −u4 Γ4mn
{
ua||n ̸= 0 obwohl ua = 0 ! }
nichttriviale Formel nur für m = 1
(VI.44)
(VI.45)
(VI.46)
1 Aufstellen der Feldgleichungen und der Integrabilitätsbedingungen
(
)
P
0 = P + ρ + 2 u1||n un
c
(
)
P
′
= P + ρ + 2 (−u4 ) Γ41n un
c
(
)
ν′
= P ′ + ρc2 + P Γ414 ; Γ414 =
2
)
ν′ (
′
2
0 = P +
P + ρc
2
′
Diese Gleichung ist in den übrigen 3 Feldgleichungen 11 , 22 ,
einer dieser Gleichungen betrachtet werden!
4
4
155
(VI.47)
(VI.48)
(VI.49)
(VI.50)
enthalten (ÜA!) und kann anstelle
Zusammenfassung der Grundgleichungen
1
1
:
2
2
:
4
4
:
oder IB :
{ ′
}
1
1
−λ ν
−κP = + 2 − e
+ 2
r
r
r
{ ′′
}
′2
ν
λ′ ν ′ ν ′ − λ′
−λ ν
−κP = −e
+
−
+
2
4
4
2r
}
{ ′
1
1
λ
+κc2 ρ = 2 − e−λ − + 2
r
r
r
′
)
ν (
P + ρc2
P′
=−
2
(VI.51)
(VI.52)
(VI.53)
(VI.54)
Oppenheimer - Volkoﬀ - Gleichung
• reduzierte Druckgleichung für beliebige Zustandsgleichungen F (P, ρ) = 0
• Elimination von λ und ν mit dem Ziel einer Gleichung P ′ = f (P, ρ)
• Integration der
4
4
Gleichung:
(
)′
{
}
κc2 ρr2 = 1 − e−λ 1 − λ′ r = 1 − re−λ
re
−λ
re
−λ
(VI.55)
∫r
= r − κc
2
ρ(r̃)r̃2 dr̃ + C
(VI.56)
0
= r − 2m(r) + C
(VI.57)
mit der Massenfunktion
m(r) =
κc2
2
∫r
ρ(r̃)r̃2 dr̃
0
(VI.58)
156
VI. Innere Schwarzschild-Lösung
• anschaulich: m(r) proportional zur Gesamtmasse in der Kugel mit Radius r ; Vorsicht:
r ist Koordinatenradius und nicht der wahre Kugelradius R; dieser ist
∫r
R =
√
g11 dr̃ =
0
∫r
λ
(VI.59)
e 2 dr̃
0
!
• C = 0 damit
−→
• Auﬂösen der
1
1
g 11 = e−λ < ∞ für r → 0
m(r)
e−λ(r) = 1 − 2
r
(VI.60)
(VI.61)
Gleichung nach ν ′ und Einsetzen in die IB
1
ν′
+ 2
r
r
(
=
1
+ κP
r2
)
e
λ
=
1
r2
+ κP
1 − 2m
r
(VI.62)
1
− 1r + 2 rm2 + 1r + κP r
+ κP r
1
ν′ = − + r
=
r
1 − 2m
1 − 2m
r
r
m
2 r2 + κP r
′
ν =
1 − 2m
r
(VI.63)
(VI.64)
in IB
)
1 2 rm2 + κP r (
P + ρc2
m
2 1−2r
(
)(
)
m + κ2 P r3 P + ρc2
)
(
= −
r2 1 − 2 m
r
Oppenheimer Volkoﬀ - Gl.
P′ = −
(VI.65)
P′
(VI.66)
• Gleichung stellt hydrostatische Gleichgewichtsbedingung eines Sterns dar, wobei P (r)
und ρ(r) durch eine beliebige Zustandsgleichung F (P, ρ) = 0 verbunden sind.
• Zum einfacheren Vergleich mit der Newtonschen Theorie lässt sich die OppenheimerVolkoﬀ-Gleichung mittels der Abkürzung
∫r
m̃(r) = 4π
r′2 ρ(r′ )dr′
(VI.67)
0
auch darstellen als
(
)(
)
P
4πr3 P
1+ 2
1+
dP
γ m̃ρ
ρc
m̃c2
′
P =
=− 2
2γ m̃
dr
r
1− 2
c r
.
(VI.68)
2 Lösung für inkompressible Materie
157
Vergleich mit der Newtonschen Theorie
PN′
dP
∆P
∆K
∆K
= lim
= lim
= lim
dr {
∆r
∆V
} ∆F ∆r
∆m̃ · m̃(r)
ρm̃
= lim −γ
= −γ 2
r2 ∆V
r
=
(VI.69)
(VI.70)
wobei m̃(r) Massendimension hat im Unterschied zur obigen Massenfunktion m(r); ∆m̃ liegt
m̂
als Masse auf m̃ ; ρ = ∆
∆V
−→ relativist. Druckgradient ist betragsmäßig größer als der Newtonsche: Vergrößerung der
Faktoren im Zähler, Verkleinerung des Nenners.
Oppenheimer - Volkoﬀ - Gleichung ist i.a. numerisch zu integrieren bei Vorgabe einer Zustandsgleichung und eines Zentraldruckes P (0) = P0 ; Integration bis P = 0 −→ r = r0 (=
ˆ Sternrand)
2
Lösung für inkompressible Materie
• diese Situation wird auch Innere Schwarzschild-Lösung genannt
• inkompressible Materie = konstante Ruhemassendichte:
(VI.71)
ρ = const
κc2 r3
m(r) =
ρ
2 3
(1
=
−
A
:=
1 2
κc ρ
3
P
P
(
κ 3
2r
′
′
)(
2
P + ρc2
3 c( ρ + P
)
r2 1 − 13 κc2 ρr2
(VI.72)
)
(
)(
)
κ P + 13 c2 ρ P + ρc2
= − r
2
1 − Ar2
dP
κ rdr
)
= −
2
2 1 − Ar2
(P + ρc )
P+
p̃ := κP
dp̃
1 rdr
= −
(p̃ + A) (p̃ + 3A)
2 1 − Ar2
1 2
3c ρ
• sei r0 Rand des Sterns und P (r0 ) = 0.
(VI.73)
(VI.74)
(VI.75)
(VI.76)
(VI.77)
(VI.78)
158
VI. Innere Schwarzschild-Lösung
• rechte Seite: Integration von r0 nach innen (r)
−
1
2
∫r
r0
y = Ar2 ,
(VI.79)
dy = A2rdr,
(VI.80)
z = 1−y
(VI.81)
rdr
1 − Ar2
= −
1
4A
∫
r
dy
1
=
ln (1 − Ar2 )r0
1−y
4A
1
1 − Ar2
ln
4A 1 − Ar02
=
(VI.82)
(VI.83)
• linke Seite : Integration von P (r0 ) = 0 bis P bzw p̃
∫p̃
1
(p̃ + A) (p̃ + 3A)
=
dp̃
(p̃ + A) (p̃ + 3A)
=
{
}
1
− 2A
1
1
1
+
=
−
(VI.84)
p̃ + A p̃ + 3A
2A p̃ + A p̃ + 3A
{
}
(
)
1
p̃ + A
p̃ + 3A
1
p̃ + A
ln
− ln
=
ln 3
(VI.85)
2A
A
3A
2A
p̃ + 3A
1
2A
0
• folglich
√
1 − Ar2
1 − Ar02
√
√
1 1 − Ar2
1 − Ar2
p̃ + A =
+
A
2
3 1 − Ar0
1 − Ar02
√
1−Ar2
√
−1
−1
1−Ar02
√
p̃ = A
=
3A
√
2
1 − 13
3 − 1−Ar
1−Ar02
√
√
1 − Ar2 − 1 − Ar02
√
p̃ = κP = 3A √
3 1 − Ar02 − 1 − Ar2
p̃ + A
3
p̃ + 3A
=
• Bestimmung von λ für ρ = const aus
e−λ = 1 −
4
4
(VI.86)
(VI.87)
(VI.88)
(VI.89)
:
κc2 ρ 2
r = 1 − Ar2 −→ λ
3
(VI.90)
• Bestimmung von ν für ρ = const aus IB:
)
(
)′
ν′ (
P′ = −
P + c2 ρ = P + c2 ρ
2
(
)
ν
2
ln P + c ρ = − + const
2
ν
2
P + c ρ = Be− 2
(VI.91)
(VI.92)
(VI.93)
Also
e+λ =
1
1 − Ar2
(VI.94)
3 Übergangsbedingungen an die äußere Schwarzschild - Lösung
159
sowie
ν
e+ 2 =
3
B
P + c2 ρ
(VI.95)
Übergangsbedingungen an die äußere Schwarzschild - Lösung
Erinnerung an Elektrodynamik
• Übergangsbedingungen zwischen zwei Medien aus Maxwell-Gleichungen ableitbar
• z.B. BnI = BnII , ϵI EnI = ϵII EnII usw.
Übergangsbedingungen in ART ebenfalls aus Einsteinschen Feldgleichungen ableitbar
• Rechnung aufwendig
• hier: physikalische Intuition anstatt längerer Rechnung:
Metrik stetig auf Sternoberﬂäche bei r = r0
innere Schwarzschildlösung r ≤ r0
ds2
=
(
)
eλ(r) dr2 + r2 dϑ2 + sin2 ϑdφ2 − eν(r) dct2
mit λ(r), ν(r) aus vorigem Abschnitt
(VI.96)
(VI.97)
äußere Schwarzschild - Lösung r ≥ r0
ds2 =
( 2
) (
dr2
rG ) 2
2
2
2
+
r
dϑ
+
sin
ϑdφ
−
1
−
dct
1 − rrG
r
(VI.98)
Stetigkeit: innen - außen bei r = r0
e−λ(r0 ) :
e
−ν(r0 )
1 − Ar02 = 1 −
(
:
B
c2 ρ
)2
= 1−
rG
r0
(VI.99)
rG
r0
(VI.100)
160
VI. Innere Schwarzschild-Lösung
1
(= c2 ρκ)
3
√
rG
B = c2 ρ 1 −
r0
√
3rG
rG
B =
1−
r0
κr03
−→
A =
rG
r03
rG r2
r03
√
c2 ρ 1 −
(VI.101)
(VI.102)
(VI.103)
e−λ(r) = 1 − Ar2 = 1 −
−→
e
ν(r)
2
ν
e2
ν
e2
ν
e2
=
=
=
=
(VI.104)
rG
r0
B
=
2
2
(P + c ρ)
(P + c ρ)
√
3A
1 − Ar02
√ κ
√
2
2
3A √1−Ar − √1−Ar0
3A
κ 3 1−Ar2 − 1−Ar2 + κ
0
{ √
}
√
√
1 − Ar02 3 1 − Ar02 − 1 − Ar2
√
√
√
√
Ar
Ar
2−
2
1−
1 − Ar02 + 3 1 − Ar02 − 1−
√
{ √
}2
3
rG 1
rG r2
1−
−
1− 3
2
r0
2
r0
(VI.105)
(VI.106)
(VI.107)
(VI.108)
Darstellung der inneren Schwarzschild-Lösung
ds2 =
dr2
1−
rG r2
r03
+r
(
2
dϑ2 + sin2 ϑdφ
)
2
√
}2
{ √
3
rG 1
rG r 2
−
dct2 (VI.109)
−
1−
1− 3
2
r0
2
r0
vgl. mit äußerer Schwarzschild-Lösung
ds2 =
4
( 2
) {
dr2
rG } 2
2
2
2
+
r
dϑ
+
sin
ϑdφ
−
1
−
dct
1 − rrG
r
(VI.110)
Massenobergrenze für stabile Sterne
Betrachtung der Druckgleichung für die innere Schwarzschild-Lösung
√
√
2
1 − rGr3r − 1 − rrG0
0
√
P = ρc2 √
2
rG
3 1 − r0 − 1 − rGr3r
(VI.111)
0
• folglich: Druck steigt nach innen an startend bei P = 0 bei r = r0 , Maximalwert bei
r=0
4 Massenobergrenze für stabile Sterne
161
Lösung soll nichtsingulär bleiben, d.h. Lösung soll existieren
−→
√
!
P (r = 0) < ∞
rG r2
1− 3
r0
√
rG
< 3 1−
r0
r=0
rG
1 < 9−9
r0
rG
9
< 8
r0
9
r0 >
rG
8
!
(VI.112)
(VI.113)
(VI.114)
(VI.115)
(VI.116)
• bei vorgegebener Gesamtmasse (∝ rG ) ist die innere Lösung nur dann regulär, wenn der
Sternradius r0 groß genug ist, auf jeden Fall größer als der Schwarzschild-Radius rG
• bei Sternen vom Sonnen-Typ ist dies immer erfüllt
• bei Sternen mit sehr dichter Materie ( Kernmaterie) kann die Ungleichung unerfüllbar
sein
−→ @ stabile Lösung
−→ Kollaps =
ˆ Schwarzes Loch
• detaillierte Untersuchung mittels zeitabhängiger Lösung (vgl. Kapitel "Gravitationskollaps und Schwarze Löcher")
Stabilitätsgrenze wurde für die Zustandsgleichung ρ = const gewonnen; ohne Beweis geben
wir an, dass
9
r0 > rG
8
(VI.117)
die Stabilitätsgrenze für eine beliebige Zustandsgleichung ist, d.h. für
9
r0 < rG
8
(VI.118)
kollabiert jeder Stern unaufhörlich völlig unabhängig von der konkreten Materieform
Plausibilität für die Stabilitätsgrenze bei Zustandsgleichungen ρ ̸= const. :
1. Masse außen verdichten −→ instabil
2. Masse innen verdichten −→ Stern wird eﬀektiv komprimiert und kleiner gemacht −→
Stabilitätsgrenze wird eher noch früher überschritten
162
5
VI. Innere Schwarzschild-Lösung
Zustandsgleichung und Sterntypen
Für einen Stern im Gleichgewicht (statische Situation) gilt
P (r = 0) < ∞
(VI.119)
Druck wird verursacht durch
• Gravitation ( =
ˆ Oppenheimer-Volkoﬀ-Gl. )
• mikroskopischen Materieeigenschaften ( =
ˆ Zustandsgleichung )
Beide Ursachen stehen im statischen Stern in der Balance
Für r0 > 98 rG sind verschiedene mikroskopische Prozesse ( = Zustandsgleichungen) denkbar,
die stabile Sterne ermöglichen. Unter gewissen Bedingungen (r0 genügend klein) können die
mikroskopischen Prozesse der Gravitation keinen Einhalt gebieten und es entsteht ein Schwarzes Loch.
5.1
Sonnenähnliche Sterne
Sonnentyp
Materie als Ideales Gas
Zustandsgleichung
P
M
P
N
kB T
V
= N µ = ρV , µ Masse eines Teilchens
kB T
=
ρ
µ
= nkB T =
(VI.120)
(VI.121)
(VI.122)
5.2 Weiße Zwerge
163
Oppenheimer - Volkoﬀ - Gleichung für ρ = const
√
√
2
1 − rGr3r − 1 − rrG0
0
√
P = ρc2 √
2
rG
3 1 − r0 − 1 − rGr3r
(VI.123)
0
Zentraldruck P0 := P (r = 0)
√
1 − 1 − rrG0
P0 = ρc2 √
3 1 − rrG0 − 1
(VI.124)
rG ≪ r0
P0
ρc2
=
1 rG
2 r0
3−1
=
1 rG
4 r0
(VI.125)
P0 kann ausbalanciert werden, wenn T genügend groß ist, d.h. solange die Fusion brennt; dann
gilt
P
kB T
=
2
ρc
µc2
kB T ist die bei der Fusion freigesetzte Energie;
kB T
c2
(VI.126)
ist der entsprechende Massendefekt
Ende des Fusionsbrennens
• Stern kühlt aus, T → 0
• Gasdruck kann Gravitationsdruck nicht ausbalancieren
−→ Kollaps bis Weißer - Zwerg
5.2
Weiße Zwerge
• siehe Thermodynamik-Vorlesung
164
VI. Innere Schwarzschild-Lösung
Zusammenfassung
Innere Schwarzschild-Lösung
Modell eines stationären kugelsymmetrischen Sterns aus idealem ﬂuiden Medium
(
Tmn
=
)
P
n
+ ρ um un + P δm
c2
mit (un ) = (0, 0, 0, u4 )
(VI.127)
(VI.128)
Feldgleichungen
( ′
)
1
1
−λ ν
+ 2
−e
= −κP
r2
r
r
( ′′
)
ν ′2 λ′ ν ′ ν ′ − λ′
−λ ν
−e
+
−
+
= −κP
2
4
4
2r
( ′
)
1
1
λ
− e−λ − + 2
= κc2 P
2
r
r
r
(VI.129)
(VI.130)
(VI.131)
Integrabilitätsbedingung
P′ = −
)
ν′ (
P + c2 ρ
2
(VI.132)
−→ 3 unabhängige Gleichungen für λ(r), ν(r), p(r), ρ(r)
Zustandsgleichung (Materialgleichung) : F (p, ρ) = 0 zu speziﬁzieren!
Oppenheimer-Volkoﬀ-Gleichung : ( Elimination von λ und ν )
)(
)
m + κ2 P r3 P + ρc2
(
)
P = −
r2 1 − 2 m
r
∫r
κc2
mit m(r) =
ρ(r̃)r̃2 dr̃ (Massenfkt.)
2
(
′
(VI.133)
(VI.134)
0
Newtonscher Grenzfall : P << c2 ρ
P′ = −
MN ρ
mc2 ρ
= −γ 2
r2
r
(VI.135)
5.2 Weiße Zwerge
165
Inkompressible Materie ( ρ = const )
ds2 =
dr2
1−
rG r2
r03
√
( √
)
2
3
r
1
r
r
G
G
1−
−
1− 3
dct2
+ r2 (dϑ2 + sin2 ϑdφ2 ) −
2
r0
2
r0
(VI.136)
Massenobergrenze für stabile Sterne
9
r0 > rG
8
(VI.137)
−→ Unaufhörlicher Kollaps = Schwarzes Loch für
9
r0 < rG
8
(VI.138)
166
VI. Innere Schwarzschild-Lösung
Kapitel VII
Gravitationskollaps und schwarze
Löcher
1
• Bisher:
Existenz Schwarzer Löcher nur indirekt geschlossen wegen Unmöglichkeit
stabiler Sterne für Sternradius rS < 98 rG .
• Jetzt:
Dynamischen Prozess betrachten, insbesondere wie die Oberﬂäche hinter
rG verschwindet.
Kugelsymmetrischer Ansatz in Gauss-Koordinaten
• kugelsymmetrischer Ansatz zunächst in Schwarzschild Koordinaten (r, ϑ, φ, ct)
ds2 = eλ(r,t) dr2 + r2 (dϑ2 + sin2 ϑdφ2 ) − eν(r,t) dct2
(VII.1)
• Transformation in Gauss-Koordinaten (ρ, ϑ, φ, cτ )
r = r(ρ, cτ )
,
ct = ct(ρ, cτ )
ρ ist hier Koordinate, ρ0 ist weiterhin Ruhmassendichte; ρS wird
später der Koordinatenwert für die Sternoberﬂäche.
Bezeichnungen:
(...)′ :=
∂(...)
∂ρ
,
˙ :=
(...)
dr2 = r′ dρ2 + ṙ2 dcτ 2 + 2 r′ ṙ dρ dcτ
2
2
˙ 2 dcτ 2 + 2 ct′ ct
˙ dρ dcτ
dct2 = ct′ dρ2 + ct
∂(...)
∂cτ
(VII.2)
(VII.3)
168
VII. Gravitationskollaps und schwarze Löcher
˙ )dρ2 + r2 (dϑ2 + sin2 ϑ dφ2 )
ds2 = (eλ r′ − eν ct
˙ 2 ) dcτ 2 + (eλ 2ṙ r′ − eν 2ct
˙ ct′ ) dcτ dρ
+ (eλ ṙ2 − eν ct
|
{z
}
|
{z
}
2
2
→
!
(VII.4)
!
=−1
=0
Koordinatentransformation geeignet wählen!
ds2 = eλ̃(ρ,cτ ) dρ2 + r2 (ρ, cτ ) (dϑ2 + sin2 ϑ dφ2 ) − dcτ 2
• Interpretation der Koordinate cτ :
ruhendes Teilchen (Beobachter) in Gausskoordinaten
dρ = 0 , dϑ = 0 , dφ = 0
→
ds2 = − dcτ 2
2
ds
bzw. ( dτ
) = −c2
Dies ist gerade die Deﬁnition der Eigenzeit.
→
τ =
b Eigenzeit im Koordinaten-System ruhender Teilchen.
• Umbenennung: λ̃ → λ
• Ablesen der Struktur des Metrischen Tensors:
mit
g11 = eλ
g 11 = e−λ
g22 = r2
g 22 =
1
r2
1
r2 sin2 ϑ
g33 = r2 sin2 ϑ
g 33 =
g44 = −1
g 44 = −1
λ(ρ, cτ )
r(ρ, cτ )
als 2 Ansatz-Funktionen.
(VII.5)
1 Kugelsymmetrischer Ansatz in Gauss-Koordinaten
• ρ = const ,
ϑ = const ,
169
φ = const
sind Geodäten, denn die Lagrange-Funktion
1
L=
2
(
ds
dτ
)2
=
}
1 { λ 2
e ρ̇ + r2 (ϑ̇2 + sin2 ϑφ̇2 ) − c2
2
(VII.6)
liefert folgende Lagrange-Gleichungen (L II):
L II für ϑ :
d
dτ
{
}
r2 ϑ̇ − r2 sin ϑ cos ϑ φ̇2 = 0
ϑ̈ r2 + 2 r ṙ ϑ̇ − r2 sin ϑ cos ϑ φ̇2 = 0
ϑ=
L II für φ :
π
2
(wie bekannt aus Abschnitt Periheldrehung)
= const
∂φ L = 0
→
∂φ̇ L = r2 φ̇ = const
spezielle Wahl :
L II für ρ :
φ̇ = 0
→
an der Stelle von L II 1. Integral
( ds )2
dτ
→
= −c2 = eλ ρ̇2 − c2
ρ̇ = 0
(VII.7)
→
ρ = const
q.e.d.
φ = const
170
2
VII. Gravitationskollaps und schwarze Löcher
Inkohärente Materie als Sternenmaterial
• Sternenmaterial zunächst ideales Fluid
(
)
P0
mn
T
= ρ0 + 2 um un + P0 g mn
c
ρ0 :
Ruhemassendichte
P0 :
Druck (Eigendruck, im Ruhesystem des jeweiligen
Volumenelementes)
ui = ξ˙i =
dξ i
dτ :
(VII.8)
Vierer-Geschwindigkeit
• Lösung der nichtstationären Einstein-Gleichungen nur für besonders
einfache Zustandsgleichung ohne grösseren mathematischen Aufwand:
Inkohärente Materie mit P0 = 0
• Kollaps ist bei P0 = 0 zwar ohnehin klar,
trotzdem ist die Situation nicht trivial und hat Modellcharakter für kollabierende Sterne.
• Da für rS < 98 rG Materiedruck nicht mehr stabilisierend wirkt, ist das Weglassen des
Drucks nicht abwegig.
• Inkohärente Materie heisst dann:
T mn = ρ0 um un
(VII.9)
2 Inkohärente Materie als Sternenmaterial
171
• inkohärente Materie bewegt sich auf Geodäten, denn
(a)
T mn ||n = (ρ0 um un )||n = 0
(ρ0 um un )||n = ρ0 |n un um + ρ0 un ||n um + ρ0 un um ||n
= (ρ0 |n un + ρ0 un ||n ) um + ρ0 un um ||n = 0
(b)
(VII.10)
um T mn ||n = 0
ρ0 |n un um um +ρ0 un ||n um um +ρ0 un um ||n um
| {z }
| {z }
| {z }
= − c2
= − c2
=0
ρ0 |n un + ρ0 un ||n = 0
(VII.11)
Einsetzen von (b) in (a) liefert
ρ0 un um ||n
→
(VII.12)
= 0
un um ||n
(VII.13)
=0
i
un um |n + un Γm
ni · u
n i
u˙m + Γm
ni u u
=0
=0
(Geodäten − Gleichung)
q.e.d.
(VII.14)
(VII.15)
172
VII. Gravitationskollaps und schwarze Löcher
• Konstruktion von T mn in Gauss-Koordinaten
um =
dξ m
dτ
der inkohärenten Materie ist (um ) = (0 , 0 , 0 , c), da geodätische
Bewegung (dρ = 0 , dϑ = 0 , dφ = 0), d.h. geodätische Bewegung ist in
Gauss-Koordinaten ruhend;
somit ergibt
T mn = ρ0 um un
die Komponenten
T 44 = ρ0 c2
T ik = 0
,
T 4 4 = −ρ0 c2
für i ̸= 4 , k ̸= 4 .
Dabei gilt für die Ruhemassendichte wegen der Kugelsymmetrie
die funktionale Abhängigkeit ρ0 = ρ0 (ρ, cτ ) .
• Damit können Einstein-Gleichungen formuliert werden:
Ri k −
R i
δ k = −κ T i k
2
• Metrischer Tensor
g11 = eλ
g 11 = e−λ
g22 = r2
g 22 =
1
r2
g33 = r2 sin2 ϑ
g 33 =
1
r2 sin2 ϑ
g44 = −1
g 44 = −1
gik = 0
sonst
g ik = 0
sonst
(VII.16)
2 Inkohärente Materie als Sternenmaterial
173
• Verwendete Ableitungssymbole
ξ1 = ρ ,
ξ2 = ϑ ,
ξ3 = φ ,
ξ 4 = cτ
∂ξ1 ( ) = ∂ρ ( ) = ( )′
∂ξ4 ( ) = ∂cτ ( ) = (˙)
• Christoﬀel-Symbole
Γikl =
Γ1ik :
1 ij
g (gjk|l + gjl|k + gkl|j )
2
1 11
g (g11|1 + g11|1 − g11|1 )
2
1 −λ λ
λ′
=
e (e · λ′ ) =
2
2
1 11
=
g (g11|2 + g12|1 − g12|1 )
2
= 0 = Γ121
(VII.17)
Γ111 =
Γ111
Γ112
Γ112
Γ113
Γ114
Γ114
Γ122
Γ122
Γ123
Γ124
Γ133
Γ133
Γ134
Γ144
Γ131
= 0 =
1 11
=
g (g11|4 + g14|1 − g14|1 )
2
1 −λ λ
λ̇
=
e (e · λ̇) =
= Γ141
2
2
1 11
=
g (g12|2 + g12|2 − g22|1 )
2
1 −λ
=
e (−2 r r′ ) = − e−λ r r′
2
1 11
=
g (g12|3 + g13|2 − g23|1 ) = 0 = Γ132
2
1 11
=
g (g12|4 + g14|2 − g24|1 ) = 0 = Γ142
2
1 11
=
g (g13|3 + g13|3 − g33|1 )
2
1 −λ
=
e (−2 r r′ sin2 ϑ) = −e−λ r r′ sin2 ϑ
2
1 11
=
g (g13|4 + g14|3 − g34|1 ) = 0 = Γ143
2
1 11
g (g14|4 + g14|4 − g44|1 ) = 0
=
2
(VII.18)
(VII.19)
(VII.20)
(VII.21)
(VII.22)
(VII.23)
(VII.24)
(VII.25)
(VII.26)
(VII.27)
174
VII. Gravitationskollaps und schwarze Löcher
Γ2ik :
Γ211 =
Γ212 =
Γ212 =
Γ213 =
Γ214 =
Γ222 =
Γ223 =
Γ224 =
Γ224 =
Γ233 =
Γ233 =
Γ234 =
Γ244 =
Γ3ik :
Γ311 =
Γ312 =
Γ313 =
Γ313 =
Γ314 =
Γ322 =
Γ323 =
Γ323 =
1 22
g (g21|1 + g21|1 − g11|2 ) = 0
2
1 22
g (g21|2 + g22|1 − g12|2 )
2
1 1
r′
′
(2
r
r
)
=
= Γ221
2 r2
r
1 22
g (g21|3 + g23|1 − g13|2 ) = 0 = Γ231
2
1 22
g (g21|4 + g24|1 − g14|2 ) = 0 = Γ241
2
1 22
g (g22|2 + g22|2 − g22|2 ) = 0
2
1 22
g (g22|3 + g23|2 − g23|2 ) = 0 = Γ232
2
1 22
g (g22|4 + g24|2 − g24|2 )
2
1 1
ṙ
= Γ242
(2 r ṙ) =
2
2r
r
1 22
g (g23|3 + g23|3 − g33|2 )
2
1 1
(−2 r2 sinϑ cosϑ) = −sinϑ cos ϑ
2 r2
1 22
g (g23|4 + g24|3 − g34|2 ) = 0 = Γ243
2
1 22
g (g24|4 + g24|4 − g44|2 ) = 0
2
1 33
g (g31|1 + g31|1 − g11|3 ) =
2
1 33
g (g31|2 + g32|1 − g12|3 ) =
2
1 33
g (g31|3 + g33|1 − g13|3 )
2
r′
1
1
′
2
(2
r
r
sin
ϑ)
=
2 r2 sin2 ϑ
r
1 33
g (g31|4 + g34|1 − g14|3 ) =
2
1 33
g (g32|2 + g32|2 − g22|3 ) =
2
1 33
g (g32|3 + g33|2 − g23|3 )
2
1
1
(2 r2 sin ϑ cos ϑ) =
2
2 r sin2 ϑ
(VII.28)
(VII.29)
(VII.30)
(VII.31)
(VII.32)
(VII.33)
(VII.34)
(VII.35)
(VII.36)
(VII.37)
(VII.38)
0
(VII.39)
0 = Γ221
(VII.40)
= Γ331
(VII.41)
0 = Γ341
(VII.42)
0
(VII.43)
cot ϑ = Γ332
(VII.44)
2 Inkohärente Materie als Sternenmaterial
1 33
g (g32|4 + g34|2 − g24|3 ) = 0 = Γ342
2
1 33
g (g33|3 + g33|3 − g33|3 ) = 0
2
1 33
g (g33|4 + g34|3 − g34|3 )
2
1
1
ṙ
(2 r ṙ sin2 ϑ) =
= Γ343
2
2
2 r sin ϑ
r
1 33
g (g34|4 + g34|4 − g44|3 ) = 0
2
Γ324 =
Γ333 =
Γ334 =
Γ334 =
Γ344 =
Γ4ik :
Γ411 =
Γ411 =
Γ412 =
Γ413 =
Γ414 =
Γ422 =
Γ422 =
Γ423 =
Γ424 =
Γ433 =
Γ433 =
Γ434 =
Γ444 =
175
1 44
g (g41|1 + g41|1 − g11|4 )
2
1
λ̇
− (− eλ λ̇) = eλ
2
2
1 44
g (g41|2 + g42|1 − g12|4 ) = 0
2
1 44
g (g41|3 + g43|1 − g13|4 ) = 0
2
1 44
g (g41|4 + g44|1 − g14|4 ) = 0
2
1 44
g (g42|2 + g42|2 − g22|4 )
2
1
− (− 2 r ṙ) = r ṙ
2
1 44
g (g42|3 + g43|2 − g23|4 ) = 0
2
1 44
g (g42|4 + g44|2 − g24|4 ) = 0
2
1 44
g (g43|3 + g43|3 − g33|4 )
2
1
− (− 2 r ṙ sin2 ϑ) = r ṙ sin2 ϑ
2
1 44
g (g43|4 + g44|3 − g34|4 ) = 0
2
1 44
g (g44|4 + g44|4 − g44|4 ) = 0
2
• Zusammenfassung der Christoﬀel-Symbole
Γ111 =
λ′
2
Γ114 =
λ̇
2
Γ122 = −e−λ r r′
Γ212 =
r′
r
Γ224 =
ṙ
r
Γ233 = − sin ϑ cos ϑ
Γ313 =
r′
r
Γ323 = cot ϑ
Γ334 =
ṙ
r
Γ133 = −e−λ r r′ sin2 ϑ
(VII.45)
(VII.46)
(VII.47)
(VII.48)
(VII.49)
= Γ421
(VII.50)
= Γ431
(VII.51)
= Γ441
(VII.52)
(VII.53)
= Γ432
(VII.54)
= Γ442
(VII.55)
(VII.56)
= Γ443
(VII.57)
(VII.58)
176
VII. Gravitationskollaps und schwarze Löcher
Γ411 =
λ̇
2
eλ
Γ422 = ṙ r
Γ433 = ṙ r sin2 ϑ
Hinzu kommen nichtverschwindende Christoﬀel-Symbole
wegen der Symmetrie Γnik = Γnki .
Weitere Christoﬀel-Symbole verschwinden.
• Ricci-Tensor
m
m
r
m
r
m
Rip = Rimp
= Γm
im|p − Γip|m + Γim Γrp − Γip Γrm
(VII.59)
• zunächst werden die Diagonalelemente berechnet, dann die Nicht-Diagonalelemente.
m
r
m
r
m
R11 = Γm
1m|1 − Γ11|m + Γ1m Γr1 − Γ11 Γrm
(
)·
( ′ )′
λ̇ λ
r
λ′′
λ′′
+2
−
−
e
=
2
r
2
2
2
m
3
m
4
m
+ Γ11m Γm
11 + Γ1m Γ21 + Γ1m Γ31 + Γ1m Γ41
2
m
3
m
4
m
− Γ111 Γm
1m − Γ11 Γ2m − Γ11 Γ3m − Γ11 Γ4m
)
(
r′′ r − r′ 2
λ̈ λ̇2
+
eλ
= 2
−
r2
2
2
( ′ )2 ( )2
( ′ )2 ( )2
λ
λ̇
λ̇
r
+
+
eλ + 2
+
eλ
2
2
r
2


( )2
( λ′ )2
′
′
λ̇
λ̇ ṙ 
λ r
−
+2
+
eλ + 2 eλ
 2
2 r
2
2 r
R11 = 2
r′′
λ̈
λ̇2 λ
λ′ r′
λ̇ṙ λ
− eλ −
e −
−
e
r
2
4
r
r
R1 1 = g 11 R11 = e−λ R11
r′′
λ̈
λ̇2
λ′ r′ −λ
λ̇ṙ
= 2 e−λ −
−
−
e −
r
2
4
r
r
(VII.60)
(VII.61)
(VII.62)
(VII.63)
2 Inkohärente Materie als Sternenmaterial
m
r
m
r
m
R22 = Γm
2m|2 − Γ22|m + Γ2m Γr2 − Γ22 Γrm
177
(VII.64)
(
)′
= ∂ϑ cot ϑ + r′ r e−λ − (ṙ r)·
2
m
3
m
4
m
+ Γ12m Γm
12 + Γ2m Γ22 + Γ2m Γ32 + Γ2m Γ42
2
m
3
m
4
m
− Γ122 Γm
1m − Γ22 Γ2m − Γ22 Γ3m − Γ22 Γ4m
− sin2 ϑ − cos2 ϑ
2
+ r′′ re−λ + r′ e−λ − r′ λ′ re−λ − r̈r − ṙ2
2
sin ϑ
(
) r′
r′ ( ′ −λ ) ṙ
ṙ
+
−r re
+ ṙr + −r′ re−λ
+ cot2 ϑ + ṙr
r
r
r
r
{
}
′
′
λ
r
λ̇
ṙ
−
−r′ re−λ − 2r′ re−λ + ṙr · + 2ṙr
2
r
2
r
(VII.65)
=
1
λ′ r′ r −λ
2
+ r′′ re−λ + r′ e−λ −
e − r̈r − ṙ2
2
2
sin ϑ
λ̇ṙr
+ cot2 ϑ −
2
(VII.66)
= −
R22 = −1 − r̈r − ṙ2 −
λ̇ṙr
λ′ r′ r −λ
2
+ r′′ re−λ −
e + r′ e−λ
2
2
1
R22
r2
−1 r̈ ṙ2 λ̇ṙ r′′ −λ λ′ r′ −λ r′ 2 −λ
+ e −
e + 2e
− − 2−
r2
r r
2r
r
2r
r
(VII.67)
(VII.68)
R2 2 = g 22 R22 =
=
(VII.69)
178
VII. Gravitationskollaps und schwarze Löcher
m
r
m
r
m
R33 = Γm
3m|3 − Γ33|m + Γ3m Γr3 − Γ33 Γrm
(VII.70)
(
)′
= 0 + r′ re−λ sin2 ϑ + ∂ϑ (sin ϑ cos ϑ) − (ṙr sin2 ϑ)·
2
m
3
m
4
m
+ Γ13m Γm
13 + Γ3m Γ23 + Γ3m Γ33 + Γ3m Γ43
2
m
3
m
4
m
− Γ133 Γm
1m − Γ33 Γ2m − Γ33 Γ3m − Γ33 Γ4m
(VII.71)
= r′′ re−λ sin2 ϑ + r′ e−λ sin2 ϑ − λ′ r′ re−λ sin2 ϑ + cos2 ϑ
2
− sin2 ϑ − r̈r sin2 ϑ − ṙ2 sin2 ϑ
(
) r′
r′ ( ′ −λ 2 )
+
−r′ re−λ sin2 ϑ
− sin ϑ cos ϑ cot ϑ +
−r re sin ϑ
r
r
ṙ
ṙ
− cot ϑ sin ϑ cos ϑ + ṙr sin2 ϑ + ṙr sin2 ϑ
r
r
(
′
′
λ
r
−
−e−λ r′ r sin2 ϑ ·
− 2r′ re−λ sin2 ϑ − sin ϑ cos ϑ cot ϑ
2
r
(
))
λ̇
ṙ
+ ṙr sin2 ϑ
+2
(VII.72)
2
r
= r′′ re−λ sin2 ϑ + r′ e−λ sin2 ϑ − λ′ r′ re−λ sin2 ϑ
2
+ cos2 ϑ − sin2 ϑ − cos2 ϑ − cos2 ϑ + cos2 ϑ
λ̇ṙr
λ′ r′ r −λ 2
e sin ϑ −
sin2 ϑ
− r̈r sin2 ϑ − ṙ2 sin2 ϑ +
2
2
R33 = r′′ re−λ sin2 ϑ + r′ e−λ sin2 ϑ −
2
− r̈r sin2 ϑ − ṙ2 sin2 ϑ −
R3 3 = g 33 R33 =
(VII.73)
λ′ r′ r −λ 2
e sin ϑ
2
λ̇ṙr
sin2 ϑ − sin2 ϑ
2
(VII.74)
1
R33
r2 sin2 ϑ
1
λ̇ṙ ṙ2 r̈ r′′ −λ r′ 2 −λ λ′ r′ −λ
= − 2−
− 2 − + e + 2e −
e
r
2r
r
r
r
r
2r
(VII.75)
2 Inkohärente Materie als Sternenmaterial
179
m
r
m
r
m
R44 = Γm
4m|4 − Γ44|m + Γ4m Γr4 − Γ44 Γrm
=
λ̈
+2
2
( )·
ṙ
r
2
m
3
m
4
m
+ Γ14m Γm
14 + Γ4m Γ24 + Γ4m Γ34 + Γ4m Γ44 − 0
=
R44 =
λ̈
r̈r − ṙ2
+2
+
2
r2
( )2
( )
λ̇
ṙ
+2
2
r
λ̈
r̈ λ̇2
+2 +
2
r
4
R4 4 = g 44 R44 = −
λ̈
r̈ λ̇2
−2 −
2
r
4
(VII.76)
(VII.77)
(VII.78)
180
VII. Gravitationskollaps und schwarze Löcher
m
r
m
r
m
R12 = Γm
1m|2 − Γ12|m + Γ1m Γr2 − Γ12 Γrm
R12 =
+
−
=
−
0
Γ11m Γm
12
1
m
Γ12 Γ1m
{
3
m
4
m
+ Γ21m Γm
22 + Γ1m Γ32 + Γ1m Γ42
3
m
4
m
− Γ212 Γm
2m − Γ12 Γ3m − Γ12 Γ4m
−
0
−
0
0
+
r′
cot ϑ +
r
r′
+ cot ϑ +
r
0
0
0
+
(VII.79)
}
0
=
0
(VII.80)
m
r
m
r
m
R13 = Γm
1m|3 − Γ13|m + Γ1m Γr3 − Γ13 Γrm
R13 =
+
−
0
−
Γ11m Γm
13
1
m
Γ13 Γ1m
=
0
− { 0
0
3
m
4
m
+ Γ21m Γm
23 + Γ1m Γ33 + Γ1m Γ43
3
m
4
m
− Γ213 Γm
2m − Γ13 Γ3m − Γ13 Γ4m
−
+
0
0
+
+
0
0
+
+
0
0}
=
0
m
r
m
r
m
R14 = Γm
1m|4 − Γ14|m + Γ1m Γr4 − Γ14 Γrm
=
R14 =
(VII.82)
(VII.83)
( ′ )·
r
λ̇′
λ̇′
+2
−
2
r
2
4
m
+ Γ11m Γm
+ Γ21m Γm
+ Γ31m Γm
34 + Γ1m Γ44
{ 1 14m
} 24
+ Γ14 Γ1m + 0
=
(VII.81)
{
} {
}
( ′ )·
λ̇′
r
λ̇′
λ′ λ̇
r′ ṙ
λ′ λ̇
r′ λ̇
+2
−
+
+2
−
+2
2
r
2
2 2
rr
2 2
r 2
( ′ )·
λ̇′
r
λ̇′
r′ ṙ λ̇r′
+2
−
+2 2 −
2
r
2
r
r
r′ ṙ λ̇r′
r˙′ r − r′ ṙ
+2 2 −
2
r
r
r
′
′
˙
r
λ̇r
= 2 −
r
r
(VII.84)
(VII.85)
(VII.86)
R14 = 2
R14
(VII.87)
2 Inkohärente Materie als Sternenmaterial
m
r
m
r
m
R23 = Γm
2m|3 − Γ23|m + Γ2m Γr3 − Γ23 Γrm
=
+
−
R23 =
0
−
Γ12m Γm
13
1
m
Γ23 Γ1m
3
m
4
m
+ Γ22m Γm
23 + Γ2m Γ33 + Γ2m Γ43
3
m
4
m
− Γ223 Γm
2m − Γ23 Γ3m − Γ23 Γ4m
0 − { cot ϑ · 0 +
+
−
0
−
Γ12m Γm
14
Γ124 Γm
1m
0} = 0
3
m
4
m
− Γ224 Γm
2m − Γ24 Γ3m − Γ24 Γ4m
(VII.91)
(VII.92)
cot ϑ
=
(VII.93)
0
0
−
{
0−
(VII.94)
2
m
3
m
4
m
0 + Γ13m Γm
14 + Γ3m Γ24 + Γ3m Γ34 + Γ3m Γ44
2
m
3
m
4
m
− Γ134 Γm
1m − Γ34 Γ2m − Γ34 Γ3m − Γ34 Γ4m
R34 =
(VII.90)
3
m
4
m
+ Γ22m Γm
24 + Γ2m Γ34 + Γ2m Γ44
m
r
m
r
m
R34 = Γm
3m|4 − Γ34|m + Γ3m Γr4 − Γ34 Γrm
=
(VII.89)
0
ṙ
r
{
}
ṙ
−
0 + cot ϑ
r
R24 =
(VII.88)
0= 0
m
r
m
r
m
R24 = Γm
2m|4 − Γ24|m + Γ2m Γr4 − Γ24 Γrm
=
181
ṙ
·0+0
r
(VII.95)
}
=
0
(VII.96)
(VII.97)
182
VII. Gravitationskollaps und schwarze Löcher
• Zusammenfassung des Ricci-Tensors
R1 1 = 2
R2
2
=
r′′ −λ
λ̈
λ̇2
λ′ r′ −λ
λ̇ṙ
e −
−
−
e −
r
2
4
r
r
−1 r̈ ṙ2 λ̇ṙ r′′ −λ λ′ r′ −λ r′ 2 −λ
− − 2−
+ e −
e + 2e
r2
r r
2r
r
2r
r
(VII.98)
(VII.99)
R3 3 = −
λ̇ṙ ṙ2 r̈ r′′ −λ r′ 2 −λ λ′ r′ −λ
1
−
− 2 − + e + 2e −
e
r2
2r
r
r
r
r
2r
(VII.100)
R4 4 = −
λ̈
r̈ λ̇2
−2 −
2
r
4
(VII.101)
r˙′ λ̇r′
−
r
r
(VII.102)
R14 = 2
Rik =
0
sonst
(VII.103)
2 Inkohärente Materie als Sternenmaterial
183
• Krümmungsskalar
R = R1 1
′′
R = 2 rr e−λ
−
r′ λ′ −λ
r e
+R2 2
′′
+ rr e−λ
′ ′
− r2rλ e−λ
′2
+ rr2 e−λ
+ rr e−λ
− r2rλ e−λ
+ rr2 e−λ
R = 4
+R3 3
+R4 4
′′
′ ′
′2
−
λ̈
2
− λ̈2
−
λ̇2
4
− λ̇4
−
λ̇ṙ
r
2
− λ̇2rṙ
− λ̇2rṙ
− r̈r
− r̈r
−2 rr̈
− ṙr2
2
− ṙr2
− r12
− r12
2
r′′ −λ
r′ λ′
r′ 2
λ̇ṙ
r̈
ṙ2
λ̇2
2
e −2
+ 2 2 e−λ − λ̈ −
−2
−4 −2 2 − 2
r
r
r
2
r
r
r
r
(VII.104)
184
VII. Gravitationskollaps und schwarze Löcher
• Feldgleichungen
R1 1 −
R
2
= −
r′ 2 −λ
r̈
ṙ2
1
e
+
2
+
+ 2 = 0
2
2
r
r
r
r
(VII.105)
R2 2 −
R
2
= −
λ̇ṙ
λ̈
λ̇2
r′′ −λ
r′ λ′ −λ
r̈
e +
e + +
+
+
= 0
r
2r
r
2r
2
4
(VII.106)
R3 3 −
R
2
= −
r′′ −λ
r′ λ′ −λ
r̈
λ̇ṙ
λ̈
λ̇2
e +
e + +
+
+
= 0
r
2r
r
2r
2
4
(VII.107)
(identisch mit R2 2 −
R4
4
R
−
2
R
= 0)
2
λ̇ṙ
1
r′′ −λ
r′ λ′ −λ
r′ 2 −λ
ṙ2
= −2 e +
e − 2e +
+ 2 +
r
r
r
r
r
r
4
2
2
= −κ T4 = −κ (−c ρ0 ) = κ c ρ0
R14 = 2
ṙ′ λ̇r′
−
= 0
r
r
(VII.108)
(VII.109)
(VII.110)
• Abhängigkeit der Feldgleichungen untereinander:
Die zunächst gewonnenen 4 Feldgleichungen ( 11 , 22 , 44 , 14 ) bestimmen die 3 Funktionen r(ρ, cτ ) , λ(ρ, cτ ) , ρ0 (ρ, cτ ). Sie können damit nicht unabhängig voneinander sein.
Da in ( 44 ) die Massendichte mit eingeht, sind von den verbleibenden 3 Gleichungen (
11, 22, 14 ) nur 2 tatsächlichunabhängig. Deren Abhängigkeit ergibt sich wie folgt:
′
( 14 ):
λ̇ = 2 ṙr′
λ̈ = 2
2
r̈′ r′ −r˙′
2
′
r
r′ λ′ −λ
+ r̈r
2r e
2r′′ r′ e−λ + r′ 2 λ′ e−λ
′′
( 22 ): − rr e−λ +
−
}
+
λ̈
2
+
λ̇2
4
r˙′ ṙ
r′ r
+
r¨′
r′
=
r̈′
r′
in (22)
=0
+ 2r̈r′ + 2r˙′ ṙ + 2r¨′ r = 0
( 11 ): −r′ 2 e−λ + 2r̈r + ṙ2 + 1 = 0
· 2 r′ r
′
( )
− 2r′′ r′ e−λ + r′ 2 λ′ e−λ + 2r̈r′ + 2r˙′ ṙ + 2r¨′ r = 0
;
diﬀerenzierte Gleichung ( 11 ) stimmt mit ( 22 ) überein!
2 Inkohärente Materie als Sternenmaterial
• erste Integrale der Feldgleichungen
( )·
r′ 2
2r′ r˙′
2r˙′
2r˙′
=
= ′
(14) : λ̇ = ′ =
2
2
′
′
r
r
r
r
2
′
dλ
1 dr
= ′2
λ(ρ, cτ ) , r(ρ, cτ )
dcτ
r dcτ λ − λ0 = ln r′ − ln r0 ′ = ln
2
2
r′ 2
r0 ′ 2
185
(VII.111)
wobei hier ρ nur wie Parameter wirkt
wobei λ0 (ρ), r′ 0 (ρ)
2
(VII.113)
r′ 2
= eλ−λ0
r0 ′ 2
e λ = e λ0
(VII.114)
r′ 2
r′ 2
=
r0 ′ 2
r0 ′ 2 e−λ0
(VII.115)
wobei Nenner Funktion von ρ
Umschrift der ”Integrationskonstanten”:
r0 ′ (ρ)e−λ0 (ρ) =: 1 − ϵf 2 (ρ)
2
eλ =
r′ 2
1 − ϵf 2 (ρ)
(VII.116)
(VII.117)
ϵ = 0, ±1,
f (ρ) beliebig,
allerdings muss gesamter Term nicht negativ sein, so dass für ϵ = +1 gelten muss f 2 ≤ 1.
Einsetzen von eλ =
(11) :
−
(VII.112)
r′ 2
1−ϵf 2 (ρ)
in
1 − ϵf 2
r̈ ṙ2
1
+ 2+ 2 = 0
+
2
2
r
r r
r
2r̈r + ṙ2 = −ϵf 2
(VII.118)
(VII.119)
Substitution: u = ṙ2 u̇ = 2ṙr̈ ,
Trafo
mit der Logik: r = r(ρ, cτ ) ; cτ = cτ (ρ, r) −→ u(ρ, cτ )
d(ru)
dr
du
du dcτ
= ṙ2 + r
dr
dcτ dr
2ṙr̈
u̇
2
2
= −ϵf 2
= ṙ + r = ṙ + r
ṙ
ṙ
= u+r
d(ru)
= −ϵf (ρ)2
dr
ru = −ϵf (ρ)2 r + F (ρ)
F (ρ)
u(ρ, r) = −ϵf (ρ)2 +
= ṙ2
r
F (ρ)
; −ϵf (ρ)2 = ṙ2 −
r
man liest ab : F (ρ) = −2r̈r2
(VII.120)
(VII.121)
(VII.122)
(VII.123)
(VII.124)
(VII.125)
(VII.126)
186
VII. Gravitationskollaps und schwarze Löcher
• Vorbereitend wird gebildet
F ′ = = −2r̈′ r2 − 4r̈r′ r
F′
r¨′
r̈
= −2 ′ − 4
′
2
rr
r
r
(VII.127)
(VII.128)
• ( 44 ) - 2 · ( 22 )
ṙ2
1
r′ 2
r̈
− 2 e−λ + 2 + 2 −2 − 2
r}
r
| r
{z r
(11)
= −2 rr̈
)
λ̈ λ̇2
+
= κc2 ρ0
2
4
|
{z
}
(
(VII.129)
(14) r̈ ′
= r′
r̈
r̈′
−4 − 2 ′ = κc2 ρ0
r
r
F′
; ′ 2 = κc2 ρ0
rr
(VII.130)
(VII.131)
• Verbleibende Dgln für r(ρ, cτ ) somit
ṙ2 −
F (ρ)
r
= −ϵf 2 (ρ)
r′ r2 =
κc2 ρ0
F ′ (ρ)
(VII.132)
(VII.133)
2 Inkohärente Materie als Sternenmaterial
187
• Integration der Dgln für r(ρ, cτ )
ṙ2 −
F (ρ)
= −ϵf 2 (ρ)
r
ρ spielt nur die Rolle eines Parameters
Fallunterscheidung:
1
ϵ=0 :
ϵ ̸= 0 :
r 2 dr
2 3
r2
3
Variablentransformation cτ
∂r
∂r dct
=
·
∂T
∂cτ dT
(
)
∂r 2 f 2 F
−
∂T
r2
r
(
)2
∂r
F ·r
= 2
∂T
f
√
dr
F
f2
r − ϵr2
∫
ϵ = +1 :
+
√
dr
−r2 +
= − arcsin
=
; −
r
=(−) dT
F
r
f2
−2r +
F
f2
=
F
f2
∫
1
=
±F 2 dcτ
(VII.134)
=
1
2
(VII.135)
±F
{cτ − cτ0 (ρ)}
f
dT = ± dcτ
r
→ T,
=
±ṙ
r
f
(VII.136)
=
−ϵf 2
(VII.137)
−
ϵr2
(VII.138)
!
T ≥ 0
(VII.139)
dT
(Bronstein Nr. 241)
(T + T0 )
2f 2
· r + 1 = − sin(T + T0 )
F
F
= 2 {1 + sin(T + T0 )}
2f
(VII.140)
(VII.141)
(VII.142)
188
VII. Gravitationskollaps und schwarze Löcher
Wahl der Integrationskonstanten
r = 0 bei T = 0
−→
T0 = − π2
F
{1 − cos T }
2f 2
r
F
dcτ = ± dT = ± 3 (1 − cos T )dT
f
2f
F
cτ − cτ0 (ρ) = ± 3 (T − sin T )
2f
r =
∫
√
ϵ = −1 :
∫
r2 +
F
r
f2
=
dr
)2
r+
∫
(VII.145)
F
2f 2
(VII.146)
dT
−
(
F
2f 2
)2
dx
x
= Arcosh + const
2
a
−a
F
r + 2f 2
= Arcosh F
= T + T0
√
=
(VII.144)
∫
dr
√(
=
(VII.143)
x2
(VII.147)
(VII.148)
(VII.149)
2f 2
;r = −
F
F
+ 2 cosh(T + T0 )
2
2f
2f
(VII.150)
Wahl der Integrationskonstanten
r = 0 bei T = 0
→
T0 = 0
F
(cosh T − 1)
2f 2
r
F
dcτ = ± dT = ± 3 (cosh T − 1)dT
f
2f
F
cτ − cτ0 (ρ) = ± 3 (sinh T − T )
2f
r =
(VII.151)
(VII.152)
(VII.153)
2 Inkohärente Materie als Sternenmaterial
189
• Zusammenstellung der Lösung
(Tolman-Lösung, 1934)
ϵ=0
:
( )2
2
3 3 1
r(ρ, cτ ) =
F 3 (ρ) {±cτ ∓ cτ0 (ρ)} 3
2
ϵ=1
:
r(ρ, cτ ) =
ϵ = −1
ϵ = 0, ±1
F (ρ)
{cosh T − 1}
2f 2 (ρ)
F (ρ)
cτ − cτ0 (ρ) = ± 3
{sinh T − T }
2f (ρ)
:
r(ρ, cτ ) =
eλ(ρ,cτ ) =
:
; ds2 = r′
wobei
F (ρ)
{1 − cos T }
2f 2 (ρ)
F (ρ)
cτ − cτ0 (ρ) = ± 3
{T − sin T }
2f (ρ)
2
r′ 2
1 − ϵf 2 (ρ)
(
)
dρ2
+ r2 dϑ2 + sin2 ϑdφ2 − dcτ 2
2
1 − ϵf (ρ)
κc2 ρ0 (ρ, cτ ) =
(VII.154)
(VII.155)
(VII.156)
(VII.157)
(VII.158)
(VII.159)
(VII.160)
F′
r′ r2
• Tolmann-Lösung enthält 3 freie Parameter : F (ρ) , f (ρ) , τ0 (ρ)
• I. A. nicht möglich ρ0 (ρ, cτ ) vorzugeben und F , f , T0 zu bestimmen, aber durch geeignete Wahl von F (ρ) , f (ρ) , τ0 (ρ) können sinnvolle Massenverteilungen konstruiert
werden.
190
3
VII. Gravitationskollaps und schwarze Löcher
Kollabierender Stern mit räumlich konstanter Dichte
Anwendung der Tolman-Lösung auf endlichen Stern mit der Sternoberﬂäche ρS und ortsunabhängiger Massendichte im Sterninneren, also ρ = ρ(cτ ) für ρ ≤ ρS .
• Aussenraum ρ > ρS : ρ0 = 0
Wegen des Birkhoﬀ-Satzes muss Lösung mit der äußeren Schwarzschildlösung übereinstimmen.
In bewegten Koordinaten ruht die Sternoberﬂäche (ρ = ρS ); in den üblichen SchwarzschildKoordinaten bewegt sich die Sternenoberﬂäche. In den beiden Fällen erfolgt die Bewegung eines Teilchens auf der Oberﬂäche entlang einer radialen Geodäten.
Schwarzschild-Metrik (IV.97) & φ = const:
(
(
dr
dτ
dr
dτ
)2
(
=
)2
rG )2
1−
r
(
= A2 − c2 + c2
dct
dτ
)2
+ c2
rG
− c2
r
rG
r
(VII.161)
Tolman-Metrik (VII.132):
F (ρ)
ṙ2
= −ϵf 2 (ρ) +
r
( )2
dr
c2 F (ρ)
= −ϵ c2 f 2 (ρ) +
dτ
r
(VII.162)
Für ρ ≥ ρS müssen beide Gleichungen für beliebige τ übereinstimmen; d. h.
F
ϵf 2
= rG = 2 M = const
A2
= 1 − 2 = const. ; f = const
c
(VII.163)
(VII.164)
Für τ0 (ρ) wählen wir
τ0 = 0
und legen damit einen Zeitnullpunkt fest.
(VII.165)
3 Kollabierender Stern mit räumlich konstanter Dichte
191
• Innenraum ρ ≤ ρS & ρ0 = ρ0 (cτ )
Ansatz :
r(ρ, cτ ) = κ(cτ ) ρ
F′
;
= r′ r2 κc2 ρ0
′
(VII.166)
= κc κ ρ0 ρ
κc2
F (ρ) =
ρ0 κ 3 ρ3
3
κM 3
F (ρ) =
ρ
3
F
2
3
2
(VII.167)
(VII.168)
(VII.169)
mit M = c2 ρ0 (cτ ) κ 3 (cτ ) = const
Weiterhin folgt
∝ ρ
(VII.170)
τ0 = 0
(VII.171)
f
Wir setzen
f = ρ,
(VII.172)
da der Proportionalitätsfaktor in κ(cτ ) hineingezogen werden kann.
Einsetzen in r(ρ, cτ ) liefert
ϵ=0:
ϵ=1:
( )2 (
)1
2
3 3 κM 3
ρ {±cτ } 3
r(ρ, cτ ) = κρ =
2
3
( )2 (
)1
2
3 3 κM 3
; κ(cτ ) =
(±cτ ) 3
2
3
( )1
2
1
3 3
κ(cτ ) =
(κM ) 3 (±cτ ) 3
4
r(ρ, cτ ) = κρ =
κM 3 1
ρ
{1 − cos T }
3
2ρ2
κM
{1 − cos T }
6
κM
= ±
{T − sin T }
6
(VII.173)
(VII.174)
(VII.175)
(VII.176)
; κ(cτ ) =
(VII.177)
cτ
(VII.178)
(VII.179)
192
VII. Gravitationskollaps und schwarze Löcher
ϵ = −1 :
r(ρ, cτ ) = κρ =
κM 3 1
ρ
{cosh T − 1}
3
2ρ2
(VII.180)
κM
{cosh T − 1}
6
κM
{sinh T − T }
= ±
6
; κ(cτ ) =
(VII.181)
cτ
(VII.182)
(VII.183)
und die Metrik
{
ds = κ (cτ )
2
2
}
( 2
)
dρ2
2
2
2
+ ρ dϑ + sin ϑdφ
− dcτ 2
1 − ϵ ρ2
(VII.184)
Wahl der Eigenzeit-Achse so, dass Entwicklung des Sterns für τ < 0 und Kollaps bei
τ = 0.
Damit ergibt sich
ϵ=0:
κ(cτ ) =
ϵ=1:
κ(cτ ) =
cτ
ϵ = −1 :
=
κ(cτ ) =
cτ
=
( )1
1
2
3 3
(κM ) 3 (−cτ ) 3
4
1
κM (1 − cos T )
6
1
− κM (T − sin T )
6
1
κM (cosh T − 1)
6
1
− κM (sinh T − T )
6
(VII.185)
(VII.186)
(T ≥ 0)
(VII.187)
(VII.188)
(T ≥ 0) (VII.189)
3 Kollabierender Stern mit räumlich konstanter Dichte
193
• Stetiger Übergang vom Innen- zum Aussenraum
Innen
Aussen
F (ρ) = 31 κM ρ3
F (ρ) = 2M = const
f (ρ) = ρ
f (ρ) = const
τ0 (ρ) = 0
τ0 (ρ) = 0
wobei
wobei
M = c2 ρ0 (cτ )κ 3 (cτ ) = const
M = 12 rG = const
Auf der Sternoberﬂäche (ρ = ρS ) müssen F und f stetig sein ; τ0 natürlich auch, was
ohnehin erfüllt ist.
Somit folgt
1 2
κc ρ0 κ 3 ρ3S = 2M
3
f (ρS ) = ρS
(VII.190)
(VII.191)
Die Metriken im Innen- und Aussenraum können damit in eine weitgehend einheitliche
Form gebracht werden. Wesentlicher Unterschied liegt in der Funktion r(ρ, cτ ).
Wir erinnern an die allgemeine Form der Tolman-Lösung
ϵ=0:
ϵ = ±1 :
1
r(ρ, cτ ) ∝ F (ρ) 3
F (ρ)
r(ρ, cτ ) ∝ 2
f (ρ)
Im Innenraum korrespondiert dies mit dem getätigten Ansatz
r(ρ, cτ ) = κ(ρ, cτ ) · ρ
Im Aussenraum sind F und f konstant;
wegen der Stetigkeit an der Sternoberﬂäche sind diese Konstanten gerade F (ρS ) und
f (ρS ).
194
VII. Gravitationskollaps und schwarze Löcher
Vorbereitend berechnen wir
( )2
( )1
1
3 3 1
3 3
F 3 (ρ) =
(κM ) 3 ρ
2
4
F (ρ)
1
=
κM ρ
2 f 2 (ρ)
6
Dann folgt
Innenraum
ϵ=0:
r(ρ, cτ ) =
(3)1
3
4
Außenraum
1
ϵ = +1 : r(ρ, cτ ) = 16 κM ρ {1 − cos T }
cτ
= − 61 κM {T − sin T }
ϵ = −1 : r(ρ, cτ ) = 16 κM ρ {cosh T − 1}
cτ
ds2 = κ 2 (cτ )
{
= − 61 κM {sinh T − T }
dρ2
1−ϵρ2
2
(κM ) 3 ρ {−cτ } 3
r(ρ, cτ ) =
(3)1
3
4
1
2
(κM ) 3 ρS {−cτ } 3
r(ρ, cτ ) = 16 κM ρS {1 − cos T }
cτ
= − 16 κM {T − sin T }
r(ρ, cτ ) = 16 κM ρS {cosh T − 1}
cτ
= − 16 κM {sinh T − T }
{
(
)}
(
)}
dρ2
2 dϑ2 + sin2 ϑdφ2
+ ρ2 dϑ2 + sin2 ϑdφ2
ds2 = κ 2 (cτ ) 1−ϵρ
2 + ρS
S
−dcτ 2
−dcτ 2
κ(cτ ) =
r(ρ,cτ )
ρ
κ(cτ ) =
r(ρ,cτ )
ρS
3 Kollabierender Stern mit räumlich konstanter Dichte
195
Diskussion der Lösung im Innenraum
• Das Innere des Sterns (ρ ≤ ρS ) ist ein dreidimensionaler Raum konstanter Krümmung.
Ein derartiger Raum wird im Abschnitt ”Robertson-Walker-Metrik” im Kosmologie Kapitel wieder auftauchen. Dort beﬁndet sich eine nähere Analyse.
• Ein Grosskreis auf der Sternoberﬂäche hat den Radius ρS κ(cτ ). Wegen der Zeitabhängigkeit von κ expandiert oder kontrahiert der Stern. Da rS = ρS κ den Koordinatenradius darstellt, ist für die Ausdehnung des Sterns sein Umfang 2πrS vorzuziehen. Die
Abbildung skizziert die Stern-Expansion bzw. -Kontraktion.
• Besonderheiten, wenn die Sternoberﬂäche den Schwarzschild-Radius rG = κ(cτ )ρS =
2M über- bzw. unterschreitet: keine!
Erst bei κ(cτ ) = 0 wird das Innenfeld singulär.
• Wenn die Sternenoberﬂäche den Schwarzschild Radius rG unterschreitet, wird der Stern
für einen entfernten Beobachter unsichtbar. Kein Photon kann aus dem Bereich < rG
entweichen. Vgl. dazu Diskussion der Äusseren Schwarzschild-Lösung.
Der Stern wird zum Schwarzen Loch.
2πρS κ
ϵ = −1
ϵ=0
2πρS
κM
3
ϵ = +1
cτ
−
πκM
3
−
πκM
6
0
Abbildung VII.1: Zeitliche Entwicklung des Umfangs eines kollabierenden Sternes.
196
VII. Gravitationskollaps und schwarze Löcher
Kapitel VIII
Kosmologie
1
Kosmologisches Prinzip
Kosmos, Universum,Weltall ⇒ synonym
Anwendung der ART ( Einsteinschen Feldgleichung) auf Kosmos als Ganzes
Erwartung der Beschreibung der großräumigen Dynamik des Kosmos
• Expansion, Hubble - Konstante ca. 70 km/s
Mpc
• 2,7 K Hintergrundstrahlung
• Rotverschiebung des Lichtes nahezu aller Galaxien
Zahlen zum sichtbaren Universum:
• Radius des sichtbaren Universums ca 1010 Lj
• 1011 Galaxien
• Milchstraße ca 105 Lj
Hier: Beschreibung des sichtbaren Universums auf großer Skala, z.B. (108 Lj)3 ; Bereich enthält
viele Galaxien
Beobachtungstatsache:
• Universum im Mittel (< x > 108 Lj) isotrop und homogen
• vgl. Moleküle eines Gases in L3
Erhebung der Beobachtungstatsache zum Kosmologischen Prinzip
im Universum sind alle Positionen und Richtungen gleichwertig
enorme Einschränkung an die Raumstruktur des Kosmos, also die Metrik
198
VIII. Kosmologie
Metrik, die der Homogenitäts- und Isotropie- Forderung des Kosmologischen Prinzips genügt,
ist die Robertson - Walker - Metrik (1936)
{
2
ds
}
dr2
2
2
2
2
= S (ct)
+ r (dϑ + sin ϑdφ ) − dct2
1 − kr2
mit k = 1, 0, −1
2
(VIII.1)
Veriﬁkation im Abschnitt 7.2.
eine zeitabhängige Funktion S(ct) („Skalenfunktion“ ) sowie Parameter k
r oﬀensichtlich dimensionslos, ϑ, φ dimensionslos
−→ S hat Dimension einer Länge
S kann später ggf. als Weltradius interpretiert werden
2
Robertson-Walker-Metrik
Konstruktion der Metrik, die homogen und isotrop im 3-dim. Unterraum des 4-dim. Riemannschen Raumes ist
Ausgangspunkt: Zweidimensionale Räume konstanter Krümmung
• Flächen positiver Krümmung ( k = +1 ) sind Kugeloberﬂächen vom Radius S mit der
Metrik
(
)
ds2 = S 2 dϑ2 + sin2 ϑdφ2 , 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ ϑ ≤ π
(VIII.2)
die man sich im 3-dim. ﬂachen Raum eingebettet vorstellen kann
• auf dieser Kugeloberﬂäche ist kein Punkt und keine Richtung ausgezeichnet, d.h. dieser
2-dim. Raum ist homogen und isotrop
• Parameterdarstellung dieser Fläche

x = S sin ϑ sin φ 
y = S sin ϑ cos φ

z = S cos ϑ
mit den Parametern ϑ und φ
• Linienelement auf dieser Fläche d(2) s2
x2 + y 2 + z 2 = S 2
(VIII.3)
2 Robertson-Walker-Metrik
199
d(2) s2 = dx2 + dy 2 + dz 2
dx = S(cos ϑ sin φdϑ + sin ϑ cos φdφ)
(VIII.5)
dy = S(cos ϑ cos φdϑ − sin ϑ sin φdφ)
(VIII.6)
dz = −S sin ϑdϑ
(VIII.7)
(2) 2
d
(VIII.4)
s
2
2
2
2
(VIII.8)
= S (dϑ + sin ϑdφ )
Erweiterung dieser Vorstellung um eine Dimension:
• Beschreibung einer 3-dimensionalen Fläche ( auch 3-d Hyperﬂäche oder 3-d Raum) mit
Eigenschaften Homogenität und Isotropie
• Parameterdarstellung dieser Hyperﬂäche
x
y
z
w
=
=
=
=
S sin χ sin ϑ sin φ
S sin χ sin ϑ cos φ
S sin χ cos ϑ
S cos χ







w 2 + x2 + y 2 + z 2 = S 2
(VIII.9)
mit den Parametern χ, ϑ, φ
• diese Hyperﬂäche beschreibt die 3-dim. Oberﬂäche einer 4-dim. Kugel
• Linienelement auf dieser Hyperﬂäche: d(3) s2
d(3) s2 = dx2 + dy 2 + dz 2 + dw2
(VIII.10)
mit
dx = S(cos χ sin ϑ sin φdχ + sin χ cos ϑ sin φdϑ + sin χ sin ϑ cos φdφ)
dy = S(cos χ sin ϑ cos φdχ + sin χ cos ϑ cos φdϑ − sin χ sin ϑ sin φdφ)
dz = S(cos χ cos ϑdχ − sin χ sin ϑdϑ)
dw = S(− sin χdχ)
d(3) s2 = S 2 (dχ2 + sin2 χ(dϑ2 + sin2 ϑdφ2 ))
(VIII.11)
• Transformation der χ Koordinate χ → r (Vorbereitung für später)
r = sin χ
dr = cos χdχ
dr2
dr2
dχ2 =
=
cos2 χ
1 − r2
{
}
dr2
2
2
2
2
→ d(3) s2 = S 2
+
r
(dϑ
+
sin
ϑdφ
)
1 − r2
(VIII.12)
(VIII.13)
(VIII.14)
(VIII.15)
200
VIII. Kosmologie
Erweiterung des 3-dim. Linienelementes d(3) s2 auf das 4-dim. Linienelement ds unter Einarbeitung der 4. Koordiante „Zeit“
• allgemein
ds2 = gik dξ i dξ k
2
ds
2
ds
a
(VIII.16)
b
4
b
4 2
= gab dξ dξ + 2g4b dξ dξ + g44 (dξ )
(3) 2
= d
b
s + 2g4b dctdξ + g44 dct
2
(VIII.17)
(VIII.18)
• g4b müssen verschwinden, damit keine Raumrichtung ausgezeichnet ist; bei g4b ̸= 0 würde
Vorzeichenwechsel von dξ b zu einem anderen ds2 führen; damit wäre Isotropie gestört
• g44 (ξ) muss räumlich konstant sein, damit die Eigenzeit eines ruhenden Teilchens nicht
vom Ort ξ a abhängt, denn:
ruhendes Teilchen :
dξ a = 0 ;
(VIII.19)
(VIII.20)
Eigenzeitdeﬁnition gibt zunächst:
ds2 = −c2 dτ 2 = g44 (r, ϑ, φ, ct) dct2
(VIII.21)
Damit wäre i.a. die Eigenzeit eines ruhenden Beobachters vom Ort (r, ϑ, φ) abhängig,
was aber dem Kosmolgischen Prinzip widerspricht. Somit darf g44 nur von t abhängen.
Durch Umskalierung von t kann für einen ruhenden Beobachter t = τ erreicht werden.
g44 = −1
(VIII.22)
s − dct
{
}
dr2
2
2
2
2
= S2
+
r
(dϑ
+
sin
ϑdφ
)
− dct2
1 − r2
2
ds
= d
ds2
(3) 2
2
(VIII.23)
(VIII.24)
Sowohl im 2-d als auch 3-d-Fall gibt es jeweils eine negativ konstant gekrümmte Fläche bzw
Hyperﬂäche, die ebenfalls homogen und isotrop sind:
d(2) s2 = S 2 (dϑ2 + sinh2 ϑdφ2 )
d
(3) 2
s
2
2
2
2
(VIII.25)
2
2
= S (dχ + sinh χ(dϑ + sin ϑdφ ))
r = sinh χ
dr = sinh χdχ
dr2
dr2
dr2
dχ2 =
=
=
1 + r2
cosh2 χ
1 + sinh2 χ
{
}
dr2
(3) 2
2
2
2
2
2
d s = S
+ r (dϑ + sin ϑdφ )
1 + r2
(VIII.26)
(VIII.27)
(VIII.28)
(VIII.29)
(VIII.30)
Zwischen konstanter positiver und konstanter negativer Krümmung liegt noch die verschwindende Krümmung k = 0.
3 Feldgleichungen für die Robertson-Walker-Metrik
201
Zusammenfassung aller 3 Fälle:
{
2
2
ds
= S


k =

3
}
( 2
)
dr2
2
2
2
+ r dϑ + sin ϑdφ
− dct2
1 − kr2
1 konstante positive Krümmung
0 verschwindende Krümmung
−1 konstante negative Krümmung
(VIII.31)
(VIII.32)
Feldgleichungen für die Robertson-Walker-Metrik
{
2
2
ds = S (t)
}
dr2
2
2
2
2
+ r (dϑ + sin ϑdφ ) − dct2
1 − kr2
g11 =
g 11 =
g22 =
g 22 =
g33 =
g 33 =
g44 =
S2
,
1 − kr2
1 − kr2
S2
2 2
S r ,
1
2
S r2
S 2 r2 sin2 ϑ,
1
S 2 r2 sin2 ϑ
−1,
(VIII.33)
(VIII.34)
(VIII.35)
(VIII.36)
(VIII.37)
(VIII.38)
(VIII.39)
(VIII.40)
= −1
(VIII.41)
∂( )
˙
= ( )|4 = ()
∂ct
(VIII.42)
(
)
1
Γikl = g im gmk|l + gml|k − gkl|m
2
(VIII.43)
g
44
Abkürzung:
Γ111
Γ133
Γ112
Γ114
Γ124
kr
= 1−kr
2
= −r(1 − kr2 ) sin2 ϑ
= 0
= SṠ
= 0
Γ122
Γ144
Γ113
Γ123
Γ134
=
=
=
=
=
−r(1 − kr2 )
0
0
0
0
202
VIII. Kosmologie
Γ211
Γ233
Γ212
Γ214
Γ224
= 0
= − sin ϑ cos ϑ
= 1r
= 0
= SṠ
Γ222
Γ244
Γ213
Γ223
Γ234
=
=
=
=
=
Γ311
Γ333
Γ312
Γ314
Γ324
=
=
=
=
=
0
0
0
0
0
Γ322
Γ344
Γ313
Γ323
Γ334
= 0
= 0
= 1r
= cot ϑ
= ṠS
Γ411
Γ433
Γ412
Γ414
Γ424
=
=
=
=
=
sṡ
1−kr 2
r2 sin2 ϑS Ṡ
Γ422
Γ444
Γ413
Γ423
Γ434
=
=
=
=
=
0
0
0
0
0
0
0
0
r2 S Ṡ
0
0
0
0
Krümmungstensor u. Riccitensor
m
r m
r m
Rmikp = Γm
ik|p − Γip|k + Γik Γrp − Γip Γrk
m
r
m
r m
Rip = Rmimp = Γm
im|p − Γip|m + Γim Γrp − Γip Γrm
R1i1p = Γ1i1|p − Γ1ip|1 + Γri1 Γ1rp − Γ1ip Γ111 − Γ4ip Γ141
R2i2p = Γ2i2|p − Γ2ip|2 + Γri2 Γ2rp − Γ1ip Γ212 − Γ4ip Γ242
R3i3p = Γ3i3|p − Γ3ip|3 + Γri3 Γ3rp − Γ1ip Γ313 − Γ2ip Γ323 − Γ4ip Γ343
R4i4p = Γ4i4|p − Γ4ip|4 + Γri4 Γ4rp
3 Feldgleichungen für die Robertson-Walker-Metrik
203
R1i1p :
R111p = 0 = R1p11
Ṡ
kr
− r2 ṠS
2
1 − kr
S
2
2
2
2 2
1 − 3kr + kr − 1 + kr − r Ṡ = −kr2 − Ṡ 2 r2
R1212 = 1 − 3kr2 + r(1 − kr2 )
=
R1213
R1214
= 0 = R1312
= 0 = R1412
R1313 = (1 − 3kr2 ) sin2 ϑ − (1 − kr2 ) sin2 ϑ + r(1 − kr2 ) sin2 ϑ
kr
ṡ
− r2 sin2 ϑsṡ
2
1 − kr
s
= −2kr2 sin2 ϑ + kr2 sin2 ϑ − r2 sin2 ϑṡ2
= −kr2 sin2 ϑ − r2 sin2 ϑṡ
= −r2 sin2 ϑ(k + ṡ2 )
R1314 = 0 = R1413
R1414 =
S̈
S̈S − Ṡ 2 Ṡ 2
+ 2 =
2
S
S
S
R2i2p :
1
1
kr 1
S Ṡ Ṡ
k + Ṡ 2
−
=
−
+
−
r2 r2 1 − kr2 r 1 − kr2 S
1 − kr2
2
= 0 = R 22i
R2121 = −
R2i22
R2123 = 0 = R2321
1 Ṡ Ṡ 1
−
= 0 = R2321
rS Sr
= 0 = R2423
R2124 =
R2324
R2324 = 0 = R2423
R2323 = − sin2 ϑ + cos2 ϑ − cos2 ϑ + (1 − kr2 ) sin2 ϑ − r2 sin2 ϑS Ṡ
=
−r2 sin2 ϑ(k + Ṡ 2 )
R2324 = 0 = R2423
R2424 =
S̈S − Ṡ 2 Ṡ 2
S̈
+ 2 =
S2
S
S
Ṡ
S
204
VIII. Kosmologie
R3i3p :
1
1
kr 1
S Ṡ Ṡ
k + Ṡ 2
+
−
−
=
−
r2 r2 1 − kr2 r 1 − kr2 S
1 − kr2
1
1
=
cot ϑ − cot ϑ = 0 = R3231
r
r
3
= 0 = R 33i
R3131 = −
R3132
R3i33
R3134 =
R3232 =
=
1 Ṡ Ṡ 1
−
= 0
rS Sr
− sin2 ϑ − cos2 ϑ
1
Ṡ
+ cot2 ϑ + r(1 − kr2 ) − r2 S Ṡ
2
r
S
sin ϑ
2
2 2
2
2
−1 + (1 − kr ) − r Ṡ = −r (k + Ṡ )
Ṡ Ṡ
− cot ϑ = 0 = R3432
S S
S̈S − Ṡ 2 Ṡ 2
S̈
+ 2 =
2
S
S
S
R3234 = cot ϑ
R3434 =
R4i4p :
S̈S + Ṡ 2 Ṡ S Ṡ
S̈S
+
= −
2
2
1 − kr
S 1 − kr
1 − kr2
= 0 = R4241
R4141 = −
R4142
R4143 = 0 = R4341
R4i44 = 0 = R444i
R4243 = 0 = R4342
R4343 = −r2 sin2 ϑ(S̈S + Ṡ 2 ) +
R4242 = −r2 (S̈S + Ṡ 2 ) +
Ṡ 2 2
r sin ϑS Ṡ = −r2 sin2 ϑS̈S
S
Ṡ 2
r S Ṡ = −r2 S̈S
S
3 Feldgleichungen für die Robertson-Walker-Metrik
Ricci - Tensor
k + Ṡ 2
S̈ 2 S
k + Ṡ 2
−
−
1 − kr2 {1 − kr2 1 −}kr2
{
}
S̈
S2
S̈
Ṡ 2 + k
Ṡ 2 + k
−
= −g11
+2
+2
1 − kr2 S
S2
S
S2
R11 = −
=
R22 = −r2 (k + Ṡ 2 ) − r2 (k + Ṡ 2 ) − r2 S̈S
{
}
S̈
k + Ṡ 2
2 2
= −r S
+2
S
S2
{
}
S̈
k + Ṡ 2
= −g22
+2
S
S2
R33 = −(k + Ṡ 2 )r2 sin2 ϑ − r2 sin ϑ(k + Ṡ 2 ) − r2 sin2 ϑS̈S
= −r2 sin2 ϑ2(k + Ṡ 2 ) − r2 sin2 ϑS S̈
{
}
2
S̈
k
+
Ṡ
+2
= −S 2 r2 sin2 ϑ
S
S2
{
}
S̈
k + Ṡ 2
+2
= −g33
S
S2
S̈ S̈ S̈
S̈
S̈
+ +
= 3 = −g44 3
S S S
S
S
(m)
= 0 für i ̸= p , da alle R i(m)p = 0
R44 =
Rip
Krümmungsskalar
R = g ip Rip
{
}
S̈
k + Ṡ 2
S̈
= −3
+2
−3
2
S
S
S
= −6
S̈
Ṡ 2 + k
−6
S
S2
205
206
VIII. Kosmologie
Einstein-Tensor
Gi p = R i p −
G11
R p
δ
2 i
R
= −
= g R11 −
2
11
G11 = 2
{
S̈
k + Ṡ 2
+2
S
S2
}
+3
S̈
k + Ṡ 2
+3
S
S2
S̈ k + Ṡ 2
+
S
S2
R
= G11
2
R
= g 33 R33 −
= G11
2
R
S̈
S̈
k + Ṡ 2
= g 44 R44 −
= −3 + 3 + 3
2
S
S
S2
2
k + Ṡ
= 3
S2
G22 = g 22 R22 −
G33
G44
G44
Energie - Impuls - Tensor
• Tmn muss die gleiche Symmetrie aufweisen , die im Kosmologischen Prinzip gefordert ist
• Betrachtung einer kontinuierlichen, idealen Flüssigkeit
Tmn
(
)
P
n
= ρ + 2 um un + P δm
,
c
(VIII.44)
ρ(r, ϑ, φ, t) = ρ(t),
(VIII.45)
P (r, ϑ, φ, t) = P (t)
(VIII.46)
wobei
wegen Homogenität im 3-dim Unterraum
• eine Eigenbewegung der Materie, z.B. das Umkreisen eines Galaxiehaufens durch eine
Galaxie verschwindet im Mittel, d.h. typische Materiebewegung ist
−→
ξ a = const
(VIII.47)
n
(u ) = (0, 0, 0, c)
(VIII.48)
(um ) = (0, 0, 0, −c)
(VIII.49)
T1 1 = T2 2 = T3 3 = P
4
= −ρc
Tmn
= 0 ,
T4
2
(VIII.50)
(VIII.51)
m ̸= n
(VIII.52)
3 Feldgleichungen für die Robertson-Walker-Metrik
207
Feldgleichungen mit kosmologischem Glied
Gmn
1
1
4
4
2
2
=
−κTmn + Λgmn
(VIII.53)
Ṡ 2
S̈
+k
+
= −κP + Λ
S
S2
Ṡ 2 + k
:
3
= κc2 ρ + Λ (Friedmangleichung)
S2
und 33 wie 11
:
2
(VIII.54)
(VIII.55)
Umformung der Gleichungen für spätere Anwendungen; nach Division durch 3 Gleichung 44
in 11 einsetzen:
(
)
) Λ
S̈
κ(
4πγ
3P
Λ
= − c2 ρ + 3P + = − 2 ρ + 2 +
(VIII.56)
S
6
3
3c
c
3
Ṡ 2
S2
= −
Λ
k
k
κ
8πγ
Λ
+ c2 ρ + = − 2 + 2 ρ +
2
S
3
3
S
3c
3
(VIII.57)
2 Dgl. für S(t), P (t), ρ(t)
zu ergänzen ist Zustandsgleichung F (P, ρ) = 0
Integrabilitätsbedingung
Tmn ||n = 0
(VIII.58)
kann alternativ zu Feldgleichungen verwendet werden
(
)
(
)
(
)
P
P
P
Tmn ||n = ρ + 2
um un + P|m + ρ + 2 um||n un + ρ + 2 um un||n = 0 (VIII.59)
c |n
c
c
(
)
(
)
P
Ṗ
ρ+ 2
un = ρ̇ + 2 c
c |n
c
um||n = um|n − Γimn ui = 0 − Γ4mn (−c)
n
um||n u
=
cΓ4mn un
=
c2 Γ4m4
= 0
1 √
1 √
√ ( −gun )|n = √ ( −gc)|4
−g
−g
2
S
S 6 r4 sin2 ϑ
2 2 2 2
2
g =
S
r
S
r
sin
ϑ(−1)
=
−
1 − kr2
1 − kr2
√
3S 2 Ṡr2 sin ϑ
Ṡ √
√
−g |4 =
−g
= 3
2
S
1 − kr
Ṡ
un||n = 3 c
S
un||n =
(VIII.60)
(VIII.61)
(VIII.62)
(VIII.63)
(VIII.64)
(VIII.65)
(VIII.66)
208
VIII. Kosmologie
Ta n||n = 0
(
T4 n||n
=
Ṗ
ρ̇ + 2
c
)
(VIII.67)
(
)
P
Ṡ
c(−c) + Ṗ + ρ + 2 (−c)3 c = 0
c
S
(
)
P
Ṡ
2
2
−c ρ̇ − c ρ + 2 3
= 0
c
S
ρ̇
ρ + cP2
= −3
(VIII.68)
(VIII.69)
Ṡ
S
(IB)
Beweis der Äquivalenz der Integrabilitätsbedingung (VIII.70) zu den Gleichungen
und 44 (VIII.55):
• Diﬀerentiation von
• Rechts IB einsetzen
(
6
2Ṡ S̈S 2 − (Ṡ 2 + k)2S Ṡ
= κc2 ρ̇
4
S
(
)
S̈ Ṡ 2 + k Ṡ
6
−
= κc2 ρ̇
S
S2
S
S̈ Ṡ 2 + k
−
S
S2
)
Ṡ
Ṡ
= −3κc2
S
S
(
P
ρ+ 2
c
(VIII.54)
(VIII.71)
(VIII.72)
)
Ṡ 2 + k
S̈
−2
= −κc2 ρ − κP
S
S2
S̈ Ṡ 2 + k
Ṡ 2 + k
2
2 +
=
−κP
−
κc
ρ
+
3
S
S2
S2
2
4
4
1
1
4
4
3
• Rechts
(VIII.70)
einsetzen liefert
(VIII.73)
(VIII.74)
(VIII.75)
1
1
2
S̈ Ṡ 2 + k
+
= −κP + Λ .
S
S2
(VIII.76)
Bei Vorgabe einer Zustandsgleichung F (ρ, P ) = 0 bzw P = P (ρ) kann aus der IB der Weltradius S als Funktion der Massendichte ρ bestimmt werden, danach aus 44 das zeitliche Verhalten
von S bzw. ρ .
4
Strahlungskosmos
Welt sei nur von elm. Strahlung (Photonengas) erfüllt
Situation in Frühphase des Kosmos
4 Strahlungskosmos
209
Das Photonengas ist formal durch den Energie-Impuls-Tensor der idealen Flüssigkeit zu beschreiben mit
P
1 2
ρc ,
3
ρc2 Energiedichte (u)
=
(VIII.77)
Ableitung siehe Thermodynamik-Skript
Λ=0
Integration von IB:
ρ̇
3 ρ̇
Ṡ
=
= −3
1
4
ρ
S
ρ + 3ρ
1
ln ρ = − ln S + const
4
ρc2 S 4 = const = A ,
(VIII.78)
(VIII.79)
(VIII.80)
d. h. bei der Expansion oder Kontraktion des Kosmos ist die Energiedichte umgekehrt proportional zur 4 Potenz des Weltradius.
Integration von
4
4
κc2 ρS 2
−k
3
κA
Ṡ 2 =
−k
3S 2
y = S2,
Ṡ 2 =
dy = 2S dS
ẏ 2
κA
=
−k
2
4S
3S 2
4
ẏ 2 =
κA − 4ky
3
√
dy
4
3 κA
k ̸= 0
√
− 4ky
= dct
4
κA − 4ky ,
3
dz = −4k dy
dz
√
= −4k dct
z
√
2 z = −4kct + const
:
z =
4
κA − 4kS 2 = −2kct + const
3
(VIII.81)
(VIII.82)
(VIII.83)
(VIII.84)
(VIII.85)
(VIII.86)
(VIII.87)
(VIII.88)
(VIII.89)
(VIII.90)
(VIII.91)
(VIII.92)
210
VIII. Kosmologie
• Festlegen der Integrationskonstante durch
S(t0 ) = 0
√
√
4
4
2
κA − 4kS = −2kc(t − t0 ) +
κA
3
3
√
4
4
4
2
2 2
2
κA − 4kS = 4k c (t − t0 ) − 4kc(t − t0 )
κA + κA
3
3
3
√
κA
S 2 = −kc2 (t − t0 )2 + 2c
(t − t0 )
3
(VIII.93)
(VIII.94)
(VIII.95)
(VIII.96)
Diskussion
• t → t0 =⇒ S → 0 , d.h. die Abstände zweier beliebiger Punkte der Welt werden beliebig
klein
• t → t0 : Weltradius wird unabhängig von k, d.h. er ist für oﬀene und geschlossene Welten
gleich
• Strahlung kann aufgrund der eigenen Gravitationswechselwirkung einen geschlossenen
√
2
κA
wächst
und
nach
∆t
=
Kosmos erzeugen (k=1) , dessen Radius von Null bis κA
3
c
3
wieder auf Null zurückgeht
• Nachhall der Phase des Strahlungskosmos ist 2,7 K Hintergrundstrahlung
• Expansion des Kosmos führte zur Abkühlung
• In Frühphase ist aus der Strahlung durch Paarerzeugung massive Materie entstanden,
starke WW, Plasma
• Entkopplung in späterer Phase bei ca. 3000K, vgl. Ionisationsenergien
1 eV = kB T
1, 6 · 10−19 AsV
T =
∼ 104 K
1, 4 · 10−23 J/K
• Eigenleben der Strahlung; Abkühlung
5
Friedman - Kosmos
als Friedman-Kosmos im engeren Sinne bezeichnet man die Lösung für P = 0
P = 0 inkohärente Materie
• Materie hat keinen Druck, wie Staub oder Granulat
(VIII.97)
(VIII.98)
5 Friedman - Kosmos
211
• entspricht etwa dem heutigen Weltzustand, denn es gilt:
P ≪ ρc2 ,
d.h.
(VIII.99)
• Ruhmassenenergie dominiert deutlich über andere Energien, so Bewegungsenergie (Druck
ist Bewegung) und Strahlung
• materie-dominierter Kosmos im Unterschied zum Frühstadium (strahlungs - dominiert)
Abschätzung von P und ρc2 in Sonne
Daten zur Sonne
T ≈ 107 K Zentraltemperatur
N ≈ 1057 Teilchen
R ≈ 700000 km Radius
→ V
P
ρc2
P
≈
(109 )3 m3 ≈ 1027 m3
N
1057 −23 7
≈
kB T ≈
10 10 Pa ≈ 1014 Pa
V
1027
1057 −27 17
N
mP c2 =
10 10 Pa ≈ 1020 Pa
≈
V
1027
≪ ρc2
(VIII.100)
(VIII.101)
(VIII.102)
(VIII.103)
212
VIII. Kosmologie
Abschätzung von P und ρc2 im Sonnenwind
Daten zum Sonnenwind bei 1 AU
T ≈ 105 K
n ≈ 5 · 106 Protonen/m3
→P
≈
2
≈
ρc
P
nkB T ≈ 5 · 106 10−23 105 Pa ≈ 5 · 10−12 Pa
2
nmP c
= 5 · 10 10
6
−27
10 Pa ≈ 5 · 10
17
≪ ρc
2
−4
Pa
(VIII.104)
(VIII.105)
(VIII.106)
Λ=0
Integrabilitätsbedingung
Ṡ
ρ̇
= −3
ρ
S
ln ρ = −3 ln S + const
ρS
3
= const
4π 3
S ρ = M = const
3
bzw.
(VIII.107)
(VIII.108)
(VIII.109)
(VIII.110)
für geschlossene Kosmen (k=1) ist M die Gesamtmasse
Einsetzen in Friedman-Gleichung
3
Ṡ 2 + k
S2
= κc2 ρ,
8π
γ
c4
1 2 3
Ṡ 2 + k =
κc ρS
3S
κc2 M
2γ M
= 2
=
4π S
c S
M 2 γM 2 1
M
Ṡ − 2
= −k
2
c S
2
κ =
(VIII.111)
(VIII.112)
(VIII.113)
(VIII.114)
Gleichung kann als Energiesatz interpretiert werden: kinet + pot. Energie = const;
auch:
M 2 γM 2
k
S|t −
= − M c2
2
S
2
(VIII.115)
Einführung eines „ eﬀektiven Potentials“
Vef f (S) = −
γM 2
S
(VIII.116)
5 Friedman - Kosmos
k = 1 : „ gebundene“ Bewegung, S endlich, geschlossener Kosmos
k = −1 : „ ungebundene“ Bewegung, S unbegrenzt, oﬀener Kosmos
k = 0 : „ Grenzfall, ungebunden, oﬀener Kosmos
Integration der Friedman-Gleichung
213
214
Abbildung VIII.1: k = 1
Abbildung VIII.2: k = -1
VIII. Kosmologie
5 Friedman - Kosmos
215
• Variablen Transformation
∫
T
= ±
dT
= ±
dct
,
S
(VIII.117)
dct
S
(VIII.118)
Ṡ = S|T · T|ct =
S|T
S
M 2
k
γM 2
S|T − 2 S = − M S 2
2
c
2
2γM
2
S − kS 2
S|T =
c2
dS
√
= dT
2γM
2
S
−
kS
c2
(VIII.119)
(VIII.120)
(VIII.121)
(VIII.122)
• Integration für k=0
∫
√
√
∫
dS
=
dT
√
S
√
2 S = T + const
1
(VIII.124)
2γM
c2
Sei T = 0 bei S = 0
const = 0
γM 2
S =
T
2c2
∫
γM T 3
c(t − t0 ) = ± SdT = ± 2
2c 3
→
(VIII.123)
2γM
c2
:
(VIII.125)
(VIII.126)
(VIII.127)
d.h. S(t0 ) = 0 als Anfangsbedingung gewählt
• Parameterdarstellung der Lösung für k=0
γM 2
T
2c2
γM
c(t − t0 ) = ± 2 T 3
6c
(VIII.128)
S =
• Integration für k = +1
∫
dS
√
−S 2 +
∫
=
(VIII.130)
dT
2γM
S
c2
= − arcsin
=
S
(VIII.129)
− γM
c2
γM
c2
−2S +
2γM
c2
2γM
c2
T + const (Bronstein Nr. 241 )
= sin(T + const)
(VIII.131)
(VIII.132)
(VIII.133)
216
VIII. Kosmologie
Wahl: S = 0 bei T = 0 → const = − π2
(
γM
π)
γM
sin
T
−
= − 2 cos T
2
c
2
c
γM
γM
S =
− 2 cos T
c2∫
c
γM
c(t − t0 ) = ± SdT = ± 2 (T − sin T ),
c
S−
→
γM
c2
=
(VIII.134)
(VIII.135)
(VIII.136)
d.h. S(t0 ) = 0 als Anfangsbedingung
• Parameterdarstellung der Lösung für k = 1 :
γM
(1 − cos T )
c2
γM
c(t − t0 ) = ± 2 (T − sin T )
c
(VIII.137)
S = +
• Integration für k = −1
∫
∫
dS
√
S2
+
=
2γM
S
c2
(VIII.139)
dT
∫
dS
)2
√(
=
S+
∫
=
mathrmArcosh
x
+ const
a
γM
c2
γM
c2
−
(
γM
c2
)2
dx
√
=
2
x − a2
(VIII.140)
(VIII.141)
(VIII.142)
= Arcosh
S+
(VIII.138)
=
γM
c2
γM
c2
S+
= T + const
γM
cosh(T + const)
c2
(VIII.143)
(VIII.144)
Sei S = 0 bei T = 0 ⇒ const = 0
γM
(cosh T − 1)
c2∫
γM
c(t − t0 ) = ± SdT = ± 2 (sinh T − T )
c
S =
→
(VIII.145)
(VIII.146)
d.h. S(t0 ) = 0 als Anfangsbedingung
• Parameterdarstellung der Lösung für k = −1 :
γM
(cosh T − 1)
c2
γM
c(t − t0 ) = ± 2 (sinh T − T )
c
S =
(VIII.147)
(VIII.148)
6 Kosmologische Rotverschiebung und Hubble - Konstante
217
Diskussion der Lösungen
• Zykloide bei k = +1 , geschlossenes Modell
• k = 0 , k = -1 ständige Zunahme des Weltradius
• Weltanfang bei t0 : S(t0 ) = 0 , d.h. Singularität
• nahe t0 habe alle 3 Typen das gleiche Verhalten
γM 2
T ,
2c2
} 13
{ 2
6c
c(t − t0 )
=
γM
S ≈
(VIII.149)
T
(VIII.150)
(
)2
2
γM 6c2 3
S ≈ 3 2
{c(t − t0 )} 3
6c
γM
(
)1
2
γM 3 1
3
S ≈ 3
{c(t
−
t
)}
0
6c2
3
6
(VIII.151)
(VIII.152)
Kosmologische Rotverschiebung und Hubble - Konstante
Zeitabhängigkeit des Weltradius bzw. Skalenfaktors S(t) führt zu einer Rotverschiebung, der
s.g. kosmologischen Rotverschiebung
• hat nichts zu tun mit einer Gravitationsrotverschiebung aufgrund des Gravitationsfeldes
an Quelle oder Empfänger
• hat nichts zu tun mit Dopplerverschiebung aufgrund von Eigenbewegungen von Quelle
oder Empfänger
• kosmolog. Rotverschiebung tritt in allen Robertson-Walker-Metriken auf, nicht nur im
Friedman-Kosmos
Betrachtung zweier typischer Galaxien im einer RWM
218
VIII. Kosmologie
{
2
2
ds = S (t)
}
dr2
2
2
2
2
+ r (dϑ + sin ϑdφ ) − dct2
1 − kr2
(VIII.153)
• Trajektorie der Galaxien ξ a = const , also r = const, ϑ = const, φ = const
• von erster Galaxie werde zur Zeit t1 Licht ausgesandt, von zweiter Galaxie werde dieses
Licht zur Zeit t2 empfangen
• wegen Homogenität und Isotropie der RWM kann o.B.d.A. eine Lichttrajektorie betrachtet werden mit dϑ = dφ = 0
→
0 = ds2 = S 2
dr2
− dct2
1 − kr2
(VIII.154)
• Transformation r → χ mit

 sin χ für k = 1
χ
für k = 0
r=

sinh χ für k = −1
(VIII.155)
• k=0:
(VIII.156)
dr = dχ :
2
ds
= S dχ − dct
2
2
2
= 0
(VIII.157)
• k=1:
(VIII.158)
dr = cos χdχ :
2
ds
= S dχ − dct
2
2
2
= 0
(VIII.159)
• k=-1:
(VIII.160)
dr = cosh χdχ :
2
ds
= S dχ − dct
2
2
2
= 0
(VIII.161)
• folglich für jedes k
dχ =
dct
S
(VIII.162)
• Betrachtung zweier aufeinanderfolgender Wellenberge des Lichsignals; beide Wellenberge
müssen von der Quelle zum Empfänger denselben Weg χ zurücklegen:
∫t2
χ =
t1
dct
=
S(ct)
t2∫+δt2
t1 +δt1
dct
S(ct)
(VIII.163)
6 Kosmologische Rotverschiebung und Hubble - Konstante
219
• folglich
∫t2
t2∫+δt2
... −
0 =
t1
(VIII.164)
...
t +δt
1
1

 t +δt
  t
t2
t2∫+δt2
1∫
1
2


∫
∫

 

=
... +
... −
...
... +

 



t1
t1∫+δt1
=
t1+δt1
t1 +δt1
dct
−
S
t1
t2∫+δt2
(VIII.165)
t2
dct
S
(VIII.166)
t2
• während der Zeitspannen δt1 bzw. δt2 ( 10−14 s für sichtbares Licht) ist S(ct) praktisch
konstant:
0=
• Einführung der Frequenz f =
δt2
δt1
−
S(t1 ) S(t2 )
(VIII.167)
1
δt
1
1
−
f1 S(t1 ) f2 S(t2 )
bzw: f (t)S(t) = const
0 =
(VIII.168)
(VIII.169)
Expandierender Kosmos: S wächst
→ f für vagabundierende Photonen schrumpft
→ fortgesetzte Rotverschiebung für im Kosmos vagabundierende Photonen
Deﬁnition der Rotverschiebung z wie im Abschnitt 4.6
z =
z =
fQuelle
f1
−1 =
−1
f2
fEmpfänger
S(tEmpfang )
S(t2 )
−1=
− 1 kosmolog. Rotversch.
S(t1 )
S(tQuell )
(VIII.170)
(VIII.171)
Expandierender Kosmos : z > 0
Darstellung von z mittels Wellenlänge λ =
z=
c
f
λ2
λ2 − λ1
S(t2 ) − S(t1 )
−1=
=
λ1
λ1
S(t1 )
relative Dehnung der Wellenlänge wie Expansion des Kosmos
(VIII.172)
220
VIII. Kosmologie
weitere Auswertung von
z=
S(t2 )
−1
S(t1 )
(VIII.173)
• Identiﬁzierung von t2 mit heute
• Entwicklung von S(t) in Taylorreihe um t2 :
1
S(t) = S(t2 ) + S|t (t2 ) · (t − t2 ) + S|t|t (t2 )(t − t2 )2 + . . .
2
{
}
q 2
S(t) = S(t2 ) 1 + H(t − t2 ) − H (t − t2 )2 . . .
2
(VIII.174)
(VIII.175)
mit der Hubble - Konstanten
H=
S|t (t2 )
Ṡ(t2 )
=c
S(t2 )
S(t2 )
(VIII.176)
und dem Verzögerungsparameter oder auch Beschleunigungsparameter
q=−
2
S|t|t (t2 ) 1
2 S̈(t2 ) 1 S (t2 )
=
−c
S(t2 ) H 2
S(t2 ) c2 Ṡ 2 (t2 )
(VIII.177)
S̈(t2 )S(t2 )
Ṡ 2 (t2 )
(VIII.178)
q=−
• Identiﬁkation von t mit t1
1
−1
(VIII.179)
1 + H(t1 − t2 ) − 2q H 2 (t1 − t2 )2 + . . .
}
{
q
z =
1 − H(t1 − t2 ) + H 2 (t1 − t2 )2 + H 2 (t1 − t2 )2 + . . . − 1
2
(
q) 2
2
z ≈ H(t2 − t1 ) + 1 +
H (t2 − t1 )
(VIII.180)
2
z =
(Rotverschiebung in Abhängigkeit von Lichtlaufzeit)
Umrechnung auf Rotverschiebung-Abstands-Relation
• D sei Abstand zwischen sendender Galaxie und empfangener Galaxie
• wegen Homogenität und Isotropie wird sendende Galaxie in Ursprung der RWM positioniert, damit ist D als radialer Abstand zu berechnen ( dϑ = dφ = 0 ) aus
ds2 = S 2 dχ2 − dct2 , dt = 0
∫2
∫2
D =
ds =
Sdχ = Sχ
1
1
(VIII.181)
(VIII.182)
7 Kritische Massendichte
221
• χ ausdrücken durch Lichtlaufzeit über
∫t2
χ =
dct
=
S(ct)
t1
∫t2
χ =
t1
χ =
∫t2
t1
dct
S(t2 ) {1 + H(t − t2 ) + . . .}
dct
{1 + H(t − t2 ) + . . .}
S(t2 )
c(t2 − t1 ) Hc(t2 − t1 )2
+
+ ...
S(t2 )
2S(t2 )
(VIII.183)
(VIII.184)
(VIII.185)
• folglich: heutiger Abstand D(t2 )
D(t2 ) = S(t2 )χ
(VIII.186)
Hc
D(t2 ) ≈ c(t2 − t1 ) +
(t2 − t1 )2
2
(VIII.187)
• umstellen nach t1 − t2 und iterative Lösung
t2 − t1 ≈
D(t2 ) H
D(t2 ) H D2 (t2 )
− (t2 − t1 )2 ≈
−
c
2
c
2 c2
• Einsetzen in z liefert Rotverschiebung-Abstands-Relation
{
} (
D(t2 ) HD2 (t2 )
q ) 2 D2 (t2 )
−
z ≈ H
+
1
+
H
c
2c2
2
c2
HD H 2 D2 1 + q
+
z =
c
c2
2
(VIII.188)
(VIII.189)
(VIII.190)
• exp. Werte für H und q unsicher
• typisch
km/s
Mpc
0 ≤ q ≤ 1
H = 50
7
(VIII.191)
(VIII.192)
Kritische Massendichte
Ausgangspunkt: aus der Rotverschiebung-Abstands-Relation lassen sich H und q (im Prinzip)
bestimmen
Einsetzen von
Ṡ
H = c ,
S
S̈S
q = −
Ṡ 2
(VIII.193)
(VIII.194)
222
VIII. Kosmologie
in die Feldgleichungen
2
S̈ Ṡ 2 + k
+
S
S2
2
Ṡ + k
3
S2
= −κp
(VIII.195)
= κc2 ρ
(VIII.196)
bzw:
6
S̈
= −κ(c2 ρ + 3p)
S
(VIII.197)
ergibt
6qH 2 = c2 κ(c2 ρ + 3p)
k
3H 2 = c4 κρ − c2 3 2
S
(VIII.198)
(VIII.199)
heutiger Kosmos: p ≪ ρc2
6qH 2 = κρc4
3H 2 = c4 κρ − 3
→
(2q − 1)H 2 =
(VIII.200)
k
S2
(VIII.201)
1 k
,
c2 S 2
(VIII.202)
d.h. k = 0, ±1 ist allein aus q bestimmbar:
q>
1
2
→ k = +1, geschlossener Kosmos
q<
1
2
→ k = −1, oﬀener Kosmos
q=
1
2
→
(VIII.203)
oﬀener Kosmos
k = 0,
dem Übergang vom oﬀenen zum geschlossenen Kosmos ( q =
Massendichte ρkrit vermöge
1
2
) entspricht eine kritische
1
6 · H = 3H = κρkrit
2
3H 2
zu ρkrit =
c4 κ
(VIII.204)
(VIII.205)
allerdings: Unsicherheit für q ist noch zu groß, um q und damit k festzulegen
• wahrscheinlichste Werte
km/s
,
Mpc
q = 1±1
H = 70
ρ = 3 · 10
−31
ρkrit = 6 · 10
−30
H −1 = 14 · 109 yr
(VIII.206)
(VIII.207)
g cm
−3
g cm
−3
( Faktor 10 als Unsicherheit)
(VIII.208)
(VIII.209)
8 Einﬂuss der kosmologischen Konstanten
8
223
Einﬂuss der kosmologischen Konstanten
Ausgangspunkt sind die Gleichungen (VIII.54) und (VIII.55)
S̈ 1 Ṡ 2 + k
κP
1
+
= −
+ Λ
S 2 S2
2
2
Ṡ 2 + k
κ
1
= c2 ρ + Λ
2
S
6
6
Diﬀerenzbildung liefert
(
)
S̈
κ 2
3
1
= − c ρ + 2P + Λ
S
6
c
3
Ṡ 2
k
κ
1
= − 2 + c2 ρ + Λ
S2
S
3
3
Mit κ =
folgt
8π γ
,
c4
K :=
c2 k
,
S 2 (t)
a(t) :=
S(t)
S(t2 ) , t2
(VIII.210)
(VIII.211)
= heute
(
)
ä
4π γ
3
1
= − 3 ρ + 2P + Λ
a
3c
c
3
2
ȧ
1 K
8π γ
1
=− 2 2 +
ρ+ Λ .
2
2
a
c a
3c
3
(VIII.212)
(VIII.213)
Die Kosmologische Konstante schreiben wir nun vermöge
Λ =:
8π γ
ρΛ
c2
,
PΛ := −c2 ρΛ
(VIII.214)
ρΛ repräsentiert die kosmologische Konstante in Einheiten der Massendichte,
[Λ] =
1
m2
,
[ρΛ ] =
kg
m3
.
(VIII.215)
Folglich
{
}
4π γ
3
ä
= − 3 ρ + ρΛ + 2 (P + PΛ )
a
3c
c
2
ȧ
1 K
8π γ
=− 2 2 +
(ρ + ρΛ ) .
a2
c a
3c2
Aus der ersten Gleichung folgt:
(a) Für Λ = 0: ä < 0
a
t
(VIII.216)
(VIII.217)
224
VIII. Kosmologie
(b) Für Λ < 0: ä < 0
(c) Für Λ > 0 und genügend groß: ä > 0
a
t
Es ist insbesondere der aus einer positiven kosmologischen Konstanten folgende negative Druck
PΛ , der das Universum beschleunigt auseinander treibt!
Erinnerung: Positiver Druck führt immer zur Kontraktion, denn
Druck =
ˆ Energiedichte =
ˆ Massendichte =
ˆ Kontraktion .
Expansion bedarf also immer eines negativen Drucks.
9
Massenparameter
Für weitere Umformungen wird statt der ersten Gleichung die Integrabilitätsbedingung (VIII.70)
und deren Konsequenzen (VIII.80) und (VIII.109) benutzt. Wenn mit ρm die heutige Materiedichte (Materie im Sinne endlicher Ruhemassendichte) und ρr die heutige Massendichte der
Strahlung bezeichnet wird, dann folgt
ρ(t) + ρΛ = ρm a−3 + ρr a−4 + ρΛ
Dann verbleibt
.
ȧ2
K
8π γ
= − 2 a−2 +
(ρm a−3 + ρr a−4 + ρΛ )
2
a
c
3c2
(VIII.218)
(VIII.219)
Die linke Seite wird durch den Hubble-Parameter
H(t) =
S|t (t)
ȧ
=c
S(t)
a
ausgedrückt und liefert
H 2 = −Ka−2 +
8π γ
(ρm a−3 + ρr a−4 + ρΛ ) .
3
(VIII.220)
Es ist nun vorteilhaft normierte Dichteparameter einzuführen. Zur Normierung wird die heutige (t = t2 , a(t2 ) = 1, H(t2 ) =: H0 , K = 0) kritische Dichte
ρkrit (t2 ) =
3 H02
8π γ
(VIII.221)
10 Helligkeits-Rotverschiebungs-Beziehung
225
verwendet. Dann folgt
3K
H2
=−
a−2 +
2
8π γ ρkrit
H0
(
ρm −3
ρr
ρΛ
a +
a−4 +
ρkrit
ρkrit
ρkrit
)
.
(VIII.222)
Mit den konstanten Massen-Parametern
folgt
Ωm := ρm /ρkrit
(VIII.223)
Ωr := ρr /ρkrit
(VIII.224)
ΩΛ := ρΛ /ρkrit
(VIII.225)
(
)
3K
H2
=−
a−2 + Ωm a−3 + Ωr a−4 + ΩΛ
2
8π γ ρkrit
H0
(VIII.226)
.
Diese Relation wird nochmals für den heutigen Zeitpunkt t = t2 aufgeschrieben zu
1=−
3K
3K
+ Ωm + Ωr + ΩΛ =: −
+ Ω0
8π γ ρkrit
8π γ ρkrit
(VIII.227)
.
Ω0 ist dann die Summe der heutigen Massen-Parameter; Ω0 = 1 korrespondiert zum kritischen
Massen-Parameter (entspricht K = 0). Dies liefert
H2
= Ωm a−3 + Ωr a−4 + (1 − Ω0 ) a−2 + ΩΛ
2
H0
oder
H2
= Ωm (1 + z)3 + Ωr (1 + z)4 + (1 − Ω0 ) (1 + z)2 + ΩΛ
H02
(VIII.228)
.
(VIII.229)
Mit dieser Beziehung kann H und damit ȧ in die Vergangenheit (wachsende z) zurückverfolgt
werden, wenn die heutige Materie-Zusammensetzung bekannt ist.
Insbesondere ist diese Beziehung geeignet, um das Weltalter t2 seit S(t = 0) = 0 zu berechnen.
Zunächst gilt
1 dS
S(t)
1
H=
,
=
.
(VIII.230)
S dt
S(t2 )
1+z
Dann folgt
dt =
bzw.
∫t2
∫0
dt = −
t2 =
0
10
1 + z S(t2 ) dz
dz
dS
=−
=−
2
SH
S(t2 ) H (1 + z)
(1 + z) H(z)
∞
dz
=
(1 + z) H(z)
∫∞
dz
(1 + z) H(z)
0
Helligkeits-Rotverschiebungs-Beziehung
• Betrachtung zweier Galaxien ruhend in r, ϑ, φ
(VIII.231)
.
(VIII.232)
226
VIII. Kosmologie
robs
d
(mitbewegte rad. Koord.,
kein Radius)
Fobs = 4π d2 (tobs )
r=0
• Punktquelle (Galaxie) bei r = 0 strahlt mit absoluter Helligkeit L zur Zeit tem über
Zeitspanne δtem in Wellenlängenintervall δνem isotrop
• Empfänger (wir) bei robs empfängt abgestrahlte Energie zur Zeit tobs über Zeitspanne δtobs in Wellenlängenintervall δνobs ; abgestrahlte Energie wird als Energie Lobs pro
Flächeneinheit empfangen
→
Lδtem δλem = Lobs δtobs δλobs Fobs
• Zusammenhang von d und robs :
Robertson-Walker-Metrik mit Mittelpunkt in abstrahlender Galaxie
{
}
( 2
)
dr2
2
2
2
ds2 = S 2 (t)
+
r
dϑ
+
sin
ϑdφ
− c2 dt2
1 − kr2
(VIII.233)
(VIII.234)
d ist der Euklidische Abstand zwischen den Koordinatenwerten r = 0 und robs ; Euklidisch deshalb, weil die Oberﬂäche Fobs = 4π d2 keine Notiz von einer eventuellen
Krümmung des Raumes nimmt; vergleiche dazu den Umfang eines Kreises U = 2π d für
einen Kreis in der Ebene und einen Kreis auf einer Kugel; im Kugel-Fall ist d gerade nicht
entlang eines Großkreises zu nehmen, sondern als ungekrümmter Abstand zwischen dem
Kreismittelpunkt und dem Kreisrand auf der Kugeloberﬂäche, siehe folgendes Beispiel:
• Analogon: Betrachtung eines Riemann-Raumes mit zwei räumlichen Dimensionen und
konstanter Krümmung
(
)
(a) k = +1 : ds2 = S 2 (t) dϑ2 + sin2 ϑdφ2 − dct2
Die zwei räumlichen Dimensionen sind als Oberﬂäche einer Kugel im
3-d Raum eingebettet. ϑ Poldistanz, φ Azimut
(b) k = 0 :
ds2 = dR2 + R2 dφ2 − dct2
Die zwei räumlichen Dimensionen spannen eine Ebene auf.
R und φ sind Polarkoordinaten.
Transformation R → r über
R = S(t) · r
dR = Sdr
,
0≤r≤1
(
)
ds2 = S 2 (t) dr2 + r2 dφ2 − dct2
• Veranschaulichung der analogen 2-d Räume
10 Helligkeits-Rotverschiebungs-Beziehung
(a) k = +1 :
227
ϑ − φ−Koordinatensystem wird so gelegt, das emittierende 2-d Galaxie
im Nordpol liegt. Die observierende 2-d Galaxie liegt auf einem Breitenkreis.
em
Photonentrajektorie
d
uobs
ϑ
obs
Die isotrop bei ϑ = 0 emittierten Photonen erzeugen auf dem Kreis uobs in
jedem Punkt Lobs .
uobs = 2πd
S
Aus geometrischen Verhältnissen liest
man ab
d = S sin ϑ .
(b) k = 0 : .
em
d
Der Übergang von k = 1 zu k = 0 wird
erreicht, indem die gekrümmte Polkappe in den schraﬃerten Kreis glatt
gebügelt wird. d ändert sich nicht. In
diesem Sinne ist d in beiden Fällen der
euklidische Radius.
obs
uobs
• Die beiden 2-d Fälle (a) und (b) sollen nun durch eine vereinheitlichte Formel erfasst
werden und für d soll eine Berechnungsmöglichkeit entwickelt werden, die unabhängig
von der geometrischen Vorstellung und somit auf höhere Dimensionen erweiterbar ist.
(a) k = +1 : Transformation ϑ → r:
r = sin ϑ
dr = cos ϑdϑ
dr
dϑ = √
1 − r2
(
ds2 = S 2
(b) k = 0 :
dr2
+ r2 dφ2
1 − r2
)
− dct2
(
)
ds2 = S 2 dr2 + r2 dφ2 − dct2
(a) und (b) zusammengefasst:
(
ds2 = S 2
dr2
+ r2 dφ2
1 − kr2
)
− dct2
228
VIII. Kosmologie
• d ist nun am einfachsten aus dem Fall (b), also k = 0 zu berechnen. Mit dφ = 0, dt =
0, k = 0 folgt
robs
∫obs
∫
d=
ds =
S(t)dr = S · robs .
em
0
Diese Berechnung von d ist direkt auf höhere Dimensionen verallgemeinerbar.
• Berechnung von d über RW-Metrik mit k = 0 bei dϑ = dφ = dt = 0 und der Deﬁnition
S(tobs ) =: S0 :
′ r′
obs
∫
d(tobs ) =
′ r=0′
robs
∫
ds =
S(tobs )dr = S(tobs ) robs = S0 robs
.
(VIII.235)
r=0
Damit ist
2
Fobs = 4π S02 robs
(VIII.236)
.
• Zusammenhang von robs und radialer Trajektorie der Photonen (ds = 0, dϑ = 0, dφ =
0):
dr
S(t) √
= cdt .
(VIII.237)
1 − kr2
Separieren der Gleichung ergibt
robs
∫
dr
√
=c
1 − kr2
∫tobs
dt
S(t)
.
(VIII.238)
tem
0
Das linke Integral lässt sich für die drei möglichen
deﬁnieren eine Hilfsfunktion σ(x) mit


arcsin(x) ;
σ(x) := x ;


Arsinh(x) ;
und erhalten
∫tobs
σ(robs ) = c
dt
S(t)
Werte von k analytisch lösen. Wir
k = +1
k=0
k = −1
(VIII.239)
(VIII.240)
.
tem
Umrechnung auf Rotverschiebung z:
z=
1
S(tobs )
S0
−1=
− 1 =:
−1
a
S(t)
S(t)
∫
σ(robs ) = c
dt dS
=
dS S
∫
1
S0
−dz
(1 + z)2 )
Ṡ 2
S
S
∫0
∫z
1
c
dz
c
dz =
=−
S0
H
S0
H(z)
z
0
(VIII.241)
(VIII.242)
10 Helligkeits-Rotverschiebungs-Beziehung
229
Um diese Gleichung nach robs aufzulösen invertieren wir σ(robs ) für k = ±1 mittels einer
weiteren Hilfsfunktion Σ(x) mit


k = +1
sin(x) ;
(VIII.243)
Σ(x) := x ;
k=0


sinh(x) ;
k = −1

und erhalten
robs = Σ 
c
S0
∫z

dz 
H(z)
(VIII.244)
.
0
• Für Λ = 0 kann das Integral sogar analytisch ausgewertet werden. Es ergibt sich die
Mattig-Relation (Mattig, 1958 ). Natürlich soll hier aber Λ ̸= 0 betrachtet werden, da ja
gerade Λ bestimmt werden soll. In diesem Fall ist das Integral numerisch auszuwerten.
• Diese Helligkeits-Rotverschiebungs-Beziehung wird nun wie folgt benutzt: Bekannt sind
L
Lobs
z
( H0
bei Beobachtung von Standard-Kerzen (Supernovae vom Typ Ia)
Beobachtungsgröße
Beobachtungsgröße
Beobachtungsgröße )
Gesucht sind
ΩΛ , Ωm , Ωr , k, S0 , t2 , (H0 )
• Helligkeits-Rotverschiebungs-Beziehung
Lobs = L
Lobs
δtem δλem 1
δtobs δλobs Fobs
(VIII.245)
 
2
∫z

1
c
1
1
dz 

=L
Σ
1 + z 1 + z 4πS02 
S0
H(z) 
(VIII.246)
0
mit
H(z) = H0
√
ΩΛ + (1 − Ω0 )(1 + z)2 + Ωm (1 + z 3 ) + Ωr (1 + z)4
(VIII.247)
• Deﬁnition der Leuchtkraftentfernung dL über
Lobs =
L
4π d2L
(VIII.248)

→

dz 
H(z)
0


∫z
dz 
c
dL = (1 + z) S0 Σ 
S0
H(z)
d2L = (1 + z)2 S02 Σ2 
c
S0
∫z
0
(VIII.249)
230
VIII. Kosmologie
mit
c
S0 =
H0
√
k
Ω0 − 1
(VIII.250)
• Bemerkung: bei k = 0 hebt sich S0 heraus, da Σ(x) = x.
• Bei Beobachtung vieler Standard-Kerzen mit unterschiedlichen Rotverschiebungen z ergibt die Helligkeits-Rotverschiebungs-Beziehung entsprechend viele Gleichungen aus denen die gesuchten Größen durch Ausgleichsrechnung ermittelt werden. Es ergibt sich12
Ω0 = 1.02 ± 0.02 (K ≈ 0)
Ωr ≈ 0
ΩΛ ≈ 0.73
Ωm = 0.27 ± 0.04
km/s
H0 = (71 ± 4)
Mpc
t2 = (13.7 ± 0.2) Gyr
• S0 ist nicht bestimmbar wegen K ≈ 0. Bei k = 0 kürzt sich S0 innerhalb der HelligkeitsRotverschiebungs-Beziehung weg.
• Das dem nichtverschwindenden Wert ΩΛ zugeschriebene Fluid nennt man Dunkle Energie.
• Der Wert Ωm ≈ 0.27 kann nicht alleine durch die sichtbare baryonische Materie (Ωb )
und durch Schwarze Löcher erklärt werden. Der fehlende, heute noch nicht erklärbare
Anteil, wird Dunkle Materie genannt (Ωd ). Dann ergibt sich
Ωm = Ω b + Ω d
mit
Ωb ≈ 0.044 ± 0.004
Ωd ≈ 0.23
• Kandidaten sind für
(a) Dunkle Energie die Vakuum-Fluktuationen
(b) Dunkle Materie die WIMPs (Weakly Interacting Massive Particles) als aus der
Supersymmetrie vorhergesagte aber noch nicht nachgewiesene Teilchen.
1
Je nach Methode (Helligkeits-Rotverschiebungs-Beziehung oder Analyse der kosmischen Hintergrundstrahlung) unterscheiden sich die Werte und die dazugehörigen Fehlerbalken leicht; der interessierte Leser sei daher
für den aktuellen Forschungsstand an die Fachliteratur verwiesen.
2
t2 kann durch Gleichung (VIII.232) bei Kenntnis der anderen Parameter direkt bestimmt werden.
11 Flachheitsproblem
11
231
Flachheitsproblem
Die heute bestehende weitgehende Flachheit (K ≈ 0) des Universums bedeutet, dass die
Gesamtmassendichte ρ(t2 ) recht genau der heutigen kritischen Massendichte ρkrit entspricht.
Dieses Zusammenfallen der beiden Werte birgt allerdings ein Problem in sich. Um dieses herauszuarbeiten werden die Gleichungen des Abschnitts ’Massenparameter’ umgeschrieben.
Gleichung (VIII.221) stellt die heutige kritische Massendichte dar. Gleichung (VIII.220) macht
deutlich, dass zu früheren Zeiten die kritische Massendichte, die jetzt zur Vermeidung von
Verwechselungen mit ρcrit (t) bezeichnet werden soll, bestimmt wird vermöge K = 0 zu
H2 =
8πγ
ρcrit
3
bzw.
ρcrit =
3H 2
8πγ
(VIII.251)
.
Gleichung (VIII.220) wird jetzt für allgemeine Massendichten ρ(t) umgeschrieben in
H 2 = −Ka−2 +
8πγ
ρ(t) .
3
(VIII.252)
Diese Beziehung wird nun mit der zur jeweiligen Zeit t geltenden kritischen Massendichte
ρcrit (t) normiert und es folgt
Ka−2
ρ(t)
1=−
.
(VIII.253)
+
H2
ρcrit (t)
Es wird der Massenparameter
Ω(t) :=
ρ(t)
ρcrit (t)
(VIII.254)
eingeführt und H 2 aus (VIII.228) eingesetzt. Es ergibt sich
Ω−1=
K a−2
H02 (ΩΛ + (1 − Ω0 )a−2 + Ωm a−3 + Ωr a−4 )
(VIII.255)
.
Wegen (VIII.227) gilt
Ω0 − 1 =
woraus folgt
Ω−1=
bzw.
Ω−1=
ΩΛ (1 +
z)−2
ΩΛ
a2
K
H02
,
(VIII.256)
Ω0 − 1
+ 1 − Ω0 + Ωm a−1 + Ωr a−2
(VIII.257)
Ω0 − 1
+ 1 − Ω0 + Ωm (1 + z) + Ωr (1 + z)2
.
(VIII.258)
Wir erinnern: Ω0 = 1 korrespondiert zur heutigen Flachheit; Ω = 1 korrespondiert zur Flachheit zu beliebigen Rotverschiebungen bzw. beliebigen Zeiten.
Die heutige geringe Abweichung von der Flachheit sei ϵ0 = Ω0 − 1; die Abweichung von der
Flachheit zu früheren Zeiten sei ϵ = Ω − 1. Somit ist die Flachheit zu früheren Zeiten
ϵ=
ΩΛ
a2
ϵ0
+ ϵ0 + Ωm a−1 + Ωr a−2
.
(VIII.259)
232
VIII. Kosmologie
Für die Flachheit nahe dem Urknall (a → 0, Ωr → 1) ergibt sich
ϵ≈
ϵ0
ϵ0 2
a ≪ ϵ0
=
−2
Ωr a
Ωr
(VIII.260)
.
Die Krümmung des Universums müsste demnach früher noch sehr viel kleiner gewesen sein
als heute; sie wird immer winziger je jünger das Universum ist.
Abschätzungen:
(a)
(b)
(c)
t = t2 (heute)
t ∼ 1 s (Nukleosynthese, z ∼ 108 )
t ∼ 10−43 s (Planck-Zeit, z ∼ 1032 )
ϵ0 ∼ 10−2
ϵ ∼ 10−18
ϵ ∼ 10−66
Das Kosmologische Standardmodell liefert keine Erklärung für diese extrem genaue Justierung der Massendichte auf den kritischen Wert. Erklärt wird dieses ’Flachheitsproblem’ im
Inﬂationsmodell, das hier im Rahmen der ART-Vorlesung jedoch nicht behandelt wird.
11 Flachheitsproblem
233
Zusammenfassung
Kosmologie
Anwendung der ART auf Kosmos als Ganzes
Kosmologisches Prinzip: Im Kosmos sind alle Positionen und Richtungen gleichwertig!
→ Raum konstanter Krümmung
→ Robertson - Walker - Metrik
2
ds
{
2
= S (t)
}
dr2
2
2
2
2
+ r (dϑ + sin ϑdφ ) − dct2
1 − kr2
k = 1, 0, −1
Energie - Impuls - Tensor
{
}
P (t)
n
ρ(t) + 2
um un + P (t)δm
c
(un ) = (0, 0, 0, c) (Ruhesystem)
Tmn =
Feldgleichungen
2
S̈ Ṡ 2 + k
+
S
S2
2
Ṡ + k
3
S2
= −κP
= κc2 ρ
bzw.
ρ̇
ρ + cP2
= −3
Ṡ
S
(Integrabilität)
Strahlungskosmos
P
→
c2 ρS 4
S2
Friedman Kosmos
c2
ρ (Zustandsgleichung inkohär. elm. Str. )
3
= A = const
√
κA
2
2
= −kc (t − t0 ) + 2c
(t − t0 )
3
=
234
VIII. Kosmologie
→
P = 0 (Zustandsgl. inkohärenter Materie)
4π 3
ρS = M = const
3
k=0: S=
γM 2
T ;
2c2
c(t − t0 ) = ± γM
T3
6c2
k=1: S=
γM
(1
c2
c(t − t0 ) = ± γM
(T − sin T )
c2
k = −1 : S =
− cos T );
γM
(cosh T
c2
− 1); c(t − t0 ) = ± γM
(sinh T − T )
c2
Kosmologische Rotverschiebung
z =
S(tEmpfang )
−1
S(tQuell )
z > 0 für expandierenden Kosmos
z =
HD H 2 D2 1 + q
+
c
c2
2
( Rotverschiebungs - Abstands - Relation )
11 Flachheitsproblem
235
mit
H = c
Ṡ
S
q = −
S̈S
Ṡ 2
( Hubble - Konstante zu tEmpfang )
(Verzögerungsparameter zu tEmpfang )
Beobachtungswerte
km/s
Mpc
0 ≤ q ≤ 1
H ≈ 70
kritische Massendichte
(2q − 1)H 2 =
q =

q > 12 =
ˆ k = +1 (geschl.)





1 k
q = 12 =
ˆ k=0
(oﬀen)
→

c2 S 2




q < 12 =
ˆ k = −1 (oﬀen)
1
: ρkrit ≈ 6 · 10−30 g cm−3
2
Beobachtung:
ρ ≈ 3 · 10−31 g cm−3 ( Faktor 10 unsicher)

Skript zur Vorlesung - Technische Universität Braunschweig

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