Übungen zur Vorlesung Analysis 1 – 12. Serie

Wintersemester 2015/16
A. Hinrichs, E. Lindner, F. Puchhammer, A. Thalhammer, M. Ullrich
Übungen zur Vorlesung Analysis 1
–
12. Serie
Ankreuzen vor der Übung am 13.01.2016
Aufgabe 89 Formeln für den doppelten Winkel
Zeigen Sie mit Hilfe der Additionstheoreme die Identitäten
sin 2x = 2 sin x cos x
und
cos 2x = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x.
Aufgabe 90 Substitution u = tan 2x
Es sei x ∈ R, x , (2k + 1)π für alle k ∈ Z. Man zeige: Ist u = tan 2x , so gilt
sin x =
2u
1 + u2
und
cos x =
1 − u2
.
1 + u2
Aufgabe 91 Hyperbelfunktionen
Zeigen Sie die folgenden Identitäten für die Hyperbelfunktionen.
(a) sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y
(b) cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y
(c) cosh2 x − sinh2 x = 1
Aufgabe 92 Areafunktionen
Zeigen Sie die folgenden Identitäten für die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen.
√
(a) arsinh x = ln x + x2 + 1
√
(b) arcosh x = ln x + x2 − 1
Aufgabe 93 Differenzierbarkeit
Sei x0 ∈ R beliebig fixiert. Geben Sie in Abhängigkeit von x0 reelle Zahlen a und b an, so daß die
Funktion
(
)
x2
, x ≤ x0
f (x) =
überall differenzierbar wird.
ax + b , x > x0
Aufgabe 94 Ableitungen I
Geben Sie für die folgenden Funktionen die natürlichen Definitionsgebiete an, untersuchen Sie die
Funktionen auf Differenzierbarkeit in den Punkten des Definitionsbereichs, und berechnen Sie gegebenenfalls die Ableitung.
2
3
x
1−x
(a) ex cos x
(b) sin
(c) π2 − x2 sin2 x
(d) cos2 1+x
sin x2
Aufgabe 95 Ableitungen II
Geben Sie für die folgenden Funktionen die natürlichen Definitionsgebiete an, untersuchen Sie die
Funktionen auf Differenzierbarkeit in den Punkten des Definitionsbereichs, und berechnen Sie gegebenenfalls die Ableitung.
(a) x2x
(b) | cos x|
1
(c) 2sin x
Aufgabe 96 Ableitung von Umkehrfunktionen
0
0
Bestimmen Sie die Ableitungen f −1 (y) und g−1 (y) für die Funktionen
√
x
−x
,
(b) g(x) = sinh x = e −e
(a) f (x) = ln 1 + x4 , x ∈ (0, ∞)
2
x∈R