Übungsaufgaben zur Vorlesung Algebra Sommersemester 2015

Fachbereich Mathematik
Algebra und Zahlentheorie
Prof. Dr. Ulf Kühn
FB Math.,Prof. Dr. U. Kühn,Bundesstr.55, 20146 HH
Übungsaufgaben zur Vorlesung Algebra Sommersemester 2015
Serie 1. Präsenzaufgaben: 14/15.4.15
Aufgabe 1:
(a) Seien a, b Elemente einer Gruppe G. Man zeige, dass die Gleichung ax = b in G
eine eindeutige Lösung hat.
(b) Seien w, x, y z Elemente einer Gruppe G mit neutralen Element e. Man löse w−1 xyz −1 w =
e nach y auf.
(c) Angenommen in einer Gruppe G gilt xyz = e, folgen dann auch die Gleichungen
yzx = e, zxy = e, xzy = e, yxz = e und zyx = e ?
Aufgabe 2:
(a) Man gebe jeweils eine Gruppentafel für eine Gruppe mit 2, 3 bzw. 5 Elementen an.
(b) Man gebe mindestens zwei verschiedene Gruppentafeln für eine Gruppe mit 4 bzw.
6 Elementen an.
(c∗ ) Bestimme die Anzahl der Gruppen mit 1, 2, ..., 6 Elementen bis auf Isomorphie.
Aufgabe 3:
(a) Seien m, n ∈ N \ {0}. Man zeige, dass die Gruppen Z/mnZ und Z/mZ × Z/nZ
genau dann isomorph sind, wenn n und m teilerfremd sind.
(b) Man zeige, dass das direkte Produkt zweier zyklischen Gruppen mit teilerfremden
Ordnungen wieder zyklisch ist.
Aufgabe 4:
(a) Sei k ein Körper. Man zeige, dass die Menge Gln (k) der invertierbaren n×n Matrizen
mit Einträgen in k versehen mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet.
(a) Bestimme die Ordnung der Gruppe Gln (Z/pZ) für Primzahlen p.
Aufgabe 5:
(a) Bestimme das Zentrum der Gruppe Gln (R).
(b) Bestimme das Zentrum von S4 .
(c) Bestimme den Zentralisator des Zykels σ = (234) in S5 .
Universität Hamburg · Tor zur Welt der Wissenschaft
Prof. Dr. U. Kühn · Geom. 331 ·Tel. (040) 42838-5185 · [email protected] · www.math.uni-hamburg.de/home/kuehn
Serie 2. Abgabetermin: 21.4.15
Aufgabe 6 (2 Punkte):
Es seien N, H Gruppen, ρ : H → Aut(N ) ein Homomorphismus, G = N × H das
mengentheoretische Produkt von N und H. Zeige, dass die Verknüpfung (n1 , h1 )(n2 , h2 ) =
(n1 ρ(h1 )(n2 ), h1 h2 ) eine Gruppenoperation auf G definiert. Man nennt die so erhaltene
Gruppe G das semi-direkte Produkt N o H von N und H bezüglich ρ.
Aufgabe 7 (4 Punkte):
Man zeige, dass folgende Beschreibungen der Diedergruppe Dm äquivalent sind:
(a) Dm ist die Symmetriegruppe eines regelmässigen m-Eckes.
(b) Dm ist eine endliche Gruppe der Ordnung 2m, die von zwei Elementen der Ordnung
2 erzeugt wird.
(c) Dm ist semi-direktes Produkt einer zyklischen Gruppe Cm der Ordnung m mit einer
Gruppe C2 = hsi der Ordnung 2, wobei ρ : C2 → Aut(Cm ) gegeben ist durch
ρ(s) = {g 7→ g −1 }.
Aufgabe 8 (4 Punkte): Für k ∈ N sei Gk die Untergruppe von SL2 (C) erzeugt von den
Matrizen
!
!
cos(2π/k) − sin(2π/k)
1 0
r=
und s =
.
sin(2π/k) cos(2π/k)
0 −1
Man zeige:
a) Es gibt einen Isomorphismus D2k ∼
= Gk .
b) Die Erzeugendenfunktion der Dimensionen der Vektorräume von Gk -invarianten Polynome in C[x, y] von gegebenen Grad ist bestimmt durch die Identität
H(C[x, y]Gk , t) =
1
(1 −
tk )(1
− t2 )
.
Aufgabe 9 (4 Punkte):
(a) Beschreibe die Zerlegung in Bahnen von X = R2 bezüglich der Aktion der orthogonalen Gruppe O(2). Bestimme die zugehörigen Stabilisatoren.
(b) Beschreibe die Zerlegung in Bahnen von X = R2 bezüglich der Aktion der multiplikativen Gruppe (R× , ·) gegeben durch (t, (x, y)) 7→ (tx, y/t). Bestimme die zugehörigen Stabilisatoren.
Aufgabe 10 (2 Punkte):
Sei G eine Gruppe, H ein Normalteiler in G und K ein Normalteiler in H. Ist dann auch
K ein Normalteiler in G?
Serie 3. Abgabetermin: 28.04.15
Aufgabe 11 (4 Punkte): Man zeige: Jede Gruppe der Ordnung 15 ist zyklisch. Tip:
Verwende den Satz von Sylow und bestimme alle Normalteiler.
Aufgabe 12 (2 Punkte+ 4∗ Bonuspunkte):
(a) Man zeige: Sind A, B und C endliche Gruppen und gilt A × B ∼
= A × C, so folgt
∼
B = C.
(b*) Gegeben seien Gruppen A, A0 , B, C mit A × B ∼
= A0 × C und A ∼
= A0 .
(i) Man zeige: Ist |A| < ∞, so gibt es einen Isomorphismus B ∼
= C.
(ii) Gebe ein Beispiel mit B ∼
6= C an.
Aufgabe 13 (6 Punkte): Seien U und V Untergruppen einer endlichen Gruppe G und
U V := {uv | u ∈ U, v ∈ V }. Man zeige
(a) |U V | =
|U |·|V |
.
|U ∩V |
(b) Ist V ein Normalteiler von G, so ist U V eine Untergruppe von G und [U V : V ] ist
ein Teiler von |U | und [G : V ]. Sind |U | und [G : V ] teilerfremd, so gilt U ⊂ V .
(c) Ist V ein Normalteiler von G und sind |V | und [G : V ] teilerfremd, so gilt: Ist G
Normalteiler in einer Gruppe H, dann ist auch V ein Normalteiler in H.
Aufgabe 14 (4 Punkte): Sei G eine Gruppe. Für a, b ∈ G heisst [a, b] = aba−1 b−1 der
Kommutator von a, b. Die von allen Kommutatoren [a, b] mit a, b ∈ G erzeugte Untergruppe wird mit [G, G] bezeichnet und heisst die Kommutatorgruppe von G.
(a) Man zeige: [G, G] ist ein Normalteiler und G/[G, G] ist eine abelsche Gruppe.
(b) Sei π : G → G/[G, G] der kanonische Epimorphismus. Ist ϕ : G → H ein Homomorphismus in eine abelsche Gruppe H, so existiert genau ein Gruppenhomomorphismus
h : G/[G, G] → H mit ϕ = h ◦ π.
Aufgabe 15 (4∗ Bonuspunkte):
Zeige: Ist k ein Körper mit mindestens vier Elementen, so ist die projektive spezielle
lineare Gruppe PSL2 (k) eine einfache Gruppe.
Ist PSL2 (Z/pZ) für p = 2, 3 eine einfache Gruppe?
Serie 4. Abgabetermin: 5.5.15
Aufgabe 16 (4 Punkte):
(a) Man zeige, dass abelsche Gruppen auflösbar sind.
(b) Man zeige, dass Untergruppen auflösbarer Gruppen auflösbar sind.
Aufgabe 17 (4 Punkte):
Seien p 6= q zwei Primzahlen. Zeige, jede Gruppe der Ordnung p2 q besitzt eine Sylowuntergruppe, die Normalteiler von G ist.
Aufgabe 18 (4 Punkte):
Zeige, dass in einer exakten Sequenz
1 → G0 → G → G00 → 1
die Gruppe G genau dann auflösbar ist, wenn sowohl G0 als auch G00 auflösbar sind.
Aufgabe 19 (4 Punkte):
Man bestimme in der Diedergruppe D12 eine Kompositionsreihe.
Aufgabe 20 (4∗ Punkte):
(a) Zeige, dass alle endlichen p-Gruppen ein nicht-triviales Zentrum besitzen.
(b) Man zeige, dass alle endlichen p-Gruppen auflösbar sind.
Serie 5. Abgabetermin: 12.5.15
Aufgabe 21 (1 Punkt): Es sei ϕ : R → R0 ein Homomorphismus von Ringen.
(a) Man zeige, dass sein Bild im(ϕ) = ϕ(R) ein Unterring von R0 ist.
(b) Man zeige, dass sein Kern ker(ϕ) = ϕ−1 (0) ein Ideal in R ist.
Aufgabe 22 (4 Punkte):
(a) Man zeige, dass Z/nZ genau dann ein Körper ist, wenn n eine Primzahl ist.
(b) Man zeige, dass das Ideal (x2 + x + 1) ⊂ Z[x] ein Primideal ist.
(c) Man zeige, dass für alle Primzahlen p das Ideal (p) ⊂ Z[x] ein Primideal ist.
(d) Man zeige, dass das Ideal (5, x2 + x + 1) ⊂ Z[x] ein maximales Ideal ist.
Aufgabe 23 (3 Punkte):
(a) Finde die kleinste Zahl x ∈ N mit x ≡ 3 mod 4, x ≡ 1 mod 9 und x ≡ 4 mod 5.
(b) Man berechne den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von 17201 und 13861.
(c) Man berechne mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen
Teiler der folgenden Polynome aus Q[x]:
f = x3 + x2 + x − 3,
g = x6 − x5 + 6x2 − 13x + 7.
Aufgabe 24 (4 Punkte):
(a) Man zeige, dass Z[i] = {x + iy ∈ C | x, y ∈ Z} ⊂ C versehen mit der Normabbildung
δ : Z[i] → N gegeben durch δ(x + iy) = x2 + y 2 ein euklidischer Ring ist.
(b) Man berechne den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von 1 + 7i und 6 + 17i.
√
Aufgabe 25 (4 Punkte): Gegeben sei der Unterring R = Z + −5Z ⊂ C.
√
(a) Man zeige, das Ideal (2, 1+ −5) ⊂ R ist ein Primideal das nicht von einem Element
erzeugt werden kann.
(b) Man beweise, dass
√ R ist nicht
√ faktoriell ist. Tip: Betrachte die Faktorisierungen
√
6 =√
2 · 3 = (1 + −5) · (1 − −5) und zeige, dass die Elemente 2, 3, 1 + −5 und
1 − −5 jeweils irreduzibel und paarweise nicht assoziert sind.
Aufgabe 26 (2∗ Punkte): Es sei R die Menge der stetigen Funktionen f : [0, 1] → R.
Man zeige, dass die punktweise Addition und Multiplikation R zu einem Ring (mit Eins)
macht. Ist R kommutativ? Hat R Nullteiler? Beschreibe die maximalen Ideale.
Serie 6. Abgabetermin: 19.5.15
Aufgabe 27 (4∗ Bonuspunkte): Sei R ein kommutativer Ring mit Eins. Ein Element
x ∈ R heißt nilpotent falls xn = 0 für ein n ≥ 1. Zeige, dass die Menge N der nilpotenten
Elemente von R ein Ideal bilden und dass der Faktorring R/N außer 0 keine nilpotenten
Elemente hat. Überprüfe, dass N im Durchschnitt aller Primideale von R enthalten ist.
Aufgabe 28 (4 Punkte): Sei R ein Unterring eines Ringes R0 . Für α ∈ R0 betrachte
man den Einsetzungshomomorphismus ϕα : R[x] → R0 gegeben durch ϕα (f (x)) = f (α).
Man beschreibe den Kern und das Bild von ϕα . Wann ist ker(ϕα ) ein Primideal bzw. ein
maximales Ideal in R[x]?
Aufgabe 29 (3 Punkte): Man zeige: Ein Integritätsbereich R ist faktoriell genau dann
wenn jedes x ∈ R \ (R× ∪ {0}) eine endliche Zerlegung in irreduzible Elemente von R besitzt und zu je zwei x, y ∈ R\(R× ∪{0}) ein größter gemeinsamer Teiler ggT(x, y) existiert.
Aufgabe 30 (2+1 Punkte):
(a) Sei R ein Integritätsbereich und a ⊂ R ein Ideal. Man zeige: a ist ein freier R-Modul
genau dann wenn a = (a) für ein a ∈ R.
(b) Finde einen Unterring R ⊂ C und a ⊂ R, sodass a kein freier R-Modul ist.
Aufgabe 31 (4 Punkte): Zeige, dass die abelsche Gruppe V := (F5 × F5 , +) als F5 Vektorraum Basen, als Z-Modul jedoch nur unabhängige Erzeugendensysteme besitzt.
Aufgabe 32 (2 Punkte): Bestimme die Elementarteiler folgender ganzzahliger Matrizen:


2 6 8


3 1 2 ,
9 5 4


8 1 6


3 5 7 .
4 9 2
Serie 7. Abgabetermin: 1.6.15 oder 2.6.15 in den Mitarbeiterzimmern Geom
332 bzw. 335 oder im Sekretariat AZ bei Frau Dörhöfer Geom 311
Aufgabe 32 (4 Punkte): Ein R-Modul heißt einfach, wenn er nicht der Nullmodul ist
und außer dem Nullmodul keine echten Untermoduln enthält.
(a) Man beweise, dass ein einfacher Modul zu R/m isomorph ist, wobei m ein maximales
Ideal ist.
(b) Man beweise das Schursche Lemma: Sei ϕ : M → N ein Homomorphismus von
einfachen Moduln: Dann ist entweder ϕ gleich Null oder ϕ ist ein Isomorphismus.
Aufgabe 33 (6 Punkte): Im Z-Modul Z[i] = {a + bi ∈ C | a, b ∈ Z} ⊂ (C, +) der ganzen
Gaußschen Zahlen betrachten wir die Untermoduln N := Z(2 + 3i) und N 0 := Z(6 − 4i).
(a) Zeige, dass der Z-Modul Z[i]/N frei ist, der Z-Modul Z[i]/N 0 jedoch nicht.
(b) Finde einen zu N komplementären Z-Untermodul von Z[i], d.h. einen Z-Untermodul
P , sodass Z[i] = N ⊕ P gilt. Zeige, dass es einen solchen komplementären Z-Modul
zu N 0 nicht gibt.
(c) Zeige, dass ein Z-Untermodul N := Z(a+bi) von Z[i] genau dann einen komplementären Untermodul besitzt, wenn a und b teilerfremde ganze Zahlen sind und dass
dies genau der Fall ist, wenn der Z-Modul Z[i]/N frei ist.
Aufgabe 34 (6 Punkte): Zeige unter Verwendung der nachfolgenden Teilaufgaben, dass
das Ideal I = (x, y) als K[x, y]-Modul keine Basis besitzt.
(a) Zeige, dass I 6= K[x, y] gilt und dass x und y Primelemente in K[x, y] sind.
(b) Angenommen es gibt eine Basis B von I als K[x, y]-Modul, dann existieren DarstelP
P
lungen x = b∈B pb b und y = b∈B qb b mit pb , qb ∈ K[x, y] und pb , qb = 0 für fast
alle b ∈ B. Zeige, dass nun auch ypb − xqb = 0 für alle b ∈ B gilt.
(c) Benutze (a), um aus (b) die Existenz von p0b , qb0 ∈ K[x, y] mit pb = xp0b und qb = yqb0
P
zu folgern, und schliesse dann, dass 1 = b∈B p0b b ∈ I und somit im Widersruch zu
(a) die Gleichheit I = K[x, y] gilt.
Serie 8. Abgabetermin: 16.6.15
Aufgabe 35 (4 Punkte):
(a) Bestimme die abelschen Gruppen die durch folgende Matrizen präsentiert werden:
!
2
,
1
2 1 ,
!
1 0
,
1 2
!
2 3 4
1 2 5
X −1
−1
0
−1
 0
X −2
0
0 


 mit
(b) Berechnen Sie die Elementarteiler der Matrix 
 1
−1
X −2
−1 
1
−1
0
X −3
Einträgen in Q[X].


Aufgabe 36 (4 Punkte):
Sei R ein faktorieller Ring, und es gebe ein Primelement q von R, sodaß keine Einheit
e 6= 1 von R die Kongruenz e ≡ 1 (mod q) erfüllt. Man zeige, daß dann R unendlich viele
prime Hauptideale (p) besitzt. Insbesondere gilt dies für R = Z oder R = K[X] mit einem
Körper K. (Hinweis: Erinnern Sie sich an Euklids Beweis für die Existenz von unendlich
vielen Primzahlen.)
Aufgabe 37 (4 Punkte):
Zeigen Sie:
(a) In F2 [X] ist X 2 + X + 1 das einzige Primpolynom vom Grade 2.
(b) Das Polynom f (X) = X 4 + 3X 3 + X 2 − 2X + 1 ist irreduzibel in Z[X], also auch in
Q[X].
(c) X m + 1 ∈ Q[X] ist für für jedes m = 2n irreduzibel.
Aufgabe 38 (4 Punkte): Zeigen Sie:
(a) Sind S|R und T |S ganze Ringerweiterungen, dann ist auch T |R eine ganze Ringerweiterung.
(b) Sei S eine Ringerweiterung von R. Die Menge aller über R ganzen Elemente von S
ist ein Unterring von S.
Serie 9. Abgabetermin: 23.6.15
Aufgabe 39 (4 Punkte):
a) Sei α algebraisch über K so ist L = K[α] ein Körper. Bestimme für ein beliebige β ∈ L
das Inverse β −1 .
b) Zeigen Sie: In einem algebraisch abgeschlossenen Körper zerfällt jedes Polynom in
Linearfaktoren.
c) Zeigen Sie: Die multiplikative Gruppe eines endlichen Körpers ist zyklisch.
√
d) Beweisen Sie, dass Q(i) und Q( 2) als Q-Vektorräume, aber nicht als Körper isomorph
sind.
Aufgabe 40 (1+1+2 Punkte):
√ √
a) Welchen Grad besitzt Q( 2, −23) über Q?
√
√
b) Bestimme das Minimalpolynom von 2 + −23.
c) Welche der folgenden algebraischen Zahlen ist ganz über Z.
√
q
√
1
23 − 5 11
5
2/9
√ , cos( π) ?
3− 5+3 , √ ,
7
23
9+4 5
Aufgabe 41 (1+1+2 Punkte):
√ √
a) Bestimme ein primitives Element α für den Körper Q( 3 2, 2).
√
√
b) Gebe eine Darstellung von 3 2 und eine von 2 als Element von Q(α) an.
c) Bestimme den Zerfällungskörper des Polynoms X 4 − 2 über Q, F3 und über F5 .
Aufgabe 42 (4 Punkte):
a) Sei R ein Integritätsring und f (X) = nk=0 ak X k ein irreduzibles Polynom sodass
a0 eine Einheit in R ist. Man zeige: In der Ringerweiterung S = R[X]/(f (X)) ist die
Restklasse x von X eine Einheit.
P
b) Zeige: Sind a1 , . . . , an paarweise verschiedene ganze Zahlen, so ist das Polynom f (X) =
(X − a1 )2 (X − a2 )2 . . . (X − an )2 + 1 irreduzibel in Q[X]. (Hinweis: Erinnern Sie sich an
die Lagrangeinterpolation.)
Serie 10. Abgabetermin: 30.6.15
Aufgabe 43 (2 Punkte):
Sei K der Körper F3 (t). Man zeige, dass das Polynom f (X) = X 3 − t ∈ K[X] irreduzibel
ist und bestimme die Nullstellen von f (X). Ist K[X]/(f ) eine separable Körpererweiterung?
Aufgabe 44 (2∗ +2∗ +2+2 Punkte):
a∗ ) Man zeige: Das Polynom f (x) = x3 − 3x + 1 ist irreduzibel und hat die Nullstellen
2πi
2πi
α1 = e 9 + e− 9 = 2 cos (2π/9)
α2 = − cos (2π/9) + cos (8π/9) − cos (4π/9)
α3 = − cos (2π/9) − cos (8π/9) + cos (4π/9)
b∗ ) Man beweise:
α2 = −α12 − α1 + 2 und α22 = α1 + 2,
α3 = α12 − 2 und α32 = −α12 + α1 + 4.
c) Man folgere aus b), dass K = Q[x]/(f (x)) galoissch über Q ist.
d) Man bestimme eine Darstellung von G(K|Q) bezüglich der Basis 1, α1 , α12 und zeige,
dass die Galoisgruppe G(K|Q) isomorph zur Gruppe Z/3Z ist.
Aufgabe 45 (4 Punkte):
a) Man zeige, dass das Polynom f (X) = X 3 + 2X + 2 ∈ Q[X] irreduzibel ist und nur eine
reelle Nullstelle besitzt. Welche Galoisgruppe besitzt der Zerfällungskörper von f ?
√
b) Man zeige der Körper K = Q(i + 2) ist galoisch über Q und bestimme die Galoisgruppe G(K|Q).
Aufgabe 46 (2 Punkte):
Man zeige: Ist L|K normal und Z ein Zwischenkörper von L|K, so ist auch L|Z normal.
Aufgabe 47 (4 Punkte):
Bestimmen Sie die Galoisgruppen des durch das Polynome X 4 − 4, bzw. X 4 − 6X 2 + 5,
aus Q[X] bestimmten Zerfällungskörper und bestimme damit dessen Unterkörper.
Serie 11. Abgabetermin: 7.7.15
Aufgabe 48 (4 Punkte):
a) Sei L|K eine Körpererweiterung. Man zeige: Zwei Elemente α, β ∈ L sind genau dann
algebraisch über K, wenn α + β und α · β algebraisch über K sind.
b) Man beweise, dass jeder algebraisch abgeschlossene Körper unendlich viele Elemente
besitzt.
Aufgabe 49 (4 Punkte):
Man beweise: Für jede Primzahl p und jede ganze Zahl n ≥ 1 gibt es einen Körper Fq mit
q = pn Elementen. Er ist gegeben durch den Zerfällungskörper des separablen Polynoms
X q − X ∈ Fp [X]. Jeder endliche Körper ist isomorph zu einem dieser Körper Fq .
Aufgabe 50 (4 Punkte):
a) Es sei L der Zerfällungskörper von X 6 + 1 über Q. Bestimmen Sie G(L|K).
b) Wieviele Zwischenkörper besitzt Q(ζ13 )|Q, wobei ζ13 eine primitive 13-te Einheitswurzel
ist.
Aufgabe 51 (6+2∗ Punkte): Sei K ein Körper und f (X) = X n + an−1 X n−1 + . . . + a0 ∈
K[X] ein normiertes Polynom mit Wurzeln x1 , . . . , xn ∈ K. Dann nennt man ∆(f ) :=
Q
2
i<j (xi − xj ) die Diskriminante von f .
a) Was entscheidet die Diskriminante?
b∗ ) Man zeige, dass ∆(f ) sich als Polynom in den Koeffizienten a0 , . . . , an−1 schreiben
läßt, insbesondere also auch ∆(f ) ∈ K gilt.
c) Man bestimme ∆(f ) als Polynom in den Koeffizienten in den Fällen deg(f ) = 2 und
deg(f ) = 3.
d) Sei L der Zerfällungskörper von f über K. Dann ist
ein Zwischenkörper von L|K mit [Z : K] ≤ 2.
q
q
∆(f ) ∈ L und Z = K[ ∆(f )]
Aufgabe 52 (2 Punkte):
Beweisen Sie: Ist U eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe K ∗ eines Körpers K, dann ist U eine zyklische Gruppe.
Literatur zur Vorlesung:
Vieweg Mathematik Lexikon, Vieweg Verlag;
M. Artin: Algebra, Birkhäuser Verlag;
S. Bosch: Algebra, Springer Verlag;
E. Kunz: Algebra, Vieweg Verlag;
S. Lang: Algebra, Springer Verlag;
G. Wüstholz: Algebra, Vieweg Verlag.