Inhaltsverzeichnis - Logos Verlag Berlin

INHALTSVERZEICHNIS
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Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
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2 Stochastik
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2.1 Elementare Statistik und ebenso elementare Komplexitätstheorie . . . . . . 9
2.2 Der lokale Grenzwertsatz von Moivre-Laplace . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Elementare Wählerstromanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Analysis
3.1 Implizites Differenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Lagrange-Multiplikatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Extrema von Funktionen in zwei Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Extrema I: Winkel Ebene/Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Extrema II: Winkel Ebene/Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Extrema III: Treffnormalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Ein geometrischer Zugang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Ein analytischer Weg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Extrema IV: Isoperimetrische Vierecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Extrema V: Anwendungen der Lagrange-Multiplikatoren . . . . . . . .
3.8.1 Günstigste Stromleitung zum abseits gelegenen Haus . . . . . . .
3.8.2 Volumsgrößter Drehzylinder in einer Kugel . . . . . . . . . . . . .
3.8.3 Volumskleinster Drehkegel um einen koaxialen Drehzylinder . . .
3.8.4 Volumsgrößter Drehkegel in einer Kugel . . . . . . . . . . . . . .
3.8.5 Volumskleinster Drehkegel um eine Kugel . . . . . . . . . . . . .
3.8.6 Maximaler Sehwinkel zum Genuss eines Bildes . . . . . . . . . . .
3.8.7 Drehkegel minimalen Mantelflächeninhalts bei vorgegebenem Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.8 Die ideale Eprouvette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.9 Volumsgrößter Drehzylinder in einem koaxialen Drehkegel . . . .
3.8.10 Materialverbrauchfreundlichster Zylinder . . . . . . . . . . . . . .
3.8.11 Ausblick 1: Fassungsreichster Zylinder . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.12 Ausblick 2: Volumsgrößte Pyramide aus einem Quadrat . . . . . .
3.8.13 Ausblick 3: Kürzeste Verbindung zweier Punkte über eine Gerade
3.8.14 Ausblick 4: Kugel und Würfel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.15 Ausblick 5: Trapez in Halbkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Eigenschaften der komplexen Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Geodätische Kurven auf der Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11 Die Euler-Mascheroni-Konstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12 Linearapproximationen und Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . .
3.13 Ein heuristischer Weg zur Taylor-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.14 Potenzfunktion, Exponentialfunktion oder keines von beiden? . . . . . .
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4 Arithmetik und Algebra
4.1 Zur Division von Brüchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Auf dem Weg zu binomischen Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Die erste binomische Formel und der Lehrsatz von Pythagoras .
4.2.2 Die zweite binomische Formel mit Hilfe der ersten binomischen Formel
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INHALTSVERZEICHNIS
4.2.3
4.2.4
Die dritte binomische Formel via Abbildungsgeometrie . . . . . . .
Von der Prozentrechnung über die Bernoullische Ungleichung zur
ersten binomischen Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.5 Vermischte Aufgaben zum Herleiten binomischer Formeln . . . . . .
4.3 Das harmonische Mittel - phänomenologische Vielfalt . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Zum Lösen von Textaufgaben - ein Stück angewandter Mathematik
4.3.2 Zum Prozess des Abstrahierens - ein Stück reiner Mathematik . . .
4.4 Lösungsformeln für quadratische Gleichungen: Diverse elementare Wege . .
4.4.1 Quadratische Gleichungen selbst gemacht . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Ein Gleichungssystem als Schlüssel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Symmetrie als Schlüssel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.4 Pythagoras als Schlüssel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.5 Die dritte binomische Formel als Schlüssel . . . . . . . . . . . . . .
4.4.6 Produkt-Nullsatz als Schlüssel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.7 Ein multiplikativer Ansatz als Schlüssel . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.8 Ein achter Zugang in Form einer Übungsaufgabe . . . . . . . . . . .
4.4.9 Ein neunter Zugang in Form einer Übungsaufgabe . . . . . . . . . .
4.5 Das Pentagon und komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Symmetrische algebraische Gleichungen und eine Ergänzung zur ViètaGruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1 Symmetrische Gleichungen höheren Grades: Ein Ausblick . . . . . .
4.6.2 Erweiterung der Satzgruppe von Vièta . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Steigungsadditionen und komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Zugänge zu den komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9 Der Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 Lösungsformeln für quadratische Gleichungen vom höheren Standpunkt . .
4.10.1 Komplexe Zahlen und Matrizen als Wegbereiter . . . . . . . . . . .
4.10.2 Komplexe Zahlen und Polynome als Wegbereiter . . . . . . . . . . .
4.11 Fibonacci-Zahlen und Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Geometrie
5.1 Grundlagen der ebenen analytischen Geometrie . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Eine Flächeninhaltsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Matrizen, Vektoren und Determinanten: Basics . . . . . . . . . .
5.1.3 Präzisierung des Vektorbegriffs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.4 Ausweitung des Vektorbegriffs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.5 Rechnen mit Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.6 Betrag von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.7 Orthogonalität von Vektoren: Das skalare Produkt . . . . . . . .
5.1.8 Die Kippregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.9 Eigenschaften und Anwendungen des Skalarprodukts . . . . . . .
5.1.10 Die (Hessesche) Normalvektorform der Geradengleichung . . . .
5.1.11 Die Cramersche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Grundlagen der Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Sinus und Cosinus am Einheitskreis I: Determinante und Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Sinus und Cosinus am Einheitskreis II: Koordinaten . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
5.2.3 Additionstheoreme für Sinus und Cosinus . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4 Sinus, Cosinus (und Tangens nicht nur) im rechtwinkligen Dreieck
5.2.5 Symbiose zwischen Vektorrechnung und Trigonometrie . . . . . .
Geometrie und Zahlentheorie: Ganze Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . .
Eine Ergänzung zu Determinante und Skalarprodukt . . . . . . . . . . .
Spuren, Determinanten und mehr davon . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vier- und höherdimensionale Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.1 Der vier- (sowie n)-dimensionale (n ≥ 4) Würfel und ... . . . . . .
5.6.2 ... einer seiner räumlichen Schnitte . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.3 Hypervolumina höherdimensionaler Sphären . . . . . . . . . . . .
5.6.4 Kegel im Rn und deren Beziehungen zu Sphären . . . . . . . . . .
5.6.5 Winkel zwischen zwei Ebenen im R4 . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.6 Sonderfälle für Winkelmaße zwischen Ebenen . . . . . . . . . . .
5.6.7 Charakterisierung isogonaler Ebenenpaare . . . . . . . . . . . . .
Durchschnitt von Polygonen: Ein Spezialfall . . . . . . . . . . . . . . . .
Plückers µ für algebraische Kurven höherer Ordnung . . . . . . . . . . .
Ebene Kurven in Parameterdarstellung (PDST) . . . . . . . . . . . . . .
5.9.1 Ein simples, aber überraschendes Einstiegsbeispiel . . . . . . . . .
5.9.2 Weitere Aufgaben zu(nächst zu) ebenen Kurven . . . . . . . . . .
5.9.3 Übungsaufgaben zu(nächst zu) ebenen Kurven . . . . . . . . . . .
Eine Ergänzung zum Winkel zwischen Gerade und Ebene . . . . . . . . .
Dreiecksgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.11.1 Kopunktale Geraden I: Streckensymmetralen und Höhen . . . . .
5.11.2 Kopunktale Geraden II: Schwerlinien und Winkelsymmetralen . .
5.11.3 Kollineare Punkte I: Die Euler-Gerade . . . . . . . . . . . . . .
5.11.4 Kollineare Punkte II: Die Wallace-Gerade . . . . . . . . . . . .
5.11.5 Kopunktale Geraden III: Orthologische Dreiecke I . . . . . . . . .
5.11.6 Kopunktale Geraden IV: Orthologische Dreiecke II . . . . . . . .
HP-Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.12.1 z = x2 − y 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.12.2 Zum eigenständigen Üben: z = xy . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.12.3 Ein windschiefes Viereck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.12.4 Ein weiteres windschiefes Viereck zum eigenständigen Üben . . .
Raumkurven und Raumflächen in PDST . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.13.1 Einstieg: Die kleine Lösungsformel als Fläche . . . . . . . . . . . .
5.13.2 Weitere(s zu) Flächen (und Kurven) im Raum (und der Ebene) −
Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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