Kapitel 3 Lineare Differentialgleichungen - math.uni

Kapitel 3
Lineare Differentialgleichungen
3.1 Jordan’sche Normalform
In diesem
kurzen
Abschnitt wiederholen wir einige Begriffe der linearen Algebra. Sei
eine lineare Abbildung mit zugehöriger Matrix (diese wird durch
die Wahl einer Basis bestimmt). Wir gehen immer von der kanonischen Basis aus und
identifizieren auf diese Weise die lineare Abbildung mit der Matrix. Eine Zahl heißt Eigenwert von , wenn es einen Vektor gibt mit
Dieser Vektor wird Eigenvektor genannt. Natürlich müssen wir auch bei reellen Matrizen komplexe Eigenwerte und Eigenvektoren zulassen. Deshalb arbeiten wir zunächst
im komplexifizierten Raum. Die Eigenwerte sind Lösungen der charakteristischen Gleichung
"!
(3.1.1)
#
%$'&)(*,+-
Wegen des Fundamentalsatzes der Algebra gibt es (mit Vielfachheiten gerechnet) genau . Wurzeln dieser Gleichung. Jede Wurzel von (3.1.1) ist auch Eigenwert, jedoch
gibt es im allgemeinen weniger als . Eigenvektoren. Sei ein Eigenwert, so ist
/0 21 4 35! 2
#6
%$'&7(
ein -invarianter Unterraum, der Eigenraum von zum Eigenwert . Sei 8 die Dimen/90 . /90 ist enthalten im verallgemeinerten Eigenraum, der gegeben ist durch
sion von
:;0 =<"> @? AB DC mit ! #6
%$'&7(FE4G,+IHJ
:0 zum Eigenwert ist invariant unter der AbbilDer verallgemeinerte Eigenraum
dung . Eine weitere Zerlegung
Unterräume ist möglich. Dazu betrachtet
3"!
BLK in invariante
,#
%$'&)( EFM :0 ist. So eine Zahl existiert imman den minimalen Wert , so daß 1
:
0
mer. In
existiert eine Basis N , welches die Vereinigung von 8 Mengen OQPSRTTTSRUO@V
ist, wobei jedes O die Form
E
O E W<" ESX PURTT4 R E X Y[Z H
(3.1.2)
57
KAPITEL 3. LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
58
!
hat mit
!
#
%$'&)( ESX P E X R $ RT4T4R E R #
$ &)(F E X P ,+-
:0 hat in der Basis N dann die Gestalt
Die Einschränkung von auf
P + TT TT +
+
+ TT +
.
.
.
..
. . . . . . . ...
(3.1.3)
R
+ TT +
+
+ TT TT +
V
wobei jeder dieser E
Blöcke
E
(3.1.4)
E die einfache Form
+
E
..
.
..
.
..
.
$
..
+
$
..
.
T4 TT +
+ ... +
..
..
.
..
.
..
..
.
.
..
.
+
+ T4 TT T4 +
..
.
.
.
$
hat. Damit haben wir die komplexe Jordan’sche1 Normalform einer Matrix erhalten. In
der reellen Jordan’schen Normalform hat man auch eine Darstellung in Blöcken wie
in (3.1.3), jedoch sehen die Blöcke i.a. anders
aus. Ist reell so bleibt die Form (3.1.4)
erhalten. Für komplexe Eigenwerte Q , ergibt sich statt (3.1.4) die Form
#$%
+
+
(3.1.5)
..
.
..
.
..
.
E !"
&
+
#
+
+
+
$
+
+
&
#$'
..
.
4T
4T
..
.
TT
TT
#
$
#!"
()
..
..
.
.
TT
TT
T4
+
$
+
TT
TT
+
$
TT
TT
TT
TT
.
.
..
.
.
$
..
..
..
.
.
..
..
..
T4 +
T4 +
.
+
(
!'
+
+
+
+
#
+
..
.
$
#$"
()
Eine einfache Begründung für diese Form ergibt sich aus der komplexen Jordanschen
Normalform und der folgenden Überlegung. Ist > ein komplexer Eigenwert einer
reellen Matrix so ist * ebenso ein Eigenwert und es gibt zu dem zur Menge aus Gleichung 3.1.2 O
<" E X PUR4TT4R ESX Y Z H eine Menge O,E + W< E X PRTTT R E X Y Z H konjugiert kompleE
xer Vektoren die eine entsprechende Basis zum Eigenwert * bilden. Wir definieren nun
1
Camille Marie Ennemond Jordan (5.1.1838-21.1.1922) wurde zunächst zum Bergbauingenieur ausgebildet. Im Jahre 1916 wurde er Präsident der französischen Akademie der Wissenschaften. Sein Werk
umfaßt neben der Normalform Beiträge zur Algebra (u.a. zur Galois-Theorie), zur Analysis, zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und zur Topologie der Ebene (Kurvensatz).
3.2. EXPONENTIALABBILDUNG
ein Paar reeller Vektoren
$ ! (SR@ $ RT4T4R
X
EX
E
E X # E X (SR
$ RTTT R E ESX E
$ !
ESX
Nun sehen wir leicht
E X 59
!
$
E X ESX (
!
! !
!
(
#
!
(
P E
X
#!
&
EX
(
(
EX Für ergibt eine ähnliche Rechnung ein ganz ähnliches Ergebnis. Für die Basis,
EX
die immer aus Paaren
OE =< SE X P R E X PRTTTSR E X Y Z R E X Y[Z H
besteht ergibt sich dann die obige Abbildungsmatrix.
? ?
Wie sieht der Block für Q aus?
3.2 Die Exponentialabbildung
! 9 ? ??
? ?
9
Definition 3.2.1 Sei W
R ( . Wir setzen < >
R $H
Lemma 3.2.2 ist eine Norm auf dem linearen Raum der linearen Abbildungen von
sich. Außerdem gilt N SN! .
Beweis. Einfaches Nachrechnen!
.
in
! :
Definition 3.2.3 Sei eine .
. -Matrix. Die Funktion
R ( sei definiert
durch
: ! R " ( $ # "(B E ' E (3.2.4)
K
!
E&%
:
Wir nennen R" ( die Matrixexponentialfunktion und schreiben dafür auch manchmal
: ! R " ( *)+ ! : !
R ( und jede reelle Zahl " Lemma 3.2.5 Die Funktion R " ( ist für jedes ,
definiert.
Beweis. Übungsaufgabe!
60
Satz 3.2.6
KAPITEL 3. LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
!
:
Die Matrixexponentialfunktion R " ( löst das Anfangswertproblem (2.2.22)
!
, R + ( $'&
aus Hilfssatz 2.2.21.
!
:
Beweis. Zunächst betrachten wir eine Teilsumme der Reihe R" (
: V ! R" ( $ V "B E ' E K
E%
!
:
Die Ableitung von V R " ( ist natürlich
: V ! R" ( $ V ! B " E P ' E , : V P ! R" (S
#$"(
E&% P
Wegen
Konvergenz der
!
! rechten: ! Seite (auf kompakten Teilmengen
!
der: gleichmäßigen
:
:
R " ( . Natürlich ist auch R+L( von ) ist R " ( differenzierbar und R " ( 2
$&.
!
K
Die
des Anfangswertproblems
,
erhält man also durch
L
+
(
! LK ösung
!
K
:
" R (*
R" ( .
Hilfssatz 3.2.7 Kommutieren die beiden Matrizen
!
!
folgt für alle " und es gilt
RUN
miteinander, d.h. ist
N : R" (* : R" (FN R
: ! N R" (* : ! R " ( : ! N R" ( : ! N R " ( : ! R " ((" N N ,
Beweis. Die erste Eigenschaft ist eine unmittelbare Konsequenz der Definition, die
zweite erhält man aus dem Eindeutigkeitssatz
die L! ösung ! von Anfangswertpro: ! N R " f( ürund
: R" ( : N R " ( das gleiche Anblemen, indem man nachprüft, daß
fangswertproblem lösen.
kann durch eine Ähnlichkeitstransformation in die Jordan’sche
Normalform ge
bracht werden. Sei die
Jordan’sche
Normalform
von
und
die
Transformations
P . Die allgemeine Form des Verhaltens der Lösungen unter
matrix, also Koordinatentransformation ist in Aufgabe 4, Blatt 5 angegeben. Für den Spezialfall
können wir die Lösung des Ausgangsproblems gewinnen, indem wir in die Jordan’sche Normalform überführen, für diese dann die Gleichung lösen und zurücktransformieren. Wir erhalten
!
!
K P ! K P: ! K
:
" R ( R" (F "R *
( -R " ( K
Aus der Eindeutigkeit der Lösung folgt noch
: ! R" (* P : ! P R " ( 3.2. EXPONENTIALABBILDUNG
61
: ! R"(
Natürlich kann man diese Formel auch unmittelbar aus der Definition von
schließen.
Zur allgemeinen Lösung linearer Anfangswertprobleme müssen wir noch
: ! -R " ( ausrechnen.
Wir gehen von der Gestalt (3.1.3) aus. Natürlich gilt für eine Matrix in Blockdiagonalgestalt
>
!
PSRTTTSR V ( ( R
daß die Matrixexponentialfunktion auch Blockdiagonalgestalt annimmt, also
: ! I R" (* ! : ! PSR" ( RTTTSR : ! VR" ( ( !
: ! R" (; 0 . Ist ein Block
Ist ein Block der Länge $ , also ( , so ist natürlich
+
der Länge $ und der zugehörige Eigenwert reell, so ergibt sich die Exponential
reihe aus folgenden Betrachtungen.
DC
heißt nilpotent, wenn es ein Definition 3.2.8 Eine Matrix gibt mit Y +
Lemma 3.2.9 Ein Block der Gestalt (3.1.4) ist die Summe einer Diagonalmatrix nilpotenten Matrix .
Beweis. Natürlich ist !
%RTT4 R ( . Übrig bleibt die
+ $ + 4T TT=+
+ + $ + ... +
(3.2.10)
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
.
..
.
+
.
..
.
.
+
$
und einer
Matrix
.
+ 4T TT 4T + +
Eine einfache Rechnung zeigt, daß Y + ist. Damit ist nilpotent.
Bemerkung 3.2.11 Genauer gilt, daß jede Matrix Summe einer diagonalisierbaren und
einer nilpotenten Matrix ist. Unser Beweis zeigt dies zumindest für reelle Matrizen mit ausschließlich reellen Eigenwerten.
!
:
R" (
Die Matrixexponentialfunktion
Lemma 3.2.12
Eigenwert hat die Gestalt
$
(3.2.13)
0
: ! R"( +
+
..
.
..
.
..
.
$
"
..
"
"
.
..
..
.
.
+ TT TT
"
eines Jordan-Blocks der Länge
..
..
..
..
.
.
.
.
TT
4T
..
..
..
+
$
..
.
.
"
.
.
+
Y P
"
$
"
zum
KAPITEL 3. LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
62
Beweis. Es gilt und daher mit dem Hilfssatz 3.2.7
: ! R " (* : ! R" (* : ! >R" ( : ! R" (S
0
!
:
Nun ergibt >R" ( + $'& und da nilpotent ist, hat man
: ! R " ( W$'& " " 4T ! " Y P ' Y P #$"(
Für einen nichtreellen Eigenwert stellt man die
gleiche Betrachtung im Komplexen an
und schneidet den Lösungsraum mit dem
. Wir wollen die entsprechende Formel
im Moment nicht angeben.
Den Lösungsraum linearer autonomer Gleichungen kann man einfach charakterisieren. Dies ist der Inhalt des nächsten Satzes, der im weiteren noch verallgemeinert wird.
! G Satz 3.2.14 (Algebraische
des Lösungsraumes I) Sei R ( .Wir set?
P ! Struktur
<"W
R ( %H . ist ein linearer Raum. Die Dimension von ist
zen
..
Gleiches
Beweis. Offensichtlich ist die Summe
zweier Lösungen wieder eine Lösung.
mit .
gilt für das
Produkt
und
.
Also
bleibt
zu
zeigen,
daß
!
ist. Sei
die Abbildung +L( . Offensichtlich ist linear und wegen
der eindeutigen Lösbarkeit von Anfangswertproblemen
injektiv. Wegen des globalen
Existenzsatzes ist surjektiv. Also gilt
.
Als nächsten Schritt betrachten wir die inhomogene lineare Gleichung, gegeben durch
(3.2.15)
!
"(R
wobei eine stetige Abbildung ist. Wir wissen, aufgrund des Existenzsatzes, daß diese Gleichung bei Vorgabe eines Anfangswertes lösbar ist. Die algebraische
Struktur ist natürlich etwas anders als vorher. Wie in der linearen Algebra besteht die
allgemeine Lösung aus einer speziellen Lösung plus einem beliebigen Element aus .
Satz 3.2.16 (Algebraische Struktur des Lösungsraumes II) Sei
! ?
!
W<" P R ( ! " (UHJ
K
P ein . -dimensionaler affiner Unterraum von
R ( . Es existiert also ein P ! ist
R ( mit der Eigenschaft, daß
K
?
=<" > HJ
K
K immer eine Lösung. Sei eine
Beweis. Wie schon bemerkt, hat die Gleichung (3.2.15)
solche Lösung. Dann ist natürlich für auch eine Lösung. Wir müssen noch
P
K
zeigen, daß jede Lösung
diese Form hat. Sei eine weitere Lösung der Gleichung
P
K der homogenen linearen Gleichung (einfaches
(3.2.15). Dann ist # eine Lösung
P
Nachprüfen zeigt dies). Damit ist # .
K
Wir wollen uns noch kurz Gedanken machen, wie man eine spezielle Lösung findet.
3.3. NICHTAUTONOME LINEARE GLEICHUNGEN
63
! G I R (, !
Lemma 3.2.17
der Variation der Konstanten) Sei K (Formel
" ( gegeben
stetig. Sei . Dann ist eine spezielle Lösung der Gleichung 2 durch
K!
! K (3.2.18)
" (* *) + K + *) + ( Beweis. Differenzieren ergibt
K!
K ! " ( 2 *) + *) +
( "
K!
K ! K + " (*, *) + "( *) +
"
also
K+
!
"
*) +
!
( ( R
!
" (S
3.3 Die nichtautonome lineare Gleichung
In diesem Abschnitt widmen wir uns den Gleichungen
!
Q2 " ( !
!
Q, " (F
" (SR
(3.3.1)
und
(3.3.2)
! R (
wobei und stetige Abbildungen auf einem offenen
Intervall
sind. Natürlich kann man hier nicht erwarten, daß die Konstruktion
der Matrixexponentialfunktion zum Ziel führt.
Lemma 3.3.3 Das Anfangswertproblem
!
! K
, " ( R " ( $'&
K @ ! 9 hat für eine stetige Abbildung R ( und " eine eindeutige Lösung
! K ! " R" (
R S( (3.3.4)
Beweis: Die Existenz folgt aus den Existenzsätzen (2.1.7) und (2.1.18).
Definition 3.3.5 Die Abbildung
matrix.
! ! K ! K
R ( " R" ( " R" (
heißt Übergangs-
Man überlege sich eine anschauliche Begründung für die Terminologie.
Satz 3.3.6! (Eigenschaften
der Übergangsmatrix) Die Übergangsmatrix
K des Paar " R" ( definiert und hat die Eigenschaften
!
K
"R" (
ist für je-
KAPITEL 3. LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
64
!
!
" R" (* $ & ;
! K
!
!
"R (
K
K
R " ( " R" ( " R R" ( ! K P ! K
" R" ( " R" ( .
;
Beweis. Die erste Eigenschaft ist nach Definition
gegeben.
Für die zweite Aussage be !
! ! K
trachtet man die matrixwertige Funktion
"( "R (
R" ( . Sie genügt der Differentialgleichung
!
!
!
!
$'& K
"( "(
! K
( R" ( . Offenbar ist !)R" K ( eine Lösung derselben Difmit dem Anfangswert
R" ( . Eindeutigkeit der Lösung
ferentialgleichung und für "
hat man den Wert
des Anfangswertproblems liefert die Gleichheit der linken und der rechten Seite. Die
dritte Aussage ist eine unmittelbare Konsequenz der
! zweiten.
9
R ( eine stetige Abbildung. Wir
9
!
P ! ?
W<">
R ( Q2 " ( JH Wie zuvor sei nun
ein Intervall,
setzen für eine stetige Funktion
Sei
K
2.
. Wir notieren einige einfache Aussagen.
1.
Lemma 3.3.7
K
K
,.
P R 4. Jedes P ;
3. Sei fest. Dann ist
raumes III];
K
?
W<" !
K K
hat die Darstellung " R " R ( HJ
!
[Superpositionsprinzip];
[Algebraische Struktur des Lösungs-
K K
" R" ( .
Beweis. DieK erste
! K
fixieren
9 wir einen
und die dritte Aussage sind trivial. Für die zweite
Zeitpunkt " und zeigen wie zuvor, daß die Abbildung
" (
ein Isomorphismus ist. Die letzte Aussage folgt wieder aus der Eindeutigkeit: Sei Lösung des Anfangswertproblems
! K K K
K
R " R" R ( , !
! K K
" R " (F
Dann ergibt sich für " ( !
! K ! K K K
K K
K
! K K
" R " (F , " R " (F ,
R " ( " R " (F Also ist .
Wie zuvor erhält man aus der Formel der Variation der Konstanten die Darstellung
der Lösung der inhomogenen Gleichung.
3.4. EBENE LINEARE SYSTEME
! G R (
65
Satz
der K Konstanten)
und
3.3.8
(Variation
! ein Intervall, Sei
R ( die zugehörige Übergangsmatrix.
seien stetig,
! " K K . Sei
Dann hat die Lösung " R" R ( des Anfangswertproblems
!
" F( K
! L+ ( (3.3.9)
die Lösung
!
K K
" R" R ( !
Beweis. Sei
! K
K
" ( $ &) ,
Dann ist
K
" (*
!
und
! ! K K
2 " ( " R " ( !
K K
" R" ( "( +M
K K
" R " (F !
+M
+M
!
"(
! ! + "R ( ( ! ! + " R ( ( ! ! ! + " ( " R ( ( ,
Die Eindeutigkeit der Lösung bringt das gewünschte Resultat.
3.4 Ebene lineare Systeme
In diesem Abschnitt wollen wir ebene, lineare und autonome Systeme charakterisieren. Wir betrachten also eine Gleichung der Form
(3.4.1)
!
wobei R
Wir unterscheiden:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
P
G R
(
eine lineare Abbildung ist. Seien
+ ;
P*,
+ ;
P* R P + ;
P +;
P*,
+ ;
Re P ,+ , ,
+
P + ;
P*,
+ ;
;
%P R die Eigenwerte von
.
KAPITEL 3. LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
66
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
−5
!
:
Abbildung 3.1: Die Trajektorien von IR" ( .
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
2
3
4
5
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
−5
!
:
Abbildung 3.2: Die Trajektorien von R" (
9.
10.
11.
P
+
−3
−2
−1
0
1
mit schiefliegenden Eigenräumen.
;
P R P
P +.
−4
+
;
1. Fall: Dabei hat die Jordan Normalform die Gestalt
>
(3.4.2)
P +
+ Seien PSR die Eigenvektoren
zu P . Dann konvergieren alle Lösungen für "
#
X
gegen Null, für "
verlassen alle Lösungen (außer einer!) jedes Kompaktum. Sie
schmiegen sich (für "
# ) an die -Achse an.
2. Fall: Wir unterscheiden zwei mögliche Formen des Jordan Blocks (Eigenwerte sind
geometrisch einfach oder nicht). Zunächst der Fall der geometrisch einfachen Eigenwerte. Hier hat der entsprechende Jordanblock die Form
(3.4.3)
>
P + + P 3.4. EBENE LINEARE SYSTEME
67
15
10
5
0
−5
−10
−15
−15
!
:
R" (
Abbildung 3.3: Die Trajektorien von I
−10
−5
0
5
10
15
mit halbeinfachen Eigenwerten.
15
10
5
0
−5
−10
−15
−15
: ! I R" (
Abbildung 3.4: Die Trajektorien von
−10
−5
0
doppelten Eigenwert.
5
10
15
mit geometrisch einfachem, algebraisch
Alle Lösungen haben dieselben Konvergenzeigenschaften wie zuvor. Nur ist die Bewegung längs gerader Linien.
Ist der Eigenwert nicht geometrisch einfach, so hat der Jordanblock die Gestalt
(3.4.4)
P $ + P Auch hier hat man die Konvergenzeigenschaften wie im ersten Fall, jedoch schaut das
Bild wiederum anders aus.
3. Fall:? Wieder
ergibt sich die
Konvergenz, jedoch erhält man einen Strudel. Sei
? ? ? gleiche
P* . Dann ist und die reelle Normalform hat die Form
(3.4.5)
? ?
&
#$
4. Fall: Für die Jordan Form ergibt sich
(3.4.6)
$ +
#
#!
&
+ + KAPITEL 3. LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
68
Längs der -Achse hat man konstante Lösungen (Ruhelagen). Alle anderen Lösungen
# gegen 0 und verlassen in positiver Zeitrichtung jedes Komkonvergieren für "
paktum.
5. Fall: In diesem Fall hat die Jordan Form das Aussehen
>
(3.4.7)
oder
+ +
>
(3.4.8)
+ +
+ $ + + Der erste dieser beiden Fälle liefert ausschließlich konstante Lösungen. Im zweiten hat
man eine Bewegung auf Parallelen zur P -Achse gegen unendlich.
6. Fall: Unsere Abbildung erhält die Gestalt
(3.4.9)
>
(
#$
#
#!
(
Wir erhalten Lösungen, die sich auf Kreislinien um den Ursprung bewegen.
7. Fall: Ein qualitativ neues Bild ergibt sich
hier. Auf der einen Achse bewegt man sich
für "
gegen unendlich und für "
# gegen Null, auf der anderen Achse hat
man das gegenteilige Verhalten. Dazwischen sind
Lösungen, die für beide Zeitrichtungen jedes Kompaktum verlassen und sich für "
an die jeweilige Eigenwertachse anschmiegen. (Dies ist die Motivation für den Begriff hyperbolisch, den wir noch
einführen werden.)
In den anderen Fällen ergeben sich ganz ähnliche Bilder wie bisher, nur die Zeitrichtungen sind anders. Wir geben nur die Normalformen und die Bilder, keine weiteren
Kommentare.
8. Fall:
P +
+ P >
(3.4.11)
oder
P $
+ P >
(3.4.12)
9. Fall:
(3.4.13)
>
10. Fall:
(3.4.14)
P +
+ >
(3.4.10)
P +
+ #!
#
!
3.5. EIGENWERTE UND LANGZEITVERHALTEN
11. Fall:
>
(3.4.15)
69
P +
+ +
3.5 Eigenwerte und Langzeitverhalten
Die Betrachtungen im vorstehenden Abschnitt legen es nahe zu vermuten, daß die
Eigenwerte und das Langzeitverhalten für lineare, autonome Systeme eng gekoppelt
sind. Wir wollen dieses bestätigen.
Satz 3.5.1 (Spektrum und Stabilität I)
algleichung
!
! Sei R ( . Wir betrachten die Differenti-
G !
( bezeichnen wir das Spektrum von , d.h. (
Mit
ist die Menge aller Eigenwerte von
. Dann hat man folgendes Verhalten:
Haben alle Eigenwerte negativen
Realteil, so ist
+ die einzige beschränkte Lösung und alle
# hat man Konvergenz gegen
anderen konvergieren für "
gegen + . Für "
unendlich.
Gibt es einen Eigenwert mit positivem Realteil, so gibt es eine Lösung, die für "
# gegen
jedes Kompaktum verläßt.
+ konvergiert und für "
! K K
Gibt es einen Eigenwert mit Realteil + , so existiert zumindest eine Lösung " R ( , + ,
welche für alle Zeiten beschränkt ist.
!
K
K
Beweis. Angenommen, ist Anfangswert einer beschränkten Lösung " R ( . Jede
Lösung der
Gleichung
! linearen
!
K
K hat wegen der Bemerkung nach Satz 3.2.6 die Dar:
stellung " R ( R" (F K . Sei K die Matrix, die in die komplexe Jordan Normalform ! transformiert,
!
K
K ! K P ist dann
K für eine beschränkte
der KAnfangswert
:
K
Lösung " ( -R " ( . Sei RTT44R ( . Ist + , so ist + und es gibt ein
,<J$ R4TTSR. H mit K + und für 8 ,< $ RT4T4R. H ist K V + . Sei der Eigenwert
zum
Basis zur ? Jordan
ist
die -te Komponente von
0 K ? Form. 0 So
K Eigenvektor in0 der
?
?
K
K
: ! -R " ( -ten
+ . Für " # ! ist? dies unbegegeben durch + . Dann ist +
!
<
(
2
(UH .
!
!
schränkt. Um
die
Konvergenz
zu
zeigen,
betrachten
wir
:
! ist + und -R" ( + " ( . Dabei ist eine! matrixwertige Funktion. Jedes
Dann
mit Einträgen
!
! + " ( , wobei
L" !( ist eine obere Dreiecksmatrix,
ein Polynom ist und
. Damit konvergiert
( + . Dann ist " ( beschränkt und : IR" ( + für "
auch
!
!
!
: R" ( P : -R" ( : I R" ( für "
gegen null.
! K
Die
zweite
Aussage
beweist
man
ebenso
wie
die
Unbeschränktheit
f
ür
" R ( für
"
# im ersten Fall. Man betrachtet hier einfach einen Anfangswert im verallgemeinerten Eigenraum zum Eigenwert mit positivem Realteil.
KAPITEL 3. LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
70
Die dritte Aussage erhält man, indem man einen Eigenvektor als Anfangswert im Eigenraum des Eigenwertes mit verschwindendem Realteil betrachtet. Hier unterscheidet man zwei Fälle,
(a) G,+
+ .
(b) ,
!
K
K
K
:
Der erste dieser Fälle ist einfach. Ist ! im
K Kern
K von , so ist natürlich R" ( für alle " und damit ist die Lösung " R (*2 eine konstante, und damit beschränkte
!
Lösung.
0 K
K
:
K
Im zweiten Fall
Anfangswert
R" ( + 0 ?)? ? ? einen
? : ! hat man
? im? Komplexen
?
K , so daß
K
ist, also gilt
: ! R " (F K K +0 K K 0 K .K Wir setzen K . Dies ist ein reeller
!
R" ( + + . Da 2 # ist dies: immer
Vektor. Es gilt
K reell. Da beide
Summanden in der Norm beschränkt sind, folgt dies auch für R" ( .
3.6 Aufgaben
Aufgabe
35! 3.6.1 Wir bezeichnen mit die Transponierte einer reellen Matrix und
mitS ( ! die Spur von
. Man zeige:
:
R" (*
(a) !
!: ! ) +
:
(b) R" (*
R" ( (
!
:
(c) Ist schiefsymmetrisch, d.h. + , so ist R " ( für alle " orthogonal.
(Eine Matrix N heißt orthogonal, wenn N N N@N $'& ist.)
! Aufgabe 3.6.2 Sei L
stetig und beschränkt, !
R ( . habe keinen
Eigenwert mit
Q( + .
!
(a) Man zeige: Die Gleichung Q " ( besitzt eine beschränkte Lösung.
(b) Ist diese Lösung eindeutig?
+ , so ist auch die in (a) gefundene Lösung (c) Ist periodisch mit Periode
periodisch.
Aufgabe 3.6.3
!
:
Man finde R" (
,
für folgende Matrizen
$ # $ R $ $ +
$
+
+ $ $
+ + $
+ + +
# $ + $ R + # $ +
!
K
K
:
Wie sieht R" (F für verschiedene + aus.
! Aufgabe 3.6.4 Sei
ein Intervall, Abbildung.
R ( eine stetige
!
Gegeben seien . Lösungen %P RTTTSR der Differentialgleichung
G! , " (F .
!
(a) Man zeige: Gibt es ein ! , so daß die
! Vektoren P (SRTT44R ( linear unabhängig
sind, so ! sind die Vektoren
!
P " (SR4TT4R " ( für alle " linear! unabhängig. Man nennt
dann %P " (SR4T! T4R " ( ein
! Fundamentalsystem und die Matrix " ( , deren Spalten aus den
Vektoren %P " (SRT4T4R " ( besteht, Fundamentalmatrix.
3.6. AUFGABEN
!
71
!
S Ist! " ( eine Fundamentalmatrix, so nennt man die reellwertige Funktion " ( (b)
35" ! ( die Wronski-Determinante von . Man zeige: löst die Differentialgleichung
( .
! Aufgabe
3.6.5
auf einem Intervall
R ( eine stetige Abbildung
K 2
Sei . Sei
eine offene, nichtleere Teilmenge und " sei fest gewählt. Setze
!
!
K K
!
K K ? K
" ( W<" " R" R ( HJR
!
!
K K
K
wobei " R " R ( die Lösung des Anfangswertproblems
" (F R " R " R ( be
zeichnet. Mit bezeichnen wir
! das
! Lebesgue
! Maß auf . Man gebe eine hinreichende
Bedingung an dafür, daß gilt.
" ( ( ( für alle " Aufgabe 3.6.6 Man löse die Differentialgleichungen
!
( #$
!
"( !
!
!
"((
!
(
!
$ " ( " G " 72
KAPITEL 3. LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN