Blatt 7

Übungsblatt 7
Funktionenräume, WiSe 2015/2016
Prof. Dr. Jürgen Saal, Dr. Matthias Köhne
Abgabe: KW 50 in der Übung
Hausübungen – 4 + 6 + 6 Punkte
Aufgabe 20: (Räume glatter Funktionen)
Seien Ω ⊆ Rn ein Gebiet und K ⊆ Ω kompakt. Man zeige, dass die in 4.3 definierten Räume
m
C(Ω), C m (Ω), CK
(Ω),
m ∈ N ∪ {∞}
Frécheträume sind. Welche dieser Räume sind normierbar und damit Banachräume? Welche dieser Räume haben
die Montel-Eigenschaft?
Erinnerung: (Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit in Banachräumen)
Seien (X, k · kX ) ein Banachraum und (Y, k · kY ) ein normierter Raum sowie (Tλ )λ∈Λ ⊆ L(X, Y ) eine Familie
von stetigen linearen Operatoren Tλ : X −→ Y . Dann folgt aus
sup kTλ xk < ∞,
x ∈ X,
λ∈Λ
dass supλ∈Λ kTλ kL(X,Y ) < ∞, d. h. punktweise Beschränktheit impliziert gleichmäßige Beschränktheit.
Aufgabe 21: (Das Prinzip der gleichgradigen Stetigkeit in lokalkonvexen Räumen)
Sei X ein lokalkonvexer, hausdorff’scher topologischer Vektorraum. Man zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(i) Jede absolutkonvexe, absorbierende, abgeschlossene Menge U ⊆ X ist eine Nullumgebung in X;
(ii) Für jeden lokalkonvexen, hausdorff’schen topologischen Vektorraum Y und jede Familie (Tλ )λ∈Λ ⊆ L(X, Y )
von stetigen linearen Operatoren Tλ : X −→ Y gilt:
{ Tλ (x) : λ ∈ Λ } ist beschränkt für jedes x ∈ X
⇒
(Tλ )λ∈Λ ist gleichgradig stetig.
Hinweis: Die Familie (Tλ )λ∈Λ ist per Definition gleichgradig stetig, wenn zu jeder Nullumgebung V ⊆ Y eine
Nullumgebung U ⊆ X existiert mit Tλ (U ) ⊆ V für alle λ ∈ Λ. Sind X und Y Banachräume, so ist die Familie
(Tλ )λ∈Λ ganau dann gleichgradig stetig, wenn sie gleichmäßig beschränkt ist.
Aufgabe 22: (Räume lokal integrierbarer Funktionen)
Sei Ω ⊆ Rn ein Gebiet. Sei weiter der Raum L1,loc (Ω) mit der durch die Familie von Halbnormen
Z
pK : L1,loc (Ω) −→ [0, ∞),
pK (f ) := f dλ,
f ∈ L1,loc (Ω),
K ⊆ Ω kompakt,
K
induzierten Topologie ausgestattet. Man zeige:
a) L1,loc (Ω) ist ein nicht normierbarer Fréchetraum.
b) Die Abbildung
0
f 7→ Tf : L1,loc (Ω) −→ D (Ω),
Z
hφ, Tf i =
φ f dx,
Ω
ist stetig.
φ ∈ D(Ω), f ∈ L1,loc (Ω),