FP2-Experiment E213 Protokoll - FP-Protokolle von Dimitri Pritzkau

FP2-Experiment E213 Protokoll
Analyse von Z 0-Zerfällen
Dimitri Pritzkau, Niels Räth
22./23. März 2007
Universität Bonn
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2
2 Theoretische Grundlagen
2.1 Theorie der elektroschwachen Wechselwirkung . .
2.2 e− e+ -Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Vorwärts-Rückwärts Asymmetrie AF B . . . . . .
2.4 Vorbereitende Aufgaben . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Zerfallsbreiten und Wirkungsquerschnitte
2.4.2 Winkelverteilungen . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Vorwärts-Rückwärts-Asymmetrie . . . . .
2.5 OPAL-Detektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Mikrovertexdetektor . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Vertexkammer . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Jetkammer . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4 Z-Kammern . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.5 Solenoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.6 Elektromagnetische Kalorimeter . . . . . .
2.5.7 Hadronische Kalorimeter . . . . . . . . . .
2.5.8 Myonenkammer . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.9 Vorwärtsdetektoren . . . . . . . . . . . . .
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2
2
2
3
4
4
5
6
6
7
8
8
8
8
8
8
8
8
3 Versuchsdurchführung und Auswertung
3.1 Teil I: Analyse von Ereignissen am Bildschirm . . . . . . . . .
3.1.1 Überblick über die Lerndatensätze . . . . . . . . . . .
3.1.2 Aufstellen der Schnittkriterien . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Beispielhafte Untersuchung von Detektorbildern . . . .
3.2 Teil II: Statistische Auswertung von Z 0 -Ereignissen . . . . . .
3.2.1 Überblick über die Monte-Carlo-Datensätze . . . . . .
3.2.2 Verfeinerung der Schnittkriterien . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Aufstellen der Effizienzmatrix . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Bestimmung der Wirkungsquerschnitte . . . . . . . . .
3.2.5 Breit-Wigner-Fits, Z 0 -Masse und Zerfallsbreite ΓZ
3.2.6 Lepton-Universalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.7 Anzahl leichter Neutrinogenerationen . . . . . . . . . .
3.2.8 Vorwärts-Rückwärts-Asymmetrie . . . . . . . . . . . .
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9
9
9
12
12
15
15
19
19
21
22
25
26
26
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4 Fazit und Fehlerdiskussion
28
A Anhang: Lerndatensätze
28
1
1
Einleitung
In den Jahren 1989 bis 2000 war am CERN in Genf der Speicherring LEP in Betrieb, der für
die vier großen Experimente ALEPH, DELPHI, L3 und OPAL, Elektronen und Positronen beschleunigte und zur Kollision brachte.
Dieser Versuch legt sein Augenmerk auf den OPAL-Detektor und unsere Aufgabe ist es mit diesem Detektor gewonnene Datensätze auszuwerten, um so einige Parameter der elektroschwachen
Theorie beim Zerfall des Z 0 zu bestimmen, so z.B. seine Masse, sowie totale und partielle Zerfallsbreiten.
Insbesondere lernen wir durch diesen Versuch einige Methoden der modernen Elemtarteilchenund Detektorphysik kennen und auch anwenden.
2
2.1
Theoretische Grundlagen
Theorie der elektroschwachen Wechselwirkung
Die von Weinberg, Glasgow und Salam entwickelte Theorie der elektroschwachen Wechselwirkung beschreibt im Rahmen des Standardmodells Wechselwirkungen zwischen Leptonen und
Quarks mit Hilfe der Bosonen: W ± , Z 0 , γ und dem Higgs-Boson. Diese Theorie wird als Quantenfeldtheorie mit der Eichsymmetriegruppe SUL (2) × UY (1) definiert. Die drei Generatoren der
SUL (2) stellen den schwachen Isospin I dar, der nur mit linkshändigen Teilchen wechselwirkt,
und der Generator Y der Gruppe U (1) wird Hyperladung genannt. Zum nichtabelschen Teil
der elektroschwachen Symmetriegruppe gehören drei Eichfelder Wµi , zum abelschen das Feld Bµ .
Über den Higgs-Mechanismus werden allen Teilchen Masse zugeordnet, insbesondere auch den
Bosonen. Diagonalisiert man die Matrix für die vier Eichfelder, so lassen sich die Austauschbosonen als Eigenwerte definieren:
1
Wµ± = √ (Wµ1 ∓ Wµ2 )
2
Zµ0 = Wµ3 cos θW − Bµ sin θW
Aµ = Wµ3 sin θW + Bµ cos θW
wobei das Photonenfeld Aµ als einziges masselos ist und der Weinberg-Winkel θW über das
0
Verhältniss tan θW = gg definiert wird. Dabei ist g 0 die Kopplung an die Hyperladung und g
die Kopplung an den schwachen Isospin. Mit Hilfe der obigen Überlegung lassen sich nun die
Vertexfaktoren für die Wechselwirkung zwischen Fermionen und Photonen bzw. dem Z 0 -Boson
gewinnen. Im elektromagnetischen Fall wird diese durch die Ladung des Fermions hervorgerufen.
Für die schwache Wechselwirkung ist die Situation aufgrund von unterschiedlichen Verhalten der
rechts- und linkshändigen Teilchen komplizierter. Hier definiert man die Vektorkopplung gV und
die Axialkopplung gA wie folgt:
gVf
= I3f − 2Qf sin2 θW
f
gA
= I3f
2.2
e− e+ -Wechselwirkung
In diesem Abschnitt richten wir unsere Aufmerksamkeit auf die e− e+ -Wechselwirkung, da diese
am LEP untersucht wurde. Im Folgenden sind alle möglichen Feynman-Diagramme erster Ord2
nung aufgezeichnet. Dabei beschreibt der s-Kanal die Annihilation des Elektrons und Positrons
und der t-Kanal Streuung dieser Teilchen.
e+
e+
e+
f
γ
γ
e-
f
e-
e-
e+
f
e+
e+
Z
Z
0
0
e-
e-
f
e-
Abbildung 1: Feynman-Graphen für s-Kanal (links) und t-Kanal (rechts)
Im weiteren Verlauf beschränken wir uns auf den s-Kanal, der Sinn wird in Abschnitt 2.4.2
deutlich werden.
Die Zerfallsbreite ΓZ ist als das Inverse der Lebensdauer des Z 0 definiert und lässt sich als Summe
aller Partialbreiten schreiben:
ΓZ = Γe + Γµ + Γτ + 3 · Γν + Γq
Die Partialbreite Γf ist durch folgende Formel gegeben:
√
2 · Ncf
Γf =
· GF · MZ3 [(gVf )2 + (gVf )2 ]
12π
(1)
(2)
woraus sich die Breit-Wigner-Form für den Wirkungsquerschnitt ergibt:
σf =
sΓe Γf
12π
·
2
2
MZ (s − MZ )2 + (s2 Γ2Z )/MZ2
(3)
Im Resonanzfall (s = MZ2 ) ergibt sich der Peak des Wirkungsquerschnittes σfpeak :
σfpeak =
12π Γe Γf
· 2
MZ2
ΓZ
(4)
Eines der Ziele des Versuches ist es, die partiellen Wirkungsquerschnitte bei verschiedenen Energien zu bestimmen und so die Resonanzkurve zu vermessen. Die Breite der Breit-Wigner-Form
ist für die einzelnen Zerfallskanäle gleich, die Höhen aber hängen vom beobachteten Zerfall ab.
2.3
Vorwärts-Rückwärts Asymmetrie AF B
Der differentielle Wirkungsquerschnitt
Näherung gegeben durch
dσf
dΩ
für die Reaktion e+ e− → f + f − ist in Bornscher
dσf
α2 Ncf
=
F1 (s)(1 + cos2 θ) + 2F2 (s) cos θ
dΩ
4s
3
(5)
mit
F1 = Q2f − 2ve vf Qf Reχ + (ve2 + a2e )(vf2 + a2f )|χ|2
(6)
F2 (s) = −2ae af Qf Reχ + 4ve ae vf af |χ|2
s
χ(s) =
2
(s − MZ ) + (isΓZ /MZ )
(7)
(8)
Diese Asymmetrie benutzen wir um die Gültigkeit der elektroschwachen Theorie nachzuweisen. In
diesem Fall gibt es mehrere Gründe für diesen Effekt. Unterhalb und oberhalb der Z 0 -Masse liegt
die Ursache in der Interferenz der elektromagnetischen Vektor- und der schwachen Axial-VektorWechselwirkung. Am Maximum ist die Interferenz der schwachen Vektor- und Axial-VektorWechselwirkung der Grund. Experementell definieren wir die Vorwärts-Rückwärts-Asymmetrie
durch die Differenz der Wirkungsquerschnitte in der Vorwärts- und Rückwärtshemisphäre geteilt
durch deren Summe. Nach [Skript] ergibt sich daraus:
R0
R +1
dσ
dσ
3F2
f
0 d cos θ d cos θ − −1 d cos θ d cos θ
=
(9)
AF B =
R +1
dσ
4F1
d cos θ
−1
d cos θ
Für den Bereich oberhalb und unterhalb des Z 0 -Maximums gilt:
ae af Qf Reχ
−3
AfF B ∼
=
2
2 (ve + a2e )(vf2 + a2f )
(10)
Auf dem Peak des Z 0 -Maximums erhält man:
=3
Af,peak
FB
(ve2
(v/a)f
ve ae
(v/a)e
=3
vf af
2
2
2
(1
+
v/a)
+ ae ) (v2 +a2 )
e (1 + v/a)f
f
(11)
f
Für Leptonen ist vl /al = 1 − 4 sin2 θW vergleichsweise sehr klein, wodurch die Asymmetrie am
Maximum klein ist:
∼
Al,peak
(12)
= 3(vl /al )2 = 3(1 − 4 sin2 θW )2
FB
Durch die direkte Messung lässt sich also sehr einfach auf den Weinberg-Winkel schließen.
2.4
2.4.1
Vorbereitende Aufgaben
Zerfallsbreiten und Wirkungsquerschnitte
• Berechnen Sie die Zerfallsbreiten für die verschiedenen Fermionenpaare und vergleichen
Sie diese mit den in Tab. 2.1 [Skript] angegebenen Werten.
Für jeweilige Fermionen f lassen sich mit Hilfe der Gleichung (2) die zugehörigen Zerfallsbreiten Γf berechnen. Folgende Literaturwerte wurden [PDG] entnommen:
MZ = 91, 1876 GeV, sin2 θW = 0, 2312
Folgende Tabelle stellt die Ergebnisse dar:
f
I3f
Qf
Γf
Γskript
f
e, µ, τ
νe , νmu , ντ
u,c
d,s,b
− 12
+1
+ 12
− 12
−1
0
+ 31
− 31
83, 41 MeV
165, 87 MeV
285, 40 MeV
367, 86 MeV
83, 8 MeV
167, 6 MeV
299 MeV
378 MeV
4
(13)
Der Zerfall der Z 0 in top-Quarks ist aufgrund der hohen Masse dieses Quarks von 175 GeV
nicht möglich. Die von uns berechneten Werte zeigen bei Quarks größere Abweichungen.
Dies könnte damit begründet werden, dass die Formel 2 nur die erste Ordnung Störungstheorie berücksichtigt und darüber hinaus die Fermion-Massen vernachlässigt.
• Berechnen Sie die folgenden Größen:
– Gesamtbreite ΓZ
– Hadronische Breite Γq
– „geladene“ leptonische Breite Γl,Ladung
– „neutrale“ leptonische Breite (unsichtbare Breite) Γν
– Partielle Wirkungsquerschnitte am Resonazmaximum
In der folgenden Tabelle werden die gefragten Breiten dargestellt:
ΓZ
Γq
Γl,Ladung
Γν
2422,2
1674,4
250,22
497,61
MeV
MeV
MeV
MeV
Die Breiten ergeben sich eifach aus der Summation der entsprechenden Partialbreiten.
Für das Berechnen der partiellen Wirkungsquerschnitte am Resonanzmaximum ziehen wir
die Gleichung (4) heran. Die Ergebnisse sind in der nachstehenden Tabelle aufgelistet:
σepeak = σµpeak = στpeak
peak
= σντ
= σνpeak
σνpeak
µ
e
σupeak = σcpeak
peak
= σspeak = σbpeak
σd
2,15
4,28
7,36
9,48
nb
nb
nb
nb
• Um wieviel % würde sich die Breite der Z 0 -Resonanz jeweils ändern, wenn der Zerfall in
ein weiteres leichtes Fermion möglich wäre (u,d,e,ν)?
Wenn Z 0 in ein weiteres Fermion X Zerfallen könnte, so würde sich dessen Zerfallsbreite
ΓZ um ΓX /ΓZ vergrößern. Somit ändert sich die Zerfallsbreite für ein solches geladenes
Lepton um 3, 8%, Neutrino um 6, 8%, positives Quark um 11, 8% und negatives Quark um
15, 2%.
2.4.2
Winkelverteilungen
• Zeichnen Sie die erwarteten Formen der Winkelverteilung für die Prozesse e+ e− → e+ e−
und e+ e− → µ+ µ− auf.Trennen Sie im Falle von e+ e− → e+ e− die einzelnen Beiträge
voneinander.
In diesem Fall beschränken wir uns auf den s- und t-Kanal unter Photonenaustausch. Dabei
beschreibt der s-Kanal die Annihilation und der t-Kanal die Streuung der Teilchen. Für
den t-Kanal kommt nur die Reaktion e+ e− → e+ e− in Frage, da sonst die Leptonenzahlerhaltung verletzt wäre. Der s-Kanal ist, wie in Abbildung 2 zu sehen, in cos θ symmetrisch;
5
der t-Kanal jedoch nicht. Dabei ist θ der Winkel zwischen einlaufendem und auslaufendem
positiven Teilchen. Der funktionale Zusammenhang ist:
dσ
dΩ
dσ
dΩ
= (1 + cos2 θ), s-Kanal
= (1 − cos θ)−2 , t-Kanal
Die folgende Abbildung zeigt die Wirkungsquerschnitte beider Kanäle und deren Summe.
Differentieller WQ dσ/dcosθ
s-Kanal
t-Kanal
Summe
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
cos θ
Abbildung 2: Winkelverteilungen
Der Gesamtwirkungsquerschnitt ist also asymmetrisch. Der t-Kanal trägt allerdings nur bei
kleinen Winkel bei, so dass durch das „Wegschneiden“ von Ereignissen bei kleinen Winkeln
der s-Kanal herausgefiltert werden kann. Abgesehen davon, wird der t-Kanal jedoch für die
Luminositätsbestimmung verwendet, da dessen Wirkungsquerschnitt mit einer sehr hohen
Genauigkeit bekannt ist.
2.4.3
Vorwärts-Rückwärts-Asymmetrie
• Berechnen Sie die Vorwärts-Rückwärts-Asymmetrie für den Prozeß e+ e− → µ+ µ− bei
√
s = 91.225 GeV, 89, 225 GeV und 93, 225 GeV mit den folgenden Werten für sin2 θ :
0,21, 023 und 0,25.
Für diese Aufgabe benutzen wir Formel (9) und stellen die Ergebnisse in der folgenden
√
√
√
s = 91.225 GeV
s = 89, 225 GeV
s = 93, 225 GeV
2
-0,0942
0,0758
0,2314
Tabelle dar: sin2 θ = 0,21
sin θ = 0,23
-0,1645
0,0223
0,1961
sin2 θ = 0,25
-0,1954
0,0037
0,1901
2.5
OPAL-Detektor
Die für diesen Versuch zur Verfügung gestellten Daten wurden am europäischen Forschungszentrum CERN mit dem Detektor OPAL (Omni Porpuse Aparatus for LEP) gewonnen. Der
6
Detektor besteht aus mehreren Segmenten, da er verschiedene Teilchen registrieren soll. Für die
Auswertung dieser Daten sind Kenntnisse über den Aufbau und Funktionsweise des Detektors
von Nutzen. Im Folgenden wird der Aufbau in groben Zügen dargestellt.
Elektromagnetische
Kalorimeter
MyonenDetektoren
Hadronische Kalorimeter
JetKammer
VertexKammer
MikrovertexDetektor
θ
z
y
ϕ
Z-Kammern
Solenoid
x
Presampler
VorwärtsDetektor
ToFDetektor
Luminosimeter
Abbildung 3: Der OPAL-Detektor
2.5.1
Mikrovertexdetektor
Die von uns benutzten Daten sind ohne diesen Detektor aufgenommen worden. Der Mikrovertexdetektor, ein Silizium-Halbleiterdetektor wurde im Laufe des Experimentes installiert. Er
befindet sich nahe dem Strahlrohr und soll in diesem Bereich eine gute Auflösung der Spuren
liefern.
7
2.5.2
Vertexkammer
Die Vertexkammer ist eine Vieldrahtproportionalkammer mit 36 Schichten, einem Durchmesser
von 47cm und einer Auflösung von 55µm.
2.5.3
Jetkammer
Die Jetkammer besteht, ähnlich der Vertexkammer, aus vielen Drähten die parallel zur Strahlachse gespannt sind. Sie ist in 24 identische Sektoren unterteilt und hat einen äußeren Durchmesser
von 3,7m und einen Inneren von 0,5m. Außer zur Ortsbestimmung wird die Kammer auch noch
zur Messung des Energieverlustes einer Spur verwendet. Die Vertexkammer kann nur geladene
Spuren detektieren, was aber mit einer Genauigkeit von 135µ in r-φ-Richtung geschieht. Die
Genauigkeit in z-Richtung liegt bei 6cm.
2.5.4
Z-Kammern
Die Z-Kammer ähnelt vom Aufbau her der Jetkammer, nur dass die Drähte radial angeordnet
sind und damit eine Genauigkeit von 100 − 200 µm in z-Richtung erreichen.
2.5.5
Solenoid
Der Solenoid ist im engeren Sinne kein Detektor, sondern ein Draht der um die Z-Kammer
gewunden ist und in seinem Inneren ein homogenes magnetisches Feld erzeugt. Geladene Teilchen
werden dadurch auf eine gekrümmte Bahn gelenkt, so dass deren Impuls bestimmt werden kann.
2.5.6
Elektromagnetische Kalorimeter
Bestehend aus 9440 Bleiglasblöcken soll das Elektromagnetische Kalorimeter die Kinetische Energie vor allem von Elektronen und Positronen messen. Diese Teilchen verlieren ihre Energie durch
elektromagnetische Schauer die dann detektiert werden.
2.5.7
Hadronische Kalorimeter
Dieses Kalorimeter besteht abwechselnd aus Eisenplatten und Gasdetektoren. Hier verlieren auch
Hadronen durch einen hadronischen Schauer ihre Energie.
2.5.8
Myonenkammer
Da normalerweise nur Myonen durch alle Kalorimeter gelangen können befindet sich die Myonenkammer in der äußersten Schicht. Diese besteht aus Gasdetektoren und registriert Myonen
ohne deren Energie oder genaueren Impuls zu messen.
2.5.9
Vorwärtsdetektoren
Dieser aus Bleiglas und Drahtkammern aufgebaute Detektor registriert Bhabha-Ereignisse unter
kleinen Winkeln. Damit wird unter Anderem die Luminosität des Detektors bestimmt.
8
3
Versuchsdurchführung und Auswertung
3.1
3.1.1
Teil I: Analyse von Ereignissen am Bildschirm
Überblick über die Lerndatensätze
In diesem Versuchsteil sollen Lerndatensätze die immer nur eine Ereignissklasse (z.B. e+ e− →
e+ e− ) enthalten untersucht werden. Dabei wird jedes Ereignis durch vier Variablen charakterisiert:
• NCHARGED: Anzahl der Spuren geladener Teilchen in der Jetkammer
• PCHARGED: Gesamtimpuls der Teilchen berechnet aus den Krümmunsradien der Spuren,
angegeben in GeV
• E_ECAL: Energiedeposition im Elektromagnetischen Kalorimeter, angegeben in GeV
• E_HCAL: Energiedeposition im Hadronischen Kalorimeter, angegeben in GeV
Unsere Aufgabe war es Unterscheidungskriterien (Schnitte) mit Hilfe der Lerndatensätze zu finden, mit denen es möglich ist die Teilchenklassen zu unterscheiden, um aus einem gemischten
Testdatensatz test1 die Ereignisse nach Zerfallskanälen zu separieren. Die Tabellen der Lerndatensätze sind in Anhang A zu finden. Im Folgenden die Lerndatensätze als Histogramme, an
denen es besonders gut gelingt Schnittgrenzen gegeneinander abzuwägen. Die später verwendeten
Schnitte sind bereits eingezeichnet.
9
qq
τ+τ2
15
10
1
Häufigkeit
5
0
0
0
10
20
30
40
50
0
10
20
30
40
e+e-
µ+µ-
20
50
15
15
10
10
5
5
0
0
0
10
20
30
40
50
0
10
20
30
40
50
NCHARGED [GeV]
Abbildung 4: Lerndatensätze NCHARGED
τ+τ-
4
qq
3
3
2
2
1
Häufigkeit
1
0
0
0
20
40
60
80
100
120
µ+µ-
8
0
20
40
60
80
100
120
e+e-
6
6
4
4
2
2
0
0
0
20
40
60
80
100
120
0
20
40
60
PCHARGED [GeV]
Abbildung 5: Lerndatensätze PCHARGED
10
80
100
120
τ+τ-
3
qq
5
4
2
3
2
1
Häufigkeit
1
0
0
0
20
40
60
80
100
0
20
40
60
80
10
100
e+e-
µ+µ6
8
6
4
4
2
2
0
0
0
20
40
60
80
100
0
20
40
60
80
100
ECHAL [GeV]
Abbildung 6: Lerndatensätze E_ECAL
τ+τ-
4
5
qq
4
3
3
2
2
Häufigkeit
1
1
0
0
0
5
10
15
20
25
30
µ+µ-
0
5
10
15
20
25
30
e+e-
20
18
4
16
14
12
10
2
8
6
4
2
0
0
0
5
10
15
20
25
30
0
5
10
15
HCHAL [GeV]
Abbildung 7: Lerndatensätze E_HCAL
11
20
25
30
3.1.2
Aufstellen der Schnittkriterien
Aufgrund der Lerndatensätze entscheiden wir uns für folgende Schnitte:
Variable
NCHARGED
PCHARGED
E_ECHAL
E_HCHAL
τ −τ +
0 ≤ x ≤ 60
0 ≤ x ≤ 60
0 ≤ x ≤ 50
0 ≤ x ≤ 20
q q̄
0≤x≤2
75 ≤ x ≤ ∞
0≤x≤5
0 ≤ x ≤ 10
µ− µ+
6≤x≤∞
20 ≤ x ≤ 80
40 ≤ x ≤ 80
5 ≤ x ≤ 25
e− e+
0≤x≤2
50 ≤ x ≤ ∞
80 ≤ x ≤ ∞
0≤x≤1
Nun sollen die ermittelten Schnittkriterien auf den Testdatensatz test1 angewendet werden.
Folgende Tabelle zeigt unsere Ergebnisse.
Run
4353
4353
4353
4353
4353
4353
4353
4353
4353
4353
4353
4353
4353
4353
4353
4353
4353
4353
4353
4353
Event
1080
2387
5386
6057
6696
7137
7219
8323
8641
9149
9289
9593
9880
10900
11844
13556
14063
14640
14744
15775
NCHARGED
19
36
2
2
4
2
68
5
21
2
2
4
21
2
2
2
2
2
2
2
PCHARGED
39,5
42,8
95,7
90,8
36,5
97,0
42,9
35,0
75,8
95,2
22,7
44,3
53,1
89,5
89,1
4,1
87,8
75,3
93,7
67,1
E_ECAL
44,3
57,1
93,4
1,4
35,8
2,2
48,5
40,8
45,8
1,3
34,4
37,8
36,2
92,0
89,7
4,4
1,4
90,0
1,6
93,6
E_HCAL
15,6
12,5
0,0
4,1
10,8
8,9
6,2
3,3
21,0
7,9
0,0
2,6
22,9
0,0
0,0
0,0
4,3
0,0
6,8
0,0
Vermutung
qq
qq
ee
mm
tt
mm
qq
tt
qq
mm
tt
tt
qq
ee
ee
tt
mm
ee
mm
ee
Schnitt
qq
qq
ee
mm
tt
mm
qq
tt
qq
mm
tt
tt
qq
ee
ee
tt
mm
ee
mm
ee
Die Spalte “Vermutung” beinhaltet die von uns aufgrund der Detektorbilder vermuteten Ereignisse, die Spalte “Schnitt” gibt die Ergebnisse unserer Schnitte an. Die Schnitte liefern also
erfreulicherweise eine Selektion die unserer Erfahrung aus den Lerndatensätzen zu 100% entspricht.
3.1.3
Beispielhafte Untersuchung von Detektorbildern
Zur Anschauung sollen desweiteren Detektorbilder mit den vier Ereignisklassen exemplarisch
dargestellt werden.
12
In Abb. 8 sieht man ein typisches Z 0 → e+ e− Ereignis. Die Spuren des Elektrons und des
Positrons sind mit roten Linien dargestellt. Die blauen Kästchen symbolisieren das Ansprechen
des Elektromagnetischen Kalorimeters.
Run : event 2566 : 165523 Da te 911027 T ime 162412 Ct r k (N= 2 Sump= 91 . 9 ) Eca l (N= 4 SumE= 90 . 0 ) Hca l (N= 0 SumE= 0 . 0 )
Ebeam 45 . 61 Ev i s 91 . 9 Emi s s -0 . 7 Vt x ( -0 . 10 ,
0 . 11 ,
0 . 50 ) Muon(N= 0 ) Sec Vt x (N= 0 ) Fdet (N= 0 SumE= 0 . 0 )
Bz=0 . 001 Bunch l et 1/1 Thrus t=****** Ap l an=****** Ob l a t=****** Spher=******
Run : event 2566 : 165523 Da te 911027 T ime 162412 Ct r k (N= 2 Sump= 91 . 9 ) Eca l (N= 4 SumE= 90 . 0 ) Hca l (N= 0 SumE= 0 . 0 )
Ebeam 45 . 61 Ev i s 91 . 9 Emi s s -0 . 7 Vt x ( -0 . 10 ,
0 . 11 ,
0 . 50 ) Muon(N= 0 ) Sec Vt x (N= 0 ) Fdet (N= 0 SumE= 0 . 0 )
Bz=0 . 001 Bunch l et 1/1 Thrus t=****** Ap l an=****** Ob l a t=****** Spher=******
510 20 50 GeV
200 . cm.
200 . cm.
510 20 50 GeV
Y
Y
X
X
Z
Z
Abbildung 8: Z 0 → e+ e− RUN:EVENT 2566:165523
Als nächstes folgt mit Abb. 9 ein Z 0 → µ+ µ− Ereignis. Wie oben erwähnt durchdringen die
Myonen sowohl das Elektromagnetische als auch das Hadronische Kalorimeter, so dass die Myonenkammern (rote Pfeile) ansprechen.
Run : event 2568 : 89929 Da te 911028 T ime 135156 Ct r k (N= 2 Sump= 90 . 5 ) Eca l (N= 3 SumE= 1 . 5 ) Hca l (N= 5 SumE= 7 . 2 )
Ebeam 46 . 48 Ev i s 97 . 7 Emi s s -4 . 7 Vt x ( -0 . 08 ,
0 . 11 ,
0 . 61 ) Muon(N= 2 ) Sec Vt x (N= 0 ) Fdet (N= 0 SumE= 0 . 0 )
Bz=4 . 029 Bunch l et 1/1 Thrus t=0 . 9994 Ap l an=0 . 0000 Ob l a t=0 . 0307 Spher=0 . 0016
Run : event 2568 : 89929 Da te 911028 T ime 135156 Ct r k (N= 2 Sump= 90 . 5 ) Eca l (N= 3 SumE= 1 . 5 ) Hca l (N= 5 SumE= 7 . 2 )
Ebeam 46 . 48 Ev i s 97 . 7 Emi s s -4 . 7 Vt x ( -0 . 08 ,
0 . 11 ,
0 . 61 ) Muon(N= 2 ) Sec Vt x (N= 0 ) Fdet (N= 0 SumE= 0 . 0 )
Bz=4 . 029 Bunch l et 1/1 Thrus t=0 . 9994 Ap l an=0 . 0000 Ob l a t=0 . 0307 Spher=0 . 0016
200 . cm.
200 . cm.
510 20 50 GeV
510 20 50 GeV
X
Y
Z
Y
X
Abbildung 9: Z 0 → µ+ µ− RUN:EVENT 2568:89929
13
Z
Wie in Abb. 10 zu sehen ist zerfällt das τ + τ − -Paar sehr schnell in einige andere Teilchen. Man
erkennt hier eindeutig zwei Myonen und zwei hadronische Teilchen. Wie man an den deponierten
Energien erkennen kann, wird ein Großteil der anfänglichen Energie des Z 0 durch undetektierte
Neutrinos fortgetragen.
Run : event 2572 : 109621 Da te 911101 T ime 024120 Ct r k (N= 2 Sump= 17 . 8 ) Eca l (N= 9 SumE= 2 . 5 ) Hca l (N= 5 SumE= 5 . 0 )
Ebeam 45 . 11 Ev i s 20 . 9 Emi s s 69 . 4 Vt x ( -0 . 07 ,
0 . 11 ,
0 . 80 ) Muon(N= 4 ) Sec Vt x (N= 0 ) Fdet (N= 0 SumE= 0 . 0 )
Bz=4 . 030 Bunch l et 1/1 Thrus t=0 . 9897 Ap l an=0 . 0000 Ob l a t=0 . 0512 Spher=0 . 0011
Run : event 2572 : 109621 Da te 911101 T ime 024120 Ct r k (N= 2 Sump= 17 . 8 ) Eca l (N= 9 SumE= 2 . 5 ) Hca l (N= 5 SumE= 5 . 0 )
Ebeam 45 . 11 Ev i s 20 . 9 Emi s s 69 . 4 Vt x ( -0 . 07 ,
0 . 11 ,
0 . 80 ) Muon(N= 4 ) Sec Vt x (N= 0 ) Fdet (N= 0 SumE= 0 . 0 )
Bz=4 . 030 Bunch l et 1/1 Thrus t=0 . 9897 Ap l an=0 . 0000 Ob l a t=0 . 0512 Spher=0 . 0011
200 . cm.
200 . cm.
510 20 50 GeV
510 20 50 GeV
Y
X
X
Z
Z
Y
Abbildung 10: Z 0 → τ + τ − RUN:EVENT 2572:109621
Abb. 11 zeigt ein typisches Z 0 → qq Ereignis. Direkt nach der Entstehung hadronisiert das
Quark-Antiquark-Paar, was an der großen Anzahl der Spuren zu sehen ist. Ein weiteres Indiz
für dieses Ereignis ist der hohe Anteil an Energie, der im hadronischen Kalorimeter hinterlassen
wird.
Run : event 2568 : 78191 Da te 911028 T ime 123631 Ct r k (N= 36 Sump= 45 . 3 ) Eca l (N= 44 SumE= 53 . 2 ) Hca l (N= 9 SumE= 7 . 7 )
Ebeam 46 . 48 Ev i s 75 . 9 Emi s s 17 . 1 Vt x ( -0 . 10 ,
0 . 11 ,
0 . 31 ) Muon(N= 0 ) Sec Vt x (N= 1 ) Fdet (N= 0 SumE= 0 . 0 )
Bz=4 . 350 Bunch l et 1/1 Thrus t=0 . 9287 Ap l an=0 . 0193 Ob l a t=0 . 0336 Spher=0 . 0655
Run : event 2568 : 78191 Da te 911028 T ime 123631 Ct r k (N= 36 Sump= 45 . 3 ) Eca l (N= 44 SumE= 53 . 2 ) Hca l (N= 9 SumE= 7 . 7 )
Ebeam 46 . 48 Ev i s 75 . 9 Emi s s 17 . 1 Vt x ( -0 . 10 ,
0 . 11 ,
0 . 31 ) Muon(N= 0 ) Sec Vt x (N= 1 ) Fdet (N= 0 SumE= 0 . 0 )
Bz=4 . 350 Bunch l et 1/1 Thrus t=0 . 9287 Ap l an=0 . 0193 Ob l a t=0 . 0336 Spher=0 . 0655
200 . cm.
200 . cm.
510 20 50 GeV
510 20 50 GeV
X
Y
Z
X
Y
Abbildung 11: Z 0 → qq RUN:EVENT 2568:78191
14
Z
3.2
Teil II: Statistische Auswertung von Z 0 -Ereignissen
Am zweiten Versuchstag verwendeten wir die recht umfangreichen Datensätze der Monte-CarloSimulationen (MC), um die am Vortag gewonnenen Schnittkriterien zu verfeinern, wobei wir so
wenig Schnitte wie möglich setzten, um möglichst eine hohe Effizienz zu erhalten. Anschließend
wurden diese dann auf echte OPAL-Messdaten angewendet. Diese sind natürlich nicht bereits
nach Zerfallskanälen getrennt, sodass diese Aufgabe unseren Schnittkriterien überlassen ist. Wie
gut (oder schlecht) diese sind werden wir vorher mithilfe der Effizienzmatrix an den Monte-CarloDaten überprüfen. Dabei wird natürlich davon ausgegangen, dass die Monte-Carlo-Simulation
die Zerfälle und Vorgänge im Detektor hinreichend realistisch simuliert.
3.2.1
Überblick über die Monte-Carlo-Datensätze
Neben den bereits bekannten Variablen NCHARGED, PCHARGED, E_ECAL und E_HCAL,
kommen nun 3 weitere Variablen hinzu, die für Schnitte herangezogen werden können.
• COS_THET Winkel zwischen einlaufendem Positron und auslaufendem positiven Teilchen
(nicht immer definiert)
• COS_THRU Winkel zwischen Strahlachse und mittlerem auslaufendem Impuls
• E_LEP LEP-Strahlenergie (dient später zur Messreihenselektion)
Im Folgenden finden sich Histogramme der verschiedenen Variablen für jeweils alle vier Teilchenarten. Auch hier sind die Schnitte bereits eingezeichnet.
15
Taus
ID
Entries
Mean
RMS
50000
Hadronen
1000000
79214
2.971
1.301
1000000
98563
19.13
5.738
ID
Entries
Mean
RMS
7000
6000
40000
5000
30000
4000
3000
20000
2000
Häufigkeit
10000
1000
0
0
5
10
15
x 10
10000
ID
Entries
Mean
RMS
0
20
Muonen
1000000
94381
2.071
0.2561
0
20
40
Elektronen
60000
1000000
93802
1.700
1.067
ID
Entries
Mean
RMS
50000
8000
40000
6000
30000
4000
20000
2000
10000
0
0
2
4
0
6
0
2.5
5
7.5
10
NCHARGED
Abbildung 12: Monte-Carlo NCHARGED
4000
Taus
ID
Entries
Mean
RMS
3500
1000000
79002
35.55
16.43
3000
Hadronen
ID
Entries
Mean
RMS
5000
1000000
97546
49.62
17.20
4000
2500
2000
3000
1500
2000
Häufigkeit
1000
1000
500
0
0
50
0
100
0
50
100
Muonen
ID
Entries
Mean
RMS
22500
1000000
93656
85.06
20.50
20000
Elektronen
40000
35000
17500
30000
15000
12500
25000
10000
20000
7500
15000
5000
10000
2500
5000
0
ID
Entries
Mean
RMS
45000
0
50
0
100
0
50
PCHARGED
Abbildung 13: Monte-Carlo PCHARGED
16
100
1000000
93265
40.80
39.24
3500
Häufigkeit
Taus
ID
Entries
Mean
RMS
4000
3000
2500
2500
2000
2000
1500
1500
1000
1000
500
500
0
25
50
75
0
100
ID
Entries
Mean
RMS
50000
ID
Entries
Mean
RMS
3500
3000
0
Hadronen
4000
1000000
79214
29.84
16.09
20
40
60
Muonen
1000000
94381
3.670
5.365
80
1000000
98563
56.27
10.80
100
Elektronen
ID
Entries
Mean
RMS
12000
1000000
93802
89.55
6.845
10000
40000
8000
30000
6000
20000
4000
10000
0
2000
0
20
40
60
0
80
40
60
80
100
120
E_ECAL
Abbildung 14: Monte-Carlo E_ECAL
Taus
ID
Entries
Mean
RMS
25000
Häufigkeit
1000000
98563
13.39
9.240
ID
Entries
Mean
RMS
5000
20000
4000
15000
3000
10000
2000
5000
1000
0
0
50
0
100
Muonen
ID
Entries
Mean
RMS
18000
16000
1000000
94381
4.550
3.458
0
25
50
ID
Entries
Mean
RMS
70000
60000
12000
50000
10000
75
100
Elektronen
80000
14000
1000000
93802
1.106
1.775
40000
8000
30000
6000
20000
4000
10000
2000
0
Hadronen
6000
1000000
79214
7.091
8.148
0
25
50
75
100
0
0
20
40
E_HCAL
Abbildung 15: Monte-Carlo E_HCAL
17
60
80
Taus
ID
Entries
Mean
RMS
600
Hadronen
1000000
41902
0.6638E-02
0.5523
500
1000000
1
0.7300
0.3124E-08
ID
Entries
Mean
RMS
1
0.8
400
0.6
300
0.4
Häufigkeit
200
0.2
100
0
-1
-0.5
0
0.5
1
0
0.5
1
Muonen
1400
ID
Entries
Mean
RMS
1200
1.5
Elektronen
1000000
89823
0.2629E-02
0.6027
1000000
56720
0.3184
0.6839
ID
Entries
Mean
RMS
4500
4000
3500
1000
3000
800
2500
600
2000
400
1500
1000
200
0
0
500
-1
-0.5
0
0.5
1
0
-1
-0.5
0
0.5
1
COS_THET
Abbildung 16: Monte-Carlo COS_THET
Taus
1200
ID
Entries
Mean
RMS
Hadronen
1000000
76839
0.1681E-02
0.5574
ID
Entries
Mean
RMS
1400
1000
1000000
98563
-0.1912E-02
0.6098
1200
800
1000
600
800
600
400
400
Häufigkeit
200
0
200
-1
-0.5
0
0.5
1
Muonen
1400
ID
Entries
Mean
RMS
1200
1000000
82790
-0.2044E-02
0.5668
0
-1
-0.5
0
0.5
1
Elektronen
6000
ID
Entries
Mean
RMS
1000000
36194
-0.1125E-01
0.7810
5000
1000
4000
800
3000
600
2000
400
1000
200
0
-1
-0.5
0
0.5
0
1
-1
-0.5
0
COS_THRU
Abbildung 17: Monte-Carlo COS_THRU
18
0.5
1
3.2.2
Verfeinerung der Schnittkriterien
Ausgehend von unseren groben Schnitten, die wir bereits mithilfe der Lerndaten vom ersten
Versuchstag gewonnen haben, entscheiden wir nun inwiefern sich der Schnitt verbessern lässt.
Das ist natürlich eine Gratwanderung, da eine geringe Fehlzuordnung auch mit viel “Verschnitt”
einhergeht und eine hohe “Ausbeute” Fehlzuordnungen verursacht. Es gilt also sorgfältig abzuwägen und so wenig wie möglich und soviel wie nötig zu schneiden. Der COS_THET Schnitt für
Elektronen hat das Ziel ausschließlich s-Kanal-Ereignisse zu selektieren, da das Z 0 am t-Kanal
nicht beteiligt ist. Aus Abschnitt 2.4.2 ging hervor, dass der t-Kanal für cos(θ) → 1 dominiert
und dass der s-Kanal symmetrisch um cos(θ) = 0 ist. Wir wählen also den symmetrischen Teil
aus, der somit fast ausschließlich nur s-Kanal Ereignisse beinhalten dürfte.
Wir wählten folgende Schnittkriterien:
Variable
NCHARGED
PCHARGED
E_ECAL
E_HCAL
COS_THET
COS_THRU
3.2.3
τ −τ +
1<x<5
7<x<50
5<x<60
-0,9<x<0,9
q q̄
10<x
-
µ− µ+
77<x
x<15
x<15
-
e− e+
x<4
82<x
x<13
-0,9<x<0,5
-
Aufstellen der Effizienzmatrix
Die Effizienz der Schnitte wird einerseits durch einfaches Herausfallen von Ereignissen und andererseits durch Fehlzuordnungen eines Ereignisses in die falsche Teilchenklasse beinflusst.
Ein Maß dafür ist die Effizienzmatrix, die die tatsächlich durch Monte-Carlo in der jeweiligen
Ereignisklasse simulierten Ereignisse mit den erkannten verknüpft.
τ -Schnitt
q-Schnitt
µ-Schnitt
e-Schnitt
Pre-Cut
Simuliert
τ −τ +
51504
79
18
27
79214
100000
q q̄
2
93140
0
0
98563
100000
µ− µ+
199
0
82025
0
94381
100000
e− e+
17
0
0
20000
93802
33752
In den Spalten dieser Tabelle stehen die aus der jeweiligen Teilchenklasse “erkannten” Ereignisse,
wenn der vor der jeweiligen Zeile stehende Schnitt angewendet wurde. Pre-Cut sind die insgesamt pro Datensatz enthaltenen Ereignisse, die sich durch einen Pre-Cut von den ursprünglich
je 100000 simulierten Ereignissen unterscheiden. Da dies jedoch nur einen weiteren Schnitt darstellt, der die Effizienz beeinflusst, nehmen wir diese 100000 als Bezugswert. Bei den Elektronen
liegt die Sache durch den Schnitt zwischen s- und t-Kanal ein wenig anders. Hier können wir
uns nicht auf alle 100000 Ereignisse beziehen, da diese ja auch ungewollte t-Kanal Ereignisse
beinhalten, die die Effizienz fälschlicherweise verschlechtern würden. Der angegebene Wert von
33752 ist durch den Schnitt mit −0, 9 < cos(θ) < 0, 5 (s-Kanal) und anschließende Korrektur auf den Gesamtwinkelbereich (k), sowie Berücksichtigung des Pre-Cuts (p) errechnet. Als
19
Gesamt-Korrekturfaktor g ergibt sich somit:
R1
2
100000
−1 (1 + cos θ)d cos θ
g = k · p = R 0,5
·
= 1, 6876
2
93802
(1
+
cos
θ)d
cos
θ
−0,9
(14)
Die eigentliche Effizienzmatrix E ergibt sich nun aus den Einträgen der obigen Tabelle geteilt
durch die Anzahl der simulierten Ereignisse dieser Teilchenklasse (letzte Zeile) und beschreibt
die Wahrscheinlichkeiten, dass ein Ereignis aus Teilchenklasse j der Teilchenklasse i zugeordnet
wird.
mij
Ereignisse in Klasse i bei Schnitt aus Klasse j
ij =
(15)
=
Gesamtzahl Ereignisse Klasse j
Nj
Für die Matrix errechnen wir:


0, 51504 0, 00002 0, 00199 0, 00050
 0, 00079 0, 9314

0
0

E=
 0, 00018

0
0, 82025
0
0, 00027
0
0
0, 59256
Der Fehler der Einträge ergibt sich aus dem für die Binomialverteilung:
s
r
mij Nj − m2ij
ij (1 − ij )
=
∆ij =
N
Nj3
Wir berechnen folgenden Fehler:

1, 58 · 10− 3 1, 41 · 10− 5 1, 41 · 10− 4 1, 22 · 10− 4
 8, 88 · 10− 5 7, 99 · 10− 4
0
0
∆E = 
 4, 24 · 10− 5
0
1, 21 · 10− 3
0
5, 20 · 10− 5
0
0
2, 67 · 10− 3
(16)




Für die folgende Auswertung ist es nötig, die Inverse der Effizienzmatrix und ihres Fehlers zu
kennen. Nach (E + ∆E)−1 = E −1 + ∆(E −1 ) können wir E einfach mit DERIVE invertieren um
E −1 zu erhalten.


1, 94160 −0, 00004 −0, 00471 −0, 00164
 −0, 00165 1, 07365
0, 00000
0, 00000 

E −1 = 
 −0, 00043 0, 00000
1, 21914
0, 00000 
−0, 00088 0, 00000
0, 00000
1, 68759
Um hingegen den Fehler von E −1 zu errechnen, müssen wir eine Näherung verwenden. Wir
benutzen hierbei:
1 = (E + ∆E)(E −1 + ∆(E −1 ))
1 = EE −1 + E∆(E −1 ) + ∆EE −1 + ∆E∆(E −1 )
1 = 1 + E∆(E −1 ) + ∆EE −1 + o(∆2 )
⇒ ∆(E −1 ) ≈ |E −1 ∆EE −1 |
(17)
Diese Abschätzung ist möglich, da alle Matrizen näherungsweise Diagonalgestalt haben. Den
quadratische Fehlerterm o(∆2 ) können wir aufgrund seiner Kleinheit vernachlässigen.
20
Wir erhalten für den Fehler der inversen

5, 96 · 10−3
 1, 79 · 10−4
∆(E −1 ) = 
 9, 85 · 10−5
1, 64 · 10−4
3.2.4
Effizienzmatrix:
2, 93 · 10−5
9, 21 · 10−4
8, 58 · 10−9
1, 69 · 10−8
3, 12 · 10−4
7, 11 · 10−7
1, 80 · 10−3
5, 46 · 10−7

3, 88 · 10−4
4, 84 · 10−7 

1, 69 · 10−7 
7, 62 · 10−3
Bestimmung der Wirkungsquerschnitte
Nun wenden wir unsere Schnittkriterien auf einen ungefilterten Datensatz mit Z 0 -Ereignissen
an. Mithilfe von E_LEP selektieren wir zusätzlich die gewünschte Energie. Im Éinzelnen liefern
unsere Schnitte folgende Werte aus daten6, die Fehler sind die statistischen nach Poisson.
ECM S [GeV]
88,48
89,47
90,23
91,24
91,97
92,97
93,72
nτ
109
224
403
5929
497
229
259
∆nτ
10,4
15,0
20,1
77,0
22,3
15,1
16,1
nq
3373
7541
14924
223630
19006
8202
8731
∆nq
58,1
86,8
122,2
472,9
137,9
90,6
93,4
nµ
127
324
628
9362
813
327
365
∆nµ
11,3
18,0
25,1
96,8
28,5
18,1
19,1
ne
125
311
503
6243
490
186
226
∆ne
11,2
17,6
22,4
79,0
22,1
13,6
15,0
Fassen wir die durch unsere Schnitte erhaltenen Ereigniszahlen für jede Schwerpunktsenergie in
einem Vektor ~nmess zusammen, erhalten wir daraus mit unserer Effizienzmatrix die eigentlichen
Ereigniszahlen ~nreal nach
~nreal = E −1~nmess
(18)
Daraus lassen sich mithilfe der Luminosität L und einem Strahlungskorrekturterm ~s die Wirkungquerschnitte der einzelnen Zerfallskanäle berechnen.
~σ =
1
1
~nreal + ~s = E −1~nmess + ~s
L
L
(19)
Der Korrekturterm ~s berücksichtigt hierbei das Auftreten von Feynman-Graphen höherer Ordnung. Da im hadronischen Kanal auch Gluonen entstehen können, unterscheidet sich die Strahlungskorrektur für Leptonen von der für Hadronen. L und ~s sind beides Funktionen der Schwerpunktsenergie. Ihre Werte sind im [Skript] bzw. im [Zusatzskript] angegeben:
ECM S [GeV]
88,47
89,46
90,22
91,22
91,97
92,96
93,71
Ldt [nb−1 ]
675,859
800,8436
873,7021
7893,498
825,278
624,59
942,228
∆Ldt [nb−1 ]
5,72126
6,60649
7,12117
54,30692
6,85298
5,50082
7,70424
21
shadron [nb]
2
4,3
7,7
10,8
4,7
-0,2
-1,6
slepton [nb]
0,09
0,2
0,36
0,52
0,22
-0,01
-0,08
Der Fehler von σ ergibt sich nach Gaussscher Fortpflanzung als:
v
2
u
u
2 2 X
u ∆L
1 X −1 
−1
−1

t
∆σi =
Eij nj
∆(Eij )nj + Eij ∆nj
+ 2
L2
L
j
(20)
j
Damit erhalten wir folgende Wirkungsquerschnitte
ECM S [GeV]
88,48
89,47
90,23
91,24
91,97
92,97
93,72
3.2.5
στ [nb]
0,40174
0,74014
1,25053
1,97032
1,38270
0,69837
0,45110
∆στ [nb]
0,03012
0,03660
0,04529
0,02189
0,05346
0,04751
0,03349
σq [nb]
7,35800
14,40940
26,03867
41,21633
29,42503
13,89841
8,34837
∆σq [nb]
0,10291
0,14347
0,21243
0,22048
0,27344
0,19950
0,13426
σµ [nb]
0,31902
0,69311
1,23610
1,96563
1,42075
0,62812
0,39215
∆σµ [nb]
0,02042
0,02771
0,03571
0,01808
0,04332
0,03575
0,02503
σe
0,40198
0,85511
1,33116
1,85406
1,22146
0,49223
0,32454
∆σe [nb]
0,02808
0,03767
0,04426
0,02015
0,04624
0,03718
0,02719
Breit-Wigner-Fits, Z 0 -Masse und Zerfallsbreite ΓZ
Die ermittelten Wirkungsquerschnitte gehorchen gemäß (3) einer Breit-Wigner-Form in Abhängigkeit zur Schwerpunktsenergie. Wir formulieren (3) zunächst um und fitten anschließend
für jeden Zerfallskanal über die sieben Energien mit ORIGIN.
σf =
sΓZ 2 σfpeak
Γ2
(21)
(s − MZ2 )2 + (s2 MZ2
Z
Die Güte unseres Fits stellen wir einerseits über die Fehler der Fitparameter fest, andererseits
χ2
erfolgt ein Auswertung durch die Größe DoF
P
χ2
i (xi − x̄/(∆xi )
=
DoF
Degrees − of − F reedom
(22)
Wobei DoF die Anzahl der Freiheitsgrade, also die Anzahl der Messpunkte abzüglich der Anzahl
der Fitparameter bedeutet. In unserem Fall also 4. Gehorchen die Messwerte unserem Fit erwarχ2
ten wir einen DoF
Wert von 1, ist der Wert kleiner, so ist der Fit unerwartet gut, umso größer
er ist, desto schlechter liegen die Messwerte auf der Fitfunktion.
In den folgenden Graphen sind neben den Messwerten und den eigentlichen Breit-Wigner-Fits
auch die 2σ-Konfidenzbänder des Fits, sowie die Original OPAL-Daten eingezeichnet.
22
ττ-Messwerte
OPAL-Daten
Breit-Wigner-Fit
2σ-Konfidenzbänder
2,2
2,0
Model: BreitWigner
Weighting:
y
w = 1/(∆)^2
1,8
1,6
χ^2/DoF = 1.03228
R^2
1,4
σ [nb]
σf
1,2
peak
= 0.99847
1.96763
±0.02324
ΓZ
2.6436
±0.06076
MZ
91.18236
±0.03063
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
88
89
90
91
92
93
94
√s [GeV]
Abbildung 18: Breit-Wigner-Form Tauonen
qq-Messwerte
OPAL-Daten
Breit-Wigner-Fit
2σ-Konfidenzbänder
45
40
Model: BreitWigner
Weighting:
y
w = 1/(∆)^2
35
χ^2/DoF = 0.77503
R^2
30
σ [nb]
σf
25
peak
= 0.99989
41.18539
±0.20517
ΓZ
2.52931
±0.01466
MZ
91.19216
±0.00656
20
15
10
5
88
89
90
91
92
93
√s [GeV]
Abbildung 19: Breit-Wigner-Form Hadronen
23
94
µµ-Messwerte
OPAL-Daten
Breit-Wigner-Fit
2σ-Konfidenzbänder
2,2
2,0
Model: BreitWigner
Weighting:
y
w = 1/(∆)^2
1,8
1,6
χ^2/DoF = 0.4193
R^2
1,4
σ [nb]
σf
1,2
= 0.99966
peak
1.9723
±0.01956
ΓZ
2.4797
±0.04418
MZ
91.19332
±0.02352
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
88
89
90
91
92
93
94
√s [GeV]
Abbildung 20: Breit-Wigner-Form Myonen
ee-Messwerte
OPAL-Daten
Breit-Wigner-Fit
2σ-Konfidenzbänder
2,2
2,0
Model: BreitWigner
Weighting:
y
w = 1/(∆σ)^2
1,8
1,6
Chi^2/DoF = 3.04615
R^2
= 0.99612
1,4
σ [nb]
σf
1,2
peak
1.93288
2.50107
±0.05834
MZ
90.99076
±0.02682
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
88
89
90
91
92
93
√s [GeV]
Abbildung 21: Breit-Wigner-Form Elektronen
24
±0.02227
ΓZ
94
2
χ
Anhand der niedrigen DoF
-Werte erkennt man, dass mit Ausnahme des Elektronenfits alle Werte
sehr gut der Fitfunktion gehorchen, was man auch optisch bestätigt findet. Ebenso liegen wieder
mit Ausnahme der Elektronen die originalen OPAL-Daten innerhalb der 2σ-Konfidenzbänder.
Die Werte für Elektronen scheinen nach links verschoben zu sein, was einem auch die gefittete
Schwerpunktenergie nahelegt. Später mehr zu den einzelnen Fehlerquellen.
Wir erhalten im Einzelnen folgende Werte aus den Fits:
Teilchen
χ2 /DoF
σfpeak [nb]
∆σfpeak [nb]
ΓZ [GeV]
∆ΓZ [GeV]
MZ [GeV]
∆MZ [GeV]
τ −τ +
1,03228
0,77503
0,41930
3,04615
1,96763
41,18539
1,97233
1,93288
0,02324
0,20517
0,01956
0,02227
2,64360
2,52931
2,47975
2,50107
0,06076
0,01466
0,04418
0,05834
91,18236
91,19216
91,19332
90,99076
0,03063
0,00656
0,02352
0,02682
q q̄
−
µ µ+
e− e+
Wir errechnen die gewichteten Mittelwerte für die Z 0 -Zerfallsbreite und die Z 0 -Masse.
ΓZ = (2, 53152 ± 0, 03214) [GeV]
MZ = (91, 16279 ± 0, 01510) [GeV]
Als Literaturwerte entnehmen wir [PDG]:
ΓZ = (2, 4952 ± 0, 0023) [GeV]
MZ = (91, 1876 ± 0, 0021) [GeV]
Diese Werte werden nur knapp verfehlt.
Aus MZ und ΓZ lassen sich nach Gleichung (4) die einzelnen Zerfallsbreiten berechnen, indem
man nach der jeweiligen Größe auflöst.
Γτ
Γq
Γµ
Γe
Gemessen [MeV]
85, 249 ± 2, 621
1784, 382 ± 51, 434
85, 452 ± 2, 57
83, 743 ± 1, 063
Literatur [MeV]
83, 984 ± 0, 086
1744, 4 ± 2, 0
83, 984 ± 0, 086
83, 984 ± 0, 086
Errechnet [MeV]
83,41
1674,4
83,41
83,41
“Literatur” ist [PDG] entnommen, “Errechnet” aus den Vorbereitenden Aufgaben. Alle Werte
stimmen innerhalb der Fehlergrenzen mit den Literaturwerten überein, bei den errechneten wird
nur der oben bereits diskutierte hadronische Wert nicht erreicht.
3.2.6
Lepton-Universalität
Da wir die Massen der Z 0 -Zerfallsprodukte vernachlässigen, sollten die Partialbreiten für einen
Zerfall in ein Leptonpaar übereinstimmen. Wir erhalten folgende Verhältnisse.
Γµ
= 1, 0204 ± 0, 0307
Γe
Γτ
= 1, 0180 ± 0, 0313
Γe
25
[PDG] liefert als Literaturwerte:
Γµ
= 1, 0009 ± 0, 0028
Γe
Γτ
= 1, 0019 ± 0, 0032
Γe
Unsere Werte stimmen sehr gut mit den Literaturwerten überein, womit die Universalität hinreichend nachgewiesen wäre.
Als Nächstes sollen die Verhältnisse des totalen Peak-Wirkungsquerschnittes zu den leptonischen
Querschnitten errechnet und mit dem aus [PDG]-Daten gewonnenen Literaturwert verglichen
werden.
σq /στ
σq /σµ
σq /σe
Gew. Mittelwert
PDG
20, 931 ± 0, 104
20, 882 ± 0, 104
21, 308 ± 0, 106
21, 039 ± 0, 105
20, 771 ± 0, 032
Leider wird der Literaturwert recht deutlich verfehlt, was zumindest zum Teil dem schlechteren
Elektronenfit zuzuschreiben ist.
3.2.7
Anzahl leichter Neutrinogenerationen
Wie aus (1) ersichtlich, ist ΓZ eine additive Größe und lässt bei Kenntnis der Partialbreiten
Rückschlüsse auf die Anzahl der leichten Neutrinogenerationen zu.
Aus
ΓZ = Γe + Γµ + Γτ + n · Γν + Γq
ΓZ − Γq − Γτ − Γµ − Γe
⇒n=
Γν
(23)
(24)
folgt
n = 2, 97 ± 0, 31
Der erhaltene Wert lässt sich gut mit dem Standardmodell vereinbaren, das 3 leichte Neutrinogenerationen vorsieht. Sollte es weitere geben, so müssten diese eine Masse besitzen, die größer
ist als MZ /2.
3.2.8
Vorwärts-Rückwärts-Asymmetrie
Für das Bestimmen des Weinberg-Winkels soll an dieser Stelle die Vorwärts-Rückwärts-Asymmetrie
berechnet werden. Hierfür benutzen wir die e+ e− → µ+ µ− Ereignisse, die sich dafür besonders
gut eignen. Andere Ereignisse bringen große Fehler mit sich. So beinhaltet die e+ e− → e+ e−
Klasse wie oben besprochen den t-Kanal der Wechselwirkung. Für hadronische Ereignisse ist der
Winkel θ gar nicht definiert, da hier viele Spuren entstehen. Der Zerfall in Tauonen weist eine
geringe Zählrate auf, so dass statistische Fehler relativ groß sind.
Um die Asymmetrie zu berechnen wenden wir unsere Schnitte auf den Datensatz daten6 an.
Zusätzlich dazu schnitten wir bei NR : −1 ≤ cos θ < 0 bzw. NV : 0 ≤ cos θ < 1. Zu den Asymmetriewerten wurden danach die im [Skript] gegebenen Korrekturwerte addiert, so dass das Ergebnis
in der nächsten Tabelle dargestellt werden kann.
26
Ecms
88,48
89,47
90,23
91,24
91,97
92,97
93,72
NR
74
164
327
4514
387
124
155
NV
51
147
278
4443
392
182
192
A
-0,184
-0,055
-0,081
-0,008
0,006
0,190
0,107
AF B
-0,162
-0,035
-0,064
0,010
0,037
0,252
0,200
∆AF B
0,0879
0,0566
0,0405
0,0106
0,0358
0,0561
0,0534
Um daraus den Weinberg-Winkel zu berechnen benötigt man die Asymmetrie am Peak, d.h. in
der Z 0 -Resonanz. Wir tragen Akorr gegen korrigierte Schwerpunktsenergien auf. Die Korrektur
wird vorgenommen um den unphysikalisch großen Achsenabschnitt zu verhindern. Da die Masse
des Z 0 bei etwa 91 GeV liegt ist dieses Vorgehen zulässig.
AFB
linearer Fit
0,4
0,3
Asymmetrie
0,2
0,1
0,0
-0,1
-0,2
-0,3
-3
-2
-1
0
1
2
3
ECMS - 91 GeV [GeV]
Abbildung 22: Vorwärts-Rückwärts-Asymmetrie
Der lineare Fit ergibt:
AF B = (0, 01052 ± 0, 00942) + (0, 07259 ± 0, 01282)
(Ecms − 91GeV)
[GeV ]
(25)
Setzt man nun die Energie des Z 0 ein, so erhält man mit Hilfe der Formel (12) folgende Werte
27
für den Weinberg-Winkel:
91, 187 ± 0, 0021GeV : sin2 θW
2
91, 161 ± 0, 0120GeV : sin θW
= 0, 22758 ± 0, 00452
= 0, 22849 ± 0, 00467
Der erste Wert verwendet dabei den Literaturwert für MZ aus [PDG], der zweite unseren gemessenen. Beide liegen innerhalb der Fehlergrenzen im Bereich des Literaturwertes von
(sin2 θW )lit = 0, 23122
Das [Skript] schlägt eine zweite Möglichkeit zur Berechnung des Winkels vor. Es soll dabei der
Wert A = −0, 008 bei der Energie 91,22 GeV mit 0, 0152 korrigiert werden und daraus der
Weinberg-Winkel berechnet werden.
sin2 θW = 0, 23769 ± 0, 009
Dieser Wert liegt ebenfalls im Bereich des Literaturwertes.
4
Fazit und Fehlerdiskussion
Fast alle unsere Werte treffen die Literaturwerte hinreichend genau, meist sind Abweichungen
durch Beteiligung der Elektronendaten zu erklären. Die Elektronen sind durch den Schnitt gegen
die t-Kanal-Ereignisse der Zerfallskanal mit dem größten systematischen Fehler.
Wir möchten im Folgenden auf die im Laufe des Versuches gemachten Annahmen und systematisch Fehler kurz eingehen.
• Die Effizienzmatrix wurde nur für eine Energie bestimmt und wäre deshalb auch eigentlich
nur für diese eine Energie verwendbar. Desweiteren wurde oben bereits die Frage gestellt,
wie realitätsnah die Monte-Carlo-Simulationen die Vorgänge im Detektor beschreiben. Dies
ist ein systematischer Fehler, dessen Größe nur sehr schwer abgeschätzt werden kann.
• Alle verwendeten Formeln basieren nur auf Störungstheorie erster Ordnung. Zwar sollte
dies durch die Strahlungskorrekturen aufgefangen werden, doch in welchem Umfang dies
gelingt bzw. nicht gelingt, erzeugt ebenfalls eine systematische Unsicherheit.
• Die Errechnung der Effizienz für den Elektronenkanal gestaltet sich recht aufwendig und
fußt auf sehr vielen Annahmen. So z.B. der Annahme, dass der Pre-Cut s- und t-Kanal
gleichermaßen beeinflusst, ebenso wurde auch hier eine Energieunabhängigkeit des Verhältnisses vorrausgesetzt. Zuletzt machen wir durch die Hochrechnung des s-Kanals auf den
gesamten Winkelbereich einen größenmäßig schwer einzuschätzenden Fehler.
Zusammenfassend ist jedoch zu sagen, dass unsere Schnitte gut gewählt erscheinen und alle Werte
zufriedenstellend errechnet werden konnten.
A
Anhang: Lerndatensätze
28
Run
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E_ECAL
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E_HCAL
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Abbildung 23: Z 0 → τ + τ −
Run
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Abbildung 24: Z 0 → qq
29
E_ECAL
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1,6
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5,7
Abbildung 25: Z 0 → µ+ µ−
Run
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2571
Event
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Abbildung 26: Z 0 → e+ e−
30
E_ECAL
82,6
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0,0
0,0
0,3
0,0
0,0
0,0
0,0
Literatur
[Skript] Versuchsbeschreibung zum Versuch E213
[Zusatzskript] Ergänzende Informationen zum Versuch E213
[PDG] Particle Data Group - Particle Physics Booklet, 2004
31