FP2-Experiment E213 Protokoll Analyse von Z 0-Zerfällen Dimitri Pritzkau, Niels Räth 22./23. März 2007 Universität Bonn Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Theoretische Grundlagen 2.1 Theorie der elektroschwachen Wechselwirkung . . 2.2 e− e+ -Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Vorwärts-Rückwärts Asymmetrie AF B . . . . . . 2.4 Vorbereitende Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Zerfallsbreiten und Wirkungsquerschnitte 2.4.2 Winkelverteilungen . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Vorwärts-Rückwärts-Asymmetrie . . . . . 2.5 OPAL-Detektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Mikrovertexdetektor . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Vertexkammer . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Jetkammer . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4 Z-Kammern . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.5 Solenoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.6 Elektromagnetische Kalorimeter . . . . . . 2.5.7 Hadronische Kalorimeter . . . . . . . . . . 2.5.8 Myonenkammer . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.9 Vorwärtsdetektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 3 4 4 5 6 6 7 8 8 8 8 8 8 8 8 3 Versuchsdurchführung und Auswertung 3.1 Teil I: Analyse von Ereignissen am Bildschirm . . . . . . . . . 3.1.1 Überblick über die Lerndatensätze . . . . . . . . . . . 3.1.2 Aufstellen der Schnittkriterien . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Beispielhafte Untersuchung von Detektorbildern . . . . 3.2 Teil II: Statistische Auswertung von Z 0 -Ereignissen . . . . . . 3.2.1 Überblick über die Monte-Carlo-Datensätze . . . . . . 3.2.2 Verfeinerung der Schnittkriterien . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Aufstellen der Effizienzmatrix . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Bestimmung der Wirkungsquerschnitte . . . . . . . . . 3.2.5 Breit-Wigner-Fits, Z 0 -Masse und Zerfallsbreite ΓZ 3.2.6 Lepton-Universalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.7 Anzahl leichter Neutrinogenerationen . . . . . . . . . . 3.2.8 Vorwärts-Rückwärts-Asymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 9 12 12 15 15 19 19 21 22 25 26 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Fazit und Fehlerdiskussion 28 A Anhang: Lerndatensätze 28 1 1 Einleitung In den Jahren 1989 bis 2000 war am CERN in Genf der Speicherring LEP in Betrieb, der für die vier großen Experimente ALEPH, DELPHI, L3 und OPAL, Elektronen und Positronen beschleunigte und zur Kollision brachte. Dieser Versuch legt sein Augenmerk auf den OPAL-Detektor und unsere Aufgabe ist es mit diesem Detektor gewonnene Datensätze auszuwerten, um so einige Parameter der elektroschwachen Theorie beim Zerfall des Z 0 zu bestimmen, so z.B. seine Masse, sowie totale und partielle Zerfallsbreiten. Insbesondere lernen wir durch diesen Versuch einige Methoden der modernen Elemtarteilchenund Detektorphysik kennen und auch anwenden. 2 2.1 Theoretische Grundlagen Theorie der elektroschwachen Wechselwirkung Die von Weinberg, Glasgow und Salam entwickelte Theorie der elektroschwachen Wechselwirkung beschreibt im Rahmen des Standardmodells Wechselwirkungen zwischen Leptonen und Quarks mit Hilfe der Bosonen: W ± , Z 0 , γ und dem Higgs-Boson. Diese Theorie wird als Quantenfeldtheorie mit der Eichsymmetriegruppe SUL (2) × UY (1) definiert. Die drei Generatoren der SUL (2) stellen den schwachen Isospin I dar, der nur mit linkshändigen Teilchen wechselwirkt, und der Generator Y der Gruppe U (1) wird Hyperladung genannt. Zum nichtabelschen Teil der elektroschwachen Symmetriegruppe gehören drei Eichfelder Wµi , zum abelschen das Feld Bµ . Über den Higgs-Mechanismus werden allen Teilchen Masse zugeordnet, insbesondere auch den Bosonen. Diagonalisiert man die Matrix für die vier Eichfelder, so lassen sich die Austauschbosonen als Eigenwerte definieren: 1 Wµ± = √ (Wµ1 ∓ Wµ2 ) 2 Zµ0 = Wµ3 cos θW − Bµ sin θW Aµ = Wµ3 sin θW + Bµ cos θW wobei das Photonenfeld Aµ als einziges masselos ist und der Weinberg-Winkel θW über das 0 Verhältniss tan θW = gg definiert wird. Dabei ist g 0 die Kopplung an die Hyperladung und g die Kopplung an den schwachen Isospin. Mit Hilfe der obigen Überlegung lassen sich nun die Vertexfaktoren für die Wechselwirkung zwischen Fermionen und Photonen bzw. dem Z 0 -Boson gewinnen. Im elektromagnetischen Fall wird diese durch die Ladung des Fermions hervorgerufen. Für die schwache Wechselwirkung ist die Situation aufgrund von unterschiedlichen Verhalten der rechts- und linkshändigen Teilchen komplizierter. Hier definiert man die Vektorkopplung gV und die Axialkopplung gA wie folgt: gVf = I3f − 2Qf sin2 θW f gA = I3f 2.2 e− e+ -Wechselwirkung In diesem Abschnitt richten wir unsere Aufmerksamkeit auf die e− e+ -Wechselwirkung, da diese am LEP untersucht wurde. Im Folgenden sind alle möglichen Feynman-Diagramme erster Ord2 nung aufgezeichnet. Dabei beschreibt der s-Kanal die Annihilation des Elektrons und Positrons und der t-Kanal Streuung dieser Teilchen. e+ e+ e+ f γ γ e- f e- e- e+ f e+ e+ Z Z 0 0 e- e- f e- Abbildung 1: Feynman-Graphen für s-Kanal (links) und t-Kanal (rechts) Im weiteren Verlauf beschränken wir uns auf den s-Kanal, der Sinn wird in Abschnitt 2.4.2 deutlich werden. Die Zerfallsbreite ΓZ ist als das Inverse der Lebensdauer des Z 0 definiert und lässt sich als Summe aller Partialbreiten schreiben: ΓZ = Γe + Γµ + Γτ + 3 · Γν + Γq Die Partialbreite Γf ist durch folgende Formel gegeben: √ 2 · Ncf Γf = · GF · MZ3 [(gVf )2 + (gVf )2 ] 12π (1) (2) woraus sich die Breit-Wigner-Form für den Wirkungsquerschnitt ergibt: σf = sΓe Γf 12π · 2 2 MZ (s − MZ )2 + (s2 Γ2Z )/MZ2 (3) Im Resonanzfall (s = MZ2 ) ergibt sich der Peak des Wirkungsquerschnittes σfpeak : σfpeak = 12π Γe Γf · 2 MZ2 ΓZ (4) Eines der Ziele des Versuches ist es, die partiellen Wirkungsquerschnitte bei verschiedenen Energien zu bestimmen und so die Resonanzkurve zu vermessen. Die Breite der Breit-Wigner-Form ist für die einzelnen Zerfallskanäle gleich, die Höhen aber hängen vom beobachteten Zerfall ab. 2.3 Vorwärts-Rückwärts Asymmetrie AF B Der differentielle Wirkungsquerschnitt Näherung gegeben durch dσf dΩ für die Reaktion e+ e− → f + f − ist in Bornscher dσf α2 Ncf = F1 (s)(1 + cos2 θ) + 2F2 (s) cos θ dΩ 4s 3 (5) mit F1 = Q2f − 2ve vf Qf Reχ + (ve2 + a2e )(vf2 + a2f )|χ|2 (6) F2 (s) = −2ae af Qf Reχ + 4ve ae vf af |χ|2 s χ(s) = 2 (s − MZ ) + (isΓZ /MZ ) (7) (8) Diese Asymmetrie benutzen wir um die Gültigkeit der elektroschwachen Theorie nachzuweisen. In diesem Fall gibt es mehrere Gründe für diesen Effekt. Unterhalb und oberhalb der Z 0 -Masse liegt die Ursache in der Interferenz der elektromagnetischen Vektor- und der schwachen Axial-VektorWechselwirkung. Am Maximum ist die Interferenz der schwachen Vektor- und Axial-VektorWechselwirkung der Grund. Experementell definieren wir die Vorwärts-Rückwärts-Asymmetrie durch die Differenz der Wirkungsquerschnitte in der Vorwärts- und Rückwärtshemisphäre geteilt durch deren Summe. Nach [Skript] ergibt sich daraus: R0 R +1 dσ dσ 3F2 f 0 d cos θ d cos θ − −1 d cos θ d cos θ = (9) AF B = R +1 dσ 4F1 d cos θ −1 d cos θ Für den Bereich oberhalb und unterhalb des Z 0 -Maximums gilt: ae af Qf Reχ −3 AfF B ∼ = 2 2 (ve + a2e )(vf2 + a2f ) (10) Auf dem Peak des Z 0 -Maximums erhält man: =3 Af,peak FB (ve2 (v/a)f ve ae (v/a)e =3 vf af 2 2 2 (1 + v/a) + ae ) (v2 +a2 ) e (1 + v/a)f f (11) f Für Leptonen ist vl /al = 1 − 4 sin2 θW vergleichsweise sehr klein, wodurch die Asymmetrie am Maximum klein ist: ∼ Al,peak (12) = 3(vl /al )2 = 3(1 − 4 sin2 θW )2 FB Durch die direkte Messung lässt sich also sehr einfach auf den Weinberg-Winkel schließen. 2.4 2.4.1 Vorbereitende Aufgaben Zerfallsbreiten und Wirkungsquerschnitte • Berechnen Sie die Zerfallsbreiten für die verschiedenen Fermionenpaare und vergleichen Sie diese mit den in Tab. 2.1 [Skript] angegebenen Werten. Für jeweilige Fermionen f lassen sich mit Hilfe der Gleichung (2) die zugehörigen Zerfallsbreiten Γf berechnen. Folgende Literaturwerte wurden [PDG] entnommen: MZ = 91, 1876 GeV, sin2 θW = 0, 2312 Folgende Tabelle stellt die Ergebnisse dar: f I3f Qf Γf Γskript f e, µ, τ νe , νmu , ντ u,c d,s,b − 12 +1 + 12 − 12 −1 0 + 31 − 31 83, 41 MeV 165, 87 MeV 285, 40 MeV 367, 86 MeV 83, 8 MeV 167, 6 MeV 299 MeV 378 MeV 4 (13) Der Zerfall der Z 0 in top-Quarks ist aufgrund der hohen Masse dieses Quarks von 175 GeV nicht möglich. Die von uns berechneten Werte zeigen bei Quarks größere Abweichungen. Dies könnte damit begründet werden, dass die Formel 2 nur die erste Ordnung Störungstheorie berücksichtigt und darüber hinaus die Fermion-Massen vernachlässigt. • Berechnen Sie die folgenden Größen: – Gesamtbreite ΓZ – Hadronische Breite Γq – „geladene“ leptonische Breite Γl,Ladung – „neutrale“ leptonische Breite (unsichtbare Breite) Γν – Partielle Wirkungsquerschnitte am Resonazmaximum In der folgenden Tabelle werden die gefragten Breiten dargestellt: ΓZ Γq Γl,Ladung Γν 2422,2 1674,4 250,22 497,61 MeV MeV MeV MeV Die Breiten ergeben sich eifach aus der Summation der entsprechenden Partialbreiten. Für das Berechnen der partiellen Wirkungsquerschnitte am Resonanzmaximum ziehen wir die Gleichung (4) heran. Die Ergebnisse sind in der nachstehenden Tabelle aufgelistet: σepeak = σµpeak = στpeak peak = σντ = σνpeak σνpeak µ e σupeak = σcpeak peak = σspeak = σbpeak σd 2,15 4,28 7,36 9,48 nb nb nb nb • Um wieviel % würde sich die Breite der Z 0 -Resonanz jeweils ändern, wenn der Zerfall in ein weiteres leichtes Fermion möglich wäre (u,d,e,ν)? Wenn Z 0 in ein weiteres Fermion X Zerfallen könnte, so würde sich dessen Zerfallsbreite ΓZ um ΓX /ΓZ vergrößern. Somit ändert sich die Zerfallsbreite für ein solches geladenes Lepton um 3, 8%, Neutrino um 6, 8%, positives Quark um 11, 8% und negatives Quark um 15, 2%. 2.4.2 Winkelverteilungen • Zeichnen Sie die erwarteten Formen der Winkelverteilung für die Prozesse e+ e− → e+ e− und e+ e− → µ+ µ− auf.Trennen Sie im Falle von e+ e− → e+ e− die einzelnen Beiträge voneinander. In diesem Fall beschränken wir uns auf den s- und t-Kanal unter Photonenaustausch. Dabei beschreibt der s-Kanal die Annihilation und der t-Kanal die Streuung der Teilchen. Für den t-Kanal kommt nur die Reaktion e+ e− → e+ e− in Frage, da sonst die Leptonenzahlerhaltung verletzt wäre. Der s-Kanal ist, wie in Abbildung 2 zu sehen, in cos θ symmetrisch; 5 der t-Kanal jedoch nicht. Dabei ist θ der Winkel zwischen einlaufendem und auslaufendem positiven Teilchen. Der funktionale Zusammenhang ist: dσ dΩ dσ dΩ = (1 + cos2 θ), s-Kanal = (1 − cos θ)−2 , t-Kanal Die folgende Abbildung zeigt die Wirkungsquerschnitte beider Kanäle und deren Summe. Differentieller WQ dσ/dcosθ s-Kanal t-Kanal Summe -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 cos θ Abbildung 2: Winkelverteilungen Der Gesamtwirkungsquerschnitt ist also asymmetrisch. Der t-Kanal trägt allerdings nur bei kleinen Winkel bei, so dass durch das „Wegschneiden“ von Ereignissen bei kleinen Winkeln der s-Kanal herausgefiltert werden kann. Abgesehen davon, wird der t-Kanal jedoch für die Luminositätsbestimmung verwendet, da dessen Wirkungsquerschnitt mit einer sehr hohen Genauigkeit bekannt ist. 2.4.3 Vorwärts-Rückwärts-Asymmetrie • Berechnen Sie die Vorwärts-Rückwärts-Asymmetrie für den Prozeß e+ e− → µ+ µ− bei √ s = 91.225 GeV, 89, 225 GeV und 93, 225 GeV mit den folgenden Werten für sin2 θ : 0,21, 023 und 0,25. Für diese Aufgabe benutzen wir Formel (9) und stellen die Ergebnisse in der folgenden √ √ √ s = 91.225 GeV s = 89, 225 GeV s = 93, 225 GeV 2 -0,0942 0,0758 0,2314 Tabelle dar: sin2 θ = 0,21 sin θ = 0,23 -0,1645 0,0223 0,1961 sin2 θ = 0,25 -0,1954 0,0037 0,1901 2.5 OPAL-Detektor Die für diesen Versuch zur Verfügung gestellten Daten wurden am europäischen Forschungszentrum CERN mit dem Detektor OPAL (Omni Porpuse Aparatus for LEP) gewonnen. Der 6 Detektor besteht aus mehreren Segmenten, da er verschiedene Teilchen registrieren soll. Für die Auswertung dieser Daten sind Kenntnisse über den Aufbau und Funktionsweise des Detektors von Nutzen. Im Folgenden wird der Aufbau in groben Zügen dargestellt. Elektromagnetische Kalorimeter MyonenDetektoren Hadronische Kalorimeter JetKammer VertexKammer MikrovertexDetektor θ z y ϕ Z-Kammern Solenoid x Presampler VorwärtsDetektor ToFDetektor Luminosimeter Abbildung 3: Der OPAL-Detektor 2.5.1 Mikrovertexdetektor Die von uns benutzten Daten sind ohne diesen Detektor aufgenommen worden. Der Mikrovertexdetektor, ein Silizium-Halbleiterdetektor wurde im Laufe des Experimentes installiert. Er befindet sich nahe dem Strahlrohr und soll in diesem Bereich eine gute Auflösung der Spuren liefern. 7 2.5.2 Vertexkammer Die Vertexkammer ist eine Vieldrahtproportionalkammer mit 36 Schichten, einem Durchmesser von 47cm und einer Auflösung von 55µm. 2.5.3 Jetkammer Die Jetkammer besteht, ähnlich der Vertexkammer, aus vielen Drähten die parallel zur Strahlachse gespannt sind. Sie ist in 24 identische Sektoren unterteilt und hat einen äußeren Durchmesser von 3,7m und einen Inneren von 0,5m. Außer zur Ortsbestimmung wird die Kammer auch noch zur Messung des Energieverlustes einer Spur verwendet. Die Vertexkammer kann nur geladene Spuren detektieren, was aber mit einer Genauigkeit von 135µ in r-φ-Richtung geschieht. Die Genauigkeit in z-Richtung liegt bei 6cm. 2.5.4 Z-Kammern Die Z-Kammer ähnelt vom Aufbau her der Jetkammer, nur dass die Drähte radial angeordnet sind und damit eine Genauigkeit von 100 − 200 µm in z-Richtung erreichen. 2.5.5 Solenoid Der Solenoid ist im engeren Sinne kein Detektor, sondern ein Draht der um die Z-Kammer gewunden ist und in seinem Inneren ein homogenes magnetisches Feld erzeugt. Geladene Teilchen werden dadurch auf eine gekrümmte Bahn gelenkt, so dass deren Impuls bestimmt werden kann. 2.5.6 Elektromagnetische Kalorimeter Bestehend aus 9440 Bleiglasblöcken soll das Elektromagnetische Kalorimeter die Kinetische Energie vor allem von Elektronen und Positronen messen. Diese Teilchen verlieren ihre Energie durch elektromagnetische Schauer die dann detektiert werden. 2.5.7 Hadronische Kalorimeter Dieses Kalorimeter besteht abwechselnd aus Eisenplatten und Gasdetektoren. Hier verlieren auch Hadronen durch einen hadronischen Schauer ihre Energie. 2.5.8 Myonenkammer Da normalerweise nur Myonen durch alle Kalorimeter gelangen können befindet sich die Myonenkammer in der äußersten Schicht. Diese besteht aus Gasdetektoren und registriert Myonen ohne deren Energie oder genaueren Impuls zu messen. 2.5.9 Vorwärtsdetektoren Dieser aus Bleiglas und Drahtkammern aufgebaute Detektor registriert Bhabha-Ereignisse unter kleinen Winkeln. Damit wird unter Anderem die Luminosität des Detektors bestimmt. 8 3 Versuchsdurchführung und Auswertung 3.1 3.1.1 Teil I: Analyse von Ereignissen am Bildschirm Überblick über die Lerndatensätze In diesem Versuchsteil sollen Lerndatensätze die immer nur eine Ereignissklasse (z.B. e+ e− → e+ e− ) enthalten untersucht werden. Dabei wird jedes Ereignis durch vier Variablen charakterisiert: • NCHARGED: Anzahl der Spuren geladener Teilchen in der Jetkammer • PCHARGED: Gesamtimpuls der Teilchen berechnet aus den Krümmunsradien der Spuren, angegeben in GeV • E_ECAL: Energiedeposition im Elektromagnetischen Kalorimeter, angegeben in GeV • E_HCAL: Energiedeposition im Hadronischen Kalorimeter, angegeben in GeV Unsere Aufgabe war es Unterscheidungskriterien (Schnitte) mit Hilfe der Lerndatensätze zu finden, mit denen es möglich ist die Teilchenklassen zu unterscheiden, um aus einem gemischten Testdatensatz test1 die Ereignisse nach Zerfallskanälen zu separieren. Die Tabellen der Lerndatensätze sind in Anhang A zu finden. Im Folgenden die Lerndatensätze als Histogramme, an denen es besonders gut gelingt Schnittgrenzen gegeneinander abzuwägen. Die später verwendeten Schnitte sind bereits eingezeichnet. 9 qq τ+τ2 15 10 1 Häufigkeit 5 0 0 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 e+e- µ+µ- 20 50 15 15 10 10 5 5 0 0 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 NCHARGED [GeV] Abbildung 4: Lerndatensätze NCHARGED τ+τ- 4 qq 3 3 2 2 1 Häufigkeit 1 0 0 0 20 40 60 80 100 120 µ+µ- 8 0 20 40 60 80 100 120 e+e- 6 6 4 4 2 2 0 0 0 20 40 60 80 100 120 0 20 40 60 PCHARGED [GeV] Abbildung 5: Lerndatensätze PCHARGED 10 80 100 120 τ+τ- 3 qq 5 4 2 3 2 1 Häufigkeit 1 0 0 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 10 100 e+e- µ+µ6 8 6 4 4 2 2 0 0 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 ECHAL [GeV] Abbildung 6: Lerndatensätze E_ECAL τ+τ- 4 5 qq 4 3 3 2 2 Häufigkeit 1 1 0 0 0 5 10 15 20 25 30 µ+µ- 0 5 10 15 20 25 30 e+e- 20 18 4 16 14 12 10 2 8 6 4 2 0 0 0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 HCHAL [GeV] Abbildung 7: Lerndatensätze E_HCAL 11 20 25 30 3.1.2 Aufstellen der Schnittkriterien Aufgrund der Lerndatensätze entscheiden wir uns für folgende Schnitte: Variable NCHARGED PCHARGED E_ECHAL E_HCHAL τ −τ + 0 ≤ x ≤ 60 0 ≤ x ≤ 60 0 ≤ x ≤ 50 0 ≤ x ≤ 20 q q̄ 0≤x≤2 75 ≤ x ≤ ∞ 0≤x≤5 0 ≤ x ≤ 10 µ− µ+ 6≤x≤∞ 20 ≤ x ≤ 80 40 ≤ x ≤ 80 5 ≤ x ≤ 25 e− e+ 0≤x≤2 50 ≤ x ≤ ∞ 80 ≤ x ≤ ∞ 0≤x≤1 Nun sollen die ermittelten Schnittkriterien auf den Testdatensatz test1 angewendet werden. Folgende Tabelle zeigt unsere Ergebnisse. Run 4353 4353 4353 4353 4353 4353 4353 4353 4353 4353 4353 4353 4353 4353 4353 4353 4353 4353 4353 4353 Event 1080 2387 5386 6057 6696 7137 7219 8323 8641 9149 9289 9593 9880 10900 11844 13556 14063 14640 14744 15775 NCHARGED 19 36 2 2 4 2 68 5 21 2 2 4 21 2 2 2 2 2 2 2 PCHARGED 39,5 42,8 95,7 90,8 36,5 97,0 42,9 35,0 75,8 95,2 22,7 44,3 53,1 89,5 89,1 4,1 87,8 75,3 93,7 67,1 E_ECAL 44,3 57,1 93,4 1,4 35,8 2,2 48,5 40,8 45,8 1,3 34,4 37,8 36,2 92,0 89,7 4,4 1,4 90,0 1,6 93,6 E_HCAL 15,6 12,5 0,0 4,1 10,8 8,9 6,2 3,3 21,0 7,9 0,0 2,6 22,9 0,0 0,0 0,0 4,3 0,0 6,8 0,0 Vermutung qq qq ee mm tt mm qq tt qq mm tt tt qq ee ee tt mm ee mm ee Schnitt qq qq ee mm tt mm qq tt qq mm tt tt qq ee ee tt mm ee mm ee Die Spalte “Vermutung” beinhaltet die von uns aufgrund der Detektorbilder vermuteten Ereignisse, die Spalte “Schnitt” gibt die Ergebnisse unserer Schnitte an. Die Schnitte liefern also erfreulicherweise eine Selektion die unserer Erfahrung aus den Lerndatensätzen zu 100% entspricht. 3.1.3 Beispielhafte Untersuchung von Detektorbildern Zur Anschauung sollen desweiteren Detektorbilder mit den vier Ereignisklassen exemplarisch dargestellt werden. 12 In Abb. 8 sieht man ein typisches Z 0 → e+ e− Ereignis. Die Spuren des Elektrons und des Positrons sind mit roten Linien dargestellt. Die blauen Kästchen symbolisieren das Ansprechen des Elektromagnetischen Kalorimeters. Run : event 2566 : 165523 Da te 911027 T ime 162412 Ct r k (N= 2 Sump= 91 . 9 ) Eca l (N= 4 SumE= 90 . 0 ) Hca l (N= 0 SumE= 0 . 0 ) Ebeam 45 . 61 Ev i s 91 . 9 Emi s s -0 . 7 Vt x ( -0 . 10 , 0 . 11 , 0 . 50 ) Muon(N= 0 ) Sec Vt x (N= 0 ) Fdet (N= 0 SumE= 0 . 0 ) Bz=0 . 001 Bunch l et 1/1 Thrus t=****** Ap l an=****** Ob l a t=****** Spher=****** Run : event 2566 : 165523 Da te 911027 T ime 162412 Ct r k (N= 2 Sump= 91 . 9 ) Eca l (N= 4 SumE= 90 . 0 ) Hca l (N= 0 SumE= 0 . 0 ) Ebeam 45 . 61 Ev i s 91 . 9 Emi s s -0 . 7 Vt x ( -0 . 10 , 0 . 11 , 0 . 50 ) Muon(N= 0 ) Sec Vt x (N= 0 ) Fdet (N= 0 SumE= 0 . 0 ) Bz=0 . 001 Bunch l et 1/1 Thrus t=****** Ap l an=****** Ob l a t=****** Spher=****** 510 20 50 GeV 200 . cm. 200 . cm. 510 20 50 GeV Y Y X X Z Z Abbildung 8: Z 0 → e+ e− RUN:EVENT 2566:165523 Als nächstes folgt mit Abb. 9 ein Z 0 → µ+ µ− Ereignis. Wie oben erwähnt durchdringen die Myonen sowohl das Elektromagnetische als auch das Hadronische Kalorimeter, so dass die Myonenkammern (rote Pfeile) ansprechen. Run : event 2568 : 89929 Da te 911028 T ime 135156 Ct r k (N= 2 Sump= 90 . 5 ) Eca l (N= 3 SumE= 1 . 5 ) Hca l (N= 5 SumE= 7 . 2 ) Ebeam 46 . 48 Ev i s 97 . 7 Emi s s -4 . 7 Vt x ( -0 . 08 , 0 . 11 , 0 . 61 ) Muon(N= 2 ) Sec Vt x (N= 0 ) Fdet (N= 0 SumE= 0 . 0 ) Bz=4 . 029 Bunch l et 1/1 Thrus t=0 . 9994 Ap l an=0 . 0000 Ob l a t=0 . 0307 Spher=0 . 0016 Run : event 2568 : 89929 Da te 911028 T ime 135156 Ct r k (N= 2 Sump= 90 . 5 ) Eca l (N= 3 SumE= 1 . 5 ) Hca l (N= 5 SumE= 7 . 2 ) Ebeam 46 . 48 Ev i s 97 . 7 Emi s s -4 . 7 Vt x ( -0 . 08 , 0 . 11 , 0 . 61 ) Muon(N= 2 ) Sec Vt x (N= 0 ) Fdet (N= 0 SumE= 0 . 0 ) Bz=4 . 029 Bunch l et 1/1 Thrus t=0 . 9994 Ap l an=0 . 0000 Ob l a t=0 . 0307 Spher=0 . 0016 200 . cm. 200 . cm. 510 20 50 GeV 510 20 50 GeV X Y Z Y X Abbildung 9: Z 0 → µ+ µ− RUN:EVENT 2568:89929 13 Z Wie in Abb. 10 zu sehen ist zerfällt das τ + τ − -Paar sehr schnell in einige andere Teilchen. Man erkennt hier eindeutig zwei Myonen und zwei hadronische Teilchen. Wie man an den deponierten Energien erkennen kann, wird ein Großteil der anfänglichen Energie des Z 0 durch undetektierte Neutrinos fortgetragen. Run : event 2572 : 109621 Da te 911101 T ime 024120 Ct r k (N= 2 Sump= 17 . 8 ) Eca l (N= 9 SumE= 2 . 5 ) Hca l (N= 5 SumE= 5 . 0 ) Ebeam 45 . 11 Ev i s 20 . 9 Emi s s 69 . 4 Vt x ( -0 . 07 , 0 . 11 , 0 . 80 ) Muon(N= 4 ) Sec Vt x (N= 0 ) Fdet (N= 0 SumE= 0 . 0 ) Bz=4 . 030 Bunch l et 1/1 Thrus t=0 . 9897 Ap l an=0 . 0000 Ob l a t=0 . 0512 Spher=0 . 0011 Run : event 2572 : 109621 Da te 911101 T ime 024120 Ct r k (N= 2 Sump= 17 . 8 ) Eca l (N= 9 SumE= 2 . 5 ) Hca l (N= 5 SumE= 5 . 0 ) Ebeam 45 . 11 Ev i s 20 . 9 Emi s s 69 . 4 Vt x ( -0 . 07 , 0 . 11 , 0 . 80 ) Muon(N= 4 ) Sec Vt x (N= 0 ) Fdet (N= 0 SumE= 0 . 0 ) Bz=4 . 030 Bunch l et 1/1 Thrus t=0 . 9897 Ap l an=0 . 0000 Ob l a t=0 . 0512 Spher=0 . 0011 200 . cm. 200 . cm. 510 20 50 GeV 510 20 50 GeV Y X X Z Z Y Abbildung 10: Z 0 → τ + τ − RUN:EVENT 2572:109621 Abb. 11 zeigt ein typisches Z 0 → qq Ereignis. Direkt nach der Entstehung hadronisiert das Quark-Antiquark-Paar, was an der großen Anzahl der Spuren zu sehen ist. Ein weiteres Indiz für dieses Ereignis ist der hohe Anteil an Energie, der im hadronischen Kalorimeter hinterlassen wird. Run : event 2568 : 78191 Da te 911028 T ime 123631 Ct r k (N= 36 Sump= 45 . 3 ) Eca l (N= 44 SumE= 53 . 2 ) Hca l (N= 9 SumE= 7 . 7 ) Ebeam 46 . 48 Ev i s 75 . 9 Emi s s 17 . 1 Vt x ( -0 . 10 , 0 . 11 , 0 . 31 ) Muon(N= 0 ) Sec Vt x (N= 1 ) Fdet (N= 0 SumE= 0 . 0 ) Bz=4 . 350 Bunch l et 1/1 Thrus t=0 . 9287 Ap l an=0 . 0193 Ob l a t=0 . 0336 Spher=0 . 0655 Run : event 2568 : 78191 Da te 911028 T ime 123631 Ct r k (N= 36 Sump= 45 . 3 ) Eca l (N= 44 SumE= 53 . 2 ) Hca l (N= 9 SumE= 7 . 7 ) Ebeam 46 . 48 Ev i s 75 . 9 Emi s s 17 . 1 Vt x ( -0 . 10 , 0 . 11 , 0 . 31 ) Muon(N= 0 ) Sec Vt x (N= 1 ) Fdet (N= 0 SumE= 0 . 0 ) Bz=4 . 350 Bunch l et 1/1 Thrus t=0 . 9287 Ap l an=0 . 0193 Ob l a t=0 . 0336 Spher=0 . 0655 200 . cm. 200 . cm. 510 20 50 GeV 510 20 50 GeV X Y Z X Y Abbildung 11: Z 0 → qq RUN:EVENT 2568:78191 14 Z 3.2 Teil II: Statistische Auswertung von Z 0 -Ereignissen Am zweiten Versuchstag verwendeten wir die recht umfangreichen Datensätze der Monte-CarloSimulationen (MC), um die am Vortag gewonnenen Schnittkriterien zu verfeinern, wobei wir so wenig Schnitte wie möglich setzten, um möglichst eine hohe Effizienz zu erhalten. Anschließend wurden diese dann auf echte OPAL-Messdaten angewendet. Diese sind natürlich nicht bereits nach Zerfallskanälen getrennt, sodass diese Aufgabe unseren Schnittkriterien überlassen ist. Wie gut (oder schlecht) diese sind werden wir vorher mithilfe der Effizienzmatrix an den Monte-CarloDaten überprüfen. Dabei wird natürlich davon ausgegangen, dass die Monte-Carlo-Simulation die Zerfälle und Vorgänge im Detektor hinreichend realistisch simuliert. 3.2.1 Überblick über die Monte-Carlo-Datensätze Neben den bereits bekannten Variablen NCHARGED, PCHARGED, E_ECAL und E_HCAL, kommen nun 3 weitere Variablen hinzu, die für Schnitte herangezogen werden können. • COS_THET Winkel zwischen einlaufendem Positron und auslaufendem positiven Teilchen (nicht immer definiert) • COS_THRU Winkel zwischen Strahlachse und mittlerem auslaufendem Impuls • E_LEP LEP-Strahlenergie (dient später zur Messreihenselektion) Im Folgenden finden sich Histogramme der verschiedenen Variablen für jeweils alle vier Teilchenarten. Auch hier sind die Schnitte bereits eingezeichnet. 15 Taus ID Entries Mean RMS 50000 Hadronen 1000000 79214 2.971 1.301 1000000 98563 19.13 5.738 ID Entries Mean RMS 7000 6000 40000 5000 30000 4000 3000 20000 2000 Häufigkeit 10000 1000 0 0 5 10 15 x 10 10000 ID Entries Mean RMS 0 20 Muonen 1000000 94381 2.071 0.2561 0 20 40 Elektronen 60000 1000000 93802 1.700 1.067 ID Entries Mean RMS 50000 8000 40000 6000 30000 4000 20000 2000 10000 0 0 2 4 0 6 0 2.5 5 7.5 10 NCHARGED Abbildung 12: Monte-Carlo NCHARGED 4000 Taus ID Entries Mean RMS 3500 1000000 79002 35.55 16.43 3000 Hadronen ID Entries Mean RMS 5000 1000000 97546 49.62 17.20 4000 2500 2000 3000 1500 2000 Häufigkeit 1000 1000 500 0 0 50 0 100 0 50 100 Muonen ID Entries Mean RMS 22500 1000000 93656 85.06 20.50 20000 Elektronen 40000 35000 17500 30000 15000 12500 25000 10000 20000 7500 15000 5000 10000 2500 5000 0 ID Entries Mean RMS 45000 0 50 0 100 0 50 PCHARGED Abbildung 13: Monte-Carlo PCHARGED 16 100 1000000 93265 40.80 39.24 3500 Häufigkeit Taus ID Entries Mean RMS 4000 3000 2500 2500 2000 2000 1500 1500 1000 1000 500 500 0 25 50 75 0 100 ID Entries Mean RMS 50000 ID Entries Mean RMS 3500 3000 0 Hadronen 4000 1000000 79214 29.84 16.09 20 40 60 Muonen 1000000 94381 3.670 5.365 80 1000000 98563 56.27 10.80 100 Elektronen ID Entries Mean RMS 12000 1000000 93802 89.55 6.845 10000 40000 8000 30000 6000 20000 4000 10000 0 2000 0 20 40 60 0 80 40 60 80 100 120 E_ECAL Abbildung 14: Monte-Carlo E_ECAL Taus ID Entries Mean RMS 25000 Häufigkeit 1000000 98563 13.39 9.240 ID Entries Mean RMS 5000 20000 4000 15000 3000 10000 2000 5000 1000 0 0 50 0 100 Muonen ID Entries Mean RMS 18000 16000 1000000 94381 4.550 3.458 0 25 50 ID Entries Mean RMS 70000 60000 12000 50000 10000 75 100 Elektronen 80000 14000 1000000 93802 1.106 1.775 40000 8000 30000 6000 20000 4000 10000 2000 0 Hadronen 6000 1000000 79214 7.091 8.148 0 25 50 75 100 0 0 20 40 E_HCAL Abbildung 15: Monte-Carlo E_HCAL 17 60 80 Taus ID Entries Mean RMS 600 Hadronen 1000000 41902 0.6638E-02 0.5523 500 1000000 1 0.7300 0.3124E-08 ID Entries Mean RMS 1 0.8 400 0.6 300 0.4 Häufigkeit 200 0.2 100 0 -1 -0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 Muonen 1400 ID Entries Mean RMS 1200 1.5 Elektronen 1000000 89823 0.2629E-02 0.6027 1000000 56720 0.3184 0.6839 ID Entries Mean RMS 4500 4000 3500 1000 3000 800 2500 600 2000 400 1500 1000 200 0 0 500 -1 -0.5 0 0.5 1 0 -1 -0.5 0 0.5 1 COS_THET Abbildung 16: Monte-Carlo COS_THET Taus 1200 ID Entries Mean RMS Hadronen 1000000 76839 0.1681E-02 0.5574 ID Entries Mean RMS 1400 1000 1000000 98563 -0.1912E-02 0.6098 1200 800 1000 600 800 600 400 400 Häufigkeit 200 0 200 -1 -0.5 0 0.5 1 Muonen 1400 ID Entries Mean RMS 1200 1000000 82790 -0.2044E-02 0.5668 0 -1 -0.5 0 0.5 1 Elektronen 6000 ID Entries Mean RMS 1000000 36194 -0.1125E-01 0.7810 5000 1000 4000 800 3000 600 2000 400 1000 200 0 -1 -0.5 0 0.5 0 1 -1 -0.5 0 COS_THRU Abbildung 17: Monte-Carlo COS_THRU 18 0.5 1 3.2.2 Verfeinerung der Schnittkriterien Ausgehend von unseren groben Schnitten, die wir bereits mithilfe der Lerndaten vom ersten Versuchstag gewonnen haben, entscheiden wir nun inwiefern sich der Schnitt verbessern lässt. Das ist natürlich eine Gratwanderung, da eine geringe Fehlzuordnung auch mit viel “Verschnitt” einhergeht und eine hohe “Ausbeute” Fehlzuordnungen verursacht. Es gilt also sorgfältig abzuwägen und so wenig wie möglich und soviel wie nötig zu schneiden. Der COS_THET Schnitt für Elektronen hat das Ziel ausschließlich s-Kanal-Ereignisse zu selektieren, da das Z 0 am t-Kanal nicht beteiligt ist. Aus Abschnitt 2.4.2 ging hervor, dass der t-Kanal für cos(θ) → 1 dominiert und dass der s-Kanal symmetrisch um cos(θ) = 0 ist. Wir wählen also den symmetrischen Teil aus, der somit fast ausschließlich nur s-Kanal Ereignisse beinhalten dürfte. Wir wählten folgende Schnittkriterien: Variable NCHARGED PCHARGED E_ECAL E_HCAL COS_THET COS_THRU 3.2.3 τ −τ + 1<x<5 7<x<50 5<x<60 -0,9<x<0,9 q q̄ 10<x - µ− µ+ 77<x x<15 x<15 - e− e+ x<4 82<x x<13 -0,9<x<0,5 - Aufstellen der Effizienzmatrix Die Effizienz der Schnitte wird einerseits durch einfaches Herausfallen von Ereignissen und andererseits durch Fehlzuordnungen eines Ereignisses in die falsche Teilchenklasse beinflusst. Ein Maß dafür ist die Effizienzmatrix, die die tatsächlich durch Monte-Carlo in der jeweiligen Ereignisklasse simulierten Ereignisse mit den erkannten verknüpft. τ -Schnitt q-Schnitt µ-Schnitt e-Schnitt Pre-Cut Simuliert τ −τ + 51504 79 18 27 79214 100000 q q̄ 2 93140 0 0 98563 100000 µ− µ+ 199 0 82025 0 94381 100000 e− e+ 17 0 0 20000 93802 33752 In den Spalten dieser Tabelle stehen die aus der jeweiligen Teilchenklasse “erkannten” Ereignisse, wenn der vor der jeweiligen Zeile stehende Schnitt angewendet wurde. Pre-Cut sind die insgesamt pro Datensatz enthaltenen Ereignisse, die sich durch einen Pre-Cut von den ursprünglich je 100000 simulierten Ereignissen unterscheiden. Da dies jedoch nur einen weiteren Schnitt darstellt, der die Effizienz beeinflusst, nehmen wir diese 100000 als Bezugswert. Bei den Elektronen liegt die Sache durch den Schnitt zwischen s- und t-Kanal ein wenig anders. Hier können wir uns nicht auf alle 100000 Ereignisse beziehen, da diese ja auch ungewollte t-Kanal Ereignisse beinhalten, die die Effizienz fälschlicherweise verschlechtern würden. Der angegebene Wert von 33752 ist durch den Schnitt mit −0, 9 < cos(θ) < 0, 5 (s-Kanal) und anschließende Korrektur auf den Gesamtwinkelbereich (k), sowie Berücksichtigung des Pre-Cuts (p) errechnet. Als 19 Gesamt-Korrekturfaktor g ergibt sich somit: R1 2 100000 −1 (1 + cos θ)d cos θ g = k · p = R 0,5 · = 1, 6876 2 93802 (1 + cos θ)d cos θ −0,9 (14) Die eigentliche Effizienzmatrix E ergibt sich nun aus den Einträgen der obigen Tabelle geteilt durch die Anzahl der simulierten Ereignisse dieser Teilchenklasse (letzte Zeile) und beschreibt die Wahrscheinlichkeiten, dass ein Ereignis aus Teilchenklasse j der Teilchenklasse i zugeordnet wird. mij Ereignisse in Klasse i bei Schnitt aus Klasse j ij = (15) = Gesamtzahl Ereignisse Klasse j Nj Für die Matrix errechnen wir: 0, 51504 0, 00002 0, 00199 0, 00050 0, 00079 0, 9314 0 0 E= 0, 00018 0 0, 82025 0 0, 00027 0 0 0, 59256 Der Fehler der Einträge ergibt sich aus dem für die Binomialverteilung: s r mij Nj − m2ij ij (1 − ij ) = ∆ij = N Nj3 Wir berechnen folgenden Fehler: 1, 58 · 10− 3 1, 41 · 10− 5 1, 41 · 10− 4 1, 22 · 10− 4 8, 88 · 10− 5 7, 99 · 10− 4 0 0 ∆E = 4, 24 · 10− 5 0 1, 21 · 10− 3 0 5, 20 · 10− 5 0 0 2, 67 · 10− 3 (16) Für die folgende Auswertung ist es nötig, die Inverse der Effizienzmatrix und ihres Fehlers zu kennen. Nach (E + ∆E)−1 = E −1 + ∆(E −1 ) können wir E einfach mit DERIVE invertieren um E −1 zu erhalten. 1, 94160 −0, 00004 −0, 00471 −0, 00164 −0, 00165 1, 07365 0, 00000 0, 00000 E −1 = −0, 00043 0, 00000 1, 21914 0, 00000 −0, 00088 0, 00000 0, 00000 1, 68759 Um hingegen den Fehler von E −1 zu errechnen, müssen wir eine Näherung verwenden. Wir benutzen hierbei: 1 = (E + ∆E)(E −1 + ∆(E −1 )) 1 = EE −1 + E∆(E −1 ) + ∆EE −1 + ∆E∆(E −1 ) 1 = 1 + E∆(E −1 ) + ∆EE −1 + o(∆2 ) ⇒ ∆(E −1 ) ≈ |E −1 ∆EE −1 | (17) Diese Abschätzung ist möglich, da alle Matrizen näherungsweise Diagonalgestalt haben. Den quadratische Fehlerterm o(∆2 ) können wir aufgrund seiner Kleinheit vernachlässigen. 20 Wir erhalten für den Fehler der inversen 5, 96 · 10−3 1, 79 · 10−4 ∆(E −1 ) = 9, 85 · 10−5 1, 64 · 10−4 3.2.4 Effizienzmatrix: 2, 93 · 10−5 9, 21 · 10−4 8, 58 · 10−9 1, 69 · 10−8 3, 12 · 10−4 7, 11 · 10−7 1, 80 · 10−3 5, 46 · 10−7 3, 88 · 10−4 4, 84 · 10−7 1, 69 · 10−7 7, 62 · 10−3 Bestimmung der Wirkungsquerschnitte Nun wenden wir unsere Schnittkriterien auf einen ungefilterten Datensatz mit Z 0 -Ereignissen an. Mithilfe von E_LEP selektieren wir zusätzlich die gewünschte Energie. Im Éinzelnen liefern unsere Schnitte folgende Werte aus daten6, die Fehler sind die statistischen nach Poisson. ECM S [GeV] 88,48 89,47 90,23 91,24 91,97 92,97 93,72 nτ 109 224 403 5929 497 229 259 ∆nτ 10,4 15,0 20,1 77,0 22,3 15,1 16,1 nq 3373 7541 14924 223630 19006 8202 8731 ∆nq 58,1 86,8 122,2 472,9 137,9 90,6 93,4 nµ 127 324 628 9362 813 327 365 ∆nµ 11,3 18,0 25,1 96,8 28,5 18,1 19,1 ne 125 311 503 6243 490 186 226 ∆ne 11,2 17,6 22,4 79,0 22,1 13,6 15,0 Fassen wir die durch unsere Schnitte erhaltenen Ereigniszahlen für jede Schwerpunktsenergie in einem Vektor ~nmess zusammen, erhalten wir daraus mit unserer Effizienzmatrix die eigentlichen Ereigniszahlen ~nreal nach ~nreal = E −1~nmess (18) Daraus lassen sich mithilfe der Luminosität L und einem Strahlungskorrekturterm ~s die Wirkungquerschnitte der einzelnen Zerfallskanäle berechnen. ~σ = 1 1 ~nreal + ~s = E −1~nmess + ~s L L (19) Der Korrekturterm ~s berücksichtigt hierbei das Auftreten von Feynman-Graphen höherer Ordnung. Da im hadronischen Kanal auch Gluonen entstehen können, unterscheidet sich die Strahlungskorrektur für Leptonen von der für Hadronen. L und ~s sind beides Funktionen der Schwerpunktsenergie. Ihre Werte sind im [Skript] bzw. im [Zusatzskript] angegeben: ECM S [GeV] 88,47 89,46 90,22 91,22 91,97 92,96 93,71 Ldt [nb−1 ] 675,859 800,8436 873,7021 7893,498 825,278 624,59 942,228 ∆Ldt [nb−1 ] 5,72126 6,60649 7,12117 54,30692 6,85298 5,50082 7,70424 21 shadron [nb] 2 4,3 7,7 10,8 4,7 -0,2 -1,6 slepton [nb] 0,09 0,2 0,36 0,52 0,22 -0,01 -0,08 Der Fehler von σ ergibt sich nach Gaussscher Fortpflanzung als: v 2 u u 2 2 X u ∆L 1 X −1 −1 −1 t ∆σi = Eij nj ∆(Eij )nj + Eij ∆nj + 2 L2 L j (20) j Damit erhalten wir folgende Wirkungsquerschnitte ECM S [GeV] 88,48 89,47 90,23 91,24 91,97 92,97 93,72 3.2.5 στ [nb] 0,40174 0,74014 1,25053 1,97032 1,38270 0,69837 0,45110 ∆στ [nb] 0,03012 0,03660 0,04529 0,02189 0,05346 0,04751 0,03349 σq [nb] 7,35800 14,40940 26,03867 41,21633 29,42503 13,89841 8,34837 ∆σq [nb] 0,10291 0,14347 0,21243 0,22048 0,27344 0,19950 0,13426 σµ [nb] 0,31902 0,69311 1,23610 1,96563 1,42075 0,62812 0,39215 ∆σµ [nb] 0,02042 0,02771 0,03571 0,01808 0,04332 0,03575 0,02503 σe 0,40198 0,85511 1,33116 1,85406 1,22146 0,49223 0,32454 ∆σe [nb] 0,02808 0,03767 0,04426 0,02015 0,04624 0,03718 0,02719 Breit-Wigner-Fits, Z 0 -Masse und Zerfallsbreite ΓZ Die ermittelten Wirkungsquerschnitte gehorchen gemäß (3) einer Breit-Wigner-Form in Abhängigkeit zur Schwerpunktsenergie. Wir formulieren (3) zunächst um und fitten anschließend für jeden Zerfallskanal über die sieben Energien mit ORIGIN. σf = sΓZ 2 σfpeak Γ2 (21) (s − MZ2 )2 + (s2 MZ2 Z Die Güte unseres Fits stellen wir einerseits über die Fehler der Fitparameter fest, andererseits χ2 erfolgt ein Auswertung durch die Größe DoF P χ2 i (xi − x̄/(∆xi ) = DoF Degrees − of − F reedom (22) Wobei DoF die Anzahl der Freiheitsgrade, also die Anzahl der Messpunkte abzüglich der Anzahl der Fitparameter bedeutet. In unserem Fall also 4. Gehorchen die Messwerte unserem Fit erwarχ2 ten wir einen DoF Wert von 1, ist der Wert kleiner, so ist der Fit unerwartet gut, umso größer er ist, desto schlechter liegen die Messwerte auf der Fitfunktion. In den folgenden Graphen sind neben den Messwerten und den eigentlichen Breit-Wigner-Fits auch die 2σ-Konfidenzbänder des Fits, sowie die Original OPAL-Daten eingezeichnet. 22 ττ-Messwerte OPAL-Daten Breit-Wigner-Fit 2σ-Konfidenzbänder 2,2 2,0 Model: BreitWigner Weighting: y w = 1/(∆)^2 1,8 1,6 χ^2/DoF = 1.03228 R^2 1,4 σ [nb] σf 1,2 peak = 0.99847 1.96763 ±0.02324 ΓZ 2.6436 ±0.06076 MZ 91.18236 ±0.03063 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 88 89 90 91 92 93 94 √s [GeV] Abbildung 18: Breit-Wigner-Form Tauonen qq-Messwerte OPAL-Daten Breit-Wigner-Fit 2σ-Konfidenzbänder 45 40 Model: BreitWigner Weighting: y w = 1/(∆)^2 35 χ^2/DoF = 0.77503 R^2 30 σ [nb] σf 25 peak = 0.99989 41.18539 ±0.20517 ΓZ 2.52931 ±0.01466 MZ 91.19216 ±0.00656 20 15 10 5 88 89 90 91 92 93 √s [GeV] Abbildung 19: Breit-Wigner-Form Hadronen 23 94 µµ-Messwerte OPAL-Daten Breit-Wigner-Fit 2σ-Konfidenzbänder 2,2 2,0 Model: BreitWigner Weighting: y w = 1/(∆)^2 1,8 1,6 χ^2/DoF = 0.4193 R^2 1,4 σ [nb] σf 1,2 = 0.99966 peak 1.9723 ±0.01956 ΓZ 2.4797 ±0.04418 MZ 91.19332 ±0.02352 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 88 89 90 91 92 93 94 √s [GeV] Abbildung 20: Breit-Wigner-Form Myonen ee-Messwerte OPAL-Daten Breit-Wigner-Fit 2σ-Konfidenzbänder 2,2 2,0 Model: BreitWigner Weighting: y w = 1/(∆σ)^2 1,8 1,6 Chi^2/DoF = 3.04615 R^2 = 0.99612 1,4 σ [nb] σf 1,2 peak 1.93288 2.50107 ±0.05834 MZ 90.99076 ±0.02682 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 88 89 90 91 92 93 √s [GeV] Abbildung 21: Breit-Wigner-Form Elektronen 24 ±0.02227 ΓZ 94 2 χ Anhand der niedrigen DoF -Werte erkennt man, dass mit Ausnahme des Elektronenfits alle Werte sehr gut der Fitfunktion gehorchen, was man auch optisch bestätigt findet. Ebenso liegen wieder mit Ausnahme der Elektronen die originalen OPAL-Daten innerhalb der 2σ-Konfidenzbänder. Die Werte für Elektronen scheinen nach links verschoben zu sein, was einem auch die gefittete Schwerpunktenergie nahelegt. Später mehr zu den einzelnen Fehlerquellen. Wir erhalten im Einzelnen folgende Werte aus den Fits: Teilchen χ2 /DoF σfpeak [nb] ∆σfpeak [nb] ΓZ [GeV] ∆ΓZ [GeV] MZ [GeV] ∆MZ [GeV] τ −τ + 1,03228 0,77503 0,41930 3,04615 1,96763 41,18539 1,97233 1,93288 0,02324 0,20517 0,01956 0,02227 2,64360 2,52931 2,47975 2,50107 0,06076 0,01466 0,04418 0,05834 91,18236 91,19216 91,19332 90,99076 0,03063 0,00656 0,02352 0,02682 q q̄ − µ µ+ e− e+ Wir errechnen die gewichteten Mittelwerte für die Z 0 -Zerfallsbreite und die Z 0 -Masse. ΓZ = (2, 53152 ± 0, 03214) [GeV] MZ = (91, 16279 ± 0, 01510) [GeV] Als Literaturwerte entnehmen wir [PDG]: ΓZ = (2, 4952 ± 0, 0023) [GeV] MZ = (91, 1876 ± 0, 0021) [GeV] Diese Werte werden nur knapp verfehlt. Aus MZ und ΓZ lassen sich nach Gleichung (4) die einzelnen Zerfallsbreiten berechnen, indem man nach der jeweiligen Größe auflöst. Γτ Γq Γµ Γe Gemessen [MeV] 85, 249 ± 2, 621 1784, 382 ± 51, 434 85, 452 ± 2, 57 83, 743 ± 1, 063 Literatur [MeV] 83, 984 ± 0, 086 1744, 4 ± 2, 0 83, 984 ± 0, 086 83, 984 ± 0, 086 Errechnet [MeV] 83,41 1674,4 83,41 83,41 “Literatur” ist [PDG] entnommen, “Errechnet” aus den Vorbereitenden Aufgaben. Alle Werte stimmen innerhalb der Fehlergrenzen mit den Literaturwerten überein, bei den errechneten wird nur der oben bereits diskutierte hadronische Wert nicht erreicht. 3.2.6 Lepton-Universalität Da wir die Massen der Z 0 -Zerfallsprodukte vernachlässigen, sollten die Partialbreiten für einen Zerfall in ein Leptonpaar übereinstimmen. Wir erhalten folgende Verhältnisse. Γµ = 1, 0204 ± 0, 0307 Γe Γτ = 1, 0180 ± 0, 0313 Γe 25 [PDG] liefert als Literaturwerte: Γµ = 1, 0009 ± 0, 0028 Γe Γτ = 1, 0019 ± 0, 0032 Γe Unsere Werte stimmen sehr gut mit den Literaturwerten überein, womit die Universalität hinreichend nachgewiesen wäre. Als Nächstes sollen die Verhältnisse des totalen Peak-Wirkungsquerschnittes zu den leptonischen Querschnitten errechnet und mit dem aus [PDG]-Daten gewonnenen Literaturwert verglichen werden. σq /στ σq /σµ σq /σe Gew. Mittelwert PDG 20, 931 ± 0, 104 20, 882 ± 0, 104 21, 308 ± 0, 106 21, 039 ± 0, 105 20, 771 ± 0, 032 Leider wird der Literaturwert recht deutlich verfehlt, was zumindest zum Teil dem schlechteren Elektronenfit zuzuschreiben ist. 3.2.7 Anzahl leichter Neutrinogenerationen Wie aus (1) ersichtlich, ist ΓZ eine additive Größe und lässt bei Kenntnis der Partialbreiten Rückschlüsse auf die Anzahl der leichten Neutrinogenerationen zu. Aus ΓZ = Γe + Γµ + Γτ + n · Γν + Γq ΓZ − Γq − Γτ − Γµ − Γe ⇒n= Γν (23) (24) folgt n = 2, 97 ± 0, 31 Der erhaltene Wert lässt sich gut mit dem Standardmodell vereinbaren, das 3 leichte Neutrinogenerationen vorsieht. Sollte es weitere geben, so müssten diese eine Masse besitzen, die größer ist als MZ /2. 3.2.8 Vorwärts-Rückwärts-Asymmetrie Für das Bestimmen des Weinberg-Winkels soll an dieser Stelle die Vorwärts-Rückwärts-Asymmetrie berechnet werden. Hierfür benutzen wir die e+ e− → µ+ µ− Ereignisse, die sich dafür besonders gut eignen. Andere Ereignisse bringen große Fehler mit sich. So beinhaltet die e+ e− → e+ e− Klasse wie oben besprochen den t-Kanal der Wechselwirkung. Für hadronische Ereignisse ist der Winkel θ gar nicht definiert, da hier viele Spuren entstehen. Der Zerfall in Tauonen weist eine geringe Zählrate auf, so dass statistische Fehler relativ groß sind. Um die Asymmetrie zu berechnen wenden wir unsere Schnitte auf den Datensatz daten6 an. Zusätzlich dazu schnitten wir bei NR : −1 ≤ cos θ < 0 bzw. NV : 0 ≤ cos θ < 1. Zu den Asymmetriewerten wurden danach die im [Skript] gegebenen Korrekturwerte addiert, so dass das Ergebnis in der nächsten Tabelle dargestellt werden kann. 26 Ecms 88,48 89,47 90,23 91,24 91,97 92,97 93,72 NR 74 164 327 4514 387 124 155 NV 51 147 278 4443 392 182 192 A -0,184 -0,055 -0,081 -0,008 0,006 0,190 0,107 AF B -0,162 -0,035 -0,064 0,010 0,037 0,252 0,200 ∆AF B 0,0879 0,0566 0,0405 0,0106 0,0358 0,0561 0,0534 Um daraus den Weinberg-Winkel zu berechnen benötigt man die Asymmetrie am Peak, d.h. in der Z 0 -Resonanz. Wir tragen Akorr gegen korrigierte Schwerpunktsenergien auf. Die Korrektur wird vorgenommen um den unphysikalisch großen Achsenabschnitt zu verhindern. Da die Masse des Z 0 bei etwa 91 GeV liegt ist dieses Vorgehen zulässig. AFB linearer Fit 0,4 0,3 Asymmetrie 0,2 0,1 0,0 -0,1 -0,2 -0,3 -3 -2 -1 0 1 2 3 ECMS - 91 GeV [GeV] Abbildung 22: Vorwärts-Rückwärts-Asymmetrie Der lineare Fit ergibt: AF B = (0, 01052 ± 0, 00942) + (0, 07259 ± 0, 01282) (Ecms − 91GeV) [GeV ] (25) Setzt man nun die Energie des Z 0 ein, so erhält man mit Hilfe der Formel (12) folgende Werte 27 für den Weinberg-Winkel: 91, 187 ± 0, 0021GeV : sin2 θW 2 91, 161 ± 0, 0120GeV : sin θW = 0, 22758 ± 0, 00452 = 0, 22849 ± 0, 00467 Der erste Wert verwendet dabei den Literaturwert für MZ aus [PDG], der zweite unseren gemessenen. Beide liegen innerhalb der Fehlergrenzen im Bereich des Literaturwertes von (sin2 θW )lit = 0, 23122 Das [Skript] schlägt eine zweite Möglichkeit zur Berechnung des Winkels vor. Es soll dabei der Wert A = −0, 008 bei der Energie 91,22 GeV mit 0, 0152 korrigiert werden und daraus der Weinberg-Winkel berechnet werden. sin2 θW = 0, 23769 ± 0, 009 Dieser Wert liegt ebenfalls im Bereich des Literaturwertes. 4 Fazit und Fehlerdiskussion Fast alle unsere Werte treffen die Literaturwerte hinreichend genau, meist sind Abweichungen durch Beteiligung der Elektronendaten zu erklären. Die Elektronen sind durch den Schnitt gegen die t-Kanal-Ereignisse der Zerfallskanal mit dem größten systematischen Fehler. Wir möchten im Folgenden auf die im Laufe des Versuches gemachten Annahmen und systematisch Fehler kurz eingehen. • Die Effizienzmatrix wurde nur für eine Energie bestimmt und wäre deshalb auch eigentlich nur für diese eine Energie verwendbar. Desweiteren wurde oben bereits die Frage gestellt, wie realitätsnah die Monte-Carlo-Simulationen die Vorgänge im Detektor beschreiben. Dies ist ein systematischer Fehler, dessen Größe nur sehr schwer abgeschätzt werden kann. • Alle verwendeten Formeln basieren nur auf Störungstheorie erster Ordnung. Zwar sollte dies durch die Strahlungskorrekturen aufgefangen werden, doch in welchem Umfang dies gelingt bzw. nicht gelingt, erzeugt ebenfalls eine systematische Unsicherheit. • Die Errechnung der Effizienz für den Elektronenkanal gestaltet sich recht aufwendig und fußt auf sehr vielen Annahmen. So z.B. der Annahme, dass der Pre-Cut s- und t-Kanal gleichermaßen beeinflusst, ebenso wurde auch hier eine Energieunabhängigkeit des Verhältnisses vorrausgesetzt. Zuletzt machen wir durch die Hochrechnung des s-Kanals auf den gesamten Winkelbereich einen größenmäßig schwer einzuschätzenden Fehler. Zusammenfassend ist jedoch zu sagen, dass unsere Schnitte gut gewählt erscheinen und alle Werte zufriedenstellend errechnet werden konnten. A Anhang: Lerndatensätze 28 Run 2566 2566 2566 2566 2566 2566 2566 2566 2570 2570 2570 2570 2570 2570 2570 2572 2572 2572 2572 2572 Event 170371 170508 179750 184010 184435 189056 208314 212745 29664 30348 34612 39992 42200 45609 47033 98915 102412 102586 108411 109621 NCHARGED 5 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 5 2 2 2 5 2 2 PCHARGED 74,0 46,5 30,8 29,5 33,1 24,4 36,0 41,3 49,7 33,4 14,1 19,7 26,8 23,4 23,8 39,0 24,1 38,5 35,3 17,8 E_ECAL 51,1 17,3 1,6 10,2 1,5 12,4 16,1 11,1 5,2 23,6 3,3 15,9 16,5 27,0 29,4 18,9 46,5 28,5 51,8 2,5 E_HCAL 10,2 8,2 6,3 4,1 10,6 11,7 5,7 20,0 20,3 6,9 6,3 3,8 3,4 17,1 3,6 4,4 7,3 0,0 2,3 5,0 Abbildung 23: Z 0 → τ + τ − Run 2566 2566 2566 2566 2568 2568 2568 2568 2568 2568 2568 2568 2568 2568 2568 2570 2570 2570 2570 Event 164184 195995 196117 196548 78191 78425 78553 78787 79038 79043 79181 79337 79487 79517 79642 88252 88262 88303 88328 NCHARGED 15 17 46 8 36 41 9 16 30 22 36 23 23 26 30 40 19 14 29 PCHARGED 37,7 39,2 64,6 33,3 45,3 59,9 21,9 55,9 38,1 34,4 51,2 63,1 59,0 62,2 43,3 47,8 67,9 52,1 82,6 Abbildung 24: Z 0 → qq 29 E_ECAL 37,0 66,8 53,0 67,5 53,2 53,2 65,2 50,4 68,3 75,5 62,3 56,0 60,6 67,2 71,7 61,4 52,1 61,0 53,8 E_HCAL 14,1 9,9 13,0 13,3 7,7 13,8 8,8 24,3 13,8 6,2 5,5 17,2 8,5 20,4 4,3 5,7 10,6 4,4 16,4 Run 2568 2568 2568 2568 2568 2568 2568 2568 2568 2568 2568 2568 2568 2568 2568 2568 2568 2568 2568 2570 Event 80617 84297 85398 87693 89929 91048 92681 93199 95202 99962 100566 100721 102167 105720 106346 107030 107772 108553 110610 29023 NCHARGED 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 PCHARGED 90,1 93,0 96,8 89,1 90,5 91,8 86,3 99,2 88,2 90,9 95,6 75,3 85,2 98,6 86,8 98,0 108,3 92,4 92,0 92,6 E_ECAL 1,6 1,6 2,0 2,3 1,5 1,8 3,7 1,3 1,6 1,3 2,5 3,1 5,8 3,6 1,9 1,9 2,0 3,6 1,9 3,6 E_HCAL 7,0 8,7 0,0 8,5 7,2 4,3 3,3 2,9 3,0 6,7 6,1 6,8 4,4 5,7 7,9 2,0 8,5 6,7 22,6 5,7 Abbildung 25: Z 0 → µ+ µ− Run 2566 2566 2566 2566 2566 2566 2566 2566 2566 2566 2566 2570 2570 2570 2570 2570 2570 2570 2571 2571 Event 163733 165523 165548 165576 166436 167987 168389 170045 170379 197594 197889 28178 28499 28743 28777 88224 90060 91274 418921 420590 NCHARGED 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 PCHARGED 50,9 91,9 82,5 80,9 38,1 83,8 87,4 69,3 86,1 90,3 92,1 81,7 89,6 61,1 88,4 90,9 64,6 95,6 93,0 94,1 Abbildung 26: Z 0 → e+ e− 30 E_ECAL 82,6 90,0 92,3 86,8 89,5 87,5 93,2 90,7 89,4 90,6 88,5 91,6 92,5 89,2 89,1 90,5 88,8 96,2 90,8 89,2 E_HCAL 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,5 0,0 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,3 0,0 0,0 0,0 0,0 Literatur [Skript] Versuchsbeschreibung zum Versuch E213 [Zusatzskript] Ergänzende Informationen zum Versuch E213 [PDG] Particle Data Group - Particle Physics Booklet, 2004 31