Logik und Mengenlehre

Dr. Lorenz Halbeisen
Wintersemester 2005/06
Logik und Mengenlehre
Übungsblatt 3
Abgabe der Übungen: Mittwoch den 23. November (in der Vorlesung)
9. Im Folgenden bezeichnet F1 eine 1-stellige, F2 eine 2-stellige, F3 eine 3-stellige
Funktionsvariable, und es bezeichnet R1 eine 1-stellige, und R2 eine 2-stellige
Relationsvariable, und ferner bezeichnet c eine Konstante.
Welche der folgenden Zeichenketten sind Terme, welche Formeln, und welche
Zeichenketten sind syntaktisch inkorrekt?
(a) F3 xF3 yF3 zF2 xF1 zz cc
(b) ¬¬∀yR2 F3 F2 F1 cxxxx
(c) ∀x¬∃x∀x¬F2 yF3 xF1 cz = c
(d) ¬¬¬∃x¬y = F3 xF1 y ∨ x = x
(e) ∀y¬∀x∃x¬x = x ∨ ¬F2 F2 F2 F2 xxxxx = y
10. Finde alle möglichen Arten, wie die folgende Formel entstanden sein kann
(d.h. nde alle möglichen Klammerungen), wobei R1 , R2 , F2 sind wie in Aufgabe 9. Ferner bestimme jeweils für jedes Vorkommen einer Variablen, ob sie
an der entsprechenden Stelle gebunden oder frei vorkommt.
∀z∀x¬F2 xx = y ∧ ∀y¬R2 z c ∨ y = x ∧ ∀xR1 F2 cx
11. Prüfe, ob
folgenden zahlentheoretischen Formeln die Substitu¡ in den beiden
¢
tion x/ z · (x + y) erlaubt ist:
(a) x = 0 ∨ ∃y(y > z)
(b) x = 0 ∨ ∃y(y > x)
12. Finde zwei mengentheoretische Formeln, in denen eine bestimmte Substitution
nicht erlaubt ist.
13. Zeige, dass für alle Formeln ϕ und ψ gilt:
{ϕ} ` ψ → ϕ
14. Zeige, dass für alle Formeln ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 gilt:
{ϕ1 → ϕ2 , ϕ1 → (ϕ2 → ϕ3 )} ` ϕ1 → ϕ3