Stochastische Differentialgleichungen Prof. Dr. Barbara Rüdiger

Stochastische Differentialgleichungen
Prof. Dr. Barbara Rüdiger
Bergische Universität Wuppertal, 21.07.2015
Klausur
Erinnerung:
a) g ∈ Σ([0, T ]), falls g(s) =
Pn−1
b) g ∈ Σ∞ ([0, T ]), falls g(s) =
k=0
gk 1Ak (s), Ak ∈ B([0, T ])
P
k∈N gk 1Ak (s),
Ak ∈ B([0, T ])
c) kf k∞ = supx∈R |f (x)| für f reellwertige messbare Funktion.
Übung I:
a) Beweisen Sie, dass für jede B([0, T ])/B(R) -messbare Funktion g eine Folge
von Funktionen gn ∈ Σ∞ ([0, T ]) existiert, so dass limn→∞ kg − gn k∞ = 0
b) Beweisen Sie, dass Σ([0, T ]) dicht in Σ∞ ([0, T ]) ∩ L2 ([0, T ], B([0, T ]), λ) in
der Norm k · kL2 ist.
Übung II:
a) Seien X und Y reellwertige Zufallsvariabeln auf (Ω, F, P ). Beweisen Sie,
dass folgende Aussagen äquivalent sind:
i) X und Y sind stochastisch unabhängig.
ii) für jedes A ∈ σ(X) und B ∈ σ(Y ) sind 1A und 1B stochastisch
unabhängig.
b) Seien C und D σ -Algebren auf Ω. Beweisen Sie, dass σ(C, D)= σ(A) mit
A := {C ∩ D : C ∈ C, D ∈ D}
Übung III:
Sei X eine Zufallsvariabel auf einem vollständigem W-Raum (Ω, F, P ) mit
E[|X|] < ∞, und G ⊆ F eine σ-Algebra auf Ω.
a) Geben Sie die Definition von bedingtem Erwartungswert E[X|G] an.
b) Beweisen Sie folgende Eigenschaft: falls X stochastisch unabhängig von G
ist, dann gilt E[X|G] = E[X] P -f.s.
Übung IV:
Sei {Bt }t∈R0+ die zentrierte Brownsche Bewegung auf (Ω, FT , {Ft }t∈[0,T ] , P )
mit E[B12 ] = D
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a) Finden Sie einen adaptierten Zufallsprozess {Xs }s∈[0,T ] mit den EigenRt
Rt
schaften, dass { 0 Xs dBs }s∈[0,T ] gut definiert ist, und (E[ 0 Xs dBs ])2
= D2 t2 ist; Begründen Sie Ihre Aussagen.
b) Beweisen Sie, dass {exp(uBt )/E[exp(uBt )]}t∈R+ eine Martingale auf (Ω, FT , {Ft }t∈[0,T ] , P )
0
ist.
Übung V:
Sei {Sn }n∈N ein Wertpapier, was am 1.1. 2015 1000 Euro Wert ist, und
in jedem Monat n ∈ N mit Wahrscheinlichkeit 1/3 um 20 Euro sinkt, und mit
Wahrscheinlichkeit 2/3 um 10 Euro wächst, wobei die Zuwächse in jedem Monat
stochastisch unabhängig sind.
a) Erklären Sie ob {Sn }n∈N bzlg der von {Sn }n∈N generierten Filtration
{Fn }n∈N eine Martingale ist. Beweisen Sie Ihre Aussage.
b) - Falls {Sn }n∈N keine Martingale bzgl {Fn }n∈N ist, dann definieren Sie
eine Martingale {Mn }n∈N bzlg {Fn }n∈N , für die gilt, dass Mn = M4 P -f.s.
für jedes n ≥ 4.
- Falls {Sn }n∈N eine Martingale bzgl {Fn }n∈N ist, definieren Sie eine
Filtration {Ln }n∈N bzgl der {Sn }n∈N keine Martingale ist.
Jede Aussage soll dabei bewiesen werden
Bemerkungen:
Resultate ohne Berechnungen oder Begründung werden nicht anerkannt.
Jede Teilübung wird mit 3 Punkten bewertet, dh insgesamt sind 30 Punkte zu
erreichen.
Abgegebene Blätter ohne Namen werden nicht bewertet.
Taschenrechner sind nicht erlaubt
Das Prüfungsamt wird über Täuschungsversuche informiert.
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