Jahrbuch Database

Jahrbuch Database
c 2017 FIZ Karlsruhe
JfM 02659667
Reuschle, C.
Die allwertigen Ausdrücke 00 etc.
Math. naturw. Mitt. (2) 4, 17-29 (1902).
I. (Siehe JFM 33.0279.07) Bedeuten α, β, γ, δ, . . . ganze positive oder negative Zahlen, n, ω positive ganze
Zahlen, λ eine beliebige Zahl, so wird
λ
λ λ
1
1
1
+
+ ··· +
= Sλn ,
1
2
n
x
x4
x3ω−2
x2
x3
x5
x6
x3ω−1
x3ω
+β
+γ
+α +β
+γ
+ ··· + α
+β
+γ
= [αβγ]x
1
2
3
4
5
6
3ω − 2
3ω − 1
3ω
gesetzt und analog [αβ]x , [αβγδ]x erklärt. Für ω = ∞ werden die eckigen Klammern durch runde ersetzt:
α
x
x4
x2
x5
+β
+ γx3 3 + α + β
+ γ x6 6 + · · · (αβγ)x ,
1
2
4
5
der Zeiger 1 auch fortgelassen: (αβ) = (αβ)1 , (αβγ) = (αβγ)1 . Eine Zahl von der Form (αβγ . . . κ) heißt
ein periodisch-unendlicher natürlicher Bruch. Für ihn ist z. B.
α
(αβ)x = (αβ αβ)x = (αβ αβ αβ)x ;
(αβ)−x = (−αβ)x = −(α − β)x ;
(αβ)x + (abc)x = (α + aβ + bα + cβ + aα + bβ + c)x = (αβ αβ αβ)x + (abc abc)x .
Setzt man [α] = α[1] = 11 + 12 + · · · + ω1 = S1ω = [1], so ist
S1ω = [003],
S13ω = [111],
S13ω − S1ω = [11 − 2];
S13ω̃ − S1ω̃ = lim (S13ω − S1ω ) = (11 − 2);
ω=∞
die zum periodisch-unendlichen natürlichen Bruch (11 − 2) gehörige Potenzreihe
Z x
1 − x3
1 + 2x
2
dx
=
l(1
+
x
+
x
)
=
l
(11 − 2)x =
2
1−x
0 1+x+x
S13ω̃ − S1ω̃ = l3 = 1,098612; S1mω̃ − S1ω̃ = lm; ferner: Ein periodisch-unendlicher natürlicher Bruch ist
endlich oder nicht endlich, je nachdem die Summe seiner Periodenziffern gleich 0 oder ungleich 0 ist. Der
natürliche Logarithmus einer positiven ganzen Zahl m läßt sich als periodisch-unendlicher natürlicher Bruch
mit m-ziffriger Periode darstellen: die m − 1 ersten Ziffern sind 1, die letzte −(m − 1). Periodisch-unendlich
natürliche Brüche mit dem Wert 0 werden als (periodisch-unendliche) Nullreihen bezeichnet; z. B.
0 = (1 − 11 − 51 − 113);
0 = (11 − 511 − 5114).
II. (Siehe JFM 33.0279.08) Die Differenz S1mω̃ − l(m$) ist von m unabhängig, sie ist gleich S1ω̃ − l($) und
wird als Eulersche Konstante (0,577216) σ1 = σ bezeichnet; es ist
σ = 2S1ω̃ − S1ω̃2 = 3S1ω̃2 − 3S1ω̃3 = 12 (4S1ω̃3 − 2S1ω̃4 , . . .
III. Sind alle (nicht alle) Koeffizienten einer Gleichung mit einer Unbekannten gleich 0, so ist die allgemeine
Wurzel der Gleichung allwertig (nicht allwertig), d. h. sie wird durch jeden (nicht jeden) Wert der Unbekannten befriedigt. Für ax = b erhält man, wenn a und b endliche Zahlen sind, folgende Zusammenstellung:
einen endlichen Punkt x = ab , wenn ≷ 0, b ≷ 0, ist; den Nullpunkt x = 0, wenn a ≷ 0, b = 0 ist; den
unendlich fernen Punkt x = ∞, wenn a = 0, b ≷ 0 ist; jeden Punkt der x-Achse, x = 00 , wenn a = 0,
b = 0 ist. Logische Klassifikation der Werte eines mathematischen Ausdrucks: (Graphik fehlt noch)!! Die
verschiedenen allwertigen Ausdrücke aus 00 hergeleitet:
1
a
0
1
a+λ
λ
∞
b
=
=
a
·
=
−
=
0
·
∞
=
=
= ∞ − ∞,
1
b a=0
0
b a=0
∞
b
b a=0
a=0
b=0
a
b=0
b=0
b=0

log a
0
b

(λ
=
0)
=
0

log a a=0 = 0



b=0

log ab
a
log a
∞
b
(λ
=
1)
=
1
=λ
=
log 1 a=0 = 1

a=0
b a=0
log
λ
b=0

b=0
b=0


a

 (λ = ∞) = ∞ log b a=0 = ∞0 .
log ∞
b=0
Als Beispiel für den stetig erreichten Wert eines allwertigen Ausdrucks wird die Funktion (Kurve) y =
(x2 + 2x) : x behandelt, für x = 0 ist y = 0 : 0, d. h. allwertig (die Benennung unbestimmt verwirft der
–1–
November 3, 2017
Jahrbuch Database
c 2017 FIZ Karlsruhe
Verf.), also die Gerade x = 0 ist der eine Bestandteil der Kurve, der andere (Haupt-)Bestandteil ist die
Gerade y = x + 2. Für die Funktion
y = (x2 + 2x) : x
ist “der stetig erreichte Wert von y für x = 0”, der durch y]x=0 bezeichnet wird, gleich 2. – Diese Kurve
wird auch als Spezialfall (Grenzfall ε = 0) der Kurve y = (x2 + 2x) : (x − ε betrachtet. Ähnliches gilt für die
Funktion y = f (x), welche für x = a eine allwertige Form annimmt; die Funktion ist dann für x = a allwertig,
d. h. die Gerade x − a = 0 gehört als Bestandteil zur Kurve y = f (x), der andere (Haupt-)Bestandteil
der Kurve schneidet die Gerade im Punkt (a, b), wo b der stetig erreichte Wert des betreffenden allwertigen
dy
ebenfalls allwertig
Ausdrucks ist. Der Punkt (a, b) ist ein singulärer Punkt der Kurve, für ihn mußtg τ = dx
dy
werden; der allwertige Ausdruck für dx dy hat dann zwei stetig erreichte Werte, die sich aus der Gleichung
2
tial2 ϕ dy
tial2 ϕ dy
2
2
+ tialxtialy
2
tialy
dx
dx +f ractial ϕtialx = 0 ergeben, worin ϕ(x, y) = 0 die implizite Form der Gleichung
der Kurve ist; von diesen beiden Werten entspricht der eine τ = 90◦ der Geraden x − a = 0, der andere gibt
die Richtung für den Hauptbestandteil der Kurve im Punkt (a, b). Setzt man im Differenzenquotienten
f (x + ∆x) − f (x)
∆y
=
∆x
∆x
ohne weiteres ∆x = 0, läßt man den Punkt (x + ∆x, y + ∆y) etwa sprungweise mit (x, y) zusammenfallen,
so wird tg σ und damit σ allwertig (jede Gerade durch den Punkt (x, y) kann als Verbindungslinie der zwei
in (x, y) zusammengefallenen Punkte betrachtet werden). Läßt man aber den Punkt (x + ∆x, y + ∆y) stetig
auf einer stetigen Kurve y = f (x) dem Punkt (x, y) sich nähern, so erhält man
f (x + ∆x) − f (x)
dy
=
= f 0 (x)
tg σ]∆x=0 = tg τ =
dx
∆x
∆x=0
tg σ =
für den Differentialquotienten als stetig erreichten Wert des Differenzenquotienten; dabei müssen ∆x und
∆y vollkommen in Null übergehen. Durch den Allwertigkeitsbegriff wird auch der Begriff der hebbaren
Unstetigkeit überflüssig, dasselbe gilt für die sprungweisen Unstetigkeiten.
Weltzien, Prof. (Zehlendorf)
We were not able to give the graphics - perhaps later?
–2–
November 3, 2017