Fahrdynamische Grundlagen

2
Fahrdynamische Grundlagen
Die Fahrdynamik ist ein Teilgebiet der Fahrzeugmechanik, das sich mit den zur Ortsveränderung von Landfahrzeugen notwendigen Bewegungsvorgängen, den diese
Bewegungsvorgänge verursachenden Kräften und den dabei auftretenden Naturgesetzen
befasst. Bezüge zur Fahrdynamik tauchen in vielen Bereichen der Verkehrstechnik und
Verkehrsplanung auf. Die wichtigsten Anwendungen der Fahrdynamik sind:
t
t
t
t
'BIS[FJUFSNJUUMVOH
&SNJUUMVOHWPO(SFO[XFSUFOGàSEJF5SBTTJFSVOHWPO4USFDLFO
&OFSHJFWFSCSBVDITSFDIOVOH
8FJUFSFOUXJDLMVOHEFS"OUSJFCTVOE#SFNTUFDIOJL
Im Folgenden werden nur die für die Systemgestaltung und die Planung der Betriebsführung von Eisenbahnen wichtigen Aspekte der Fahrdynamik angesprochen. Eine ausführlichere Behandlung der Fahrdynamik findet sich in [20] und vor allem in [21].
2.1 Grundgleichungen
Eines der grundlegenden Gesetze der Fahrdynamik ist das Grundgesetz vom Gleichgewicht der Kräfte:
∑F = 0
Das bedeutet, dass die Summe der in Fahrtrichtung wirkenden Kräfte gleich der Summe
der entgegen der Fahrtrichtung wirkenden Widerstandskräfte ist. Die in Horizontalrichtung wirkenden Kräfte unterteilen sich dabei wie folgt:
J. Pachl, Systemtechnik des Schienenverkehrs,
DOI 10.1007/978-3-8348-2587-2_2, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2013
21
22
2
Fahrdynamische Grundlagen
t ,SÊGUF[VS"VGSFDIUFSIBMUVOHVOECFBCTJDIUJHUFO­OEFSVOHEFT#FXFHVOHT[VTUBOEFT
Das sind die Antriebskraft F und die Bremskraft FB
t ,SÊGUFEJFTJDIEFS"VGSFDIUFSIBMUVOHEFT#FXFHVOHT[VTUBOEFTXJEFSTFU[FO%BTJTUEJF
Summe der Widerstandskräfte ΣR
t ,SBGUEJFTJDIEFSCFBCTJDIUJHUFO­OEFSVOHEFT#FXFHVOHT[VTUBOEFTXJEFSTFU[U%BT
ist die Massenträgheits- bzw. Beschleunigungswiderstandskraft Ra. Durch Umkehr des
Vorzeichens erhält man die Beschleunigungskraft Fa.
Die folgenden Gleichungen beschreiben das Kräftegleichgewicht in den einzelnen Bewegungsphasen:
Anfahren
Fa = F − ΣR
Beharrungsfart
F = ΣR
Auslauf
Ra = ΣR
Bremsen
Ra = FB + ΣR
2.2 Zugkraft
Die Zugkraft eines Triebfahrzeugs wird durch zwei Grenzkräfte charakterisiert. Die erste
Grenzkraft ist die durch Rad und Schiene übertragbare Kraft.
F = m⋅ g ⋅µ
l
Haftreibungsbeiwert
Die zweite Grenzkraft ist die durch die Antriebsleistung begrenzte, maximale Zugkraft
des Triebfahrzeugs. Als Funktion der Geschwindigkeit folgt diese Kraft unter der vereinfachenden Annahme einer konstanten Grenzleistung des Triebfahrzeugs einer Hyperbel.
F =
P
ν
Wenn man beide Grenzlinien in ein F-v-Diagramm einträgt, erhält man die so genannte Triebfahrzeugcharakteristik (Abb. 2.1). Die Stelle, an der sich beide Kurven schneiden, nennt man Übergangsgeschwindigkeit vü. Diese Übergangsgeschwindigkeit teilt
das F-v-Diagramm in zwei Bereiche. Im Bereich unterhalb der Übergangsgeschwindigkeit fährt das Triebfahrzeug an der Kraftschlussgrenze. Die installierte Antriebsleistung kann nicht vollständig ausgenutzt werden. In der Praxis zeigt der Haftreibungsbeiwert in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit einen leicht fallenden Verlauf. Bei
2.3 Widerstandskräfte
23
Abb. 2.1 Triebfahrzeugcharakteristik
Triebfahrzeugen mit Drehstromantriebstechnik ist dieser Effekt stärker ausgeprägt,
im Moment des Anfahrens steht bei dieser Antriebsform ein besonders hoher Haftreibungsbeiwert zur Verfügung. Oberhalb der Übergangsgeschwindigkeit wird die Zugkraft nur durch die Leistung des Triebfahrzeugs begrenzt.
2.3 Widerstandskräfte
2.3.1 Streckenwiderstand
Der Streckenwiderstand setzt sich zusammen aus dem Neigungswiderstand und dem Bogenwiderstand. Der Neigungswiderstand ergibt sich zu:
RN = m ⋅ g ⋅ sinα
sin α Neigungswinkel
Zur fahrzeugunabhängigen Charakterisierung einer Strecke ist es üblich, die Widerstandskräfte durch Division durch die Gewichtskraft als dimensionslose spezifische Widerstände (auch als Widerstandszahlen oder Widerstandskoeffizienten bezeichnet) anzugeben.
Der spezifische Neigungswiderstand ergibt sich durch Division des Neigungswiderstandes
durch die Gewichtskraft zu:
rN = sinα
24
2
Fahrdynamische Grundlagen
Abb. 2.2 Zusammenwirken von Radsatz und Gleis
Für die im Schienenverkehr üblichen Längsneigungen mit i < 0,1 haben Sinus und Tangens
des Neigungswinkels nahezu den gleichen Wert. Somit gilt in guter Näherung:
rN ≈ i
i Neigungsverhältnis ( i = tan α)
Der Neigungswiderstand kann sowohl positiv (Steigung) als auch negativ (Gefälle) sein.
Ein negativer Neigungswiderstand tritt als beschleunigende Kraft in Erscheinung.
Die beiden Radscheiben eines Radsatzes sind starr mit der Radsatzwelle verbunden.
Beide Räder haben damit immer die gleiche Drehzahl, ein Differenzialausgleich wie bei
Straßenfahrzeugen existiert nicht (Abb. 2.2). Der Grund für diese Besonderheit liegt im
Prinzip der Spurführung begründet. Die an den Innenseiten der Radscheiben angebrachten Spurkränze erlauben ein gewisses Spurspiel. Die Laufflächen der Räder sind konisch
geformt, dadurch lässt sich das Verhalten eines Radsatzes im Gleis mit dem vereinfachten
Modell eines Doppelkegels erklären (Abb. 2.3).
Wenn der Radsatz durch das Wirken einer Kraft eine außermittige Lage einnimmt,
ergeben sich durch die Kegelform an beiden Rädern unterschiedliche Aufstandsradien.
Durch die erzwungene Drehzahlgleichheit legen die Räder nun unterschiedlich lange
Wege zurück, was zu einem „Einlenken“ des Radsatzes in Richtung Gleismitte führt. Nach
dem Überschreiten der Gleismitte wiederholt sich der gleiche Vorgang auf der anderen
Seite. Als Folge beschreibt der Radsatz beim Lauf durch ein gerades Gleis eine sinusförmige Kurve, den so genannten Sinuslauf. Der Sinuslauf führt im geraden Gleis zu einer
Selbstzentrierung des Radsatzes ohne Benutzung der Spurkränze. Diesem Vorteil steht
2.3 Widerstandskräfte
25
Abb. 2.3 Prinzip des Sinuslaufs
Abb. 2.4 Quergleiten eines
Radsatzes im Gleisbogen
jedoch der Nachteil des fehlenden Differenzialausgleichs bei Bogenfahrten gegenüber. Die
Längendifferenzen bei Bogenfahrt können nur durch Längsgleiten auf der Schiene ausgeglichen werden. Bei heutigen Eisenbahnrädern werden Verschleißprofile verwendet, die
nicht mehr exakt konisch sind, das Grundprinzip des Sinuslaufs bleibt jedoch erhalten.
Ein Eisenbahnfahrzeug lenkt nicht selbst, sondern wird durch die Spurführung zur Bogenfahrt gezwungen. Bedingt durch die parallele Lagerung der Radsätze im Fahrzeug ist
die Achswelle in einer gedachten Verlängerung nicht sauber auf den Bogenmittelpunkt
gerichtet. Diese Winkeldifferenz (Winkel α in Abb. 2.4) führt bei Bogenfahrt zu einem
Quergleiten der Räder auf der Schiene. Längs- und Quergleiten bilden zusammen mit der
Spurkranzreibung die Ursache für einen erhöhten Laufwiderstand im Gleisbogen.
Dieser Bogenwiderstand hat nur bei kleinen Bögen einen nennenswerten Einfluss auf
den Streckenwiderstand. Für Fahrzeitermittlungen reicht eine näherungsweise Bestimmung nach folgenden Formeln aus [20]:
rBo =
650
für R > 300 m
R − 55
rBo =
500
für R < 300 m
R − 55
26
2
Fahrdynamische Grundlagen
rBo spezifischer Bogenwiderstand in ‰
R Bogenradius in m
Aus dem spezifischen Neigungs- und Bogenwiderstand ergibt sich der spezifische Streckenwiderstand zu:
rS = i + rBo
Der spezifische Streckenwiderstand (in der Praxis meist nur als Streckenwiderstand bezeichnet) wird in der Einheit ‰ = N/kN angegeben. Für jede Strecke werden die spezifischen Streckenwiderstände in so genannten Streckenbändern dargestellt. Diese Streckenbänder sind eine wichtige Unterlage für die Fahrzeitermittlung.
2.3.2 Fahrzeugwiderstand
Der Fahrzeugwiderstand setzt sich aus folgenden Komponenten zusammen:
t
t
t
t
t
3PMMXJEFSTUBOE
-BHFSSFJCVOHTXJEFSTUBOE
%ZOBNJTDIFS8JEFSTUBOE
5SJFCXFSLTXJEFSTUBOE
-VGUXJEFSTUBOE
An der Berührungsfläche zwischen Rad und Schiene kommt es durch elastische Verformung zur Ausbildung einer Kontaktfläche, deren Fläche in etwa der Größe einer EuroCentmünze entspricht. Mit der Bewegung des Rades wandert diese Verformungsstelle an
der Schiene entlang. Die dabei verrichtete Walkarbeit ist die Ursache des Rollwiderstandes.
Der Lagerreibungswiderstand ist unmittelbar von der Bauform der Achslager abhängig.
Mit dem Übergang von Gleit- zu Rollenlagern wurden die Lagerreibungswiderstände erheblich reduziert. Der dynamische Widerstand hat seine Ursache im Energieverlust durch
Schwingungen im Zugverband. Der Triebwerkswiderstand ist der Reibungswiderstand
der rotierenden Teile in Antriebsmaschinen und Einrichtungen zur Kraftübertragung und
Drehmomentwandlung. Der Luftwiderstand schließlich setzt sich aus einer Reihe von
Komponenten zusammen, die maßgebend von den Formparametern des Fahrzeugs abhängig sind.
Die einzelnen Teilwiderstände des Fahrzeugwiderstandes sind mathematisch nur
sehr schwierig zu beschreiben. In der Praxis hat sich daher als ein pragmatischer Weg bewährt, empirische Fahrzeugwiderstandsgleichungen in Auswertung von Schlepp- bzw.
Auslaufversuchen aufzustellen. Der Fahrzeugwiderstand ist geschwindigkeitsabhängig
und wird in Form von Widerstandskennlinien angegeben. Zur Abbildunwerdeng in der
Regel quadratische Gleichungen mit empirisch ermittelten Indizes verwendet:
2.3 Widerstandskräfte
Tab. 2.1 Widerstandsbeiwert
c2 für die Gleichung nach
Strahl
27
Art des Zuges
c2
Voll beladene Ganzzüge aus Selbstentlade- und
Kesselwagen
Ganzzüge aus beladenen Kohlen- und Erzwagen
Ganzzüge aus geschlossenen Wagen
Gemischte Güterzüge
Leerzüge aus offenen Wagen
0,013
0,032
0,040
0,050
0,100
rF = α + β ∙ v + γ ∙ v2
rF
α,β,γ
spezifischer Fahrzeugwiderstand
empirisch ermittelte Indizes
Solche Gleichungen existieren in vielen Variationen. Als Beispiele seien hier die bei deutschen Bahnen verwendeten Widerstandsgleichungen nach Strahl und Sauthoff angeführt.
Diese Gleichungen gelten für den Wagenzug ohne Triebfahrzeug. Die Widerstandsgleichung nach Strahl hat folgende Form:
 v
rW = c1 + (0, 007 + c2 )·  
 10 
rW
v
c1
c2
2
spezifischer Wagenzugwiderstand in ‰
Geschwindigkeit in km/h
Beiwert für Lagerreibung
Luftwiderstandsbeiwert
Der Beiwert c1 wird heute für Gleitlager mit 2,00, für Rollenlager mit 1,4 und für Ganzzüge aus voll beladenen Selbstentlade- und Kesselwagen mit 1,2 angesetzt. Die Werte für
c2 enthält Tab. 2.1.
Die Gleichung nach Strahl wurde ursprünglich für Reise- und Güterzüge entwickelt. In
[21] sind noch Beiwerte für Reisezüge angegeben. Heute wird sie bei deutschen Bahnen
nur noch für Güterzüge benutzt. Bei Reisezügen kommt die Formel nach Sauthoff zur
Anwendung:
(v + 15) 2
rW = 1, 9 + cb · v + 0, 0048 ·(n + 2, 7)· Af ·
m
rW
v
cb
n
m
A f
spezifischer Wagenzugwiderstand in ‰
Geschwindigkeit in km/h
Laufwiderstandbeiwert
Anzahl der Wagen
Zugmasse in t
­RVJWBMFO[RVFSTDIOJUUTGMÊDIFJON2 (1,45 m2 bei modernen Reisezugwagen)
28
2
Fahrdynamische Grundlagen
Der Beiwert cb beträgt bei modernen, vierachsigen Reisezugwagen 0,0025, für die heute
nur noch selten eingesetzten zwei- und dreiachsigen Reisezugwagen gelten höhere Werte.
Die Gleichungen nach Strahl und Sauthoff werden bei deutschen Bahnen sowohl zur
Fahrzeitermittlung in der rechnergestützten Fahrplankonstruktion (Kap. 6), als auch in
Softwaresystemen zur Leistungsuntersuchung von Eisenbahn-Betriebsanlagen verwendet
(Kap. 5). Die Anwendung dieser Gleichungen kann bei allen Bahnen empfohlen werden,
deren Züge eine ähnliche fahrdynamische Charakteristik wie in Deutschland aufweisen.
Bei stärker abweichenden Charakteristika sind andere, an die jeweiligen Randbedingungen angepasste Gleichungen zu verwenden. Ein Beispiel ist die in Nordamerika benutzte
Formel nach Davis, die ebenfalls auf einer quadratischen Gleichung beruht [22]. Da Lokomotiven vor verschiedenen Zügen verkehren können, werden Lokomotiv- und Zugwiderstand getrennt angegeben, wobei man für Lokomotiven die Darstellung in absoluten
Größen bevorzugt. Der Fahrzeugwiderstand des Zuges wird als gewogenes Mittel aus Lokomotiv- und Wagenzugwiderstand gebildet.
2.3.3 Anfahrwiderstand
Der Anfahrwiderstand ist der Fahrzeugwiderstand im Moment des Bewegungsbeginns.
Die Ursache liegt in physikalischen Vorgängen im Achslager sowie im Massenband des
Zuges bei Bewegungsbeginn. Im Moment des Bewegungsbeginns muss der am Lagerring haftende Wälzkörper des Achslagers losgebrochen werden („Losbrechwiderstand“),
und mit der einsetzenden Drehbewegung muss Schmiermittel in die Kontaktfläche gefördert werden. Bedingt durch die Toleranzen der Zugvorrichtung besteht in der Ebene
die Möglichkeit, die Wagen nacheinander anzuziehen und damit den Anfahrwiderstand der Wagen nacheinander zu überwinden. Der spezifische Anfahrwiderstand des
Zuges ist daher kleiner als der spezifische Anfahrwiderstand des Einzelwagens. Beim
Anfahren in der Steigung geht dieser Effekt verloren. Der Anfahrwiderstand des Zuges
ist daher unmittelbar von der Neigung abhängig. Abbildung 2.5 zeigt den Verlauf des
spezifischen Anfahrwiderstandes in Abhängigkeit von der Neigung bei einem Zug mit
100 % Wälzlagern.
Die wichtigste Anwendung des Anfahrwiderstandes ist die Berechnung der Anfahrgrenzmasse. Die Anfahrgrenzmasse ist die Zugmasse, die in einer gegebenen Steigung
noch sicher angefahren werden kann. Sie ergibt sich nach folgender Beziehung:
ma =
ma
F
mL
i
ra
Anfahrgrenzmasse
Anfahrzugkraft
Masse der Lokomotive
Neigung
spezifischer Anfahrwiderstand
F − mL · g · i
g (i + ra )
2.4
Steigungs-Geschwindigkeits-Diagramm
29
Abb. 2.5 Verlauf des spezifischen Anfahrwiderstandes in
Abhängigkeit von der Neigung
(nach [20])
Beispiel 2.1
Für eine vierachsige Drehstromlok soll die Anfahrgrenzmasse in einer Steigung von
i = 12,5 ‰ (Grenzwert der EBO für die Trassierung von Hauptbahnen) bestimmt werden. Gegeben sind folgende Werte:
Lokmasse mL = 90 t (22,5 t/Achse)
μ = 0,35 (nach [20] für Drehstromantriebstechnik bei Bewegungsbeginn)
ra = 10 ‰ (aus Abb. 2.5)
Damit ergibt sich die Anfahrzugkraft und die Anfahrgrenzmasse zu:
F = 90 t · 9, 81
m
· 0, 35 = 309 kN
s2
309 kN − 90 t · 9, 81
ma =
9, 81
m
· 0, 0125
s2
= 1350 t
m
· (0, 0125 + 0, 010)
s2
2.4 Steigungs-Geschwindigkeits-Diagramm
Eine zusammengefasste Darstellung der fahrdynamischen Charakteristik bietet das so
genannte Steigungs-Geschwindigkeits-Diagramm (Abb. 2.6). Aus diesem Diagramm ist
ablesbar, welche Steigung (bzw. welcher Streckenwiderstand) bei einer bestimmten Geschwindigkeit und Zugmasse im Beharrungszustand befahren werden kann.
30
2
Fahrdynamische Grundlagen
Abb. 2.6 Steigungs-Geschwindigkeits-Diagramm
Die Steigung wird nach folgender Formel berechnet:
i=
i
F
RL
rW
GL
GW
F − RL − rW Â GW
GL + GW
Steigung bzw. spezifischer Streckenwiderstand
Zugkraft
Lokomotivwiderstand
spezifischer Wagenzugwiderstand
Gewichtskraft der Lokomotive
Gewichtskraft des Wagenzuges
Der aus dem Diagramm ablesbare Betrag i entspricht der spezifischen Antriebskraft, die
sowohl zum Überwinden eines vorhandenen Streckenwiderstandes als auch zum Beschleunigen des Zuges dienen kann. Es gilt:
iDiagr = ivorh + f a
iDiagr
ivorh
fa
im Diagramm ablesbarer Betrag von i
vorhandener Streckenwiderstand
spezifische Beschleunigungskraft
Das Steigungs-Geschwindigkeits-Diagramm bringt somit auch das Beschleunigungsvermögen des Zuges zum Ausdruck.