1 Grundlagen Wahrscheinlichkeitsrechung - mathe

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1 Grundlagen Wahrscheinlichkeitsrechung
1.1 Grundbegriffe
Alle möglichen Ereignisse eines Zufallsexperiments fassen wir in einer Ereignismenge Ω
zusammen. Ereignisse sind Teilmengen von Ω. Umfasst das Ereignis nun ein Element von Ω,
dann handelt es sich um ein Elementarereignis.
Beispiel:
Bei einem Würfel mit sechs Seiten wäre
Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Ein mögliches Ereignis A ist, dass man eine gerade Zahl würfelt:
A={2, 4, 6}
Ein Elementarereignis wäre B={6}, also das Ereignis, dass eine 6 gewürfelt wird.
Laplace-Experiment:
Man geht davon aus, dass es nur endlich viele Elementarereignisse gibt: │Ω│ = n.
Jedes Elementarereignis E soll mit derselben Wahrscheinlichkeit auftreten ⇒ P(E) = .
Somit gilt für ein Ereignis A: P(A) =
│ │
.
Beispiel „fairer“ Würfel:
Hier gibt es 6 mögliche Elementarereignisse, wobei jedes (deshalb „fairer Würfel“) mit der
gleichen Wahrscheinlichkeit auftritt. Beispielsweise gilt dann:
P({6}) =
P({2, 4, 6}) = = Beispiel:
A sei das Ereignis, dass keine 6 geworfen wird: A = {1, 2, 3, 4, 5}
Damit ergibt sich das Komplement von A (dies sind alle Elemente von W = {1, 2, 3, 4, 5, 6},
die nicht in A liegen): A = {6}
Somit gilt, dass die Wahrscheinlichkeit für keine 6 gleich
P(A) = 1 − P(A) = 1 − =
ist.
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1.2 Wahrscheinlichkeitsbaum
Eine Urne enthält 10 blaue (b), 6 rote (r) und 4 gelbe (g) Kugeln. Es wird 2-mal mit
Zurücklegen eine Kugel gezogen.
Hier sind folgende Elementarereignisse denkbar: {(b, b), (b, r), (b, g), (r, b), (r, r), (r, g),
(g, b), (g, r), (g, g)}
Dies sind 32 = 9 Elementarereignisse. Würde man dreimal ziehen, so ergäben sich 33 = 27
Elementarereignisse.
Man kann dieses Zufallsexperiment mit einem Baum darstellen (wie allgemein bei
Experimenten, die wiederholt ausgeführt werden).
Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln blau sind, ergibt sich durch
P({(b, b)})=
∙
= .
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Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel (d.h. genau eine) blau ist wäre:
P({(b, r)})+ P({(b, g)})+ P({(r, b)})+ P({(g, b)})=
∙
+
∙
+
∙
+
∙
=
Wie sieht es aus, wenn ohne Zurücklegen gezogen wird?
Hier würde sich nach jedem Zug die Wahrscheinlichkeiten ändern, da die jeweils gezogene
Kugel fehlt. Wir zeichnen für diesen Fall einen Baum mit den entsprechenden
Wahrscheinlichkeiten.
Hier wäre beispielsweise
P({(b, b)}) =
∙
=
.
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Ein weiteres Beispiel für die Verwendung eines Baumes:
Es wird 3-mal gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dabei mindestens eine 6 zu
würfeln (Ereignis A)?
1. Möglichkeit:
Die Wahrscheinlichkeit beträgt:
P(A) = +
∙ + ∙
∙ =
≈ 0,4213 = 42,13%
Sobald im Baumdiagramm eine 6 vorkommt, kann der Ast beendet werden (das wäre
das selbe, wie bei einem Spiel, bei dem ein Spieler 3-mal würfelt und gewinnt, sobald
die erste 6 fällt). Wenn man die Verästlung fortsetzen würde, so müsste man über alle
diese Äste summieren und es würde sich letztendlich nur derselbe Wert ergeben. Denn
wenn man 100-mal würfelt, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, beim ersten Wurf eine
6 zu erhalten 1/6 (wenn es egal wäre, was danach gewürfelt wird).
2. Möglichkeit:
P(A) = 1 − P(A) = 1 −
=1−
=
≈ 0,4213 = 42,13%
Das Komplementärereignis A ist das Ereignis, dass keine 6 gewürfelt wurde.
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2 Kombinatorik
Permutationen:
Die Anzahl der Möglichkeiten n verschiedene Objekte in ihrer Reihenfolge zu vertauschen ist
n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ …∙n
Zu n! sagt man „n Fakultät. Dabei ist 0! = 1.
Beispiel:
Es sind 5 Pferde bei einem Rennen gestartet.
Wie viele Möglichkeiten gibt es für den Zieldurchlauf?
Antwort: 5! = 120
Somit gäbe es auch 120 Möglichkeiten für 5 Personen sich in einer Reihe anzustellen.
Sind bestimmte Objekte nicht unterscheidbar, dann kann man wie im folgenden Beispiel
vorgehen:
Wie viele Wörter kann man theoretisch aus den Buchstaben A A A B B C C C C bilden?
Antwort:
!
!∙ !∙ !
= 1260
Für nur 2 verschiedene Buchstaben A und B in einem Wort aus n Buchstaben vorkommen,
dann ergibt sich für die Anzahl der möglichen Wörter der sogenannte Binomialkoeffizient:
AA…A
k- mal
BB…B
(n- k)- mal
Anzahl möglicher Vertauschungen:
!
!∙(
)!
= :
Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge:
Wenn es sich nun um n verschiedene Objekte handelt, von denen man k (ohne Beachtung der
Reihenfolge) auswählen möchte, dann gibt es
(gesprochen n über k) Möglichkeiten.
Beispiel:
(a) Ein Verein mit 20 Mitgliedern wählt einen Vorstand aus 5 Personen.
Wie viele Möglichkeiten gibt es theoretisch?
Antwort:
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(b) In einer Klasse bestehend aus 15 Mädchen und 10 Jungs sollen 5 Mädchen und 5
Jungen ausgewählt werden.
Wie viele Möglichkeiten gibt es theoretisch?
Antwort: Es gibt
∙
Für den Binomialkoeffizienten gilt:
Möglichkeiten.
=
=1
=
Ziehen mit Zurücklegen und mit Betrachtung der Reihenfolge:
Werden aus n verschiedenen Objekten k mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge
ausgewählt, so gibt es n Möglichkeiten.
Beispiele:
(a) Bei einem Spielautomaten gibt es 4 Felder mit jeweils 5 verschiedenen
Symbolen.
Wie viele Möglichkeiten gibt es (die im Display angezeigt werden können)?
Antwort: 5 Möglichkeiten.
(b) Ein Autokennzeichen besteht aus 2 Buchstaben und 3 Ziffern.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, falls theoretisch jede Kombination an
Buchstaben zugelassen wäre?
Antwort: 26 ∙ 9 ∙ 10 = 608.400, falls die erste Ziffer keine Null sein darf.
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3 Stichproben und Häufigkeiten
Würde man z.B. n = 10 mal ein Spiel spielen und sich jeden Gewinn notieren, so könnte
man die absolute Häufigkeit für jeden Wert angeben, als auch die relative Häufigkeit. Wir
betrachten ein Spiel, bei dem man 0€, 2€, 4€ oder 6€ gewinnen kann und spielen dieses 10
mal. Wir gewinnen:
0€, 2€, 2€, 6€, 2€, 4€, 0€, 4€, 4€, 4€ ← Stichprobe
a
absolute Häufigkeit relative Häufigkeit
r(a )
a(a )
0€
2
2€
3
4€
4
6€
1
Relative Häufigkeit
0,45
0,40
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
€0
€2
€4
€6
Wenn man den Stichprobenumfang vergrößern würde, dann liegen die relativen Häufigkeiten
„in etwa“ bei der Wahrscheinlichkeit. Genau genommen konvergiert die relative Häufigkeit
(bei einem Grenzwert nach Wahrscheinlichkeit und unter gewissen Voraussetzungen) gegen
die entsprechende Wahrscheinlichkeit.
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4 Die Binomialverteilung
4.1 Bernoulli-Experiment und die Binomialverteilung
Wir betrachten zunächst ein sogenanntes Bernoulli-Experiment. Bei diesem
Zufallsexperiment gibt es nur 2 mögliche Ausgänge (d.h. 2 Elementarereignisse). Das eine,
für welches man sich gleich bei der Binomialverteilung interessiert (wir nennen es A), tritt
mit der Wahrscheinlichkeit p auf, das andere ( ̅) mit Wahrscheinlichkeit q = 1 − p.
P(A) = p
P(A) = 1 − P(A) = 1 − p = q
Beispiel:
1) Münzwurf: Sei A = {Kopf}, womit ̅ = {Zahl} wäre. Hier ist p = P(A) =
(bei einer
„faire Münze“) und q = P(A) =1 − = .
2) Würfeln. Man interessiert sich für A: Es wurde eine 6 gewürfelt.
p = P(A) =
q = P(A) = 1 − =
Führt man ein Bernoulli-Experiment n −mal (unabhängig voneinander) durch und betrachtet
man die Zufallsvariable X = Anzahl, wie oft A aufgetreten ist, dann ist X binomialverteilt mit
den Parametern n und p.
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Die Wahrscheinlichkeit, dass Ak −mal auftritt (d.h. P(X = k)), berechnet sich dann wie folgt:
P(X = k) =
p ∙ (1 − p)
Wie ergibt sich diese Formel?
A soll k −mal auftreten. Damit tritt A(n − k) −mal auf.
Die Wahrscheinlichkeit für die Folge A, A, A, … , A, A, A, … , A wäre p ∙ (1 − p)
k− mal
(n−k)−mal
.
Dies entspricht genau einem Pfad entlang des Baumes. Wäre die Reihenfolge so vorgegeben,
nicht benötigen.
ist nun die Anzahl der Pfade am Baum,
dann würde man den Faktor
bei denen k −mal A und (n − k) −mal A vorkommt, denn:
!
!(
Somit ist die Wahrscheinlichkeit P(X = k) =
)!
=
p ∙ (1 − p)
.
Beispiel:
Es wird 100−mal ein „fairer“ Würfel gewürfelt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 10 Sechsen gewürfelt werden?
Antwort:
n = 100; p = ; P(X = 10) =
Also ca. 100*0,0214 % = 2,14%.
∙
∙
≈ 0,0214