Beispiele und Test
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Johanna Harnischfeger (Hg.), Heiner Juen (Hg.) Beispiele und Test Fertige Unterrichtsstunden zum Thema Stochastik odik Lernmeth Nach der einz Klippert von Dr. H er (Hg.) rnischfeg a H a n n a Joh en (Hg.) Heiner Ju mit inieren Sie en: a tr s e ft e petenz ieses H Mithilfe d lern folgende Kom den ü d anwen rnen un Ihren Sch kennenle chkeit rscheinli der Wah begriffe en n ch › Grund en re nlichkeit ahrschei ken ec td › Mit W en g twickeln im Allta ionen en ersuche en Situat en eb › Zufallsv eg zu vorg Aufgaben › Eigene en anwend en lieren gi st formu gsstrate enden › Lösun gen selb n lu el und anw gest ra F d ke n er nnen u n e re m u erfinden le ig b F en › Pro ufgaben as in eben eigene A Pythagor ren und ü n p vo fs z au at ›S Alltag oras im n Pythag › Satz vo fen rü p er b ü Können › Eigenes ng: nwendu hoden A ende Met lg fo en d arbeit U. a. fin › Partner s ettel krei › Spickz › Doppel le enrallye zz enpu › Station › Grupp rtei › Lernka sentation ative Prä er p oo K › Downloadauszug aus dem Originaltitel: k i t a m e h Mat ik › Stochast ras › Pythago Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im eigenen Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen schulweiten Einsatz und Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte (einschließlich, aber nicht beschränkt auf Kollegen), für die Veröffentlichung im Internet oder in (Schul-)Intranets oder einen weiteren kommerziellen Gebrauch. Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages. Verstöße gegen diese Lizenzbedingungen werden strafrechtlich verfolgt. Stochastik LS 05 LS 05 Ausgewählte Beispiele Zeit Lernaktivitäten Material M1.A1, Plakate, Stifte 1 PA 30‘ S entwerfen eigene Aufgaben zu vorgegebenen Situationen und machen dazu Lösungsvorschläge. S fertigen Plakate zu ihren Aufgaben an. 2 PA 20’ S überprüfen die Beispiele der Mitschüler auf ihre Verständlichkeit, überprüfen Lösungen, beurteilen Aufgaben und schreiben Kommentare oder Verbesserungsvorschläge. 3 PA 15’ S setzen sich jeweils mit Kommentaren zu ihren eigenen Aufgaben auseinander und arbeiten Verbesserungsvorschläge in ihre Aufgaben ein. Nach Bedarf können die in der Klasse erstellten Beispiele zu Übungszwecken verwendet werden. 4 GA/ PL 15’ S entwickeln eine Strategie zur Lösung bestimmter Aufgabentypen. Lösungsvorschläge werden vorgestellt und diskutiert. 5 GA/ PL 20‘ S entwerfen Hypothesen und einigen sich in der Gruppe auf Lösungsvorschläge. Ihre Vorschläge überprüfen sie mithilfe einer Definition. S klären ihre Standpunkte in einer Plenardiskussion. Anhand eines Beispiels überprüfen die S, ob sie das Gelernte anwenden können. M1.A5–6 6 PA/ GA 30‘ S setzten sich mit komplexen Aufgaben auseinander, entwickeln Strategien, diskutieren Lösungen und führen Simulationen durch. In der GA werden die Lösungen verglichen und diskutiert. M1.A7–8 7 PL 30‘ Einzelne Gruppenergebnisse werden an der Tafel präsentiert, auftretende Fragen werden geklärt. Kompetenzen – Probleme selbst formulieren – mathematisch modellieren – Probleme bearbeiten, deren M1.A2 Lösung die Anwendung von Klebezettel, Strategien erfordern rote, gelbe – Fragen stellen, die für die und grüne Mathematik charakteristisch sind Klebepunkte und Vermutungen äußern M1.A3 – auf Äußerungen von anderen zu mathematischen Inhalten eingehen – Äußerungen von anderen zu mathematischen Inhalten M1.A4, bewerten Folie, Stifte – mit Fehlern konstruktiv umgehen Tafel Erläuterungen zur Lernspirale Die Schüler wenden bisher Gelerntes an. Die Arbeitsanweisungen stehen in den Aufgaben. kutiert. Die kürzeste Variante wird ermittelt. Die Reihenfolge der Präsentation wird ausgelost. Zum Ablauf im Einzelnen: 1. Arbeitsschritt: Es werden Partnergruppen gebildet. Die Schüler arbeiten den Arbeitsauftrag ab. Plakate werden entworfen und aufgehängt. 5. Arbeitsschritt: Es werden Vierergruppen gebildet (Losentscheid). Der Arbeitsauftrag M1.A5 wird abgearbeitet. Im anschließenden Plenum werden die verschiedenen Vorschläge unter Leitung des Lehrers diskutiert und die Begriffe erklärt. Anschließend bearbeiten die M1.A6. J. Harnischfeger (Hg.)/H. Juen (Hg.) © Klippert Medien 2. Arbeitsschritt: Die Schüler besuchen je nach Zeitaufwand 3 – 5 Plakate. 3. Arbeitsschritt: Die Schüler überarbeiten ihre Aufgaben anhand der Klebezettelchen an den Plakaten und schreiben die Endfassung auf. Bei Bedarf werden fremde Arbeitsblätter geholt und Beispiele daraus nachgerechnet. Werden vermeintliche Fehler entdeckt, setzen sich Erstellergruppe und Bearbeiter zusammen und besprechen diese. 4. Arbeitsschritt: Der Arbeitsauftrag wird in einer Dreiergruppe (Bildung durch Auslosung) abgearbeitet. Mithilfe der erstellten Folien werden die Lösungsvorschläge präsentiert und im Plenum dis- 1 6. Arbeitsschritt: Die beiden Aufgaben werden zunächst in PA bearbeitet, zwei Partnerteams bilden dann eine Vierergruppe, in denen die Lösungen verglichen und diskutiert werden. 7. Arbeitsschritt: M1.A7 wird von einer ausgelosten Gruppe an der Tafel entwickelt und dabei erklärt. Der Lehrer bereitet an der Tafel Tabellen wie in M1.A8 vor, in die die Schüler ihre Ergebnisse eintragen, um zu einem Klassenergebnis zu kommen. Beide Aufgaben werden im Plenum diskutiert; vor allem soll das Ziegenproblem ausführlich behandelt werden. Merkposten Zu Arbeitsschritt 1–3: S darauf hinweisen, dass die Arbeitsaufträge genau gelesen werden. Eventuell können sie vor Arbeitsbeginn noch einmal besprochen werden. Zu Arbeitsschritt 3: Bevor die Endfassung aufgeschrieben wird, kann sie dem L zur Kontrolle vorgelegt werden. Die verschiedenen Beispiele können dann unter den S ausgetauscht und zur Übung verwendet werden. Klippert Zeitgemäß bei Klett unterrichten LS 05.M1 Stochastik 05 Ausgewählte Beispiele A1 Bearbeite die Aufgaben a) bis c) mit deinem Partner oder deiner Partnerin zunächst im Schulheft, dort habt ihr genügend Platz zum Probieren. Sind die Aufgaben eurer Meinung nach richtig gestellt, schreibt sie untereinander auf ein Plakat. Lasst neben den Aufgaben bitte genügend Platz, damit eure Mitschüler Kommentare dazuschreiben können. Dieses Plakat hängt ihr dann in der Klasse auf. Beachte: Die Zeilen unter den Aufgaben bleiben zunächst noch leer. a) Erfindet zu dem folgenden Baumdiagramm eine Aufgabe aus dem Alltag mit zwei Fragen und schreibt die Lösung dazu. Diese Zeilen werden erst beim Bearbeiten der Aufgabe A3 ausgefüllt. J. Harnischfeger (Hg.)/H. Juen (Hg.) © Klippert Medien Unsere Aufgabe: 2 Klippert bei Klett Klippert Zeitgemäß bei Klett unterrichten Stochastik LS 05.M1 b) Bei einem Glücksrad könnt ihr die Einteilung frei wählen. Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Erfindet dazu ein Spiel, bei dem Gewinne gemacht werden können. Zeichnet in euer Schulheft ein entsprechendes Baumdiagramm dazu und berechnet dann die entsprechenden Gewinnchancen. Unser Spiel: Diese Zeilen werden erst beim Bearbeiten der Aufgabe A17 ausgefüllt. Unterteilt nicht zu kompliziert! Ihr müsst ja Wahrscheinlichkeiten angeben können. c) Ein Tetraederwürfel hat 4 gleich große Seitenflächen, es können also nur die Zahlen 1, 2, 3 und 4 gewürfelt werden. Als gewürfelt gilt die Zahl , die unten liegt und nicht sichtbar ist. Außerdem stehen drei Urnen mit Kugeln bereit. In Urne 1 befinden sich 4 Kugeln mit den Zahlen 1, 1, 2, 3 in Urne 2 befinden sich 3 Kugeln mit den Zahlen 2, 3, 4 und in Urne 3 befinden sich 2 Kugeln mit den Zahlen 3 und 4. Erfindet dazu ein Spiel, bei dem Gewinne erzielt werden können. Zeichnet in euer Schulheft ein entsprechendes Baumdiagramm dazu und berechnet die entsprechenden Gewinnchancen. Unser Spiel: Diese Zeilen werden erst beim Bearbeiten der Aufgabe A17 ausgefüllt. A2 J. Harnischfeger (Hg.)/H. Juen (Hg.) © Klippert Medien Mit deinem Partner oder deiner Partnerin besuchst du nun verschiedene Plakate. Lest die Aufgaben und beurteilt, ob die Texte verständlich sind. Dann überprüft ihr die angeführten Lösungen auf Richtigkeit. Seid ihr der Meinung, dass alles in Ordnung ist, vergebt einen grünen Punkt; seid ihr nicht ganz sicher, ob alles passt, vergebt einen gelben Punkt; habt ihr Fehler entdeckt, gibt es einen roten Punkt und ihr schreibt einen kurzen Kommentar oder Verbesserungsvorschlag auf ein Klebezettelchen und klebt dieses neben die Aufgabe. A3 Nach der Kritikrunde in A2 holt ihr euch euer Plakat zurück und geht die Bemerkungen gemeinsam durch. Arbeitet alle sinnvollen Anregungen in die Aufgaben ein. Die überarbeiteten Aufgaben schreibt nun in die leeren Zeilen unterhalb der jeweiligen Aufgabe in A1. Notiert dort ebenfalls die Lösungen ohne den Lösungsweg. Holt euch anschließend das Arbeitsblatt von einem Mitschüler und löst dessen Aufgabe. Wenn ihr noch Zeit habt, könnt ihr weitere Arbeitsblätter von Klassenkameraden holen und deren Aufgaben lösen. Entdeckt ihr dabei eurer Meinung nach einen Fehler, so besprecht ihn mit den Schülern der entsprechenden Gruppe. 3 Klippert Zeitgemäß bei Klett unterrichten LS 05.M1 Oft werden nur Pfade gezeichnet, die von Interesse sind. Pfade müssen auch nicht immer vollständig sein. Zu einem solchen Diagramm sagt man Teilbaumdiagramm oder einfach auch Baumdiagramm. Stochastik A4 Stephan behauptet, ein Pechvogel zu sein und möchte die Regel beim Mensch-ärgere-dich-nicht-Spiel ändern. Er möchte mit einer 1 statt mit einer 6 starten dürfen; wie bei dem Spiel üblich, hat er drei Versuche. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gelingt der Start? Daniela findet, dass das vollständige Baumdiagramm fürchterlich groß wird. Wie viele Pfade sind es eigentlich? Ihr könnt helfen: Findet das „kürzeste“ Baumdiagramm? Schreibt und zeichnet zunächst in euer Schulheft. Schreibt eure fertige Lösung anschließend auf eine Folie. A5 Bei einem Glücksspiel können zwei Kugeln mit einem Griff aus einem Behälter gezogen werden. In dem Behälter sind 5 Kugeln mit der Zahl 2; 3 Kugeln mit der Zahl 5 und eine Kugel mit der Zahl 10 beschriftet. Die Summe der auf den beiden gezogenen Kugeln stehenden Zahlen wird gebildet. Erstellt ein Baumdiagramm und gebt die Wahrscheinlichkeitsverteilung an: Du weißt ja: „Mit einem Griff„ heißt „hintereinander ohne Zurücklegen“. Summe Wahrscheinlichkeit Die 10-fache Summe der Zahlen wird als Gewinn in Cent ausbezahlt. Daher ergibt sich folgende Gewinntabelle: Gewinn Wahrscheinlichkeit Erinnere dich: Die Wahrscheinlichkeit kann als relative Häufigkeit interpretiert werden. Nimm Stellung zu folgenden Fragen: • Wie oft wird bei 1000 Spielen der Betrag von 150 Cent in etwa ausbezahlt werden? • Stell dir vor, du hast das Spiel 100-mal gespielt. Was stellst du dir unter dem mittleren Gewinn bei 100 Spielen vor? J. Harnischfeger (Hg.)/H. Juen (Hg.) © Klippert Medien • Du sollst eine Prognose für den zu erwartenden Gewinn abgeben. Wie würdest du den zu erwartenden Gewinn für ein Spiel berechnen? Suche das Problem von Chevalier De Méré im Internet. • Stell dir vor, du betreibst dieses Spiel. Dann musst du einen Einsatz von jedem Spieler und jeder Spielerin verlangen, um damit zu verdienen? Wie hoch musst du den Einsatz mindestens ansetzen, um keinen Verlust zu machen? • Wie ändert sich die Gewinntabelle für einen Spieler, wenn der Einsatz 80 Cent beträgt? Wie hoch wird jetzt der zu erwartende Gewinn? 4 Klippert bei Klett Klippert Zeitgemäß bei Klett unterrichten Stochastik Aus dem Lexikon: Der zu erwartende Gewinn pro Spiel wird berechnet, indem man die einzelnen möglichen Gewinne mit den dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten multipliziert und anschließend die Summe der Produkte bildet. Ein Spiel wird als fair bezeichnet, wenn der zu erwartende Gewinn den Wert 0 hat. Berechnet den zu erwartenden Gewinn bei obigem Spiel, falls ihr das Ergebnis nicht schon wisst. LS 05.M1 Bei einem fairen Spiel ist die Summe deiner Einsätze langfristig genau so hoch wie die an dich insgesamt ausbezahlten Gewinne. A6 In einer Urne sind 10 Kugeln mit den Zahlen 0 bis 9. Eine Kugel wird gezogen. Zieht man eine 0 oder eine 1 oder eine 9, so gewinnt man 5 €. Zieht man eine 4 oder eine 6 oder eine 8, so gewinnt man 3 €. Zieht man dagegen eine Primzahl, so muss man 4 € bezahlen (Verlust). Mit welchem mittleren Gewinn oder Verlust kann man als Spieler rechnen? Wie viel muss man nach dem Ziehen einer Primzahl bezahlen, damit das Spiel fair wird? Erinnere dich: Die kleinste Primzahl ist 2. A7 Vielleicht brauchst du zwei Baum-diagramme. J. Harnischfeger (Hg.)/H. Juen (Hg.) © Klippert Medien Silke spielt mit Frank und Lara Tennis. Gegen Frank gewinnt Silke einen Satz mit der Wahrscheinlichkeit 0,7 und gegen Lara gewinnt sie einen Satz mit der Wahrscheinlichkeit 0,4. Silke spielt nun drei Sätze, wobei nach jedem Satz der Gegenspieler wechselt. Silke gewinnt das Match, wenn sie zwei Sätze hintereinander gewinnt. Welche Reihenfolge (Lara-Frank-Lara oder Frank-Lara-Frank) wird Silke wählen? Wie hoch ist ihre Gewinnwahrscheinlichkeit? Wie groß ist der Unterschied der Gewinnwahrscheinlichkeit bei den beiden Möglichkeiten? 5 Klippert Zeitgemäß bei Klett unterrichten LS 05.M1 Das Ziegenproblem ist eines der bekanntesten Beispiele der Wahrscheinlichkeitsrechnung, da es in den Medien (vor allem in den USA) ausgiebig diskutiert wurde. Suche im Internet Informationen über das Ziegenproblem. Stochastik A8 Das Ziegenproblem Bei einer Fernsehshow kann man ein Auto gewinnen. Das Spiel funktioniert folgendermaßen: Das Auto ist hinter einer von drei Türen versteckt. Hinter den zwei anderen Türen befindet sich je eine Ziege (Niete). Der Moderator weiß, wo sich die Ziegen und das Auto befinden. Eine Kandidatin kann nun eine Tür wählen, indem sie sich davor stellt. Diese Tür wird allerdings zunächst nicht geöffnet. Nach der Wahl öffnet der Moderator eine der beiden anderen Türen hinter der sich eine Ziege befindet. Die Kandidatin hat nun die Möglichkeit, zu einer anderen Tür zu wechseln. Ändert sie dadurch ihre Gewinnchance? Dieses Spiel kannst du mit einem Partner oder einer Partnerin simulieren, indem einer von euch die Rolle des Moderators (M) übernimmt und der andere die Kandidatin (K) spielt. Verwendet einfach drei Spielkarten (z. B.: Herz Ass: Auto; Pik 7 und Kreuz 7: die beiden Ziegen). Führt mindestens 20 Spiele durch, dabei könnt ihr auch die Rollen tauschen. • M mischt die drei Karten, schaut sie an und legt sie verdeckt auf den Tisch; M weiß, wo sich das „Auto“ befindet. • K wählt eine der drei Karten aus, indem K einen Radiergummi oder einen Bleistift darauf legt. • M deckt eine der beiden Ziegenkarten auf (ob M aus zwei Karten auswählen kann oder ob M eine bestimmte Karte aufdecken muss, weil Ks Radiergummi auf der anderen „Ziegenkarte“ liegt, wird später in der untenstehenden Tabelle ausgefüllt). • K entscheidet, ob sie eine andere Karte auswählt oder nicht. • Die von K zuletzt gewählte Karte wird durch M aufgedeckt. Nach jedem Spiel werden Striche in die folgenden Tabellen eingetragen: Spielst du M, so fülle folgende Tabelle aus: M kann aus zwei Ziegenkarten auswählen, um eine umzudrehen M muss eine bestimmte Karte umdrehen Spielst du K, so fülle folgende Strichliste aus: Gewonnen ohne zu wechseln Verloren ohne zu wechseln Gewonnen mit Wechseln Verloren mit Wechseln Trage nach Ende des Spiels die absoluten Zahlen in die Tabelle an der Tafel ein. Wenn alle Gruppen fertig gespielt haben und alle Ergebnisse an der Tafel stehen, trage das Klassenergebnis in absoluten Zahlen und relativen Zahlen in folgende Tabelle ein: J. Harnischfeger (Hg.)/H. Juen (Hg.) © Klippert Medien M kann aus zwei Ziegenkarten auswählen, um eine umzudrehen M muss eine bestimmte Karte umdrehen Gewonnen ohne zu wechseln Ist eine Tendenz erkennbar? Welche Strategie ist besser, „Tür wechseln“ oder „Tür nicht wechseln“? Trage die Wahrscheinlichkeiten in das Baumdiagramm ein. Was ändert sich am Diagramm, nachdem eine Ziegentür geöffnet wurde? Kannst du eine Strategie erkennen? Verloren ohne zu wechseln Ziege 6 Verloren mit Wechseln Auto Auto Klippert bei Klett Gewonnen mit Wechseln Ziege Auto Klippert Zeitgemäß bei Klett unterrichten Stochastik LS 06 LS 06 Selbsteinschätzung – Test Zeit Lernaktivitäten Material 1 EA 10‘ Die S schätzen ihr Wissen anhand des Bogens selbst ein. 2 EA 30’ Die S bearbeiten die Aufgaben. 3 GA 40’ Die S vergleichen, verbessern, diskutieren ihre Lösungen (evtl. mithilfe des Lösungsbogens). 4 PL 10’ Ungeklärte Probleme werden im Plenum besprochen. Kompetenzen M1 – kritisch das eigene Können hinterfragen M2, DIN-A4-Blatt – Lösungsstrategien entwickeln – mathematisch argumentieren M3 – aktiv zuhören – evtl. Verbesserungen oder Ergänzungen an den eigenen Aufzeichnungen vornehmen Erläuterungen zur Lernspirale In dieser Lernspirale überprüfen die Schüler ihr Wissen. 3. Arbeitsschritt: In Gruppen werden die Lösungswege und Ergebnisse verglichen und diskutiert. Zum Ablauf im Einzelnen: 1. Arbeitsschritt: Die Schüler schätzen mithilfe des Bogens ihr Können ein. 4. Arbeitsschritt: Noch bestehende Probleme können im Plenum erläutert werden. 2. Arbeitsschritt: Die Schüler lösen die Aufgaben des Tests. J. Harnischfeger (Hg.)/H. Juen (Hg.) © Klippert Medien Notizen: 7 Klippert Zeitgemäß bei Klett unterrichten LS 06.M1 Stochastik 06 Selbsteinschätzung – Test Mit diesem Bogen kannst du ermitteln, was du noch üben musst bzw. was du deiner Meinung nach schon sicher kannst! Überlege dir genau, welche Aufgabenstellungen und Themen für die Klassenarbeit eventuell wichtig sind. Beantworte alle Punkte wahrheitsgemäß. Die Antworten sind nur für dich. Das kann ich 3 Das muss ich noch üben! Ich kenne den Zusammenhang von relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit. Ich weiß, was unter dem Begriff Ergebnis eines Zufallsversuchs verstanden wird. Ich weiß, was unter dem Begriff Ereignis eines Zufallsversuchs verstanden wird. Ich weiß, was ein Laplace-Experiment ist und kann einige solcher Experimente aufzählen. Ich weiß, wie bei einem Laplace Experiment die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen berechnet wird. Ich weiß, was eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist. Ich weiß, was ein Bernoulli-Experiment ist. Ich kann die Summenregel zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen anwenden. Ich kann einen mehrstufigen Zufallversuch mithilfe eines Baumdiagramms darstellen. Ich weiß, warum die Pfadregel gilt und kann sie anwenden. Ich weiß, warum die Summenregel für Pfade gilt und kann sie anwenden. J. Harnischfeger (Hg.)/H. Juen (Hg.) © Klippert Medien Ich kenne die Begriffe sicheres Ereignis und unmögliches Ereignis. Ich kenne den Begriff Gegenereignis und kann ihn anwenden. Ich weiß, wie der zu erwartende Gewinn eines Spiels berechnet wird. 8 Klippert bei Klett Klippert Zeitgemäß bei Klett unterrichten Stochastik LS 06.M2 Test 1. In einem Unternehmen wurde bei einer Umfrage festgestellt, dass 34 der insgesamt 78 beschäftigten Frauen rauchen, von den 56 beschäftigten Männern rauchen 24. a) Gibt es relativ mehr Raucherinnen oder Raucher? b) Eine Person wird ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit raucht diese Person nicht? 2. Zeichne ein Glücksrad, bei dem die Wahrscheinlichkeit, eine 1 zu drehen ca. 33 % beträgt, die Wahrscheinlichkeit eine 2 zu drehen ca. 17 % und die Wahrscheinlichkeit, eine 3 zu drehen 25 % beträgt. Der Rest des Rades ist für die 4 vorgesehen. Erläutere deine Einteilung. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird eine 4 gedreht? 3. Ein Würfel hat statt der „Sechs“ eine weitere „Drei“ und statt der „Fünf“ eine weitere „Zwei“. Dieser Würfel und eine Münze (Kopf, Zahl) werden geworfen. Verwende ein Baumdiagramm, um folgende Fragen zu beantworten: a) Welche Ergebnisse sind möglich? Zeichne und schreibe auf das DIN-A4-Blatt. b) Ein Gewinn wird ausbezahlt, wenn eine „Eins“ oder eine „Vier“ gewürfelt wird und die Münze „Zahl“ zeigt. Wie hoch ist die Gewinnwahrscheinlichkeit? 4. In einer Urne sind 2 schwarze, 4 blaue und 6 rote Kugeln. Es werden mit einem Griff zwei Kugeln gezogen. Haben die beiden Kugeln die gleiche Farbe, erhält man 6 €, haben sie die Farben rot und blau, erhält man 3 € ausbezahlt. In allen anderen Fällen verliert man. Der Einsatz beträgt 2 €. a) Erstelle ein Baumdiagramm und gib die Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Gewinn an. Zeichne und schreibe auf das DIN-A4Blatt. b) Wie hoch ist der zu erwartende Gewinn? Wie hoch muss der Einsatz sein, damit das Spiel fair ist? J. Harnischfeger (Hg.)/H. Juen (Hg.) © Klippert Medien 5. Bei einer gezinkten Münze beträgt die Wahrscheinlichkeit, „Zahl“ zu werfen 0,6. Die Münze darf so lange geworfen werden, bis „Zahl“ erscheint. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann Karl das Spiel spätestens mit drei Würfen beenden? 9 Klippert Zeitgemäß bei Klett unterrichten LS 06.M3 Stochastik Lösungen zum Test 1. 34 24 __ a) relativer Anteil Raucherinnen: __ 78 < 43,6 %; relativer Anteil Raucher: 56 < 42,8 % Also rauchen relativ mehr Frauen. 58 b) P (Person raucht) = __ 134 = 43,3 % Die ausgewählte Person raucht mit einer Wahrscheinlichkeit von 56,7 % nicht. 2. Die 1 nimmt ca. ein Drittel, die 2 ca. ein Sechstel, die 3 und die 4 jeweils genau ein Viertel des Glücksrades ein. Die 4 wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 25 % erzielt. 3. a) Mögliche Ergebnisse (Ausfälle): 1K, 1Z, 2K, 2Z, 3K, 3Z, 4K, 4Z Im Baumdiagramm ist es egal, ob mit dem Münzwurf oder mit dem Würfel begonnen wird. 1 6 _ 2 _ 6 1 1 6 _ 2 _ 6 2 3 4 1 2 _ 1 2 _ 1 2 _ 1 2 _ 1 2 _ 1 2 _ 1 2 _ K Z K Z K Z K Z _ 1 2 1 _1 _1 _1 _1 1 _ b) P (Gewinn) = _ 6 · 2 + 6 · 2 = 6 ; die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt 6 . 4. Von der Auszahlung muss der Einsatz abgezogen werden, wenn man den Gewinn ermitteln will! 6 12 2 12 _ _ 4 12 _ r 5 _ 11 4 11 _ r b 3 11 6 _ 11 2 _ 11 _ s Gewinn Wahrscheinlichkeit s b 6 _ 11 2 _ 11 r b 44 132 1 3 4 11 _ s 4€ __ = _ < 1 11 _ r b s 1€ 33,3 % 48 132 __ < 36,4 % –2 € 40 132 __ < 30,3 % J. Harnischfeger (Hg.)/H. Juen (Hg.) © Klippert Medien Der zu erwartende Gewinn beträgt rund 1,09 €. Das Spiel ist daher fair, wenn der Einsatz rund 2 € + 1,09 € = 3,09 € beträgt. 5. P (Spiel wird mit drei Würfen beendet) = 0,6 + 0,4 · 0,6 + 0,4 · 0,4 · 0,6 = 0,936 = 93,6 % Karl kann das Spiel mit einer Wahrscheinlichkeit von 93,6 % spätestens nach drei Würfen beenden. 10 Klippert bei Klett Klippert Zeitgemäß bei Klett unterrichten Lösungen Lerneinheit 1: Stochastik LS 05.M1 A4 5/6 5/6 keine 1 1/6 1/6 keine 1 1 1/6 1 1 Es gibt 6 · 6 · 6 = 216 Pfade; es werden aber nur die zielführenden Pfade gezeichnet. 1 5 1 5 5 1 P (unter den ersten drei Würfen ist genau eine 1) = _ + _ · _ + _ · _ · _ < 42,1 % 6 6 6 6 6 6 A5 Gewinn (mit Einsatz) 40 (–40) 70 (–10) 100 (20) 120 (40) Wahrscheinlichkeit 20 __ 72 30 __ 72 6 __ 72 10 __ 72 150 (70) 6 72 __ 6 6 700 30 20 10 zu erwartender Gewinn: 40 · __ + 70 · __ + 100 · __ + 120 · __ + 150 · __ = __ < 77,8 € 72 72 72 72 72 9 Der mittlere Gewinn beträgt 80 ct Gewinn; das Spiel wird fair, wenn bei Ziehen einer Primzahl 6 € bezahlt werden müssen. A7 Silke muss den 2. Satz gewinnen, daher spielt sie Lara-Frank-Lara. Gewinnwahrscheinlichkeit bei Lara-Frank-Lara: 44,8 % Gewinnwahrscheinlichkeit bei Frank-Lara-Frank: 36,4 % J. Harnischfeger (Hg.)/H. Juen (Hg.) © Klippert Medien A6 11 Klippert Zeitgemäß bei Klett unterrichten Individuelle Förderung bei gleichzeitiger Lehrerentlastung Dieser Download ist ein Auszug aus dem Originaltitel Stochastik – Pythagoras Über diesen Link gelangen Sie direkt zum Produkt: www.klippert-medien.de/go/dl9262 Weitere Downloads, E-Books und Print-Titel des Programms von Klippert Medien finden Sie unter www.klippert-medien.de. © 2017 Klippert Medien AAP Lehrerfachverlage GmbH Alle Rechte vorbehalten. Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werks ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen weiteren kommerziellen Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte oder für die Veröffentlichung im Internet oder in Intranets. Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlags. Sind Internetadressen in diesem Werk angegeben, wurden diese vom Verlag sorgfältig geprüft. Da wir auf die externen Seiten weder inhaltliche noch gestalterische Einflussmöglichkeiten haben, können wir nicht garantieren, dass die Inhalte zu einem späteren Zeitpunkt noch dieselben sind wie zum Zeitpunkt der Drucklegung. Der Persen Verlag übernimmt deshalb keine Gewähr für die Aktualität und den Inhalt dieser Internetseiten oder solcher, die mit ihnen verlinkt sind, und schließt jegliche Haftung aus. Autoren: Johanna Harnischfeger (Hg.), Heiner Juen (Hg.) Covergestaltung: fotosatz griesheim GmbH – Norbert Funk Umschlagfoto: Thomas Weccard Illustrationen: Steffen Jähde Satz: Joh. Walch GmbH & Co. KG, Augsburg www.klippert-medien.de
