Mathematische Methoden der Physik II Serie 3

Mathematische Methoden der Physik II
Serie 3
Kontinuitätsgleichung, Skalare Maxwellgleichungen,Laplace
Abgabetermin: 23. März 2017
1. Betrachte die Massenstromdichte ~j(~r) = λ(y − y0 , x y/y0 , 0), mit y0 = 0.5m und
λ = 0.5kg/(m3 s).
(a) Was ist der Wert der Stromdichte ~j(~r) bei ~r = (3, 2, 2)m? Wie gross ist die
~ · ~j(~r)?
Quelldichte ∇
(b) Skizziere die Stromdichte ~j(~r) in der Region x, y ∈ [0, 1m].
(c) Finde eine Dichtefunktion ρ(~r, t), die bei Massenerhaltung Anlass zu dieser
Quelldichte geben könnte. (Die Änderung der Dichte folgt aus der Kontinuitätsgleichung. Die Lösung ist nicht eindeutig.)
2. Kugelsymmetrische Ladungsdichte im Koordinatenursprung, ρ(r), r = |~r|. Das von
der Ladung ρ(r) erzeugte elektrische Feld erfüllt die Maxwellgleichung
~ · E(~
~ r) = 1 ρ(r) .
∇
ǫ0
(1)
Definiere
~ r ) = 1 ~r
E(~
ǫ0 r 3
Z
r
2
dr ′ r ′ ρ(r ′ ) .
(2)
0
~ in der Tat die Maxwellgleichung (1) erfüllt.
Beweise, dass dieses Feld E
~ r ) in Gl. (2) ist ein kugelsymmetrsiches Feld, siehe Abschnitt 13.8 im
Hinweis: E(~
Skript MMPI. Benutze die spezielle Darstellung der Divergenz in diesem Fall, um
den Beweis zu erbringen. Beachte dabei, dass
Z x
d
dyf (y) = f (x) .
dx 0
3. Der Trägheitstensor einer Massenverteilung ρ(~r) ist definiert als
Z
Iij = dV ρ(~r) ~r2 δij − ri rj .
(3)
Das Kroneckersymbol hat den Wert δij = 1 für i = j und δij = 0 für i 6= j. Berechne
den Trägheitstensor des Ellipsoids x2 /a2 + y 2 /b2 + z 2 /c2 ≤ 1 mit Halbachsen a, b
und c und konstante Dichte ρ(~r) = ρ0 . Gib das Resultat als Funktion der Masse M
des Ellipsoids an.
Hinweis: Führe zuerst einen Variablenwechsel x′ = x/a, y ′ = y/b, z ′ = z/c durch
und verwende danach Kugelkoordinaten für x′ , y ′ und z ′ .
4. Betrachte das Skalarfeld
φ = x2 = r 2 cos2 ϕ sin2 θ
und berechne ∆φ sowohl in Kugelkoordinaten, mit Hilfe der Formel
2
∂
∂
∂2
2 ∂
1
∂
1
∆φ =
+
+
sin θ
+
φ(r, θ, ϕ) ,
∂r 2 r ∂r r 2 sin θ ∂θ
∂θ r 2 sin2 θ ∂ϕ2
als auch in kartesischen Koordinaten. Zeige, dass die Resultate übereinstimmen.
(4)