Etwas Relativitätstheorie 2.3 Relativitätsprinzip, Konstanz der

Etwas Relativitätstheorie
2.3 Relativitätsprinzip, Konstanz der Lichtgeschwindigkeit
• 1864, Maxwell:
vereinheitlichte Theorie der elektr. u. magn. Felder
(4 Maxwell-Gleichungen)
Ö Elektromagn. Wellen,
1
Geschw. c =
= 299 792 458 m / s
µ0ε0
[Gl.2.3.1.]
) c steht fest …
unabh. davon, ob sich Sender/Empfänger bewegen?
Widerspruch zu Galilei-Transf. ( c ± v )
• 1881 Michelson, Morley:
Messung der Lichtgeschw.,
Ergebnis : c unabh. von Erdbewegung!
• 1890 Lorentz:
elektromagnetisches Feld einer bewegten Ladung
Galilei-Transf. Ö Lorentz-Transf.
nur für em-Felder ? warum ?
• 1905 Einstein:
„Zur Elektrodynamik bewegter Körper“
Maxwell-Gl. sind ok !
aber:
unsere Vorstellungen von
Raum und Zeit
müssen radikal geändert werden!
Das Relativitätsprinzip
• In allen gleichförmig bewegten Systemen gelten durchweg die gleichen
Naturgesetze.
spez.:
• Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist für alle gleichförmig gegeneinander
bewegten Systeme gleich groß.
Eidesstattliche Erklärung
Ich, .................................., habe das Relativitätsprinzip zur Kenntnis genommen.
Ich anerkenne dieses Prinzip und gelobe es stets zu beachten.
Heilbronn, den ...........................
..............................................
Harmlos ?
NEIN !
Physik_2_3_Relativitaetstheorie.doc, Prof. Dr. K. Rauschnabel, HHN, 02.11.2005 22:04:00
S.1/14
Relativitätsprinzip
• Rakete fliegt mit c/2
• Rakete sendet Radarwelle aus
• Radarwelle bewegt sich relativ zur
Rakete mit c
• Radarwelle bewegt sich relativ zur
Raumstation
ebenfalls mit c !
(nicht : c/2 + c !)
c/2
c
2.3.1 Gleichzeitigkeit zweier „Ereignisse“
B
c/2
A
A:
• sieht beide Blitze gleichzeitig
• gleicher Weg
• gleiche Geschwindigkeit,
er/sie berücksichtigt die Laufzeit und kommt zum Ergebnis …
• Ö die 2 Ereignisse „Blitzeinschlag vorne/hinten“ sind gleichzeitig
Physik_2_3_Relativitaetstheorie.doc, Prof. Dr. K. Rauschnabel, HHN, 02.11.2005 22:04:00
S.2/14
B:
• sieht vorderen Blitz zuerst! ( warum ? )
• sitzt genau in der Mitte des Zuges
Ö gleicher Weg für beide Lichtstrahlen !
• gleiche Geschwindigkeit! (c ist überall c !)
er/sie berücksichtigt die Laufzeit und kommt zum Ergebnis …
• „Blitz vorne“ hat vor „Blitz hinten“ eingeschlagen, nicht gleichzeitig!
Ö Zeit in den 2 Bezugssystemen ist nicht gleich!
2.3.2 Zeitdilatation
Lichtuhr
Spiegel
Lichtweg :
Laufzeit:
3m
T0 = 10 ns
1,5 m
Taktfrequenz: 100 MHz
Ausg.
Wir lassen diese „Uhr“ mit einem Raumschiff mitfliegen …
Anordnung : Lichtweg quer zur Flugrichtung
Mitbewegter Beobachter:
• Lichtweg : 3 m , Lichtgeschw. (wie immer!) c = 30 cm/ns, Laufzeit: T0 = 10 ns
• Keine Änderung!
• Der mitbewegte Beobachter kann nicht feststellen, daß er sich bewegt!
Ruhender Beobachter:
sieht Lichtuhr z.B. mit c/2
vorbeifliegen:
Spiegel und Detektor bewegen sich
weiter, während Lichtimpuls läuft
ÖLichtweg :>3 m
Physik_2_3_Relativitaetstheorie.doc, Prof. Dr. K. Rauschnabel, HHN, 02.11.2005 22:04:00
S.3/14
Lichtgeschw. (wie immer!) : c !
T > 10 ns
Laufzeit:
Taktfrequenz: <100 Mhz !
1,5 m
Spiegel
vT
( cT ) 2 = ( vT ) 2 + (cT0 )
2
cT
2
v
T 2 − ⎛⎜ ⎞⎟ T 2 = T02
⎝ c⎠
cT0
vT
T=
T0
v
1 − ⎛⎜ ⎞⎟
⎝ c⎠
[Gl.2.3.2.]
2
• bewegte (Licht-) Uhr geht langsamer!
• Relativitätsprinzip Ö jede bewegte Uhr geht langsamer!
Warum ? Beispiel:
Eine „Lichtuhr“ und ein Quarzuhr werden zusammen bewegt. Die zwei Uhren sollen für
den mitbewegten Beobachter gleich schnell ticken. Wenn nun für den ruhenden Beobachter
nur die Lichtuhr aber nicht die Quarzuhr durch die Zeitdilatation langsamer laufen würde,
dann würde der ruhende Beobachter daraus
entweder schließen, daß die Lichtgeschwindigkeit sich verändert hätte …
oder daß die phys. Gesetze, die die Quarz-Frequenz bestimmen, sich verändert hätten …
Beides wäre ein Widerspruch zum Relativitätsprinzip!
2.3.3 Lorentzkontraktion
Lichtuhr fliegt mit Geschw. v an ruhendem Stab vorbei …
Bsp.: Länge des Stabs L0 = 4 m ,
T0 = 10 ns , v = 0.8 c
v=80% c
In der Zeit
10 ns
5
T0
= ⋅ 10 ns
=
T=
2
2
3
v
4
1 − ⎛⎜ ⎞⎟
1 − ⎛⎜ ⎞⎟
⎝ 5⎠
⎝ c⎠
bewegt sich die Lichtuhr
L0 = 4m
Physik_2_3_Relativitaetstheorie.doc, Prof. Dr. K. Rauschnabel, HHN, 02.11.2005 22:04:00
S.4/14
4
cm 5
⋅ 30
⋅ ⋅ 10 ns = 4 m weiter
5
ns 3
• paßt (gerade noch) durch! Lichtuhr wird nicht unterbrochen!
Wie „sieht“ der mitbewegte Beobachter
diesen Vorgang ?
• Stab kommt mit 80 % c angeflogen
• Lichtuhr tickt mit T0 = 10 ns
80% c
• ein mitbewegter Beobachter bestimmt die Länge des
(gerade noch durchpassenden) bewegten Stabes zu
cm
4
L = vT0 = ⋅ 30
⋅ 10 ns = 2.40 m →
ns
5
„Kontraktion“
L
Lorentz-Kontraktion:
v
T0 = T ⋅ 1 − ⎛⎜ ⎞⎟
⎝ c⎠
2
v
L = v ⋅ T0 = v ⋅ T ⋅ 1 − ⎛⎜ ⎞⎟
⎝ c⎠
v
L = L0 ⋅ 1 − ⎛⎜ ⎞⎟
⎝ c⎠
2
2
[Gl.2.3.3.]
• Bewegter Körper ist verkürzt! *
*
genauer sollte man sagen : „Messung der Länge eines bewegten Körpers ergibt kleineren Wert !“
2.4 Lorentztransformation
Gleichförmig bewegte Bezugssysteme
z
…bis einschl. 19. Jahrhundert
z’
P
t
y
y’
x
O
O’
t’=t
x’
vt
• t = 0, O’ und O fallen zusammen
• O' bew. sich gegenüber O mit Geschw. V in +x-Richtung
Galilei-Transformation
Physik_2_3_Relativitaetstheorie.doc, Prof. Dr. K. Rauschnabel, HHN, 02.11.2005 22:04:00
S.5/14
x′ = x − V ⋅t
v x′ = v x − V
y′ = y
v y′ = v y
z′ = z
v z′ = v z
[Gl.2.3.4.]
t′ = t
wenn aber…
• … Licht sich i m m e r mit c bewegt,
• … gleichzeitige Ereignisse nicht mehr gleichzeitig sind,
• … bewegte Uhren langsamer laufen,
• … Maßstäbe ihre Länge ändern
… dann müssen wir diese Formeln wohl etwas verbessern!
Galilei-Transformation gilt nur für ............
Physik_2_3_Relativitaetstheorie.doc, Prof. Dr. K. Rauschnabel, HHN, 02.11.2005 22:04:00
S.6/14
Lorentz-Transformation
• Zwei Beobachter beobachten gleichen Vorgang in versch. Bezugssystemen S und S’.
• t = 0, t’ = 0 :
O’ und O fallen
zusammen,
bei O (= O’) wird ein
Lichtsignal ausgesendet
t=0
t’ = 0
zz’
yy’
• O' bewegt sich gegenüber
O mit Geschw. V in
+x-Richtung
O’
O
xx’
P, P’
z
z’
• O’ und O beobachten das
Ereignis P’ (P)
P ′ = ( x ′, y ′, z ′, ct ′)
P = ( x, y, z, ct )
t
y
y’
O
O’
x
t’
x’
vt
• Für beide Beobachter bewegt sich Licht mit Geschw. c von (0,0,0) zum Punkt
( x, y, z) bzw. ( x ′, y ′, z ′) , Licht kommt zur Zeit t bzw. t ′ an:
x 2 + y 2 + z 2 = ( ct )
2
x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 = (ct ′)
2
(***)
[Gl.2.3.5.]
− Transf .
⎯L⎯⎯
⎯→ ( x ′, y ′, z ′, ct ′)
x ′ =K⋅x +K⋅t etc.
• c ist in beiden Systemen gleich!! Ö (***) muß gelten!
• O’ ( x ′ = 0) bewegt sich für O mit Geschw. V
• lineare Transformation:
für x ′ = 0 ⇒ x = Vt ,
• y und z ändern sich nicht!
( x, y, z, ct )
x ′ = A( x − Vt )
Physik_2_3_Relativitaetstheorie.doc, Prof. Dr. K. Rauschnabel, HHN, 02.11.2005 22:04:00
S.7/14
Abk.: β =
Ansatz:
x ′ = A ⋅ ( x − β ⋅ ct )
V
c
y′ = y
z′ = z
A, B, D :
ct ′ = B ⋅ ( ct − D ⋅ x )
Konstanten, so zu bestimmen, daß (***) gilt!
Einheiten von A, B, D ???
....................................................................
…etwas Rechnung - das schaffen Sie selbst!
…
• ( x ′, y ′, z ′, ct ′) aus Ansatz in (***) einsetzen
• Koeffizientenvergleich: wenn beide Gl. in (***) für beliebige
( x, y, z, ct ) gelten sollen, müssen bei K⋅x 2 , K⋅( ct ) 2 , K⋅x ⋅ ( ct ) etc. in beiden
Gl. die gleichen Vorfaktoren stehen!
Ö mehrere Bestimmungsgleichungen für A,B,D !
Lorentz-Transformation
x ′ = γ ⋅ ( x − β ⋅ ct )
y′ = y
[Gl.2.3.6.]
z′ = z
ct ′ = γ ⋅ (ct − βx )
mit : β =
V
c
, γ=
1
1 − β2
Umkehrung: ( x ′, y ′, z ′, ct ′) → ( x, y, z, ct )
… etwas Algebra (auch das ist zu schaffen!) …
oder Austausch x ′ ↔ x, y ′ ↔ y etc., β ↔ −β :
x = γ ⋅ ( x ′ + β ⋅ ct ′)
y = y′
z = z′
ct = γ ⋅ (ct ′ + βx ′)
• Die „Rücktransformation“ ergibt sich entweder durch Inversion (etwas Algebra) der
„Hintransformation) oder aber (mit dem gleichen Ergebnis!) durch Verwendung der
selben Formeln ( schließlich muß das Relativitätsprinzip auch für die L-Transf. gelten !!! )
mit negativer Geschwindigkeit.
Wie ergibt sich aus der L-Transformation a) die Zeitdilatation und b) die L-Kontraktion ?
a) Zeitdilatation
• Uhr ruht im System S
• Zeit zwischen zwei Ereignissen (2 „Ticks“ der Uhr) am gleichen Ort x1 = x2 :
T0 = t 2 − t1
• im System S’ ergibt sich dann …
Physik_2_3_Relativitaetstheorie.doc, Prof. Dr. K. Rauschnabel, HHN, 02.11.2005 22:04:00
S.8/14
cT ′ = c(t 2′ − t1′) = γ ⋅ (ct 2 − βx2 ) − γ ⋅ (ct1 − βx1 )
= γ ⋅ (ct 2 − ct1 ) = γ ⋅ cT0
T ′ = γ ⋅ T0
[Gl.2.3.7.]
a) Lorentzkontraktion
• Länge wird im System S (in dem der Stab ruht) bestimmt durch L0 = x2 − x1 , wobei es
nicht darauf ankommt, zu welchen Zeiten t 2 , t1 die beiden Koordinaten gemessen werden.
• Im System S’ bewegt sich der Stab und es ist wichtig, daß x2′ , x1′ gleichzeitig bestimmt
werden (t 2′ = t1′) : L ′ = x2′ − x1′ .
• Wir gehen deshalb von den gleichzeitigen Ereignissen im System S’ aus und verwenden
die L-Rücktransformation um daraus x2 , x1 zu berechnen …
• L0 = x2 − x1 ergibt sich dann zu …
L0 = x2 − x1 = γ ⋅ ( x2′ + β ⋅ ct 2′ ) − γ ⋅ ( x1′ + β ⋅ ct1′)
= γ ⋅ ( x2′ − x1′)
= γ ⋅ L′
1
L ′ = ⋅ L0
γ
bzw.
, L ′ = 1 − β 2 ⋅ L0
[Gl.2.3.8.]
2.5 Transformation der Geschwindigkeit
System S’ bewegt sich gegenüber S mit der Geschwindigkeit v in x-Richtung.
v
1
Mit β =
werden Raum-Zeit-Koordinaten gem. der L-Transf. umgerechnet:
, γ=
c
1 − β2
x ′ = γ ⋅ ( x − β ⋅ ct )
y′ = y
z′ = z
ct ′ = γ ⋅ (ct − βx )
Wie werden Geschwindigkeiten zwischen S u. S’ umgerechnet ?
→
Weg und Zeit müssen L-transformiert werden !
Geschwindigkeit = Weg / Zeit
• Ein Körper bewegt sich in S mit der Geschwindigkeit
⎛u ⎞
dx
dy
dz
r ⎜ x⎟
Dabei ist
ux =
, uy =
, uz =
u = ⎜ uy ⎟ .
dt
dt
dt
⎝ uz ⎠
oder
d x = ux d t , d y = uy d t , d z = uz d t
• Mit der L-Transformation ergibt sich dann
n d x ′ = γ ⋅ ( d x − β ⋅ c d t ) = γ ⋅ ( u x − β ⋅ c) ⋅ d t
o d y′ = d y
p d z′ = d z
u ⎞
⎛
q c d t ′ = γ ⋅ ( c d t − β d x) = γ ⋅ ⎜1 − β x ⎟ ⋅ c d t
⎝
c⎠
Physik_2_3_Relativitaetstheorie.doc, Prof. Dr. K. Rauschnabel, HHN, 02.11.2005 22:04:00
S.9/14
d x′
d y′
d z′
in S’ erhält man, indem
, u ′y =
, uz′ =
d t′
d t′
d t′
man Gl. n , o bzw. p durch Gl. q dividiert:
d y′
dy
d z′
dz
d x ′ γ ⋅ ( u x − β ⋅ c) ⋅ d t
=
=
u
′
=
=
u
′
y
z
=
u x′ =
ux ⎞
ux ⎞
d t′
⎛
d t′
⎛
ux ⎞
dt′
⎛
⎜
⎟
⋅
−
γ
1
β
d
⋅
t
⎜
⎟ ⋅d t
⋅
−
γ
1
β
γ ⋅ ⎜1 − β ⎟ ⋅ d t
⎝
⎝
c⎠
c⎠
⎝
c⎠
uy
uz
u − β⋅c
uz′ =
u y′ =
u x′ = x
u ⎞
u ⎞
⎛
⎛
u
γ ⋅ ⎜1 − β x ⎟
γ ⋅ ⎜1 − β x ⎟
1− β x
⎝
⎝
c⎠
c⎠
c
• Die Geschwindigkeitskomponenten ux′ =
ux − v
uv
1 − x2
c
v2
v2
1− 2
1− 2
c
c
uz′ = uz ⋅
u y′ = uy ⋅
ux v
ux v
1− 2
1− 2
c
c
• Die (richtige) relativistische Geschw.-Transformation unterscheidet sich also von der
(nur für v << c näherungsweise gültigen)
Galiliei-Transformation ( ux′ = ux − v , u y′ = u y , uz′ = uz )
jeweils durch einen (von ux und v abhängigen) Faktor, wobei die longitudinalen („x“) und
transversalen Komponenten („y“ u. „z“) getrennt zu betrachten sind! Wichtiger
Unterschied zur Galiliei-T.: Auch die transversalen (y,z) Geschw.-Komponenten ändern
sich! Warum ? Ö Weil Uhren in den versch. Systemen verschiden schnell laufen und
deshalb auch die Zeit transformiert werden muß !!!!!
• Die relativistische Geschw.-Transformation ergibt („automatisch“), daß sich Licht in
r
r
jedem System mit c bewegt : u = c ⇒ u ′ = c !
z.B. ergibt sich mit ux = + c für ux′
nicht
c−v
(Galiliei-Transformation)
c−v
sondern
[Gl.2.3.9.]
ux′ =
=c !
cv
1− 2
c
• Die relativistische Geschw.-Transformation ergibt stets Geschwindigkeiten (Betrag) ≤ c !
Z..B. ergibt sich mit ux = + 43 c und v = − 43 c für ux′
u x′ =
nicht
sondern
( 43 c) − (− 43 c) = + 23 c (Galiliei- Transformation)
3
3
+ 23 c 3 16
4 c − ( − 4 c)
=
ux′ =
= 2 ⋅ 25 c = 24
25 c < c !
1 − 43 ( − 43 ) 1 + 169
[Gl.2.3.10.]
2.6 Relativistische Dynamik
Impuls
In der nichtrelativistischen Dynamik war der Impuls eines Körpers der Masse m definiert als
r
r
r
r
p = mv . Der Gesamtimpuls p = ∑ m j v j eines Systems aus miteinander wechselwirkenden
r
r
Körpern (Bsp. Stoßgesetze) bleibt konstant: ∑ m j v j = ∑ m j u j Da nach der GalileiTransformation beim Wechsel des Bezugssystems bei allen Geschwindigkeitsvektoren die
r r r r r r
r
r
gleiche Konstante addiert wird ( v j = v j′ + VS , u j = u ′j + VS ), gilt : ∑ m j v j′ = ∑ m j u ′j
Physik_2_3_Relativitaetstheorie.doc, Prof. Dr. K. Rauschnabel, HHN, 02.11.2005 22:04:00
S.10/14
Ist der Gesamtimpuls in irgendeinem Bezugssystem S erhalten,
so ist er auch in jedem anderen Bezugssystem S’ erhalten!
Die relativistische Geschwindigkeits-Transformation (siehe Kap. 2.5) hat eine andere Struktur.
Insbesondere werden bei relativistischer Transformation nicht nur die longitudinalen sondern
auch die transversalen Geschwindigkeitskomponenten verändert. Würde man nun den Impuls
r
r
nach wie vor als p = mv definieren, so wäre - auch wenn im System S Impulserhaltung gilt im System S’ der Gesamtimpuls nicht erhalten. Um diesen Widerspruch zum
Relativitätsprinzip zu vermeiden, muß der Impuls anders berechnet werden.
Mit der relativistischen Impuls-Definition
r
m0v
r
r
p=
= m0 γ ⋅ v
2
1− β
[Gl.2.3.11.]
m0 ist die Masse des Körpers („Ruhemasse“). Der Index 0 wurde
eingefügt, um Verwechslungen mit dem in manchen Büchern
verwendeten Begriff „bewegte Masse“ m(v) auszuschließen.
werden diese Widersprüche vermieden:
Ist der so definierte Impuls in S erhalten, so gilt dies auch in S’ !
Die Rechnung ist „etwas umständlich“ und wird hier weggelassen …
• Für nichtrelativistische Geschwindigkeiten wird γ =
1
1− β
2
=
r
r
erhält die nichtrelativistische Formel für den Impuls p = m0 v .
1
r 2 ≈ 1 und man
v
1− 2
c
• Für v → c wird γ beliebig groß. Damit wird auch der Impuls beliebig groß (selbst wenn die
Geschwindigkeit auf Werte < c begrenzt bleibt).
r d pr
• Auch in der relativistischen Dynamik gilt das II. Newtonsche Gesetz F =
. Wirkt eine
dt
Kraft F so verändert sich der Impuls in der Zeit ∆t immer um den gleichen Betrag, der
Geschwindigkeitszuwachs wird allerdings immer kleiner.
• Ein Körper mit Masse kann nicht bis auf genau Lichtgeschwindigkeit (oder gar darüber)
beschleunigt werden. Man kann sich aber (z.B. mit Elektronen) beliebig der
Lichtgeschwindigkeit annähern
(z.B. bei CERN v = 0.999 999 999 98 c , d.h. v = c - 6 mm/s ).
Energie
Wird ein Körper durch eine Kraft F beschleunigt, so vergrößert sich nicht nur der Impuls, es
wird auch Arbeit verrichtet und dadurch erhöht sich die kinetische Energie.
dp
• Mit F =
wird
dt
ds
dp
d p = vd p
ds=
dW = F d s =
dt
dt
(vergleiche damit die nichtrelativistische Rechnung in Kap. 1.3.2.4 !)
• Um die Energie als Funktion der Geschwindigkeit zu berechnen müssen wir p als p(v)
(siehe oben) ausdrücken und dW so umformen, daß wir anschließend über v integrieren
können …
Mit d( pv ) = p d v + v d p wird
Physik_2_3_Relativitaetstheorie.doc, Prof. Dr. K. Rauschnabel, HHN, 02.11.2005 22:04:00
S.11/14
dW = v d p
= d( pv ) − p d v
Integration ergibt dann die Beschleiunigungsarbeit bzw. die kinetische Energie:
E kin = ∫ d W
= pv − ∫ p d v
Einsetzen von p =
m0v
v2
1− 2
c
und Integration über v ergibt
v
E kin =
=
m0v
2
v2
1− 2
c
m0v 2
1−
v2
c2
⌠
m0v
− ⎮
dv
⎮
v2
⌡ 1− 2
0
c
⎧⎪
⎡
⎤ ⎫⎪
v2
− ⎨− m0c 2 ⎢ 1 − 2 − 1⎥ ⎬
c
⎪⎩
⎢⎣
⎥⎦ ⎪⎭
2 ⎞
⎛ v2
⎜ 2 + 1 − v2 ⎟
c ⎟ − m c2
= m0c 2 ⋅ ⎜ c
0
2
⎜
v ⎟
⎜ 1− 2 ⎟
⎝
c ⎠
1
= m0c 2 ⋅
− m0c 2
2
v
1− 2
c
relativistische kinetische Energie : E kin = m0c 2 ⋅ γ − m0c 2
[Gl.2.3.12.]
• Für einen Körper in Ruhe (für v = 0) ist γ = 1 und Ekin = 0
• Für v → c wird die kin. Energie (wie der Impuls) beliebig groß!
• nichtrelativistisch gilt (bekanntlich ?) E kin = 21 m0v 2 . Für v << c muß sich dies auch als
Näherung aus der relativistischen Energieformel ergeben …
⎞
⎛
⎟
⎜
1
2 ⎜
E kin = m0c ⋅
− 1⎟
2
⎟
⎜
v
⎟
⎜ 1− 2
⎠
⎝
c
⎡⎛ 1 v 2 ⎞ ⎤
− 21
(
)
1
≈ 1 + 21 ε )
(
für
ε
<<
1
gilt:
1ε
≈ m0c ⋅ ⎢⎜ 1 +
−
⎟
⎥
2
c
2
⎝
⎠
⎣
⎦
1
= m0v 2
2
Für kleine Geschwindigkeiten liefern die relativistische und die nichtrelativistsche Formel
≈ das gleiche Ergebnis (obwohl die Formeln auf ersten Blick ganz unterschiedlich
2
Physik_2_3_Relativitaetstheorie.doc, Prof. Dr. K. Rauschnabel, HHN, 02.11.2005 22:04:00
S.12/14
aussehen!)
(vergl. Diagramm und gnuplot-file E_relatv.plt)
• Man bezeichnet E Ruhe = m0c als Ruheenergie ,
die Summe aus kin. Energie + Ruheenergie als Gesamtenergie Etot
Etot = E kin + m0c 2
2
= m0c 2 ⋅ γ
• Sowohl die Ruhemasse m0 als auch die „bewegte Masse“ m( v ) = m0 ⋅ γ sind also mit einer
Energie verknüpft und es gilt in beiden Fällen die Einsteinsche Masse-Energie-Äquivalenz:
E = m ⋅ c2
[Gl.2.3.13.]
Relativistische und nichtrelativ. Energie eines Elektrons
1e-13
9e-14
8e-14
E_kin / J
7e-14
6e-14
5e-14
E_rel(beta)
E_nr (beta)
4e-14
3e-14
2e-14
1e-14
0
0.2
0
0.4
0.6
0.8
1
beta = v / c
Energie-Impuls-Beziehung
Häufig ist es günstiger, die Energie als Funktion des Impulses (statt Geschwindigkeit)
p2
)
auszudrücken.
(Nichtrelativistisch gilt der Zusammenhang E kin =
2m0
Mit Etot = m0 c 2 ⋅ γ und p = m0 ⋅ γv ⇒ pc = m0c 2 ⋅ γβ ergibt sich pc = E tot ⋅β
( pc) + (m c )
2 2
2
0
2
⎛ 2 1⎞
E tot
2
2
= E β + 2 = E tot
⎜ β + 2 ⎟ = E tot
γ
γ ⎠
⎝
2
tot
2
Oder …
Etot =
( pc) + (m c )
2 2
2
0
[Gl.2.3.14.]
Physik_2_3_Relativitaetstheorie.doc, Prof. Dr. K. Rauschnabel, HHN, 02.11.2005 22:04:00
S.13/14
p2
• Für v << c ergibt sich daraus ≈
+ m0c 2 .
2m0
• Für „ultrarelativistische Teilchen“ mit v → c erhält man E tot ≈ pc
• Für masselose Teilchen (Photon, Neutrino, …), die sich stets mit Lichtgeschwindigkeit
E
bewegen, ist m0 = 0 und E = pc bzw. p =
c
Zusammenfassung
2.3 :
• Zeitdilatation:
Bewegte Uhren gehen langsamer:
T0
T=
2
v
1 − ⎛⎜ ⎞⎟
⎝ c⎠
• Lorentz-Kontraktion:
Ein mit der Geschw. v bewegtes Objekt der Länge L0 (gemessen in seinem Ruhesystem)
erscheint in Längsrichtung verkürzt:
v
L = L0 ⋅ 1 − ⎛⎜ ⎞⎟
⎝ c⎠
2
2.6 :
• relativistischer Impuls :
m0
r
p=
v
1 − ⎛⎜ ⎞⎟
⎝ c⎠
2
r
⋅v
• relativistische Energie:
Etot =
m0 c 2
v
1 − ⎛⎜ ⎞⎟
⎝ c⎠
2
= m0 c 2 + Ekin
1
≈ m0 c 2 + m0 v 2
2
für v << c
• Äquivalenz von Masse u. Energie :
E = mc 2
• kein Energie-/Impuls-/Informations- Transport mit v > c !
• Energie-Impuls-Beziehung:
2
2
E 2 = ( m0 c 2 ) + ( pc)
Physik_2_3_Relativitaetstheorie.doc, Prof. Dr. K. Rauschnabel, HHN, 02.11.2005 22:04:00
S.14/14