Kapitel 9 Rollenzuweisungen

Kapitel 9
Rollenzuweisungen
Proseminar Netzwerkanalyse
1
Einführung
n
Aufgabe von Rollenzuweisungen
• Komprimieren eines Graphen
• Klasseneinteilung von Knoten in einem Graphen (Partitionierung)
• Reduzierung komplexer Graphen auf bestimmte Eigenschaften
- Graph wird übersichtlicher
- Knoten, welche die gleiche Rolle spielen werden zusammengefasst
n
Ziele
• Finden von sinnvollen Klasseneinteilungen
• Rollenzuweisungen mit bestimmten Eigenschaften
- Strukturelle Rollenzuweisungen
- Reguläre Rollenzuweisungen
Proseminar Netzwerkanalyse
2
9.0.1 Vorbereitungen
n
Äquivalenzrelationen
Sei V ein Menge. Eine Äquivalenzrelation ∼ ist eine binäre
Relation über V mit den folgenden Eigenschaften:
- reflexiv: v ~ v ,∀ v ∈ V
- symmetrisch: u ~ v ⇒ v ~ u ,∀ u,v ∈ V
- transitiv: u ~ v ∧ v ~ w ⇒ u ~ w ,∀ u,v,w ∈ V
n
Äquivalenzklassen
Ist v ∈ V, dann bezeichnet man mit
[ v ] := {u; u ~ v}
die Äquivalenzklasse von v.
Proseminar Netzwerkanalyse
3
9.0.1 Vorbereitungen
n
Partitionen
Eine Partition P = {C1,…,Ck } von V ist eine Menge von nicht
leeren, disjunkten Teilmengen Ci ⊆ V, welche Klassen oder
Blöcke genannt werden, so dass gilt:
V=
∪
k
i=1
Ci
und jeder Knoten v in genau einer Klasse ist.
Proseminar Netzwerkanalyse
4
9.0.1 Vorbereitungen
n
Definition 9.0.1
Eine Rollenzuweisung für V ist eine surjektive Abbildung
r: V → W in eine Menge W von Rollen.
n
Bemerkung 9.0.2
Für jede Partition existiert eine eindeutig bestimmte
Äquivalenzrelation und eine eindeutig bestimmte Rollenzuweisung.
Proseminar Netzwerkanalyse
5
9.0.2 Rollengraphen
n
Definition 9.0.3
Sei G = (V,E) ein Graph und r: V → W eine Rollenzuweisung.
Der Rollengraph R = (W,F) ist ein Graph mit der Knotenmenge W
(die Menge der Rollen) und der Kantenmenge F ⊆ W × W definiert
durch:
F :=
{(r(u),r(v)); ∃u,v ∈ V, so dass (u,v) ∈ E}
.
R wird auch Quotient von G über r genannt.
Proseminar Netzwerkanalyse
6
9.0.2 Rollengraphen
n
Beispiel (1)
Ausgangsgraph :
V = {1,…,5}, E = {(1,2),(1,4),(1,5),(3,2),(2,4),(4,3),(4,5),(5,2)}
G = (V,E)
Rollengraph:
W = {6,…,9}, F = {(6,9),(6,8),(7,9),(9,8),(8,7),(8,9),(9,9)}
R = (W,F)
r : V → W eine Rollenzuweisung mit
1 ֏ 6, 2 ֏ 9, 3 ֏ 7, 4 ֏ 8, 5 ֏ 9
Proseminar Netzwerkanalyse
7
9.0.2 Rollengraphen
n
Beispiel (2)
r : V → W,
1֏ 6
2֏9
3֏7
4֏8
5֏9
G
1
2
3
4
5
r
Proseminar Netzwerkanalyse
R
6
7
8
9
8
9.0.2 Rollengraphen
n
Bemerkungen
• Rollengraph: kleineres Modell des ursprünglichen Graphen
• Rollenzuweisung: Form von Netzwerkkompression
• Informationsverlust bei solchen Netzwerkkompressionen
• Ziel: Das Finden von Rollenzuweisungen, bei denen die wichtigen
Eigenschaften leicht zu erkennen sind und das trotzdem nicht zu
viele Informationen verloren gehen
Proseminar Netzwerkanalyse
9
9.1 Strukturelle Äquivalenzen
n
Definition 9.1.1
Sei G = (V,E) ein Graph und r: V → W eine Rollenzuweisung.
Dann heißt r stark strukturell, wenn äquivalente Knoten die
gleichen (ein- und ausgehenden) Nachbarschaften haben, d.h.
für alle u,v ∈ V
r(u) = r(v) ⇒ N+ (u) = N+ (v) ∧ N- (u) = N- (v) .
Proseminar Netzwerkanalyse
10
9.1 Strukturelle Äquivalenzen
n
Bemerkung 9.1.2
Definition 9.0.3 besagt, wenn (u,v) die Kante eines Graphen ist,
dann ist ( r(u),r(v)) die Kante des Rollengraphen für jede beliebige
Rollenzuweisung r. Falls r stark strukturell ist, dann gilt auch die
Umkehrung.
Daraus kann man eine weitere Bedingung ableiten, um zu zeigen,
dass ein Rollenzuweisung r stark strukturell ist.
Eine Rollenzuweisung r ist stark strukturell genau dann, wenn für
alle u,v ∈ V gilt:
(r(u),r(v))
ist eine Kante der Rollengraphen genau dann, wenn
(u,v) eine Kante des Graphen ist
Proseminar Netzwerkanalyse
11
9.1 Strukturelle Äquivalenzen
n
Beispiele (1)
Die identische Abbildung id : V → V; v ֏ v ist stark strukturell
für jeden Graphen G = (V,E) unabhängig von E.
Denn für id gilt:
id(1) ≠ id(2) ≠ … ≠ id(n) ∀u,v ∈ V, u ≠ v, V = n
Also ist die Bedingung
r(u) = r(v) ⇒ N+ (u) = N+ (v) ∧ N- (u) = N- (v) ∀u,v ∈ V
erfüllt.
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12
9.1 Strukturelle Äquivalenzen
n
Beispiele (2)
G
4
3
r
5
1
R
1
2
Die Rollenzuweisung r : V → W mit
2
6
1 ֏ 1 und v ֏ 2 für v = {2,…,6} ist
stark strukturell.
Zu zeigen: r(u) = r(v) ⇒ N+ (u) = N+ (v) ∧ N- (u) = N- (v) ∀u,v ∈ V
r(2) = r(3) =… = r(6)
⇒ N+ (2) = N+ (3) =… = N+ (6) = ∅ ∧ N- (2) = N- (3) =… = N- (6) = {1}
⇒ r ist stark strukturell
Proseminar Netzwerkanalyse
13
9.1 Strukturelle Äquivalenzen
n
Beispiele (3)
Die Rollenzuweisung
r : V → W mit
u ֏ 1 und v ֏ 2
für u ∈ {1,2,3} und
G
1
4
2
3
r
R
1
2
5
v ∈ {4,5} ist stark strukturell.
Zu zeigen: r(u) = r(v) ⇒ N+ (u) = N+ (v) ∧ N- (u) = N- (v) ∀u,v ∈ V
r(1) = r(2) = r(3)
⇒ N+ (1) = N+ (2) = N+ (3) = {4,5} ∧ N- (1) = N- (2) = N- (3) = ∅
r(4) = r(5)
⇒ N+ (4) = N+ (5) = ∅ ∧ N- (4) = N- (5) = {1,2,3}
⇒ r ist stark strukturell
Proseminar Netzwerkanalyse
14
9.1 Strukturelle Äquivalenzen
n
Beispiele (4)
G
1
2
Es existiert keine nicht-triviale stark
6
3
strukturelle Rollenzuweisung r bei einem
vollständigen Graphen ohne Schleifen.
5
4
In einem vollständigen Graphen ohne Schleifen existiert kein
Knotenpaar u,v ∈ V mit
N+ (u) = N+ (v) oder N- (u) = N- (v) .
Es folgt nun aus Definition 9.1.1, dass r(u) ≠ r(v) für alle u,v ∈ V .
Man sieht nun, dass zwei Knoten nicht der gleichen Rolle
zugewiesen werden und somit keine nicht-triviale
Rollenzuweisung existiert.
Proseminar Netzwerkanalyse
15
9.1 Strukturelle Äquivalenzen
n
Eigenschaften der strukturellen Äquivalenz
• Eine Klasse von stark strukturell äquivalenten Knoten ist entweder
eine unabhängige Menge des Graphen oder eine Clique mit allen
Schleifen
• Sind zwei Knoten u und v stark strukturell äquivalent und u hat
einen Nachbar w, dann ist w auch der Nachbar von v
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16
9.1 Strukturelle Äquivalenzen
n
Nachteile der strukturellen Äquivalenz
• Strukturelle Äquivalenzen können nur naheliegende Knoten
identifizieren und in vielen unregelmäßigen Graphen existieren nur
triviale strukturelle Äquivalenzen
• Der ungerichtete Abstand zweier strukturell äquivalenter (nichtisolierter) Knoten beträgt höchstens 2
Proseminar Netzwerkanalyse
17
9.1 Strukturelle Äquivalenzen
n
Definition 9.1.3
Eine Äquivalenz ~ einer Knotenmenge eines Graphen heißt
strukturell, wenn für alle Knoten u ~ v die Transposition von u
und v ein Automorphismus des Graphen ist.
Bemerkung :
Ein Automorphismus f ist eine bijektive lineare Abbildung von
V nach V.
f: V → V bijektiv
Proseminar Netzwerkanalyse
18
9.1 Strukturelle Äquivalenzen
n
Beispiel
G
G‘
4
3
5
1
2
f
6
3
4
5
1
2
6
f ist ein Automorphismus mit f: V → V
⇒ die Äquivalenz ~ ist stark strukturell
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19
9.1.1 Gitter von Äquivalenzrelationen
n
Vorbereitungen (auf Abschnitt 9.1.2 und 9.2.2)
Äquivalenzrelationen über V sind Teilmengen der Menge V × V,
deshalb können sie geordnet werden:
~1 ≤ ~2 , wenn ~1 ⊆ ~2 .
Die Äquivalenzrelation ~1 heißt feiner als ~2 und ~2 heißt gröber als ~1 .
In teilweise geordneten Mengen sind zwei Elemente nicht unbedingt
vergleichbar. In einigen Fällen können aber trotzdem untere und obere
Schranken bestimmt werden.
Proseminar Netzwerkanalyse
20
9.1.1 Gitter von Äquivalenzrelationen
n
Definition 9.1.4 (1)
Sei X eine Menge geordnet nach ≤ und Y ⊆ X .
y* ∈ X ist obere (untere) Schranke von Y, wenn gilt:
y ≤ y* (y* ≤ y) für alle y ∈ Y
y* heißt Supremum (Infimum) von Y, wenn y* eine obere (untere)
Schranke ist und wenn für alle y' ∈ X, welche obere (untere) Schranken
sind, folgt, dass y* ≤ y' (y' ≤ y*).
Daraus ergibt sich, dass Supremum und Infimum eindeutig sind.
Das Supremum von Y wird mit sup(Y) und das Infimum von Y wird mit
inf(Y) bezeichnet. Für sup ( {x,y} ) oder inf ( {x,y} ) schreib man auch
sup(x,y) oder inf(x,y).
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21
9.1.1 Gitter von Äquivalenzrelationen
n
Definition 9.1.4 (2)
Ein Gitter ist ein teilweise geordnete Menge L, so dass
für alle a,b ∈ L sup(a,b) und inf(a,b) existieren.
sup(a,b) heißt auch Verbindung von a und b und wird mit
a∨b
bezeichnet.
inf(a,b) heißt auch Treffen von a und b und wird mit
a∧b
bezeichnet.
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22
9.1.1 Gitter von Äquivalenzrelationen
n
Beispiel
Die Potenzmenge der Menge A = {a,b,c}
ist ein Gitter, denn für alle x,y ∈ A
existieren sup(x,y) und inf(x,y).
So ist z.B.:
{a,b}
inf ({a}, ∅ ) = ∅,
{a,b,c}
{a,c}
{b,c}
{b}
{c}
inf ({a},{b}) = ∅,
inf ({a,b} ,{b}) = {b},
{a}
sup ({a}, ∅ ) = {a},
sup ({a},{b}) = {a,b} ,
sup ({a,b},{b}) = {a,b},
∅
usw.
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23
9.1.1 Gitter von Äquivalenzrelationen
n
Anwendung (von Definition 9.1.4 auf Äquivalenzrelationen) (1)
Sind ~1 und ~2 Äquivalenzrelationen über V, dann ist ihre
Schnittmenge das Infimum von ~1 und ~2 .
Um das Supremum von ~1 und ~2 zubestimmen benötigt man
allerdings den transitiven Abschluß einer Relation R ⊆ V × V .
Definition (transitiver Abschluß) :
Sei R ⊆ V × V eine Relation, dann heißt eine Relation S ⊆ V × V
transitiver Abschluß, bei der für alle u,v ∈ V gilt:
uSv ⇔ ∃k ∈ ℕ, ∃w1,…,w k ∈ V, sodass
u = w1, v = w k und ∀i = 1,…,k-1 ist w iRw i+1
Proseminar Netzwerkanalyse
24
9.1.1 Gitter von Äquivalenzrelationen
n
Anwendung (von Definition 9.1.4 auf Äquivalenzrelationen) (2)
Eigenschaften :
Der transitive Abschluß...
...einer symmetrischen Relation ist symmetrisch.
...einer reflexiven Relation ist reflexiv.
...jeder Relation ist transitiv.
Es folgt nun:
Sind ~1 und ~2 Äquivalenzrelationen über V, dann ist der
transitive Abschluß ihrer Vereinigung das Supremum
von ~1 und ~2 .
Proseminar Netzwerkanalyse
25
9.1.1 Gitter von Äquivalenzrelationen
n
Theorem 9.1.5
Die Menge der Äquivalenzrelationen ist ein Gitter.
n
Interpretation:
Gegeben: zwei Äquivalenzrelationen, welche Knoten
Gegeben: identifizieren, die die gleiche Rolle spielen
→ es existiert eine eindeutig bestimmte, kleinste Äquivalenz,
welche alle Knoten identifiziert, die die gleiche Rolle in einer von
beiden ursprünglichen Äquivalenzen spielen.
→ es existiert eine eindeutig bestimmte, größte Äquivalenz,
welche alle Knoten identifiziert, die verschiedene Rollen in
einer von beiden ursprünglichen Äquivalenzen spielen.
Proseminar Netzwerkanalyse
26
9.1.2 Gitter von strukturellen Äquivalenzen
n
Proposition 9.1.6
Die Menge der stark strukturellen Äquivalenzen eines Graphen
ist ein Teilgitter des Gitters aller Äquivalenzrelationen.
Insbesondere existiert immer eine maximale strukturelle
Äquivalenz (MSE) eines Graphen.
Die Eigenschaft stark strukturell folgt unter dieser Bedingung:
n
Proposition 9.1.7
Falls ~1 ≤ ~2 und ~2 ist eine stark strukturelle Äquivalenz,
dann ist ~1 auch stark strukterell.
Hieraus folgt nun, dass die Menge aller strukturellen Äquivalenzen
eines Graphen komplett durch die MSE beschrieben werden.
Proseminar Netzwerkanalyse
27
9.1.3 Berechnung strukt. Äquivalenzen
n
Berechnung der maximalen stark strukturellen Äquivalenz
Jeder Knoten v ∈ V teilt V in 4 (eventuell leere) Klassen:
Knoten, die in N+ (v) , in N- (v) in beiden oder in keiner Menge sind.
Grundidee (des folgenden Agorithmus):
Berechnung der Schnittmenge dieser Partitionen durch eventuell
zweimaliges Iterieren über alle Kanten.
Die Korrektheit dieses Algorithmus folgt dadurch, dass er exakt die
Paare von nicht gleichen Nachbarschaften aufteilt.
Proseminar Netzwerkanalyse
28
9.1.3 Berechnung strukt. Äquivalenzen
n
Algorithmus 21: Berechnung der MSE eines Graphen
Input : Graph G = (V,E)
begin
partition P = {C1,…,Ck } von V, initialisiert mit P = {V}
// am Ende ist P die MSE von G
foreach v ∈ V do
foreach Klasse C zu der ein Knoten u ∈ N+ (v) gehört do
erzeuge eine neue Klasse C' von P
bewege alle Knoten aus N+ (v) ∩ C nach C'
if C = ∅ then lösche C aus P fi
od
foreach Klasse C zu der ein Knoten u ∈ N- (v) gehört do
erzeuge eine neue Klasse C' von P
bewege alle Knoten aus N- (v) ∩ C nach C'
if C = ∅ then lösche C aus P
od
od
end
Proseminar Netzwerkanalyse
29
9.1.3 Berechnung strukt. Äquivalenzen
n
G
Beispiel (1)
1
Initialisierung: P = { {1,…,5} }
Start Schleife I :
2
v=1
3
Start Schleife II:
C = {1,…,5}, denn N+ (1) = {4,5}
P := { {1,…,5} , C' } mit C' = ∅
C' := N+ (1) ∩ C = {4,5} ∩ {1,…,5} = {4,5}
C := {1,2,3}
P := { {1,2,3} , {4,5} }
Ende Schleife II (Schleife III: analog zu Schleife II)
Proseminar Netzwerkanalyse
4
5
30
9.1.3 Berechnung strukt. Äquivalenzen
n
G
Beispiel (2)
1
v=2
Start Schleife II:
2
+
C = {4,5}, denn N (2) = {4,5}
3
P := { {1,2,3} , {4,5} , C' } mit C' = ∅
C' := N+ (2) ∩ C = {4,5} ∩ {4,5} = {4,5}
C := ∅ ⇒ C wird aus P entfernt
P := { {1,2,3} , {4,5} }
Ende Schleife II (Schleife III: analog zu Schleife II)
Proseminar Netzwerkanalyse
4
5
31
9.1.3 Berechnung strukt. Äquivalenzen
n
G
Beispiel (3)
1
v =3
Start Schleife II:
2
+
C = {4,5}, denn N (3) = {4,5}
3
P := { {1,2,3} , {4,5} , C' } mit C' = ∅
C' := N+ (3) ∩ C = {4,5} ∩ {4,5} = {4,5}
C := ∅ ⇒ C wird aus P entfernt
P := { {1,2,3} , {4,5} }
Ende Schleife II (Schleife III: analog zu Schleife II)
Proseminar Netzwerkanalyse
4
5
32
9.1.3 Berechnung strukt. Äquivalenzen
n
G
Beispiel (4)
1
v =4
Start Schleife II:
2
+
1) C = {1,2,3}, denn N (4) = {1,2,3,5}
3
P := { {1,2,3} , {4,5} , C' } mit C' = ∅
C' := N+ (4) ∩ C = {1,2,3,5} ∩ {1,2,3} = {1,2,3}
C := ∅ ⇒ C wird aus P entfernt
P := { {1,2,3} , {4,5} }
2) C = {4,5}, denn N+ (4) = {1,2,3,5}
P := { {1,2,3} , {4,5} , C' } mit C' = ∅
C' := N+ (4) ∩ C = {1,2,3,5} ∩ {4,5} = {5}
C := {4}
P := { {1,2,3} , {4} , {5} }
Ende Schleife II (Schleife III: analog zu Schleife II)
Proseminar Netzwerkanalyse
4
5
33
9.1.3 Berechnung strukt. Äquivalenzen
n
G
Beispiel (5)
1
v =5
Start Schleife II:
2
+
1) C = {1,2,3}, denn N (5) = {1,2,3,4}
3
P := { {1,2,3} , {4} , {5} , C' } mit C' = ∅
C' := N+ (5) ∩ C = {1,2,3,4} ∩ {1,2,3} = {1,2,3}
C := ∅ ⇒ C wird aus P entfernt
P := { {1,2,3} , {4} , {5} }
2) C = {4}, denn N+ (5) = {1,2,3,4}
P := { {1,2,3} , {4} , {5} , C' } mit C' = ∅
C' := N+ (5) ∩ C = {1,2,3,4} ∩ {4} = {4}
C := ∅ ⇒ C wird aus P entfernt
P := { {1,2,3} , {4} , {5} }
Ende Schleife II (Schleife III: analog zu Schleife II)
Ende Schleife I
Proseminar Netzwerkanalyse
4
5
34
9.1.3 Berechnung strukt. Äquivalenzen
n
Bemerkungen
• Zugriff auf die Vorkommensliste eines Knotens v des
Graphen G = (V,E) in proportionaler Zeit zur Größe der Liste
• Untersuchen aller Elemente einer Liste in linearer Zeit
• Konstante Zugriffszeit auf Quelle und Ziel einer Kante
• Konstante Zugriffszeit auf die Klasse eines Knotens
• Konstante Zeit zum Einfügen und Entfernen von Klassen einer
Partition
• Konstante Zeit zum Einfügen und Entfernen von Knoten einer
Klasse
• Schleifendurchlauf für ein gegebenes v in proportionaler Zeit zum
Grad von v, falls v nicht isoliert, anderenfalls konstante Zeit
Gesamtlaufzeit : O ( V + E )
Proseminar Netzwerkanalyse
35
9.1.3 Berechnung strukt. Äquivalenzen
n
Fazit des Kapitels 9.1 (Strukturelle Äquivalenzen)
• Strukturelle Äquivalenzen sind auf theoretischer und berechenbarer
Ebene sehr einfach
• Ungünstig für unregelmäßige Netzwerke
• Es können nur Knoten mit einer Distanz von höchstens 2
identifiziert werden
Proseminar Netzwerkanalyse
36
9.2 Reguläre Äquivalenzen
n
Rückblick
Bei der strukturellen Äquivalenz spielen Akteure die gleiche Rolle,
wenn sie mit den gleichen Akteuren verbunden sind.
Im Gegensatz hierzu spielen Akteure bei der regulären Äquivalenz
die gleiche Rolle, wenn sie mit rollen-äquivalenten Akteuren
verbunden sind.
Vorbereitend definieren wir:
Wenn r: V → W eine Rollenzuweisung ist und U ⊆ V, dann heißt
r(U) := {r(u); u ∈ U}
Rollemenge über U .
Falls U = ∅, so ist r(∅ ) = ∅ .
Proseminar Netzwerkanalyse
37
9.2 Reguläre Äquivalenzen
n
Definition 9.2.1
Eine Rollenzuweisung r: V → W heißt regulär,
wenn für alle u,v ∈ V gilt:
r(u) = r(v) ⇒ r (N+ (u) ) = r (N+ (v) ) ∧ r (N- (u) ) = r (N- (v) ) .
Reguläre Rollenzuweisungen werden oft als die Klasse der
Rollenzuweisungen bezeichnet. Deshalb wird das Wort regulär
oft auch einfach weggelassen.
Proseminar Netzwerkanalyse
38
9.2 Reguläre Äquivalenzen
n
Beispiel (1)
G
1
4
2
3
r
R
1
2
5
Die Rollenzuweisung r : V → W mit u ֏ 1 und v ֏ 2
für u ∈ {1,2,3} und v ∈ {4,5} ist regulär.
Proseminar Netzwerkanalyse
39
9.2 Reguläre Äquivalenzen
n
Beispiel (2)
G
1
4
2
3
Zu zeigen:
r
R
1
2
5
r(u) = r(v) ⇒ r (N+ (u) ) = r (N+ (v) ) ∧ r (N- (u)) = r (N- (v) ) ∀u,v ∈ V
r(1) = r(2) = r(3)
⇒ r (N+ (1) ) = r (N+ (2) ) = r (N+ (3)) = {2}
∧ r (N- (1) ) = r (N- (2)) = r (N- (3) ) = ∅
r(4) = r(5)
⇒ r (N+ (4) ) = r (N+ (5) ) = ∅ ∧ r (N- (4) ) = r (N- (5) ) = {1}
⇒ r ist regulär
Proseminar Netzwerkanalyse
40
9.2.1 Elementare Eigenschaften
n
Eigenschaften
- Die identische Abbildung id: V → V, v ֏ v ist regulär für alle Graphen
- Jede strukturelle Rollenzuweisung ist auch regulär
Die nächste Proposition zeigt, wann die vollständige Partition, welche
durch eine konstante Rollenzuweisung J: V → 1 beschrieben wird,
regulär ist.
Hierzu benötigt man die Definition von Senken und Quellen:
Eine Senke ist ein Knoten, der keine ausgehenden Kanten besitzt,
d.h. der ausgehende Grad d+ (v) := N+ (u) ist Null.
Eine Quelle oder ein Ursprung ist ein Knoten, der keine eingehenden
Kanten besitzt, d.h. der ausgehende Grad d- (v) := N- (u) ist Null.
Proseminar Netzwerkanalyse
41
9.2.1 Elementare Eigenschaften
n
Proposition 9.2.2
Die vollständige Partition eines Graphen G = (V,E) ist regulär genau
dann, wenn G weder Senken noch Quellen besitzt oder E = ∅ .
Proseminar Netzwerkanalyse
42
9.2.1 Elementare Eigenschaften
n
Bemerkung und Definition
Da die Identität und die vollständige Partition triviale
Rollenzuweisungen sind, wird das nächste Lemma nun für
stark zusammenhängende (gerichtete) Graphen formuliert.
Ein gerichteter Graph ist (stark) zusammenhängend,
wenn für alle u,v ∈ V ein Weg von u nach v oder (und) ein Weg
von v nach u existiert.
Proseminar Netzwerkanalyse
43
9.2.1 Elementare Eigenschaften
n
Lemma 9.2.3
Sei G ein stark zusammenhängender Graph. Dann gilt:
Für jede nicht-triviale Rollenzuweisung r über G ist
{r(v)} ≠ r (N+ (v))
Proseminar Netzwerkanalyse
und {r(v)} ≠ r (N- (v) ) ∀v ∈ V .
44
9.2.1 Elementare Eigenschaften
n
Beispiel
G
1
4
2
3
r
R
1
2
5
G ist ein stark zusammenhängender Graph und r : V → W mit u ֏ 1
und v ֏ 2 für u ∈ {1,2,3} und v ∈ {4,5} ist eine nicht-triviale
Rollenzuweisung.
Dann sieht man beispielsweise:
N+ (1) = N+ (2) = N+ (3) = {4,5}
r (N+ (1) ) = r (N+ (2) ) = r (N+ (3) ) = r ( {4,5} ) = {2}
≠ {r(1)} = {r(2)} = {r(3)} = {1}
Proseminar Netzwerkanalyse
45
9.2.1 Elementare Eigenschaften
n
Weitere Eigenschaften
• Ein Graph mit mindestens 3 Knoten, der nur triviale reguläre
Rollenzuweisungen besitzt, heißt rollenprimitiv
• Die Existenz von gerichteten rollenprimitiven Graphen ist trivial:
Für jeden gerichteten Pfad ist nur die identische Partition regulär
• Die Existenz von ungerichteten rollenprimitiven Graphen ist
allerdings nicht-trivial.
Deshalb kommen wir zu folgendem Theorem:
Proseminar Netzwerkanalyse
46
9.2.1 Elementare Eigenschaften
n
Theorem 9.2.4
Der Graph aus Abbildung 9.2 ist rollenprimitiv.
5
4
1
2
3
6
7
8
9
10
Abb. 9.2 Ein rollenprimitiver ungerichteter Graph
Um dies zu beweisen, muss man zeigen, dass alle möglichen
Rollenzuweisungen entweder trivial oder nicht regulär sind.
Proseminar Netzwerkanalyse
47
9.2.1 Elementare Eigenschaften
Ein Graph, dessen Rollenzuweisungen alle regulär sind, heißt
willkürlich rollenzuweisbar.
Das nächste Lemma formuliert dies für ungerichtete
zusammenhängende Graphen:
n
Lemma 9.2.5
Ein stark zusammenhängender Graph G = (V,E) ist willkürlich
rollenzuweisbar genau dann, wenn es sich um einen vollständigen
Graphen, möglicherweise mit beliebigen Schleifen, was aber nicht
zwingend notwendig ist, handelt.
Proseminar Netzwerkanalyse
48
9.2.2 Gitterstrukturen & reg. Innere
n
Theorem 9.2.6 (siehe auch Abschnitt 9.1.1)
Die Menge aller regulären Äquivalenzen eines Graphen G formt
ein Gitter, bei dem das Supremum eine Einschränkung des
Supremums des Gitters aller Äquivalenzen ist.
Proseminar Netzwerkanalyse
49
9.2.2 Gitterstrukturen & reg. Innere
n
Lemma 9.2.7
Sei (X, ≤ ) eine teilweise geordnete Menge. Wenn sup H für jede
Teilmenge H ⊆ X existiert, dann ist (X, ≤ ) ein Gitter.
Beweis :
Es muss lediglich gezeigt werden, dass für alle x,y ∈ X
inf(x,y) existiert. Sei H := {z ∈ X; z ≤ x und z ≤ y} . Dann ist
einfach zu zeigen, dass sup H das Infimum von {x,y} ist.
Proseminar Netzwerkanalyse
50
9.2.2 Gitterstrukturen & reg. Innere
n
Korollar 9.2.8
Sei G ein Graph. Dann existiert eine maximale und eine minimale
reguläre Äquivalenz für G.
Beweis :
Das Maximum ist das Supremum aller regulären Äquivalenzen
und das Minimum ist das Infimum aller regulären Äquivalenzen,
welches die identische Partition ist.
Proseminar Netzwerkanalyse
51
9.2.2 Gitterstrukturen & reg. Innere
n
Proposition 9.2.9
Das Gitter der regulären Äquivalenzen ist kein Teilgitter des
Gitters aller Äquivalenzrelationen.
Proseminar Netzwerkanalyse
52
9.2.2 Gitterstrukturen & reg. Innere
n
Definition 9.2.10
Sei G ein Graph und ~ eine Äquivalenzrelation über dessen
Knotenmenge. Eine Äquivalenzrelation ~1 heißt reguläres Inneres,
wenn die drei folgenden Bedingungen erfüllt sind:
1. ~1 ist regulär
2. ~1 ≤ ~
3. für alle ~2 , welche die oberen Bedingungen erfüllen gilt: ~2 ≤ ~1
Proseminar Netzwerkanalyse
53
9.2.2 Gitterstrukturen & reg. Innere
n
Korollar 9.2.11
Sei G ein Graph und ~ eine Äquivalenzrelation über dessen
Knotenmenge. Dann existiert das reguläre Innere von ~ .
Andererseits gibt es keine minimale reguläre Äquivalenz
oberhalb einer allgemeinen Äquivalenz.
n
Bemerkung
Das Infimum (im Gitter der regulären Äquivalenzen) zweier
regulärer Äquivalenzrelationen ~1 und ~2 ist durch das reguläre
Innere der Schnittmenge von ~1 und ~2 gegeben.
Proseminar Netzwerkanalyse
54
9.2.3 Berechnung des reg. Inneren
In Kapitel 9 werden zwei Algorithmen vorgestellt:
n
CATREGE Algorithmus
3
• Laufzeit: O(n )
n
RELATIONAL COARSEST PARTITION PROBLEM (RCPP)
(Tarjan und Paige)
• Laufzeit: O (m ⋅ log n)
Proseminar Netzwerkanalyse
55
9.2.3 Berechnung des reg. Inneren
n
Der CATREGE Algorithmus
• CATREGE ist ein Algorithmus zur Bestimmung der maximalen
regulären Äquivalenz eines Graphen, oder allgemein zur
Bestimmung des regulären Inneren einer Äquivalenzrelation
• Der CATRAGE Algorithmus läuft wie folgt ab:
CATREGE erzeugt in jeden einzelnen Schritt eine Partition P,
welche anfangs mit der vollständigen Partition initialisiert wird.
In jeden einzelnen Schritt testet der Algorithmus jetzt, ob für
jedes äquivalente Knotenpaar, deren Nachbarn äquivalent sind.
Sind sie dies, dann bleiben die Knoten äquivalent, anderenfalls
sind sie nach disem Schritt nicht mehr äquivalent.
Der Algirithmus terminiert, falls sich nichts mehr ändert.
Proseminar Netzwerkanalyse
56
9.2.4 Das Rollenzuweisungsproblem
n
In diesem Abschnitt untersuchen wir die rechenbetonte Komplexität
des Entscheidungsproblems, ob ein gegebener Graph eine reguläre
Rollenzuweisung mit einem vordefinierten Rollengraph oder mit einer
vordefinierten Anzahl von Äquivalenzklassen zulässt. In diesem
Abschnitt werden nur ungerichtete Graphen behandelt.
Proseminar Netzwerkanalyse
57
9.2.4 Das Rollenzuweisungsproblem
n
Probleme
Sei k ∈ N und sei R ein ungerichteter Graph, eventuell mit Schleifen.
Problem 9.2.16 (k-Rollenzuweisung (k-RA))
Gegeben sei ein Graph G.
Frage:
Gibt es eine reguläre Äquivalenz für G mit exakt k
Äquivalenzklassen?
Problem 9.2.17 (R-Rollenzuweisung (R-RA))
Gegeben sei ein Graph G.
Frage:
Gibt es eine reguläre Rollenverknüpfung r: V(G) → V(R)
mit dem Rollengraphen R?
Man bedenke, dass Rollenverknüpfungen als surjektive Abbildungen
definiert wurden.
Proseminar Netzwerkanalyse
58
9.2.4 Das Rollenzuweisungsproblem
n
Theoreme
Theorem 9.2.18
k-RA ist polynomiell lösbar für k = 1 und ist NP -vollständig für
alle k ≥ 2 .
Theorem 9.2.19
R-RA ist polynomiell lösbar, wenn jede Komponente von R aus einem
einzelnen Knoten (mit oder ohne Schleife) oder aus zwei Knoten ohne
Schleife besteht. Sonst ist R-RA NP -vollständig.
Proseminar Netzwerkanalyse
59
9.3 Andere Äquivalenzen
n
n
n
n
Exakte Äquivalenzen
Automorphe und umlaufende Äquivalenzen
Perfekte Äquivalenzen
Relativ reguläre Äquivalenzen
Proseminar Netzwerkanalyse
60
9.3.1 Exakte Äquivalenzen
n
Einleitung
In diesem Abschnitt definieren wir eine Klasse von Äquivalenzrelationen, die eine Teilmenge der regulären Äquivalenzen ist.
Während für reguläre Äquivalenzen nur das Vorkommen einer Rolle
in der Nachbarschaft eines Knotens wichtig ist, zählt bei der exakten
Äquivalenz die Anzahl der vorkommenden Knoten.
In diesem Abschnitt betrachten wir nun ungerichtete Multigraphen.
Proseminar Netzwerkanalyse
61
9.3.1 Exakte Äquivalenzen
n
Definition 9.3.1
Eine Rollenzuweisung r heißt exakt, wenn für alle u,v ∈ V
r(u) = r(v) ⇒ r (N(u) ) = r (N(v) ) ,
wobei die rechte Gleichung eine Gleichung von Multimengen ist, d.h.,
dass Knoten, welche zur gleichen Rolle gehören, auch die gleiche
Anzahl von Knoten wie jeder der anderen Rollen ihrer Nachbarschaft
haben.
Proseminar Netzwerkanalyse
62
9.3.1 Exakte Äquivalenzen
n
Beispiel
G
1
2
6
4
5
8
9
10
11
7
Der Graph G definiert ein exakte Rollenzuweisung, wenn jeweils gleich
gefärbte Knoten einer Rolle angehören, d.h. weiße Knoten werden
Rolle 1, orange Rolle 2 und schwarze Rolle 3 zugewiesen.
Also gilt z.B.:
r(1) = r(4) ⇒ r (N(1) ) = r ({2,4,5} ) = {1,2,2} = r ({1,2,5} ) = r (N(4) )
Ist aber z.B. r (N(1)) = {1,2,2} ≠ {1,2,3} = r ({1,4,6} ) = r (N(2) ) dann
folgt: r(1) ≠ r(2)
Proseminar Netzwerkanalyse
63
9.3.1 Exakte Äquivalenzen
n
Bemerkungen
• Während eine Rollenzuweisung eines Multigraphen regulär ist
genau dann, wenn der induzierte einfache Graph regulär ist, ist für
exakte Äquivalenzen die Häufigkeit einer Kante wichtig.
• Man sieht nun, dass exakte Rollenzuweisungen regulär sind, die
Umkehrung aber nicht gilt.
Proseminar Netzwerkanalyse
64
9.3.1 Exakte Äquivalenzen
n
Definition 9.3.2
Eine Partition P = {C1,…,Ck } einer Knotenmenge V eines
ungerichteten (Multi-)Graphen G = (V,E) heißt gerecht, wenn es
ganze Zahlen bij , i,j = 1,…,k, gibt, sodass jeder Knoten der Klasse Ci
genau bij Nachbarn in der Klasse C j hat. Die Matrix B = (bij )i,j=1,...,k
definiert eine (gerichteten) Multigraphen, welcher Quotient von
G modulo P heißt, bezeichnet mit G/P.
Proseminar Netzwerkanalyse
65
9.3.1 Exakte Äquivalenzen
n
Bemerkungen
• Ein Partition ist gerecht genau dann, wenn die zugehörige
Rollenzuweisung exakt ist.
• Definition 9.3.2 erweitert auch die Definition des Rollengraphs aus
Abschnitt 9.0.2 auf Multigraphen, wobei dies allerdings nur für
exakte Rollenzuweisungen möglich ist.
• Ist ein Graph ungerichtet, so kann der zugehörige Rollengraph
trotzdem gerichtet sein, was bedeutet, dass das Vorkommen einer
Kante sich von dem Vorkommen der entgegengesetzten Kante
unterscheiden kann. Dies geschieht allerdings nur, wenn zwei
„benachbarte“ Äquivalenzklassen verschiedene Größen haben.
Proseminar Netzwerkanalyse
66
9.3.1 Exakte Äquivalenzen
n
Theorem 9.3.3
Sei G ein Graph und P eine gerechte Partition. Dann teilt das
charakteristische Polynom des Quotienten G/P das charakteristische
Polynom von G.
Bemerkung :
Das charakteristische Polynom eines Graphen kann über dessen
Adjazenzmatrix bestimmt werden.
Sei A = (aij ) die Adjazenzmatrix eines Graphen G, dann berechnet
sich dessen charakteristisches Polynom aus folgender Formel:
p A (t) = det ( A - t ⋅ En )
Proseminar Netzwerkanalyse
67
9.3.1 Exakte Äquivalenzen
n
Bemerkungen
• Die Menge aller exakten Rollenzuweisungen eines Graphen bildet
ein Gitter. Die maximale exakte Rollenzuweisung eines Graphen
kann durch eine Anpassung des Algorithmus aus Abschnitt 9.2.3
berechnet werden.
• Viele Probleme von exakten Rollenzuweisungen sind ebenfalls
NP-vollständig.
Proseminar Netzwerkanalyse
68
9.3.1 Exakte Äquivalenzen
n
Fazit
• Exakte Rollenzuweisungen, welche auch gerechte Partitionen
genannt werden, werden in der algebraischen Graphentheorie
untersucht.
• Während einige Probleme rund um gerechte Partitionen NPvollständig sind, gibt es effiziente Algorithmen um die maximale
gerechte Partition eines Graphen oder die gröbste gerechte
Verfeinerung einer Partition zu berechnen.
• Diese Algorithmen können verwendet werden, um
Rollenzuweisungen zu berechnen, aber die Ergebnisse enthalten in
vielen Fällen zu viele Klassen und verfehlen die zugrunde liegende
Struktur.
Proseminar Netzwerkanalyse
69
9.3.3 Perfekte Äquivalenzen
n
Definition 9.3.6
Eine Rollenzuweisung r definiert ein perfekte Äquivalenz, wenn für
alle u,v ∈ V gilt:
r(u) = r(v) ⇔ r (N+ (u) ) = r (N+ (v) ) ∧ r (N- (u) ) = r (N- (v) )
Proseminar Netzwerkanalyse
70
9.3.3 Perfekte Äquivalenzen
n
Beispiel (1)
G
1
4
2
3
r
R
1
2
5
Beh.: Die Rollenzuweisung r : V → W mit u ֏ 1 und v ֏ 2
für u ∈ {1,2,3} und v ∈ {4,5} ist perfekt.
Proseminar Netzwerkanalyse
71
9.3.3 Perfekte Äquivalenzen
n
Beispiel (2)
Zu zeigen:
r(u) = r(v) ⇔ r (N+ (u) ) = r (N+ (v) ) ∧ r (N- (u) ) = r (N- (v) ) ∀u,v ∈ V
r(1) = r(2) = r(3)
⇔ r (N+ (1) ) = r (N+ (2) ) = r (N+ (3) ) = {2}
∧ r (N- (1) ) = r (N- (2) ) = r (N- (3) ) = ∅
r(4) = r(5)
⇔ r (N+ (4) ) = r (N+ (5) ) = ∅
G
1
4
2
3
5
∧ r (N- (4) ) = r (N- (5) ) = {1}
⇒ r ist perfekt
Proseminar Netzwerkanalyse
72
9.3.3 Perfekte Äquivalenzen
n
Bemerkungen
• Ein reguläre Äquivalenz ist perfekt genau dann, wenn der
induzierte Rollengraph keine stark strukturell äquivalenten Knoten
hat.
• Die Menge der perfekten Äquivalenzrelationen eines Graphen ist
ein Gitter, welches weder ein Teilgitter aller Äquivalenzrelationen
noch eines des Gitters der regulären Äquivalenzrelationen.
• Ein perfektes Inneres einer Äquivalenzrelation ~ würde eine
gröbste perfekte Verfeinerung von ~ sein (vgl. Def. 9.2.10).
• Aber: Im Gegensatz zu dem regulären Inneren existiert das
perfekte Innere im Allgemeinen nicht.
Proseminar Netzwerkanalyse
73
9.3.3 Perfekte Äquivalenzen
n
Theorem 9.3.7
Im Allgemeinen ist der transitive Abschluß der Vereinigung zweier
perfekter Äquivalenzrelationen nicht perfekt. Insbesondere existiert
für einige Äquivalenzen kein perfektes Inneres.
Proseminar Netzwerkanalyse
74
9.3.3 Perfekte Äquivalenzen
n
Bemerkungen
• Die zweite Aussage hat einen trivialeren Beweis: Für ein
gegebenen Graphen mit zwei stark strukturell äquivalenten Knoten
hate die identische Partition kein perfekte Verfeinerung.
• Einige Entscheidungsprobleme betreffend der perfekten Äquivalenz
sind ebenfalls NP-vollständig (s. Theorem 9.2.18 und 9.2.19).
• Obwohl perfekte Äquivalenzen einige triviale reguläre Äquivalenzen
ausschließen, gibt es keinen Nachweis, warum Rollen nicht stark
strukturell äquivalent sein sollten.
Proseminar Netzwerkanalyse
75
9.3.3 Perfekte Äquivalenzen
n
Fazit
• Perfekte Äquivalenzen sind Einschränkungen regulärer
Äquivalenzen, aber sie liefern scheinbar keine besseren
Rollenzuweisungen.
• Einige mathematische Eigenschaften gegenüber regulären
Äquivalenzen gehen verloren und es gibt Beispiele, bei denen die
Bedingungen für perfekte Äquivalenzen gute reguläre
Rollenzuweisungen ausschließen
Proseminar Netzwerkanalyse
76